Coaxial cable: Difference between revisions

Latest revision as of 20:55, 11 January 2015

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-In mathematics, the '''Banach [[fixed-point theorem]]''' (also known as the '''contraction mapping theorem''' or '''contraction mapping principle''') is an important tool in the theory of [[metric space]]s; it guarantees the existence and uniqueness of [[fixed point (mathematics)|fixed points]] of certain self-maps of metric spaces, and provides a constructive method to find those fixed points.  The theorem is named after [[Stefan Banach]] (1892–1945), and was first stated by him in 1922.<ref>http://www.emis.de/journals/BJMA/tex_v1_n1_a1.pdf</ref>
+== Nike Pt Loja Online  tomate ==
-== The Statement==
+Os recentes acontecimentos com produtos contaminados, incluindo o espinafre, alface, tomate, e mais, ter feito todos mais conscientes da necessidade de produção mais limpa. I foi evisceração minha casa na semana passada. Eu queria dar um grito para fora a alguns dos meus sites favoritos e recursos também incluídas nessa lista que pode ser novo para nossos leitores aqui na Blogging4Jobs. <br><br>Não pode provar que eu interpretei a situação corretamente. Ele foi causado por cortes e brindes para os bilionários de apoio republicanos e aventuras militares estrangeiras sem restrições custando trilhões e que beneficiam esses mesmos bilionários fiscais maciços.. <br><br>>> Muito obrigado e os melhores cumprimentos, >> Christian Schuhegger >>. (Se você fizer isso, recomendamos permitindo que os artigos do blog para mover maior se as pessoas clicam neles, de modo que, se eles são os resultados mais relevantes para uma determinada palavra-chave, então eles vão acabar no topo dos resultados de busca.). <br><br>Felizmente que as pessoas que estão acima do peso e que sofrem de diferentes doenças pode ajudar a eliminar a gravidade de suas próprias doenças por meio de perder peso. Como parte de sua vingança contra [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=156-Nike-Pt-Loja-Online Nike Pt Loja Online] Mike e Sulley, tentou enquadrar Mike por roubar adereços comédia do outro monstro. <br><br>Esses locais podem ter um bastante simples e um layout de fácil navegação, ou eles podem ser labirintos complexos, com muitas armadilhas e algumas saídas. Existem muitos tipos de máquinas de barbear e pode ficar assustador para você pessoalmente. Audrox [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=43-Nike-Cortez-Brasil Nike Cortez Brasil] Brooklyn 3. <br><br>Piscinas de brilho líquido verde no chão de concreto, os compostos que produzem a cor ainda é um mistério para a equipe de limpeza.. Não posso culpá-Gethralkin para fazer uma quarta tentativa, como todos os três das nomeações anteriores foram quase inteiramente ignorado pela comunidade. <br><br>Depois de ter criado as versões alternativas de seu site, basta adicionar um pouco de código Javascript fornecido pelo Optimizely às páginas que estão sendo testados. A única coisa que tinha que se preocupar quando se [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=57-Ray-Ban-Aviator-3025 Ray Ban Aviator 3025] escreve o seu material antes [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=22-Abercrombie-Madrid Abercrombie Madrid] de publicá-la no Facebook é, o que deveria escrever sobre em um determinado dia. <br><br>Características adicionais incluem sete novos curtas-metragens, galeria de fotos, biografia Goldsworthy e muito mais. Assista ao Fellowship correr para se esconder quando eles perdem suas armas favoritas. No entanto, uma comparação do trabalho Bruyas 'com webcam em trans a linguagem do dia de hoje mostra que esse objetivo foi alcançado.<ul>
-''Definition.'' Let (''X'', ''d'') be a metric space.  Then a map ''T'' : ''X'' → ''X'' is called a [[contraction mapping]] on ''X'' if there exists ''q'' ∈ [0, 1) such that
-:<math>d(T(x),T(y)) \le q d(x,y)</math>
+   <li>[http://www.dailymenanews.com/node/37069 http://www.dailymenanews.com/node/37069]</li>
-for all ''x'', ''y'' in ''X''.
+   <li>[http://www.ministryoftofu.com/2013/06/pic-of-the-day-this-is-why-you-need-to-lose-weight/#comments http://www.ministryoftofu.com/2013/06/pic-of-the-day-this-is-why-you-need-to-lose-weight/#comments]</li>
+   <li>[http://sorejominbarta.com/blog/ http://sorejominbarta.com/blog/]</li>
+   <li>[http://www.metransparent.com/spip.php?article9653&lang=ar&id_forum=11085/ http://www.metransparent.com/spip.php?article9653&lang=ar&id_forum=11085/]</li>
+   <li>[http://www.lxkfqzx.qdedu.net/bbs/boke.asp?legeynty.showtopic.3372407.html http://www.lxkfqzx.qdedu.net/bbs/boke.asp?legeynty.showtopic.3372407.html]</li>
+ </ul>
-<blockquote>'''Banach Fixed Point Theorem.''' Let (''X'', ''d'') be a non-empty [[complete metric space]] with a contraction mapping ''T'' : ''X'' → ''X''. Then ''T'' admits a unique fixed-point ''x*'' in ''X'' (i.e. ''T''(''x*'') = ''x*''). Furthermore, ''x*'' can be found as follows: start with an arbitrary element ''x''<sub>0</sub> in ''X'' and define a sequence {''x<sub>n</sub>''} by ''x<sub>n</sub>'' = ''T''(''x''<sub>''n''−1</sub>), then ''x<sub>n</sub>'' → ''x*''.</blockquote>
+== Produtos Oakley Baratos  só os ricos podiam pagar velas ==
-''Remark 1.'' The following inequalities are equivalent and describes the [[Rate of convergence|speed of convergence]]:
+Enquanto o mundo da superfície contém tudo o que os jogadores precisam [http://www.uninformatica.pt/img/file/breve.asp?k=27-Produtos-Oakley-Baratos Produtos Oakley Baratos] para construir sua primeira casa e moda ferramentas básicas e [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=22-Abercrombie-Madrid Abercrombie Madrid] armas, é apenas por se aprofundar nos vastos, cavernas labirínticas abaixo que eles vão ser capazes de encontrar as armas, recursos e upgrades que lhes permitirão sobreviver contra os monstros que habitam ali. <br><br>Nos primeiros dias de iluminação de Natal, só os ricos podiam pagar velas, então foi algo feito apenas pelos ricos e famosos. De que há muitos e com um pouco de conhecimento e de comunicação com o seu operador turístico, você será capaz de encontrar a melhor opção de passeio para você. <br><br>Estimamos os valores médios deste domínio nos dados abaixo. ESL oportunidades são infinitas e os postos de trabalho apenas continuam vindo. O site está no meio do nada! Os preços eram um pouco íngreme no bar, com um café e um vinho sendo em torno de 6! . <br><br>Australianos reconhecem 25 de abril como uma ocasião de comemoração nacional, que assume duas formas. Obrigado Sr. Massas levantada em política. Kenny, Jeff e eu uniram-se e começou a nossa "caça". Rajasthan cozinha é uma parte integrante da gastronomia indiana. <br><br>Alcançando da Ponte Watertown ao Museu da Ciência, a grande questão é onde (e de que lado da Charles) para saltar sobre. Seguidores confirmados foram readcast Excluir Marcado como FavoritoFavorito grande segundo ano. Este fim de semana estou em Avalon em Los Angeles com Cosmic Gate, próximo fim de semana eu tenho 2 shows em Jacarta qual também estou animado sobre! EDC em Las Vegas em 09 de junho vai ser um enorme, tenho ouvido muito sobre este festival, então [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=30-Ray-Bans Ray Bans] eu não posso esperar! Outro grande problema é o Festival de Big Love na China em 21 de junho. <br><br>O que eu quero fazer é uma boa merda se é bom, eles vão fazê-lo algum tempo na estrada. Sua queixa decorre das multas excessivas (agora superior a US $ 650 por bilhete) smallcontractors receber regularmente para um local de trabalho, que inclui estacionamento duplo sob o guarda-chuva da língua local de trabalho.. <br><br>Don presumir que os alunos compreendam o que está sendo testado nas chances são don assim errar do lado da cautela. Reconhecido na Turquia e no mundo, o Grupo Gulaylar oferece uma ampla gama de serviços, desde a concepção e produção de atacado, varejo e importação e exportação. <br><br>9flats vai para o outro lado, e apenas cobra o proprietário do imóvel um total de 15% eo nada viajante. Eu naveguei pela internet para obter o mais barato alugar carro para nossa viagem em família na Itália. O fato é que a URSS, os fornecedores chineses, bem como Portugal manifestou a sua equipe de visita, a fim de sanções na espera que envolvem a manutenção de os [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=85-Oculos-De-Sol-Ray-Ban-Replicas Oculos De Sol Ray Ban Replicas] próprios grande interação de negociação de ações utilizando Iran.<ul>
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+ </ul>
-:<math>\begin{align}
+== Botas Ugg Preço  em seguida ==
-d(x^*, x_n) &\leq \frac{q^n}{1-q} d(x_1,x_0), \\
-d(x^*, x_{n+1}) &\leq \frac{q}{1-q} d(x_{n+1},x_n), \\
-d(x^*, x_{n+1}) &\leq q d(x^*,x_n).
-\end{align}</math>
-Any such value of ''q'' is called a ''[[Lipschitz constant]]'' for ''T'', and the smallest one is sometimes called "the best Lipschitz constant" of ''T''.
+Um método lotto sucesso sem nenhum custo proporciona maior probabilidade de ganhar prêmios em dinheiro maiores simplesmente escolhendo o mix certo número 7 dias por semana em sua loteria estadual, pois geralmente leva em consideração os benefícios anteriores e também tendências.. <br><br>É uma daquelas lendas de que o Oriente é tão fértil, e não podem ser rastreados, mesmo em alusão, a qualquer documento mais cedo do que a biografia escrita duzentos anos mais tarde. Eu tinha cerca de 12 óleo de utilizar, para seis navios de guerra, aviões de caça 4 de interceptação em duas operadoras. <br><br>Existem vários geradores sitemap livres por aí. É por isso que muitas empresas [http://www.algarveclassiccars.com/backoffice/includes/juicy.asp?ad=21-Botas-Ugg-Preço Botas Ugg Preço] colocaram seus nomes em conjuntos casino promocionais. Esta é apenas adequado para caras odeiam problemático, só quero Flash jogado no fogo, e, em boa qualidade. Eles verificam sua Mutterpass, discutir os riscos do procedimento, anestésico, etc, fazer você assinar algumas formas (como em qualquer cirurgia), e, em seguida, dar-lhe uma data csection. <br><br>Tu puedes mantener tu PERFIL Como discreto, Como a ti te apetezca. Naquele dia isn hoje, infelizmente. [http://www.algarveclassiccars.com/backoffice/includes/juicy.asp?ad=27-Loja-Ugg-Em-Orlando Loja Ugg Em Orlando] Congratulamo-nos com todas as contribuições para o wiki. Obter acadêmicos, pesquisadores, professores para falar sobre o que está sendo pensado para os próximos 15 anos. <br><br>Além de uma melhora significativa em habilidades clínicas, os médicos também melhorou significativamente no conhecimento sobre o treinamento SIBRT e ambos os grupos tiveram melhorias [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=127-Loja-Nike-Coimbra Loja Nike Coimbra] em atitudes específicas em relação aos seus papéis na formação SBIRT ou a sua eficácia. <br><br>Se você localizar-se, ajudando cobrir sua absolutamente nada para usar, pegar a loção de mão de continuar com o seu saco. Eu estava começando a contagem regressiva das semanas, se não vender nos 12 semanas eu teria a US $ 160 por semana ou $ 20,000 com base em minhas listas. <br><br>Sítio DetailsBath Body Works grandes achados fragrância em géis de banho, loções para o corpo, sabonetes, velas, Wallflowers, presentes e fragrâncias descontinuadas. (Sec. Bookshare acredita que as [http://www.serramel.com/Connections/contador.asp?ad=110-Sapatos-Timberland-Olx Sapatos Timberland Olx] pessoas com deficiência merecem a mesma facilidade de acesso a livros e periódicos que as pessoas sem deficiência desfrutar.. <br><br>O principal suspeito no caso é "Blind Fold Ivan", um pseudônimo para a máfia Territórios do Norte. Em cadeira de rodas van de transporte poucos ambos maçãs para a pessoas pessoas populares de handicap sexo vans de aluguel acessíveis: Sugerir me pegou cadeira de rodas adaptada veículo bem tentando cadeira de rodas elevador van de aluguel, regras sobre realmente, mas definiu.<ul>
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+ </ul>
-''Remark 2.'' ''d''(''T''(''x''),&nbsp;''T''(''y''))&nbsp;<&nbsp;''d''(''x'',&nbsp;''y'') for all ''x'' ≠ ''y'' is in general not enough to ensure the existence of a fixed point, as is shown by the map ''T'' : [1, ∞) → [1, ∞), ''T''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''x''&nbsp;+&nbsp;1/''x'', which lacks a fixed point. However, if ''X'' is [[Compact space|compact]], then this weaker assumption does imply the existence and uniqueness of a fixed point, that can be easily found as a minimizer of ''d''(''x'',&nbsp;''T''(''x'')), indeed, a minimizer exists by compactness, and has to be a fixed point of ''T''. It then easily follows that the fixed point is the limit of any sequence of iterations of ''T''.
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-''Remark 3.'' When using the theorem in practice, the most difficult part is typically to define ''X'' properly so that ''T''(''X'') ⊆ ''X''.
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+ </ul>
-==Proofs==
+== Nike Jordan Preço UTC ==
-===Banach's Original Proof===
-Let ''x''<sub>0</sub> ∈ (''X'', ''d'') be arbitrary and define a sequence {''x<sub>n</sub>''} by setting: ''x<sub>n</sub>'' = ''T''(''x''<sub>''n''−1</sub>). Banach's original proof can be broken off into several Lemmas:
-<blockquote>'''Lemma 1.''' For all ''n'' ∈ '''N''', ''d''(''x''<sub>''n''+1</sub>, ''x<sub>n</sub>'') ≤ ''q<sup>n</sup>d''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>0</sub>).</blockquote>
+Em seguida, as bordas do casaco são os melhores sites de namoro coladas. Adorkable tranças deschanel zooey. "Vamos, rapazes, vamos salvar o mundo." Seu sacrifício vai salvar uma vida.. Eu liguei para o seu programa de rádio e tem um ótimo conselho. Na verdade, com a vinda da guerra, o trabalho escravo, a maioria contratados a partir de donos de escravos do leste do Blue Ridge, tinha voltado para aqueles donos de escravos. <br><br>Em um volvido no Seattle [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=44-Nike-Jordan-Preço Nike Jordan Preço] Times em março passado, Richard Stearns, presidente da Visão Mundial, o mundo a maior organização humanitária, os estados das mortes teria sido evitada se o Haiti não tinha sido tão muito pobre. Eles são muito realmente furioso são sensivelmente tendo em vista servir o seu parceiro uma espécie de ultimato. <br><br>A ferramenta tradicional para isso é o Google Website Optimizer, que é gratuito. [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=25-Oculos-De-Sol-Ray-Ban-Espelhados Oculos De Sol Ray Ban Espelhados] Bilhetes Nationwide assento sorteios: Exatamente por isso Obter Essas pessoas online para que você realmente como experimentar invertido atividades esportivas de loteria e você normalmente deve atingir assentos para a sua situação a partir de suas [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=156-Nike-Pt-Loja-Online Nike Pt Loja Online] próprias lojas de bairro ou talvez as lojas diferentes sorteios que pode-se descobrir a respeito dispersos seu próximo por cidade. <br><br>Ele arquiva-os na pasta sub Literatura para que ele possa puxar para cima notas relevantes de uma só vez se ele precisar. O designer deve considerar as criaturas que eles vivem no local e dar-lhes pronto acesso a coisas como comida, água, ar puro e abrigo, estes não precisam de ser em si mesmo site, mas deve pelo menos ser nas proximidades. <br><br>Paciente não. As apostas que é roleta ao vivo. Ele suporta 89 freqüências UHF com 122 códigos de linha privada. No entanto, mesmo o mais limpo dos arredores, estes micróbios começam a multiplicar-se sobre [http://www.algarveclassiccars.com/backoffice/includes/juicy.asp?ad=119-Preço-Ugg-Boots Preço Ugg Boots] superfícies, algumas vezes em níveis prejudiciais. <br><br>Manter o controle das mais recentes ofertas pode ser uma tarefa monumental. Ramikadyc 04:03, 7 de novembro de 2010 (UTC). Uma canção bastante tranquila, esta bela peça de arte foi destaque em seu álbum branco. Caso o leitor deste blog precisar de aconselhamento jurídico ou exigir uma resposta a uma pergunta específica, como a consulta de um advogado licenciado. <br><br>Ela pode precisar de fotos site de namoro uma secretária ou uma governanta. Ele atualiza seus diretórios no momento em que novas adições ao seu site. Utilize o Processador de Texto do Works para criar facilmente cartas, currículos, cartões e muito mais, com modelos personalizáveis, melhores ferramentas de revisão e um dicionário embutido.<ul>
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+ </ul>
-''Proof.'' We will proceed using induction, the base of the induction (''n'' = 1) holds:
+== Ray Ban Óculos Wayfarer D ==
-:<math>d(x_{1+1}, x_1) = d(x_2, x_1) = d(T(x_1), T(x_0)) \leq qd(x_1, x_0).</math>
+Comienza ahora mismo y las nuevas explora caracter Que te permiten mirar / compartir galer [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=16-Ray-Ban-Óculos-Wayfarer Ray Ban Óculos Wayfarer] de fotos y muchas cosas mas, con miembros Opaco Viven cerca de tu zona. Terrivelmente urgente. Se você suspeita que seu filho pode ter os sintomas da apnéia do sono, fale com o seu médico, que pode encaminhá-lo para um especialista do sono e / ou um estudo do sono durante [http://www.serramel.com/Connections/contador.asp?ad=23-Timberland-Shop Timberland Shop] a noite. <br><br>Então, muitas coisas boas saíram deste projeto. Se você colocar em uma falsa imagem, as pessoas vão pegar isso. O que eu fiz saber mais sobre esta terra era que eles seguem o caminho escandinavo de começar a trabalhar assim que eles são legaly capaz, ainda mais cedo. <br><br>Dois filhotes de cachorro chamado Tia e Lucy. Aditivo Pacotes und fr morrer Metallbearbeitung (D) [D, E, F]. Se uma empresa precisa o tipo [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=28-Nike-Jordan Nike Jordan] de funcionalidade que as ferramentas databasedriven [http://www.serramel.com/Connections/contador.asp?ad=31-Loja-Timberland-Forum-Almada Loja Timberland Forum Almada] permitir, então isso é certamente um caminho a percorrer. Se você não está tendo qualquer de sua própria casa, então você pode começar por olhar para construir um. <br><br>Alguns hackers de telefone celular quer ter acesso a essas informações por hackear o seu serviço de internet telefone ou suas chamadas instantâneas. Como aqueles sites que aparecem quando um domínio está fora de uso. Ter acesso a moradores se encontram móvel irá mantê-lo em contato com outros membros, não importa se você está viajando. <br><br>Tus posibilidades de conocer ah alguien filho Infinitas Aquí en MeetLocals. Em seu nome fically enquanto vizinho FACEtoFACE, fez realmente olhar para o ver melhor, e por isso, de facto, prejudicar o seu querido se deparar com a principal chamada up produzido em o fato de que um quarto, de preferência a após petite. <br><br>Pete traz caixa de Adão para Don em seu escritório, ele está ansioso para uma promoção. Como uma das maiores empresas de gestão de golfe do mundo, American Golf Corporação opera mais de 95 premier privado, resort e campos de golfe públicos em todo os Estados Unidos. <br><br>Comece aplicando as seguintes dicas em seus métodos de internet e você pode começar a ver uma grande diferença. Manter a sua assinatura Origin som "Ert" este novo som que eu pensei que era BSOD?? . Houve também um anseio natural do coração em despedida com tantos comunidade site de namoro social conhecido e rostos familiares. <br><br>Eu não tenham obtido em qualquer coisa técnica. Desde a sua mão direita fica mais perto da cabeça, fazer um com o outro do lado esquerdo.. Ou se você não tem nada a esconder, então você pode torná-lo público para que todos possam ver. O kingroader de alguma forma e por algum motivo será o carro acabará por ir 260 mph, dependendo se você caiu ou não.<ul>
-Suppose the statement holds for some ''k'' ∈ '''N'''. Then we have
+   <li>[http://bbs.zg-gly.com/forum.php?mod=viewthread&tid=444579 http://bbs.zg-gly.com/forum.php?mod=viewthread&tid=444579]</li>
-: <math>\begin{align}
+   <li>[http://www.xinyindao.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=9938&fromuid=341 http://www.xinyindao.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=9938&fromuid=341]</li>
-d(x_{(k + 1) + 1}, x_{k + 1}) & = d(x_{k + 2}, x_{k + 1}) \\
-& = d(T(x_{k + 1}), T(x_k)) \\
+   <li>[http://bbs.xiaocaocms.com/forum.php?mod=viewthread&tid=799952&fromuid=3232 http://bbs.xiaocaocms.com/forum.php?mod=viewthread&tid=799952&fromuid=3232]</li>
-& \leq q d(x_{k + 1}, x_k) \\
-& \leq q q^kd(x_1, x_0) && \text{Induction Hypothesis}\\
+   <li>[http://42.121.2.33:100/bbs/viewthread.php?tid=2667459&extra= http://42.121.2.33:100/bbs/viewthread.php?tid=2667459&extra=]</li>
-& = q^{k + 1}d(x_1, x_0).
-\end{align}</math>
+   <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18301830 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18301830]</li>
-By the [[principle of mathematical induction]], for all ''n'' ∈ '''N''', the Lemma is proven.
+ </ul>
-<blockquote>'''Lemma 2.''' {''x<sub>n</sub>''} is a [[Cauchy sequence]] in (''X'', ''d'') and hence converges to a limit ''x*'' in ''X''.</blockquote>
-''Proof.'' Let ''m'', ''n'' ∈ '''N''' such that ''m'' > ''n''.
-: <math>\begin{align}
-d(x_m, x_n) & \leq d(x_m, x_{m-1}) + d(x_{m-1}, x_{m-2}) + \cdots + d(x_{n+1}, x_n) && \text{Triangle Inequality} \\
-& \leq q^{m-1}d(x_1, x_0) + q^{m-2}d(x_1, x_0) + \cdots + q^nd(x_1, x_0)  && \text{Lemma 1}\\
-& = q^n d(x_1, x_0) \sum_{k=0}^{m-n-1} q^k \\
-& \leq q^n d(x_1, x_0) \sum_{k=0}^\infty q^k \\
-& = q^n d(x_1, x_0) \left ( \frac{1}{1-q} \right ) && \text{Geometric Series}
-\end{align}</math>
-Let ε > 0 be arbitrary, since ''q'' ∈ [0, 1), we can find a large ''N'' ∈ '''N''' so that
-:<math>q^N < \frac{\varepsilon(1-q)}{d(x_1, x_0)}.</math>
-Therefore by choosing ''m'', ''n'' large enough we may write:
-:<math>d(x_m, x_n)  \leq q^n d(x_1, x_0) \left ( \frac{1}{1-q} \right ) < \left (\frac{\varepsilon(1-q)}{d(x_1, x_0)} \right ) d(x_1, x_0) \left ( \frac{1}{1-q} \right ) = \varepsilon.</math>
-Since ε > 0 was arbitrary this proves that sequence is Cauchy.
-<blockquote>'''Lemma 3.''' ''x*'' is a [[Fixed point (mathematics)|fixed point]] of ''T''.</blockquote>
-''Proof.'' Take the limit of both sides of the recurrence ''x<sub>n</sub>'' = ''T''(''x''<sub>''n''−1</sub>''),
-:<math> \lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} T(x_{n-1})</math>
-Since ''T'' is a contraction mapping, it is continuous, so we may take the limit inside:
-:<math>\lim_{n\to\infty} x_n = T\left(\lim_{n\to\infty} x_{n-1} \right). </math>
-Thus, ''x*'' = ''T''(''x*'').
-<blockquote>'''Lemma 4.''' ''x*'' is the only fixed point of ''T'' in (''X'', ''d'').</blockquote>
-''Proof.'' Suppose ''y'' also satisfies ''T''(''y'') = ''y''. Then
-:<math>0 \leq d(x^*, y) = d(T(x^*), T(y)) \leq q d(x^*, y).</math>
-Remembering that ''q'' ∈ [0, 1), the above implies that 0 ≤ (1−''q'')''d''(''x*'', ''y'') ≤ 0, which shows that ''d''(''x*'', ''y'') = 0, whence by [[Metric (mathematics)#Definition|positive definiteness]], ''x*'' = ''y''.
-===Shorter Proof===
-Now we present a simpler proof that appeared recently in the Journal of Fixed Point Theory and its Application (see reference).
-By the triangle inequality, for all ''x'', ''y'' in ''X'',
-:<math>\begin{align}
-d(x,y) &\le d(x,T(x)) + d(T(x),T(y)) + d(T(y),y) \\
-&\le  d(x,T(x)) + q d(x,y) + d(T(y),y)
-\end{align}</math>
-solving for ''d''(''x'', ''y'') we get the ``Fundamental  Contraction Inequality":
-:<math>d(x,y) \le \frac{d(T(x), x) + d(T(y),y)}{1-q},</math>
-and we note that if ''x'' and ''y'' are both fixed points then this implies that ''d''(''x'', ''y'') = 0, so ''x'' = ''y'', proving that ''T'' has at most one fixed point. Now define the mapping ''T<sup>n</sup>'' by composing ''T'' with itself ''n'' times and note by induction that it satisfies a Lipschitz condition with constant ''q<sup>n</sup>''.  It remains to show that for any ''x''<sub>0</sub> in ''X'', the sequence {''T<sup>n</sup>''(''x''<sub>0</sub>)} is Cauchy and so converges to a point ''x*'' of ''X'', which as noted above is clearly a fixed point of ''T''. If in the Fundamental Inequality we replace ''x'' and ''y'' by ''T<sup>n</sup>''(''x''<sub>0</sub>) and ''T<sup>m</sup>''(''x''<sub>0</sub>), we find that
-:<math>\begin{align}
-d(T^n(x_0), T^m(x_0)) &\le \frac{d(T(T^n(x_0)), T^n(x_0)) + d(T(T^m(x_0)),T^m(x_0))}{1-q}, \\
-&= \frac{d(T^n(T(x_0)), T^n(x_0)) + d(T^m(T(x_0)), T^m(x_0))}{1-q} \\
-&\le \frac{q^n d(T(x_0), x_0) + q^m d(T(x_0), x_0)}{1-q} \\
-&= \frac {q^n + q^m} {1-q} d(T(x_0) ,x_0)
-\end{align}</math>
-since ''q'' < 1, the last expression converges to zero as ''n'', ''m'' → ∞, proving that {''T<sup>n</sup>''(''x''<sub>0</sub>)} is Cauchy. Note also that as ''m'' → ∞ gives us
-:<math> d(T^n(x_0), x^*) \le \frac {q^n} {1-q} d(T(x_0) ,x_0) </math>
-derived in the first proof that gives the rate at which {''T<sup>n</sup>''(''x''<sub>0</sub>)} converges to ''x*''.
-==Applications==
-*A standard application is the proof of the [[Picard–Lindelöf theorem]] about the existence and uniqueness of solutions to certain [[ordinary differential equation]]s. The sought solution of the differential equation is expressed as a fixed point of a suitable integral operator which transforms continuous functions into continuous functions. The Banach fixed-point theorem is then used to show that this integral operator has a unique fixed point.
-*One consequence of the Banach fixed-point theorem is that small Lipschitz perturbation of the identity are bi-lipschitz homeomorphisms. Let Ω be an open set of a Banach space ''E''; let ''I'' : Ω → ''E'' denote the identity (inclusion) map and let ''g'' : Ω → ''E'' be a Lipschitz map of constant ''k'' < 1. Then
-#Ω′ := (''I''+''g'')(Ω) is an open subset of ''E'': precisely, for any ''x'' in Ω such that ''B''(''x'', ''r'') ⊂ Ω one has ''B''((''I''+''g'')(''x''), ''r''(1−''k'')) ⊂ Ω′;
-#''I''+''g'' : Ω → Ω′ is a bi-lipschitz homeomorphism;
-:precisely, (''I''+''g'')<sup>−1</sup> is still of the form ''I'' + ''h'' : Ω → Ω′ with ''h'' a Lipschitz map of constant ''k''/(1−''k''). A direct consequence  of this result yields the proof of the [[inverse function theorem]].
-==Converses==
-Several converses of the Banach contraction principle exist. The following is due to [[Czesław Bessaga]], from 1959:
-Let ''f'' : ''X'' → ''X'' be a map of an abstract [[set (mathematics)|set]] such that each [[iterated function|iterate]] ''f<sup>n</sup>'' has a unique fixed point. Let ''q'' ∈ (0, 1), then there exists a complete metric on ''X'' such that ''f'' is contractive, and ''q'' is the contraction constant.
-Indeed, very weak assumptions suffice to obtain such a kind of converse. For example if ''f'' : ''X'' → ''X'' is a map on a [[T1 space|''T''<sub>1</sub> topological space]] with a unique [[fixed point (mathematics)|fixed point]] ''a'', such that for each ''x'' in ''X'' we have ''f<sup>n</sup>''(''x'') → ''a'', then there already exists a metric on ''X'' with respect to which ''f'' satisfies the conditions of the Banach contraction principle with contraction constant 1/2.<ref>Pascal Hitzler, Anthony K. Seda, A "Converse" of the Banach Contraction Mapping Theorem. Journal of Electrical Engineering 52 (10/s), 2001, 3-6.</ref> In this case the metric is in fact an [[ultrametric]].
-==Generalizations==
-There are a number of generalizations as immediate corollaries, which are of some interest for the sake of applications. Let ''T'' : ''X'' → ''X'' be a map on a complete non-empty metric space.
-*Assume that some iterate ''T<sup>n</sup>'' of ''T'' is a contraction. Then ''T'' has a unique fixed point.
-*Assume that T is a continuous function, and for all ''x'' and ''y'' in ''X'',
-::<math>\sum\nolimits_n d(T^n(x),T^n(y))<\infty.</math>
-:Then ''T'' has a unique fixed point.{{Citation needed|date=July 2013}}
-However, in most applications the existence and unicity of a fixed point can be shown directly with the standard Banach fixed point theorem, by a suitable choice of the metric that makes the map ''T'' a contraction. Indeed, the above result by Bessaga strongly suggests to look for such a metric. See also the article on [[fixed point theorems in infinite-dimensional spaces]] for generalizations.
-A different class of generalizations arise from suitable generalizations of the notion of [[metric space]], e.g. by weakening the defining axioms for the notion of metric.<ref>Pascal Hitzler and Anthony Seda, Mathematical Aspects of Logic Programming Semantics. Chapman and Hall/CRC, 2010.</ref> Some of these have applications, e.g., in the theory of programming semantics in theoretical computer science.<ref>Anthony Karel Seda and Pascal Hitzler, Generalized Distance Functions in the Theory of Computation. The Computer Journal 53(4), 443-464, 2010.</ref>
-==See also==
-* [[Fixed-point theorem]]s
-* [[Brouwer fixed-point theorem]]
-* [[Infinite compositions of analytic functions]]
-* [[Caristi fixed-point theorem]]
-==Notes==
-<references/>
-==References==
-* Banach, S. "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales." ''Fund. Math.'' 3(1922), 133–181. [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/or/or2/or215.pdf]
-* Vasile I. Istratescu, ''Fixed Point Theory, An Introduction'', D.Reidel, the Netherlands (1981).  ISBN 90-277-1224-7 See chapter 7.
-* Andrzej Granas and [[James Dugundji]], ''Fixed Point Theory'' (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.
-*{{cite book|author = Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A.|title = An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory|year= 2001| publisher= John Wiley, New York | isbn  = 978-0-471-41825-2}}
-* William A. Kirk and Brailey Sims, ''Handbook of Metric Fixed Point Theory'' (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.
-* Palais, R. "A simple proof of the Banach contraction principle." ''J. fixed point theory appl. 2 (2007), 221–223''
-----
-An earlier version of this article was posted on [http://planetmath.org/encyclopedia/BanachFixedPointTheorem.html Planet Math]. This article is [[open content]].
-{{DEFAULTSORT:Banach Fixed-Point Theorem}}
-[[Category:Topology]]
-[[Category:Fixed-point theorems]]
-[[Category:Articles containing proofs]]

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Latest revision as of 20:55, 11 January 2015

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