Tree (graph theory): Difference between revisions

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Line 1: Line 1:
In [[number theory]], a '''Gaussian integer''' is a [[complex number]] whose real and imaginary part are both [[integer]]s. The Gaussian integers, with ordinary [[addition]] and [[multiplication]] of [[complex numbers]], form an [[integral domain]], usually written as '''Z'''[''i'']. This integral domain is a particular case of a [[commutative ring]] of [[quadratic integer]]s. It does not have a [[total order]]ing that respects arithmetic.
== Oakley Italia  creato ai sensi della legge EPA del 1994 ==


[[Image:Gaussian integer lattice.png|thumb|217px|Gaussian integers as [[lattice point]]s in the [[complex plane]]]]
Per più di mezzo secolo, il professor Hawking, 71, ha manipolato con alcuni dei più grandi interrogativi della scienza, mentre alle prese con una malattia invalidante che ha lasciato lui quasi completamente paralizzato. Ha sofferto di malattie del motoneurone dall'età di 21 anni, quando lui si aspettava di vivere non più di un paio di anni, ma le due donne salvato la vita in diverse occasioni. Jane lo sollevò dalla depressione profonda quando gli fu diagnosticata con la condizione neurologica debilitante, fornendo la speranza di una vita e la futura famiglia, mentre Elaine venne in suo soccorso più di una volta con le sue abilità di esperto di cura, egli scrive.. <br><br>Vedo molti progetti sulle questioni legate alla bioetica e genomica. Supponiamo che uno studente si [http://www.mieascensori.com/web/client.asp Oakley Italia] sta occupando la domanda: 'È etico usare le cellule staminali embrionali umane a fini di ricerca?' Dopo alcune ricerche iniziali, posso chattare con loro su come intendono porre la sezione di ricerca del loro progetto. Quali saranno i titoli per le varie sezioni in background scientifico, questioni etiche, controversie religiose, implicazioni politiche, e così via?. <br><br>L'ente committente stabilito per la tutela dell'ambiente in Ghana è l'EPA; creato ai sensi della legge EPA del 1994, (legge 490). Direzione politica EPA si articola dal Regolamento di valutazione ambientale del 1999 (LI 1652). Marful Sau (2009) sostiene, giustamente, che queste due legislazioni autorizzano l'EPA di gestire, controllare e monitorare il rispetto delle normative ambientali da parte delle industrie specifiche. <br><br>Una donna ha perso 3 chili in tre giorni e la seconda donna ha perso 5 chili in tre giorni. Un [http://www.tempiniupgrade.com/webOLD/contact.asp Hollister Roma] team di scienziati francesi ha fatto anche uno studio sulla zafferano e perdita di peso e hanno scoperto che zafferano è diminuito sostanzialmente la voglia di uno spuntino tra i pasti o compulsivamente mangiare troppo. [http://www.metallipressofusi.it/web_ted/include/datebase.asp Pandora Anelli] Nello studio francese del gruppo l'assunzione di integratori di zafferano ha anche riferito una maggiore attenzione e di energia.. <br><br>Suoi oppositori sottolineano che le manifestazioni pacifiche in gran parte sono diventati violenti solo in reazione alle aggressioni della polizia, e che le proteste sono solo illegali dopo che il governo ha messo fuori legge assembramenti di più di cinque [http://www.gmvmacchine.it/scheda/search.asp Beats Cuffie] persone l'anno scorso. Al Wefaq sostiene di aver organizzato molte delle proteste, anche se lo sceicco Salman suggerito che potrebbe scalare di nuovo se è stato fatto progressi significativi. 'Siamo pronti, se il regime, piuttosto che abusare di persone e opprimendo gli sciiti ogni notte, è pronto a cambiare.
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</ul>


Formally, Gaussian integers are the set
== Nike Free 5.0  durante un ecocardiogramma. ==


:<math>\mathbb{Z}[i]=\{a+bi \mid a,b\in \mathbb{Z} \},\ \mbox{where}\ i^2 = -1.</math>
Con i fumetti di supereroi, si può dire la data dalla qualità della stampa. Così le storie shouldn si affidano troppo sulle tendenze del periodo. Ma tutto ciò che è in continua evoluzione o modificate ora un giorno. Alcuni rivenditori hanno detto naturalmente Jeff Paolo è grande e davvero li ha aiutati. <br><br>La casa del ragazzo è stato distrutto. Sembrava, in un primo momento, come se il cane era morto, ma il controllo degli animali ha trovato il cane sepolto sotto i detriti. The Reader riunisce questi testi su per diversi motivi. In primo [http://www.mieascensori.com/includi/config.asp Nike Free 5.0] luogo per rinfrescare la memoria al pubblico dell'evento stesso e come è stata rappresentata da ristampa e l'annotazione scritta punto di riferimento fromacross anni. <br><br>I dati da Lei forniti viene catturato e processato per nostro conto dalla nostra casa madre, Inc. Agora Agora Inc. Come tecnico saavy come mi piace pensare a me stesso come ho avuto tanti problemi con i miei pc nel corso degli anni. Se si utilizza un PC viene fuori lavorando scavare fossati tutto il giorno sotto il sole cocente, con il mio nuovo Mac è come appendere fuori al centro benessere.. <br><br>I social network e le comunità sono diventati un modo popolare per la gestione dei contenuti, creare buzz, e il traffico verso un sito web. Il titolo sarebbe quindi un collegamento ipertestuale indietro l'articolo originale. Come si è visto, ho una grande, forte il cuore di tutti questi anni di esercizio e non mi va giù ancora. Ma ho letteralmente avuto modo di vedere il mio cuore, su uno schermo, durante un ecocardiogramma. <br><br>Mentre di solito è meglio fare cambiamenti nella dieta gradualmente, lo zucchero ha la capacità unica di ispirare voglie che utilizzano il gasolio erogato ogni volta che si dà a loro. L'unico modo per rompere il ciclo è quello di smettere di alimentare il fuoco. [http://www.comandulli.it/webOLD/class.asp Occhiali Da Vista Oakley] <br><br>Puoi riflettori vostri colleghi di lavoro, chiedendo premi porta per loro. Info prodotti elettronici sono il premio porta più [http://www.orimartin.com/web_eng/config.asp Prada Scarpe Uomo] facile da premio, come è don deve spedire un pacchetto fisico al vincitore. [http://www.albergomolino.it/web_eng/defines.asp Hogan Spaccio] Mentre combatte per salvare lei, scopre il leader del gruppo estremista sta progettando un attacco terroristico devastante. (2013) i sospetti di un vulcanologo che un lungo vulcano spento sta per scoppiare rivelarsi vero, spingendolo a correre contro il tempo per salvare la comunità in piedi a suo modo e scontrarsi con i funzionari del governo locale di pesatura sue predizioni contro la perdita di entrate del turismo . <br><br>Dà sia l'artista e il pieno controllo del consumatore. Grande piccolo sito. La formattazione / disposizione avrebbe potuto essere migliorato, rendendo per un'esperienza di lettura più facile. Ma per 70P. Metadati, middleware, un formato di scambio che rende elaborazione di documenti ed elaborazione dati una stessa, che il cuore di esso. Anche se il video sottolinea che XML facilita lo scambio automatico dei dati, e parla di etichettare come insegnare la macchina, i metadati non viene mai citato per nome..
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</ul>


Note that when they are considered within the [[complex plane]] the Gaussian integers may be seen to constitute the 2-dimensional [[integer lattice]].
== Nike Store  tre Ovum frittata ==


The [[Field norm|''(arithmetic or field) norm'']] of a Gaussian integer is the square of its absolute value (Euclidean norm) as a complex number and a [[natural number]] defined as
Una coppia di Laguna Hills è stato accusato di un record di stato 38 milioni dollari in frodi compensazione dei lavoratori attraverso varie società di copertura che [http://www.ostiliomobili.it/gruppo/footer.asp Nike Store] possiedono nel sud della California. Michael Petronella e sua moglie Devon Kile sono stati arrestati su 106 imputazioni, tra cui frode assicurativa, furto e dichiarazione dei redditi falsi. <br><br>Aggiungendo alla bontà del Chocolate Chip Cookie Diet Antipasto sono un sacco di gocce di cioccolato fondente, che offrono grande gusto e alcuni buoni benefici nutrizionali (1). Recenti ricerche scientifiche hanno dimostrato il cioccolato ad essere relativamente alto contenuto di antiossidanti, che aiutano l'organismo a combattere i radicali liberi che i tessuti del corpo danni. <br><br>Galt (Rand) è sbagliato: non è che la sofferenza non è importante, ma piuttosto che essa non è una scusa per rinunciare. Il viaggio dell'eroe è una delle più antiche, storie più universalmente raccontate nella mitologia e letteratura mondiale. Della vostra colazione corrente ogni giorno piatti dispone di una collezione di torte calde, [http://www.daad-dantone.com/test/asp/mail.asp Abercrombie Londra] cialde belghe, Berry scuote, La particolare tre Ovum frittata, frittata Un impianto di casa inoltre il norvegese. Il tipo di funzione regolare tradizionale particolare nel cibo mattino comprende un pasto brindisi ovulo, tre Ovum frittata, uovo strapazzate a causa di bassi usati e nelle mele aggiunta di pane o può essere pollo. <br><br>Gli acquirenti possono utilizzare le opzioni di ricerca per trovare un venditore specifico, titolo, numero di articolo o prodotto. Acquirenti e venditori di dare un feedback, che aiuta a informare gli altri in merito transazione precedente. Su 20 aprile, 2010 Deep Water Horizon, un impianto di perforazione in acque profonde Transocean lavorare per British Petroleum [http://www.brignoliarmi.com/web/include/menu.asp Ray Ban Aviator] nel Golfo del Messico sulla Macondo Prospect, che si trova sul Mississippi Canyon Block 252, 48 miglia dalla costa della Louisiana ha preso fuoco, bruciato ferocemente per 36 ore e poi affondò nel 5000 'di acqua. Undici lavoratori piattaforma petrolifera sono morti e molti altri sono stati gravemente feriti. <br><br>"E 'diverso dalla mia visione," attuale editor di W in capo Tonchi ha [http://www.brignoliarmi.com/web/include/menu.asp Ray Ban Wayfarer] detto a WWD lo scorso giugno. "Ho avuto una visione molto particolare, suppongo. Chuck Norris stesso per aiutarli a rinnovare la loro coreografia e la nostra danza. Il mese scorso il suo abbastanza casualmente progettato, potrei aggiungere sito della Famiglia, ha postato un link a un video chiedendo perché gli ebrei favorire i nostri cittadini.
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</ul>


:<math>N \left(a+bi \right) = a^2+b^2 = (a+bi)\overline{(a+bi)} = (a+bi)(a-bi).</math>
== Michael Kors Roma  e ho dato note per tutti e 6 i problemi ==


(Where the overline over "a+bi" refers to the [[complex conjugate]].)
Per un po 'l'anno scorso, si era parlato timoroso tra i proprietari di negozi che ciò che era accaduto nel quartiere newyorchese di Nolita una profonda trasformazione da etnica raffreddare chic, con un atteggiamento competitivo prevalente potrebbe accadere qui. Ma in generale un cameratismo sorprendente esiste tra i mercanti. <br><br>Brigantia è il progetto che sto intraprendere con l'eccezionale Melissa Trender. Ha pubblicato alcune opere d'arte per esso sul suo Tumblr così andare a controllare che se siete interessati! Attualmente sto conficcato nella scrittura numero 3 di una previsione di 6 [http://www.metallipressofusi.it/web_eng/include/menu.asp Michael Kors Roma] questione arco, e ho dato note per tutti e 6 i problemi, così che [http://www.orimartin.com/includi/router.asp Nike Air Max 90] è buono. <br><br>Avete sentito la storia della USS Liberty? Questo è il video incorporato secondo. Testo 1 ° Video: Israele ha dichiarato colpevole di genocidio, l'elefante nucleare nella regione, e gli "eserciti" reclutati per il medico Wikipedia. Lucy sembra di capire quello che David non può: che per vivere dove vive lei deve tollerare abbrutimento e l'umiliazione e semplicemente andare avanti. «Forse questo è ciò che devo imparare ad accettare," dice suo padre. <br><br>E così nella mia moralità è sbagliato. Inoltre inefficiente e inefficace. Un accordo con private equity Silver Lake Partners si crede di essere imminente. Microsoft, il cui sistema operativo Windows poteri computer Dell, potrebbe contribuire in 2 miliardi di dollari di patrimonio netto al contratto. <br><br>E Bipolar Support Alliance Morristown Area (DBSA Morristown). Essi si riferiscono alle persone di più di una dozzina depressionSome persone con disturbo bipolare soffrono anche di ADD. IN: SITE crea arte pubblica e inoltre sostiene livello locale e nazionale per le politiche che promuovano l'inclusione di arte pubblica temporanea e fornisce informazioni in modo artisti e le organizzazioni possono portare avanti progetti. Il Corridoio sta sponsorizzando un secondo ciclo d'arte in questa posizione che sarà installato nel giugno del 2011. <br><br>Per usufruire di questi servizi, non c'è bisogno di cercare troppo lontano. La maggior parte del Carlisle casa dello studente ha siti che sono informativi e che è possibile prenotare il vostro alloggio per studenti a Carlisle online. Grazie molte per la ricetta. Avevo voglia di alcune ricette con rabarbaro. <br><br>Dovete anche considerare tutti i posti di lavoro avremmo dovuto aggiungendo in questi ultimi cinque anni, invece di cercare di recuperare i posti di lavoro che sono stati persi. Dipartimento del Lavoro, il [http://www.mieascensori.com/web/client.asp Oakley Holbrook] costo di estendere i benefici federali fino al 2014 sarebbe di circa [http://www.daad-dantone.com/store/include/footer.asp Scarpe Air Jordan] 25 miliardi dollari.
 
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The norm is [[completely multiplicative function|multiplicative]], since the absolute value of complex numbers is multiplicative, i.e., one has
<ul>
 
 
:<math>N(z\cdot w) = N(z)\cdot N(w).</math>
  <li>[http://rybnik360.pl/spip.php?article1&archives=2013-03-01/ http://rybnik360.pl/spip.php?article1&archives=2013-03-01/]</li>
 
 
The latter can also be verified  by a straightforward check. The [[unit (ring theory)|unit]]s of '''Z'''[''i''] are precisely those elements with norm 1, i.e. the elements 1, &minus;1, ''i'' and &minus;''i''.
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17927800 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17927800]</li>
 
 
==As a principal ideal domain==
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17541883 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17541883]</li>
The Gaussian integers form a [[principal ideal domain]] with [[unit (ring theory)|unit]]s 1,  &minus;1, ''i'', and &minus;''i''. If ''x'' is a Gaussian integer, the four numbers ''x'', ''ix'',  &minus;''x'', and &minus;''ix'' are called the associates of ''x''. As for every [[principal ideal domain]], the Gaussian integers form also a [[unique factorization domain]].
 
 
  <li>[http://www.bv58.cn/news/html/?6474.html http://www.bv58.cn/news/html/?6474.html]</li>
The [[prime element]]s of '''Z'''[''i''] are also known as '''Gaussian primes'''. An associate of a Gaussian prime is also a Gaussian prime. The Gaussian primes are symmetric about the real and imaginary axes. The ''positive integer'' Gaussian primes are the [[prime numbers]] [[Congruence class|congruent to]]&nbsp;3 modulo&nbsp;4, {{OEIS|A002145}}. One should not refer to only these numbers as "the Gaussian primes", which refers to ''all'' the Gaussian primes, many of which do not lie in '''Z'''.<ref name="Gaussian Primes naming error">[http://oeis.org/A002145#COMMENT], OEIS sequence A002145 "COMMENT" section</ref>
 
 
  <li>[http://www.3igm.com/forum.php?mod=viewthread&tid=171789&fromuid=35786 http://www.3igm.com/forum.php?mod=viewthread&tid=171789&fromuid=35786]</li>
A Gaussian integer <math>a+bi</math> is a Gaussian prime if and only if either:
 
* one of ''a'', ''b'' is zero and the other is a prime number of the form <math>4n+3</math> (with ''n'' a nonnegative integer) or its negative <math>-(4n+3)</math>, or
</ul>
* both are nonzero and <math>a^2+b^2</math> is a prime number (which will ''not'' be of the form <math>4n+3</math>).
 
The following elaborates on these conditions.
 
2 is a special case (in the language of [[algebraic number theory]], 2 is the only [[Ramification#In_algebraic_number_theory|ramified]] prime in '''Z'''[''i'']).  
 
The integer 2 factors as <math>2=(1+i)(1-i)=i(1-i)^2</math> as a Gaussian integer, the second factorisation (in which ''i'' is a unit) showing that 2 is divisible by the square of a Gaussian prime; it is the unique prime number with this property.
 
The necessary conditions can be stated as following: if a Gaussian integer is a Gaussian prime, then either its norm is a prime number, or its norm is a square of a prime number. This is because for any Gaussian integer <math>g</math>, notice
:<math>g \mid g\bar{g} =N(g)</math>.
 
Here <math>\mid</math> means “divides”; that is, <math>x \mid y</math> if <math>x</math> is a divisor of <math>y</math>.
 
Now <math>N(g)</math> is an integer, and so can be factored as a product <math>p_{1}p_{2}\cdots p_{n}</math> of prime numbers, by the [[fundamental theorem of arithmetic]]. By definition of prime element, if <math>g</math> is a Gaussian prime, then it divides (in '''Z'''[''i'']) some <math>p_i</math>. Also, <math>\bar g</math> divides
:<math>\overline{p_i}=p_i</math>, so <math>N(g) = g\bar{g} \mid p_{i}^{2}</math> in '''Z'''.
 
This gives only two options: either  the norm of <math>g</math> is a prime number, or the square of a prime number.
 
If in fact <math>N(g)=p^2</math> for some prime number <math>p</math>, then both <math>g</math> and <math>\overline{g}</math> divide <math>p^2</math>. Neither can be a unit, and so
:<math>g=pu</math> and <math>\overline{g}=p\overline{u}</math>
 
where <math>u</math> is a unit. This is to say that either <math>a=0</math> or <math>b=0</math>, where <math>g=a+bi</math>.
 
However, not every prime number <math>p</math> is a Gaussian prime. 2 is not because <math>2=(1+i)(1-i)</math>. Neither are prime numbers of the form <math>4n+1</math> because [[Fermat's theorem on sums of two squares]] assures us they can be written <math>a^2+b^2</math> for integers <math>a</math> and <math>b</math>, and <math>a^2+b^2 = (a+bi)(a-bi)</math>. The only type of prime numbers remaining are of the form <math>4n+3</math>.
 
Prime numbers of the form <math>4n+3</math> are also Gaussian primes. For suppose <math>g=p+0i</math> for <math>p=4n+3</math>, and it can be factored <math>g=hk</math>. Then <math>p^2=N(g)=N(h)N(k)</math>. If the factorization is non-trivial, then <math>N(h)=N(k)=p</math>. But no sum of squares of integers can be written <math>4n+3</math>. So the factorization must have been trivial and <math>g</math> is a Gaussian prime.
 
If <math>g</math> is a Gaussian integer whose norm is a prime number, then <math>g</math> is a Gaussian prime, because the norm is multiplicative.
 
===As an integral closure===
The ring of Gaussian integers is the [[integral closure]] of '''Z''' in the [[field (mathematics)|field]] of [[Gaussian rational]]s '''Q'''(''i'') consisting of the complex numbers whose real and imaginary part are both [[rational number|rational]].
 
===As a Euclidean domain===
It is easy to see graphically that every [[complex number]] is within <math>\frac{\sqrt 2}{2}</math> units of a Gaussian integer.
 
Put another way, every complex number (and hence every Gaussian integer) has a maximal distance of
:<math>\frac{\sqrt 2}{2}\sqrt{N(z)}</math>
 
units to some multiple of z, where z is any Gaussian integer; this turns '''Z'''[''i''] into a [[Euclidean domain]], where
:<math>v(z) = N(z). \,</math>
 
==Historical background==
 
The ring of Gaussian integers was introduced by [[Carl Friedrich Gauss]] in his second monograph on [[quartic reciprocity]] (1832) (see [http://www.ems-ph.org/journals/show_pdf.php?issn=0013-6018&vol=53&iss=1&rank=2]). The theorem of [[quadratic reciprocity]] (which he had first succeeded in proving in 1796) relates the solvability of the congruence ''x''<sup>2</sup> ≡ ''q'' (mod ''p'') to that of ''x''<sup>2</sup> ≡ ''p'' (mod ''q''). Similarly, cubic reciprocity relates the solvability of ''x''<sup>3</sup> ≡ ''q'' (mod ''p'') to that of ''x''<sup>3</sup> ≡ ''p'' (mod ''q''),  and biquadratic (or quartic) reciprocity is a relation between ''x''<sup>4</sup> ≡ ''q'' (mod ''p'') and ''x''<sup>4</sup> ≡ ''p'' (mod ''q''). Gauss discovered that the law of biquadratic reciprocity and its supplements were more easily stated and proved as statements about "whole complex numbers" (i.e. the Gaussian integers) than they are as statements about ordinary whole numbers (i.e. the integers).
 
In a footnote he notes that the  [[Eisenstein integer]]s are the natural domain for stating and proving results on [[cubic reciprocity]] and indicates that similar extensions of the integers are the appropriate domains for studying higher reciprocity laws.
 
This paper not only introduced the Gaussian integers and proved they are a unique factorization domain, it also introduced the terms norm, unit, primary, and associate, which are now standard in algebraic number theory.
 
==Unsolved problems==
 
[[Image:gauss-primes-768x768.png|170px|thumb|Repartition in the plane of the small Gaussian primes]]
 
Most of the unsolved problems are related to the repartition in the plane of the Gaussian primes.
 
* [[Gauss's circle problem]] does not deal with the Gaussian integers ''per se'', but instead asks for the number of [[lattice point]]s inside a circle of a given radius centered at the origin. This is equivalent to determining the number of Gaussian integers with norm less than a given value.
 
There are also conjectures and unsolved problems about the Gaussian primes.  Two of them are:
 
* The real and imaginary axes have the infinite set of Gaussian primes 3, 7, 11, 19, ... and their associates. Are there any other lines that have infinitely many Gaussian primes on them? In particular, are there infinitely many Gaussian primes of the form 1+''ki''?<ref>Ribenboim, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV (Hardy & Littlewood's conjecture E and F)</ref>
 
* Is it possible to walk to infinity using the Gaussian primes as stepping stones and taking steps of bounded length? This is known as the [[Gaussian moat]] problem; it was posed in 1962 by [[Basil Gordon]] and remains unsolved.<ref>{{cite journal
| last1 = Gethner | first1 = Ellen
| last2 = Wagon | first2 = Stan | author2-link = Stan Wagon
| last3 = Wick | first3 = Brian
| doi = 10.2307/2589708
| issue = 4
| journal = [[The American Mathematical Monthly]]
| mr = 1614871 | zbl=0946.11002
| pages = 327–337
| title = A stroll through the Gaussian primes
| volume = 105
| year = 1998}}</ref><ref>{{cite book |last=Guy | first=Richard K. | authorlink=Richard K. Guy | title=Unsolved problems in number theory | publisher=[[Springer-Verlag]] |edition=3rd | year=2004 |isbn=978-0-387-20860-2 | zbl=1058.11001 | pages=55–57}}</ref>
 
==See also==
* [[Quadratic integer]]
* [[Hurwitz quaternion]]
* [[Eisenstein integer]]
* [[Algebraic integer]]
* [[Kummer ring]]
* [[Proofs of Fermat's theorem on sums of two squares]]
* [[Proofs of quadratic reciprocity]]
* [[Splitting of prime ideals in Galois extensions]] describes the structure of prime ideals in the Gaussian integers
* [[Table of Gaussian integer factorizations]]
 
==Notes==
 
{{reflist}}
 
==References==
* C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Göttingen 7 (1832) 1-34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp.&nbsp;93–148.
<!-- Note that this is not the Israel Kleiner in wikipedia -->
* {{cite journal | url=http://www.ems-ph.org/journals/show_pdf.php?issn=0013-6018&vol=53&iss=1&rank=2 | title=From Numbers to Rings: The Early History of Ring Theory | first1=Israel | last1=Kleiner | journal=Elem. Math. | volume=53 |number=1 | doi=10.1007/s000170050029 | year=1998 | pages=18–35 | zbl=0908.16001 }}
*{{cite book | last1 = Ribenboim  | first1 = Paulo | authorlink=Paulo Ribenboim | title = The New Book of Prime Number Records | edition=3rd | publisher= Springer | location = New York | date = 1996 | isbn = 0-387-94457-5 | zbl=0856.11001  }}
 
==External links==
* [http://www.alpertron.com.ar/GAUSSIAN.HTM www.alpertron.com.ar/GAUSSIAN.HTM] is a Java applet that evaluates expressions containing Gaussian integers and factors them into Gaussian primes.
* [http://www.alpertron.com.ar/GAUSSPR.HTM www.alpertron.com.ar/GAUSSPR.HTM] is a Java applet that features a graphical view of Gaussian primes.
*  Henry G. Baker (1993) Complex Gaussian Integers for 'Gaussian Graphics', ACM SIGPLAN Notices, Vol. 28, Issue 11. [http://portal.acm.org/citation.cfm?doid=165564.165571 DOI 10.1145/165564.165571] [http://home.pipeline.com/~hbaker1/Gaussian.html (html)]
* [http://www.imocompendium.com/index.php?options=mbb|tekstkut&page=0&art=extensions_ddj|f&ttn=Dushan%20D;jukic1|%20Arithmetic%20in%20Quadratic%20Fields|N/A&knj=&p=3nbbw45001 IMO Compendium] text on quadratic extensions and Gaussian Integers in problem solving
* {{Mathworld|title= Landau's Problems|urlname= LandausProblems}}
 
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Latest revision as of 22:46, 5 January 2015

Oakley Italia creato ai sensi della legge EPA del 1994

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