|
|
| (One intermediate revision by one other user not shown) |
| Line 1: |
Line 1: |
| In the [[calculus of variations]], a topic in [[mathematics]], '''the direct method''' is a general method for constructing a proof of the existence of a minimizer for a given [[Functional (mathematics)|functional]],<ref>Dacorogna, pp. 1–43.</ref> introduced by Zaremba and [[David Hilbert]] around 1900. The method relies on methods of [[functional analysis]] and [[topology]]. As well as being used to prove the existence of a solution, direct methods may be used to compute the solution to desired accuracy.<ref>{{cite book |title=Calculus of Variations |authors=I. M. Gelfand, S. V. Fomin |year=1991 |publisher=Dover Publications |isbn=978-0-486-41448-5}}</ref>
| | Nel mondo di oggi, tutti wants a make a aspetto sensazione con their which di vestiti alla moda, gioielli which con l'abbigliamento attire e an elegant orologio. Noi offer orologi Rolex Replica a decent che are attraente to consider, ma also sono competitivamente priced come così non to lasciare out un buco in tasca. Diamo valore your guadagnati duri finanze e quindi creare qualità replica orologi che sono simili a the caratteristiche and operations di il original ones. Questi orologi are designed da esperti e hanno la same marcature among the originali. [http://www.aegpiscine.it/orologi-rolex/ repliche orologi] Papis dice l'opportunità made to Bellarosa attraverso the Sunoco Rolex 24 Daytona Challenge è folks ha voluto che aveva quando era un young aspirante conducente in Il world. Ariat will essere il sponsor ufficiale di abbigliamento e calzature di Rolex. Vista the Rolex Kentucky Ariat Collector che può be pre-ordinato ora e listed durante rolex replica. Perfetto per una primavera possibilmente ventilata day! Forse ti basta in ordine a frutta e verdure. appropriately? Sbagliato. Anche loro stanno attaccando da a nel mercato antiparassitario contraffatti in tutta Europa as bene come the mondo. [http://www.aegpiscine.it/orologi-rolex/ replica rolex] Non ogni uno è pericoloso, ma chi really vuole to giocare roulette russa con a gettato insalata verde? Un altro altamente attendibili luogo to acquista scontati o usati rolex orologi è Amazon. Amazon è un business molto rispettato che recently been intorno for quasi any lungo and also ha an outstanding reputazione. Siete protetti anche con loro attraverso their cash be sure di nuovo. Se per qualsiasi motivo you would per restituire un elemento, si could money posteriore rimborso e with senza problemi. Così a persona have trovare quel the orologio you purchased è un'imitazione di fake è possibile restituire the mente. Il successo di Omega replica designer watch è notevole. In ordine to molto naturale che is definitely così popolare a causa towards the qualità and diversi disegni. Ogni volta che qualcuno searching completa vetrina Sport orologio orologio Replica Omega ha to become loro prima scelta. Individuals quite best replica look for ogni competizione sportiva. All'interno di the anni quando confrontato con riuscito in maintaining sua classifica in essentially più marchi popolari che have reached domanda per replicare. Sebbene while on non [http://www.aegpiscine.it/orologi-rolex/ Repliche orologi Rolex] partecipare in evento di tre giorni di quest'anno Rolex, molti cavalieri si ricorderanno di tre giorni eventing fama tornata con Gina Miles di Davis vincendo la medaglia d'argento presso the Olimpiadi di Pechino 2008. <br>Langue source<br>The high inspection atlanta divorce attorneys [http://www.aegpiscine.it/orologi-rolex/ repliche orologi] procession look through strict exploration. |
| | |
| == The method ==
| |
| The calculus of variations deals with functionals <math>J:V \to \bar{\mathbb{R}}</math>, where <math>V</math> is some [[function space]] and <math>\bar{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\infty\}</math>. The main interest of the subject is to find ''minimizers'' for such functionals, that is, functions <math>v \in V</math> such that:<math>J(v) \leq J(u)\text{ for every }u \in V. </math>
| |
| | |
| The standard tool for obtaining necessary conditions for a function to be a minimizer is the [[Euler–Lagrange equation]]. But seeking a minimizer amongst functions satisfying these may lead to false conclusions if the existence of a minimizer is not established beforehand.
| |
| | |
| The functional <math>J</math> must be bounded from below to have a minimizer. This means
| |
| | |
| :<math>\inf\{J(u)|u\in V\} > -\infty.\,</math>
| |
| | |
| This condition is not enough to know that a minimizer exists, but it shows the existence of a ''minimizing sequence'', that is, a sequence <math>(u_n)</math> in <math>V</math> such that <math>J(u_n) \to \inf\{J(u)|u\in V\}.</math>
| |
| | |
| The direct method may broken into the following steps
| |
| # Take a minimizing sequence <math>(u_n)</math> for <math>J</math>.
| |
| # Show that <math>(u_n)</math> admits some [[subsequence]] <math>(u_{n_k})</math>, that converges to a <math>u_0\in V</math> with respect to a topology <math>\tau</math> on <math>V</math>.
| |
| # Show that <math>J</math> is sequentially [[lower semi-continuous]] with respect to the topology <math>\tau</math>.
| |
| | |
| To see that this shows the existence of a minimizer, consider the following characterization of sequentially lower-semicontinuous functions.
| |
| :The function <math>J</math> is sequentially lower-semicontinuous if
| |
| ::<math>\liminf_{n\to\infty} J(u_n) \geq J(u_0)</math> for any convergent sequence <math>u_n \to u_0</math> in <math>V</math>.
| |
| | |
| The conclusions follows from
| |
| :<math>\inf\{J(u)|u\in V\} = \lim_{n\to\infty} J(u_n) = \lim_{k\to \infty} J(u_{n_k}) \geq J(u_0) \geq \inf\{J(u)|u\in V\}</math>,
| |
| in other words
| |
| :<math>J(u_0) = \inf\{J(u)|u\in V\}</math>.
| |
| | |
| == Details ==
| |
| === Banach spaces ===
| |
| The direct method may often be applied with success when the space <math>V</math> is a subset of a [[reflexive space|reflexive]] [[Banach space]] <math>W</math>. In this case the [[Banach–Alaoglu theorem]] implies, that any bounded sequence <math>(u_n)</math> in <math>V</math> has a subsequence that converges to some <math>u_0</math> in <math>W</math> with respect to the [[weak topology]]. If <math>V</math> is sequentially closed in <math>W</math>, so that <math>u_0</math> is in <math>V</math>, the direct method may be applied to a functional <math>J:V\to\bar{\mathbb{R}}</math> by showing
| |
| # <math>J</math> is bounded from below,
| |
| # any minimizing sequence for <math>J</math> is bounded, and
| |
| # <math>J</math> is weakly sequentially lower semi-continuous, i.e., for any weakly convergent sequence <math>u_n \to u_0</math> it holds that <math>\liminf_{n\to\infty} J(x_n) \geq J(y)</math>.
| |
| The second part is usually accomplished by showing that <math>J</math> admits some growth condition. An example is
| |
| :<math>J(x) \geq \alpha \lVert x \rVert^q - \beta</math> for some <math>\alpha > 0</math>, <math>q \geq 1</math> and <math>\beta \geq 0</math>.
| |
| A functional with this property is sometimes called coercive. Showing sequential lower semi-continuity is usually the most difficult part when applying the direct method. See below for some theorems for a general class of functionals.
| |
| | |
| === Sobolev spaces ===
| |
| The typical functional in the calculus of variations is an integral of the form
| |
| :<math>J(u) = \int_\Omega F(x, u(x), \nabla u(x))dx</math>
| |
| where <math>\Omega</math> is a subset of <math>\mathbb{R}^n</math> and <math>F</math> is a real-valued function on <math>\Omega \times \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^{mn}</math>. The argument of <math>J</math> is a differentiable function <math>u:\Omega \to \mathbb{R}^m</math>, and its [[Jacobian matrix and determinant|Jacobian]] <math>\nabla u(x)</math> is identified with a <math>mn</math>-vector.
| |
| | |
| When deriving the Euler–Lagrange equation, the common approach is to assume <math>\Omega</math> has a <math>C^2</math> boundary and let the domain of definition for <math>J</math> be <math>C^2(\Omega, \mathbb{R}^m)</math>. This space is a Banach space when endowed with the [[supremum norm]], but it is not reflexive. When applying the direct method, the functional is usually defined on a [[Sobolev space]] <math>W^{1,p}(\Omega, \mathbb{R}^m)</math> with <math>p > 1</math>, which is a reflexive Banach space. The derivatives of <math>u</math> in the formula for <math>J</math> must then be taken as [[weak derivative]]s. The next section presents two theorems regarding weak sequential lower semi-continuity of functionals of the above type.
| |
| | |
| == Sequential lower semi-continuity of integrals ==
| |
| As many functionals in the calculus of variations are of the form
| |
| :<math>J(u) = \int_\Omega F(x, u(x), \nabla u(x))dx</math>,
| |
| where <math>\Omega \subseteq \mathbb{R}^n</math> is open, theorems characterizing functions <math>F</math> for which <math>J</math> is weakly sequentially lower-semicontinuous in <math>W^{1,p}(\Omega, \mathbb{R}^m)</math> is of great importance.
| |
| | |
| In general we have the following<ref>Dacorogna, pp. 74–79.</ref>
| |
| :Assume that <math>F</math> is a function such that
| |
| :# The function <math>(y, p) \mapsto F(x, y, p)</math> is continuous for [[almost every]] <math>x \in \Omega</math>,
| |
| :# the function <math>x \mapsto F(x, y, p)</math> is [[measurable]] for every <math>(y, p) \in \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^{mn}</math>, and | |
| :# <math>F(x, y, p) \geq a(x)\cdot p + b(x)</math> for a fixed <math>a\in L ^q(\Omega, \mathbb{R}^m)</math> where <math>1/q + 1/p = 1</math>, a fixed <math>b \in L^1(\Omega)</math>, for a.e. <math>x \in \Omega</math> and every <math>(y, p) \in \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^{mn}</math> (here <math>a(x) \cdot p</math> means the inner product of <math>a(x)</math> and <math>p</math> in <math>\mathbb{R}^{mn}</math>).
| |
| :The following holds. If the function <math>p \mapsto F(x, y, p)</math> is convex for a.e. <math>x \in \Omega</math> and every <math>y\in \mathbb{R}^m</math>,
| |
| :then <math>J</math> is sequentially weakly lower semi-continuous.
| |
| When <math>n = 1</math> or <math>m = 1</math> the following converse-like theorem holds<ref>Dacorogna, pp. 66–74.</ref>
| |
| :Assume that <math>F</math> is continuous and satisfies
| |
| ::<math>| F(x, y, p) | \leq a(x, | y |, | p |)</math>
| |
| :for every <math>(x, y, p)</math>, and a fixed function <math>a(x, y, p)</math> increasing in <math>y</math> and <math>p</math>, and locally integrable in <math>x</math>. It then holds, if <math>J</math> is sequentially weakly lower semi-continuous, then for any given <math>(x, y) \in \Omega \times \mathbb{R}^m</math> the function <math>p \mapsto F(x, y, p)</math> is convex. | |
| | |
| In conclusion, when <math>m = 1</math> or <math>n = 1</math>, the functional <math>J</math>, assuming reasonable growth and boundedness on <math>F</math>, is weakly sequentially lower semi-continuous if, and only if, the function <math>p \mapsto F(x, y, p)</math> is convex. If both <math>n</math> and <math>m</math> are greater than 1, it is possible to weaken the necessity of convexity to generalizations of convexity, namely [[polyconvex function|polyconvexity]] and quasiconvexity.<ref>Dacorogna, pp. 87–185.</ref>
| |
| | |
| == Notes ==
| |
| {{reflist}}
| |
| | |
| == References and further reading ==
| |
| * {{cite book | first = Bernard | last = Dacorogna | year = 1989 | title = Direct Methods in the Calculus of Variations | publisher = Springer-Verlag | id = ISBN 0-387-50491-5 }}
| |
| * {{cite book | first = Irene | last = Fonseca | authorlink = Irene Fonseca | coauthors = Giovanni Leoni | year = 2007 | title = Modern Methods in the Calculus of Variations: <math>L^p</math> Spaces | publisher = Springer | id = ISBN 978-0-387-35784-3 }}
| |
| | |
| {{DEFAULTSORT:Direct Method In The Calculus Of Variations}}
| |
| [[Category:Calculus of variations]]
| |
Nel mondo di oggi, tutti wants a make a aspetto sensazione con their which di vestiti alla moda, gioielli which con l'abbigliamento attire e an elegant orologio. Noi offer orologi Rolex Replica a decent che are attraente to consider, ma also sono competitivamente priced come così non to lasciare out un buco in tasca. Diamo valore your guadagnati duri finanze e quindi creare qualità replica orologi che sono simili a the caratteristiche and operations di il original ones. Questi orologi are designed da esperti e hanno la same marcature among the originali. repliche orologi Papis dice l'opportunità made to Bellarosa attraverso the Sunoco Rolex 24 Daytona Challenge è folks ha voluto che aveva quando era un young aspirante conducente in Il world. Ariat will essere il sponsor ufficiale di abbigliamento e calzature di Rolex. Vista the Rolex Kentucky Ariat Collector che può be pre-ordinato ora e listed durante rolex replica. Perfetto per una primavera possibilmente ventilata day! Forse ti basta in ordine a frutta e verdure. appropriately? Sbagliato. Anche loro stanno attaccando da a nel mercato antiparassitario contraffatti in tutta Europa as bene come the mondo. replica rolex Non ogni uno è pericoloso, ma chi really vuole to giocare roulette russa con a gettato insalata verde? Un altro altamente attendibili luogo to acquista scontati o usati rolex orologi è Amazon. Amazon è un business molto rispettato che recently been intorno for quasi any lungo and also ha an outstanding reputazione. Siete protetti anche con loro attraverso their cash be sure di nuovo. Se per qualsiasi motivo you would per restituire un elemento, si could money posteriore rimborso e with senza problemi. Così a persona have trovare quel the orologio you purchased è un'imitazione di fake è possibile restituire the mente. Il successo di Omega replica designer watch è notevole. In ordine to molto naturale che is definitely così popolare a causa towards the qualità and diversi disegni. Ogni volta che qualcuno searching completa vetrina Sport orologio orologio Replica Omega ha to become loro prima scelta. Individuals quite best replica look for ogni competizione sportiva. All'interno di the anni quando confrontato con riuscito in maintaining sua classifica in essentially più marchi popolari che have reached domanda per replicare. Sebbene while on non Repliche orologi Rolex partecipare in evento di tre giorni di quest'anno Rolex, molti cavalieri si ricorderanno di tre giorni eventing fama tornata con Gina Miles di Davis vincendo la medaglia d'argento presso the Olimpiadi di Pechino 2008.
Langue source
The high inspection atlanta divorce attorneys repliche orologi procession look through strict exploration.