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In [[mathematics]], '''Ramanujan's master theorem''' (named after mathematician [[Srinivasa Ramanujan]]<ref>B. Berndt. Ramanujan’s Notebooks, Part I. Springer-Verlag, New York, 1985.</ref>) is a technique which provides an analytic expression for the [[Mellin transform]] of a function.
Personal préstamos puede ser utilizado para ayudar a vas mayoría cualquier deuda tipo de necesidad para hacer uso de los fondos para. Puede ser una buena manera para obtener tu deuda bajo gestión con un mensual de pago que coincide su presupuesto mejor. Hay una gran cantidad de sitios a utilizar para uso privado préstamos de los bancos incluyendo, inversiones empresas y hipoteca empresas. Con la popularidad de la web últimamente, no es impresionante que usted sería capaz de simplemente seguro un privado hipoteca en línea. La aplicación proceso es fácil y se quiere típicamente tienen una respuesta en un par de minutos o un par de días apoyándose en el prestamista.<br><br>Online personal hipoteca aplicaciones son muy simple para completar. Querrás a suministrar su personal datos junto con nombre, tackle, teléfono número y el número de seguridad social. La mayoría propósitos funciones le pedirá el hipoteca de importe de que busca para. Hay una sección acabar sobre historia de su empleo y sus ingresos. Desde de verdad t sign su online privado préstamo aplicación, más tendrá un frases y circunstancias situaciones sección que querrás a aceptar.<br><br>Es extremadamente necesario que simplemente tomar el tiempo para aprender en esta sección. No hacerlo no conformar lo en caso de que don ' t acepta de lo contrario don t percibir cualquier una parte de es. sorprendido en cómo Te hubiera muchos individuos meramente clic botón de acuerdo y pasa su día. No obstante, puede haber necesario datos en esta parte que es aconsejable que ser conscientes recordar de. Uno de los cruciales vitales piezas de esta espacio contiene su con respecto a de los derechos del hipoteca y los préstamos procesan. Garantizar que acabar todas las secciones de la aplicación plenamente, precisión y honestamente.<br><br>Con tantas on- line prestamistas para seleccionar entre, puede ser problemático saber cuál para acompañar. Asegúrese de que sabes lo que que eres en busca de en un privado hipoteca y el suma de dinero te quiere prestado. Empezar, considerar el uso de los internet para que coincida variado tipos de clases de personal préstamos. Normalmente puede obtener an awesome comparación en muchos online los prestamistas del privado de los préstamos. Puede que también conseguir datos relativa su tasa de interés bajo, encontrar a si que proporcionan asegurados o no asegurados préstamos y encontrar el máximo hipoteca cantidad. If you enjoyed this write-up and you would such as to obtain even more info regarding [https://www.academia.edu/8887747/Prestamos_Rapidos_Online https://www.academia.edu/8887747/Prestamos_Rapidos_Online] kindly go to our own web page. Averiguar esta información will a ayudar encontrar unos pocos toda su personal hipoteca que necesita.<br><br>Que es posible que usted ser realmente saltar adecuado en y empezar llenar solicitudes de privado hipoteca. Déjame advertencia que haga eso. No es una buena sugerencia presentar un utilidad a más de un privado préstamo prestamista en un momento. Es porque cada uno tirará un informe puntuación de crédito sobre usted. El más que su informe crédito es acceder a tu la peor ve puntuación de crédito. Este puede ser un carmesí de la bandera a los prestamistas que puede prestado más dinero que paguéis a usted será capaz de. Una razón más te aren t capaz de presentar cualquier personal hipoteca aplicaciones todavía pero es como resultado de que es esencial investigación la empresa que eres ponderando de haciendo uso de con.<br><br>En estos días, alguien puede hacer que un sitio web parecer legítimo. Don t Pon tu creencia en un prestamista porque sus sitio web dice son el mejor dentro de la industria. Empezar marcando sus title con la oficina de Mejor de Corporaciones. Este le proporciona información en cualquier diferente clientes quejas han presentado contra ese prestamista. Cuando ver un patrón de puntos, evitar aplicando para un privado hipoteca con el prestamista. Siguiente comprobar el internet para opiniones de otros clientes. Vas aparentemente descubrir para ser cada positivo y desfavorable, pero sin embargo leído les cada a una buena sugerencia de que que eres tratar. Si le toca don t descubrir cualquier datos para una línea privado hipoteca corporaciones, evitar ellos. Podían ser corriendo un estafa en personas confiados como tú. Al llegar descubierto una organización para ser legítima y buen servicio oferta, usted no es preparado para completar su online aplicación para un privado préstamo.<br><br>Aplicando para una línea personal préstamo es rápido y fácil. Sin embargo, tomando el tiempo para completar el proceso apropiadamente está pasando requiere una inversiones de su tiempo. Esto es correctamente precio lo para asegurarse de que son hacer frente a un buen empresa para su privado hipoteca necesidades.
[[Image:Ramanujanmasterth.jpg|thumb|Page from Ramanujan's notebook stating his Master theorem.]]
 
The result is stated as follows:
 
Assume function <math> f(x) \!</math> has an expansion of the form
 
: <math> f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-x)^k \!</math>
 
then [[Mellin transform]] of <math> f(x) \!</math> is given by
 
: <math> \int_0^\infty x^{s-1} f(x) \, dx = \Gamma(s)\phi(-s) \!</math>
 
where <math> \Gamma(s) \!</math> is the [[Gamma function]].
 
It was widely used by Ramanujan to calculate definite integrals and [[infinite series]].
 
Multidimensional version of this theorem also appear in [[quantum physics]] (through [[Feynman diagram]]s).<ref>[http://129.81.170.14/~vhm/papers_html/RMT-GMS.pdf A generalized Ramanujan Master Theorem applied to the evaluation of Feynman diagrams by Iv´an Gonz´alez, V. H. Moll and Iv´an Schmidt]</ref>
 
A similar result was also obtained by [[J. W. L. Glaisher]].<ref>J. W. L. Glaisher. A new formula in definite integrals. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 48(315):53–55, Jul 1874.</ref>
 
== Alternative formalism ==
An alternative formulation of Ramanujan's master theorem is as follows:
 
: <math> \int_0^\infty  x^{s-1} ({\lambda(0)-x\lambda(1)+x^{2}\lambda(2)-\cdots}) \, dx = \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\lambda(-s) </math>
 
which gets converted to original form after substituting <math> \lambda(n) = \frac{\phi(n)}{\Gamma(1+n)} \!</math> and using functional equation for [[Gamma function]].
 
The integral above is convergent for <math> 0< \operatorname{Re}(s)<1 \!</math>.
 
== Proof ==
The proof of Ramanujan's Master Theorem provided by [[G. H. Hardy]]<ref>G. H. Hardy. Ramanujan. Twelve Lectures on subjects suggested by his life and work. [[Chelsea Publishing Company]], New York, N. Y., 3rd edition, 1978.</ref> employs [[Cauchy residue theorem|Cauchy's residue theorem]] as well as the well-known [[Mellin inversion theorem]].
 
== Application to Bernoulli polynomials ==
The generating function of the [[Bernoulli polynomials]] <math> B_k(x)\!</math> is given by:
 
: <math> \frac{ze^{xz}}{e^z-1}=\sum_{k=0}^\infty  B_k(x)\frac{z^k}{k!} \!</math>
 
These polynomials are given in terms of [[Hurwitz zeta function]]:
: <math> \zeta(s,a)=\sum_{n=0}^\infty  \frac{1}{(n+a)^s} \!</math>
 
by <math> \zeta(1-n,a)=-\frac{B_n(a)}{n} \!</math> for <math> n\geq1 \!</math>.
By means of Ramanujan master theorem and generating function of Bernoulli polynomials one will have following integral representation:<ref>O. Espinosa and V. Moll. On some definite integrals involving the Hurwitz zeta function. Part 2. The Ramanujan Journal, 6:449–468, 2002.</ref>
 
: <math> \int_0^\infty  x^{s-1} \left(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right) \, dx = \Gamma(s)\zeta(s,a) \!</math>
 
valid for <math> 0<Re(s)<1\!</math>.
 
== Application to the Gamma function ==
Weierstrass's definition of the Gamma function
 
: <math> \Gamma(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-1} e^{x/n} \!</math>
 
is equivalent to expression
 
: <math> \log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!</math>
 
where <math> \zeta(k) \!</math> is the [[Riemann zeta function]].
 
Then applying Ramanujan master theorem we have:
 
: <math> \int_0^\infty x^{s-1} \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^2} \, dx= \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\frac{\zeta(2-s)}{2-s} \!</math>
 
valid for <math> 0<Re(s)<1\!</math>.
 
Special cases of <math> s=\frac{1}{2} \!</math> and <math> s=\frac{3}{4} \!</math> are
 
: <math> \int_0^\infty \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^{5/2}} \, dx =\frac{2\pi}{3} \zeta\left( \frac{3}{2} \right) </math>
 
: <math> \int_0^\infty \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^{5/4}} \,dx = \sqrt{2} \frac{4\pi}{5} \zeta\left(\frac 5 4\right) </math>
 
[[Mathematica|Mathematica 7]] is unable to compute these examples.<ref>Ramanujan's Master Theorem by Tewodros Amdeberhan, Ivan Gonzalez, Marshall Harrison, Victor H. Moll and Armin Straub, The Ramanujan Journal.</ref>
 
== Evaluation of quartic integral ==
It is well known for the evaluation of
 
: <math> F(a,m)=\int_0^\infty \frac{dx}{(x^4+2ax^2+1)^{m+1}} </math>
which is a well known quartic integral.<ref>T. Amdeberhan and V. Moll. A formula for a quartic integral: a survey of old proofs and some new ones. The Ramanujan Journal, 18:91–102, 2009.</ref>
 
== References ==
{{Reflist}}
 
== External links ==
# http://mathworld.wolfram.com/RamanujansMasterTheorem.html
# http://www.youtube.com/watch?v=gLp5OsfUlNE
# http://arminstraub.com/files/publications/rmt.pdf
 
[[Category:Srinivasa Ramanujan]]
[[Category:Theorems in analytic number theory]]

Latest revision as of 01:51, 5 May 2014

Personal préstamos puede ser utilizado para ayudar a vas mayoría cualquier deuda tipo de necesidad para hacer uso de los fondos para. Puede ser una buena manera para obtener tu deuda bajo gestión con un mensual de pago que coincide su presupuesto mejor. Hay una gran cantidad de sitios a utilizar para uso privado préstamos de los bancos incluyendo, inversiones empresas y hipoteca empresas. Con la popularidad de la web últimamente, no es impresionante que usted sería capaz de simplemente seguro un privado hipoteca en línea. La aplicación proceso es fácil y se quiere típicamente tienen una respuesta en un par de minutos o un par de días apoyándose en el prestamista.

Online personal hipoteca aplicaciones son muy simple para completar. Querrás a suministrar su personal datos junto con nombre, tackle, teléfono número y el número de seguridad social. La mayoría propósitos funciones le pedirá el hipoteca de importe de que busca para. Hay una sección acabar sobre historia de su empleo y sus ingresos. Desde de verdad t sign su online privado préstamo aplicación, más tendrá un frases y circunstancias situaciones sección que querrás a aceptar.

Es extremadamente necesario que simplemente tomar el tiempo para aprender en esta sección. No hacerlo no conformar lo en caso de que don ' t acepta de lo contrario don t percibir cualquier una parte de es. sorprendido en cómo Te hubiera muchos individuos meramente clic botón de acuerdo y pasa su día. No obstante, puede haber necesario datos en esta parte que es aconsejable que ser conscientes recordar de. Uno de los cruciales vitales piezas de esta espacio contiene su con respecto a de los derechos del hipoteca y los préstamos procesan. Garantizar que acabar todas las secciones de la aplicación plenamente, precisión y honestamente.

Con tantas on- line prestamistas para seleccionar entre, puede ser problemático saber cuál para acompañar. Asegúrese de que sabes lo que que eres en busca de en un privado hipoteca y el suma de dinero te quiere prestado. Empezar, considerar el uso de los internet para que coincida variado tipos de clases de personal préstamos. Normalmente puede obtener an awesome comparación en muchos online los prestamistas del privado de los préstamos. Puede que también conseguir datos relativa su tasa de interés bajo, encontrar a si que proporcionan asegurados o no asegurados préstamos y encontrar el máximo hipoteca cantidad. If you enjoyed this write-up and you would such as to obtain even more info regarding https://www.academia.edu/8887747/Prestamos_Rapidos_Online kindly go to our own web page. Averiguar esta información will a ayudar encontrar unos pocos toda su personal hipoteca que necesita.

Que es posible que usted ser realmente saltar adecuado en y empezar llenar solicitudes de privado hipoteca. Déjame advertencia que haga eso. No es una buena sugerencia presentar un utilidad a más de un privado préstamo prestamista en un momento. Es porque cada uno tirará un informe puntuación de crédito sobre usted. El más que su informe crédito es acceder a tu la peor ve puntuación de crédito. Este puede ser un carmesí de la bandera a los prestamistas que puede prestado más dinero que paguéis a usted será capaz de. Una razón más te aren t capaz de presentar cualquier personal hipoteca aplicaciones todavía pero es como resultado de que es esencial investigación la empresa que eres ponderando de haciendo uso de con.

En estos días, alguien puede hacer que un sitio web parecer legítimo. Don t Pon tu creencia en un prestamista porque sus sitio web dice son el mejor dentro de la industria. Empezar marcando sus title con la oficina de Mejor de Corporaciones. Este le proporciona información en cualquier diferente clientes quejas han presentado contra ese prestamista. Cuando ver un patrón de puntos, evitar aplicando para un privado hipoteca con el prestamista. Siguiente comprobar el internet para opiniones de otros clientes. Vas aparentemente descubrir para ser cada positivo y desfavorable, pero sin embargo leído les cada a una buena sugerencia de que que eres tratar. Si le toca don t descubrir cualquier datos para una línea privado hipoteca corporaciones, evitar ellos. Podían ser corriendo un estafa en personas confiados como tú. Al llegar descubierto una organización para ser legítima y buen servicio oferta, usted no es preparado para completar su online aplicación para un privado préstamo.

Aplicando para una línea personal préstamo es rápido y fácil. Sin embargo, tomando el tiempo para completar el proceso apropiadamente está pasando requiere una inversiones de su tiempo. Esto es correctamente precio lo para asegurarse de que son hacer frente a un buen empresa para su privado hipoteca necesidades.

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