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In [[computer science]], '''2-satisfiability''' (abbreviated as 2-SAT or just 2SAT) is the problem of determining whether a collection of two-valued ([[Boolean logic|Boolean]] or [[Binary numeral system|binary]]) variables with [[Constraint (mathematics)|constraints]] on pairs of variables can be assigned values satisfying all the constraints. It is a special case of the general [[Boolean satisfiability problem]], which can involve constraints on more than two variables, and of [[constraint satisfaction problem]]s, which can allow more than two choices for the value of each variable. But in contrast to those problems, which are [[NP-complete]], it has a known [[polynomial time]] solution. Instances of the 2-satisfiability problem are typically expressed as [[Conjunctive normal form|2-CNF]] or '''Krom formulas'''.
== pendant des années Yeezy Kanye West ==


==Problem representations==
L'interdiction de fumer a sauvé un très grand nombre de non-fumeurs d'être meunier de poing par la fumée secondaire. Le marigot ottoman avait à peine compté pour les sultans; pendant des années, il a été utilisé principalement comme un lieu d'exil pour les prisonniers politiques malheureuses. <br><br>Ce mois-ci sur le groupe de lecture nous ferons ce [http://www.spnegoceauto.com/FCKeditor/fckblank.asp?search=63-Yeezy-Kanye-West Yeezy Kanye West] que nous pouvons pour garder une mémoire importante vivant. Comme nous continuons shopping et regarder nos ordinateurs portables, ils ont l'occasion idéale pour garder un oeil sur tout ce que nous faisons.. <br><br>Les gens ont eu un avant-goût de la politique menée par tempête. Il a travaillé beaucoup plus que [http://www.careladm.org/resold/forum/boutonentrez.asp?p_id=81-Basket-Nike-Talon-Femme Basket Nike Talon Femme] la majorité des mathématiciens modernes, par induction à partir d'exemples numériques; tous ses propriétés de congruence de partitions, par exemple, ont été découverts de cette façon. <br><br>Connectez la bande à la sangle d'utilité et le fixer en dessous de la charnière le plus bas sur une porte. "Maintenant, cependant, il est convaincue que les efforts déployés par les bénévoles ne sont pas en vain.. Elle m'a dit qu'elle était ravie de voir son curseur se déplaçant sur l'écran "tout seul", ce qui semble indiquer que la compagnie avait, en effet, pris le contrôle de son ordinateur. <br><br>Une fois que vous avez écrit votre premier examen, vous serez automatiquement dirigé vers la zone de notation et présenté avec deux articles sur le même sujet qui sont mis sur le côté de l'écran de l'autre que l'article A et article B. Une demi-douzaine de bovins errent le long de ses marges de sable, tandis que deux autres support jarret profonde dans la rivière, en prenant un verre de l'eau qui restera frais jusqu'à ce que le vent tourne et pousse son chemin intérieur, le long du cours de la rivière à nouveau .. <br><br>Je n'ai rien vu écrit dans lequel il a reconnu. Même si elles sont une très petite minorité parmi les anglicans et encore plus petit à l'échelle nationale, ils sont riches, bien organisés et passionné. La deuxième partie de la [http://www.intermarche-dordives.net/Intermarche_Dordives/Rayons/Epicerie.asp?page=8-Polo-Ralph-Lauren-Classic-Fit Polo Ralph Lauren Classic Fit] réponse a été [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=23-Yeezy-2-Red Yeezy 2 Red] dodgier encore." Je l'ai posté à des amis que sur FB. <br><br>Elle ne pouvait pas arrêter de me lancer après que .. Même s'il n'y a aucune chance Breivik sera libéré, ses avocats doivent officiellement faire la demande depuis leur client a plaidé non coupable, malgré avoir avoué à la réalisation des deux attentats meurtriers du 22 Juillet 2011, quand il a bombardé un bâtiment du gouvernement à Oslo, tuant huit personnes, avant d'aller sur une fusillade sur l'île d'Utoeya, au nord-ouest de la capitale, où l'aile jeunesse du Parti travailliste au pouvoir a été l'hôte d'un camp d'été..<ul>
[[File:Implication graph.svg|thumb|300px|The implication graph for the example 2-SAT instance shown in this section.]]
 
A 2-SAT problem may be described using a [[Boolean expression]] with a special restricted form: a [[Logical conjunction|conjunction]] of [[disjunction]]s (and of ors), where each disjunction (or operation) has two arguments that may either be variables or the negations of variables. The variables or their negations appearing in this formula are known as [[Term (logic)|terms]] and the disjunctions of pairs of terms are known as [[Clause (logic)|clauses]]. For example, the following formula is in conjunctive normal form, with seven variables and eleven clauses:
  <li>[http://www.zlhhome.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=120413&fromuid=7927 http://www.zlhhome.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=120413&fromuid=7927]</li>
 
  <li>[http://www.onlineflashgames.nl/activity/p/210877/ http://www.onlineflashgames.nl/activity/p/210877/]</li>
 
  <li>[http://empoweringsouthshore.org/home/forum/profile.php?id=9486 http://empoweringsouthshore.org/home/forum/profile.php?id=9486]</li>
 
  <li>[http://www.seachasers.org/wp-content/bbpress/profile.php?id=36360 http://www.seachasers.org/wp-content/bbpress/profile.php?id=36360]</li>
 
</ul>


:<math> (x_0\lor x_2)\land(x_0\lor\lnot x_3)\land(x_1\lor\lnot x_3)\land(x_1\lor\lnot x_4)\land</math>
== .. Acheter Nike Tn Requin Pas Cher ==
:<math>(x_2\lor\lnot x_4)\land{}(x_0\lor \lnot x_5)\land (x_1\lor\lnot x_5)\land (x_2\lor\lnot x_5)\land </math>
:<math>(x_3\lor x_6)\land (x_4\lor x_6)\land (x_5\lor x_6).</math>


The 2-satisfiability problem is to find a [[truth assignment]] to these variables that makes a formula of this type true: we must choose whether to make each of the variables true or false, so that every clause has at least one term that becomes true. For the expression shown above, one possible satisfying assignment is the one that sets all seven of the variables to true. There are also 15 other ways of setting all the variables so that the formula becomes true. Therefore, the 2-SAT instance represented by this expression is satisfiable.
Ozel, chroniqueur et professeur à l'Université Kadir Has d'Istanbul, a déclaré, est extrêmement dramatique. Personne ne peut imaginer la vie avant le web, les médias sociaux, MP3, vidéo en streaming sur Netflix. "Et ceux que vous détesté bien vous n'avez pas les détestez, mais vous n'avez pas eu de contact avec eux étaient ceux qui ont assumé parce qu'ils étaient 20 ans de plus que toi qui signifiait automatiquement que vous leur devait le respect. <br><br>Yahoo a été lancé par des étudiants de l'Université de Stanford David Filo et Jerry Yang. «J'ai vu beaucoup de gens [http://www.christophegoursat.com/scripts/setting.asp?id=14-Acheter-Nike-Tn-Requin-Pas-Cher Acheter Nike Tn Requin Pas Cher] qui trouvent qu'il est très difficile, qui ont été terrorisés, les expatriés et les locaux passer à Bulis. Quand vous vous trouvez retomber dans le jeu de la comparaison, comme vous avez sans doute vous, vous rappelez doucement que votre rythme est le meilleur rythme pour vous .. <br><br>La longueur d'onde de 14 microns est également absorbés par la vapeur d'eau avec des milliers d'autres molécules par unité de volume dans l'atmosphère que CO2.FINALLY, le seul «équilibre» pertinent serait bilan énergétique avec 259000000000000 miles cubes de roche essentiellement fondu, 310 millions de miles cubes de l'océan à 40F et seulement 28 gigatonnes [un seul mile cube de carbone humaine] à "forcer" ce change.Climatology est la pire «science» depuis que le monde était plat, jamais soumis à l'examen disciplinaire inter et incapable d'admettre qu'il est endémique errors.Principia scientifique internationale une science anti-climat . <br><br>La direction du vent était différent si [http://www.energiemoderne.net/reservation/system.asp?id=94-Acheter-Chaussure-Nike-Cortez Acheter Chaussure Nike Cortez] j'ai bien fait de gérer mon match.. Pour Roughead d'interroger 13 votes Brownlow . Mois »et« joueur défensif du mois "ont été remplacés par les" trois étoiles du mois "La LNH a également un système qui attribue des points à ses trois étoiles en soirée: 30 points à la première étoile, 20 points pour le deuxième, et 10 à la troisième. <br><br>"Non seulement il était [http://www.docto.fr/cdoc/modelesCSS/Gabarit3/adupage.asp?f=227-Nike-Free-Run-Homme-Pas-Cher Nike Free Run Homme Pas Cher] hors de forme, mais tout ce temps hors de cyclisme a entraîné beaucoup de déséquilibres dans son hanches, les ischio-jambiers, et le noyau, qui jeta sa force et de coordination», dit Park, qui a connu depuis Armstrong . Dans son émission à la nation sur All India Radio le 2 Novembre 1947, Pandit Nehru dit, sont soucieux de ne pas finaliser quoi que ce soit dans un moment de . <br><br>«Je faisais une interview, et le gars qui se passait et sur ce sujet, et finalement je l'ai dit,« Avez-vous lu le journal ce matin? Et je n'étais pas le malin, j'étais juste réel Leurs intentions réalisées peu de discrétion ou la subtilité Eddie et Lila ne pas consommer leur mariage jusqu'à ce que la [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=131-Nike-Air-Max-2013-Rouge Nike Air Max 2013 Rouge] lune de miel, et leur jeune fille rendez-vous grivois, c'est comme une farce Skinemax:..<ul>
 
  <li>[http://60.191.126.74:2222/dengpin/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=299595 http://60.191.126.74:2222/dengpin/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=299595]</li>
 
  <li>[http://www.smenhu.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1303891 http://www.smenhu.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1303891]</li>
 
  <li>[http://www.pierre-le-jeune.info/spip.php?article3 http://www.pierre-le-jeune.info/spip.php?article3]</li>
 
  <li>[http://www.xjvns.cn/news/html/?59765.html http://www.xjvns.cn/news/html/?59765.html]</li>
 
</ul>


Formulas with the form described above are known as 2-CNF formulas; the "2" in this name stands for the number of terms per clause, and "CNF" stands for [[conjunctive normal form]], a type of Boolean expression in the form of a conjunction of disjunctions. They are also called Krom formulas, after the work of [[University of California, Davis|UC Davis]] mathematician Melven R. Krom, whose 1967 paper was one of the earliest works on the 2-satisfiability problem.<ref name="Krom1967">{{citation
== . Air Jordan Retro 8 ==
| last1 = Krom | first1 = Melven R.
| title = The Decision Problem for a Class of First-Order Formulas in Which all Disjunctions are Binary
| journal = Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik
| volume = 13
| pages = 15–20
| year = 1967
| doi = 10.1002/malq.19670130104
}}.</ref>


Each clause in a 2-CNF formula is [[logical equivalence|logically equivalent]] to an implication from one variable or negated variable to the other. For example,
Ce qui lui manquait en espèces sonnantes et trébuchantes, il a fait pour la motivation et l'équité de sueur. Le rythme rapide et jolies vidéos fonctionnent très bien pour montrer quelque chose qui est déjà arrivé. [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=387-Air-Jordan-Retro-8 Air Jordan Retro 8] Les chiffres non ajustés réels montrent que 2,8 millions d'emplois ont disparu effectivement en Janvier, un peu plus de 2,6 millions perdus Janvier dernier. <br><br>Pour le choix de boissons Red Squirrel seul n'a pas d'égal dans la région.. Combien de temps pouvons-nous mettre hors réparation et le renouvellement? . Le mécanisme est simple, ne nécessite que très peu à la manière des dispositifs de mise en scène de fantaisie, et fonctionne très bien ici, à l'exception de la lutte contre le stade, qui doit prendre à deux pas de la pantomime et vers le réalisme (quelque chose que le temps devrait guérir, comme le artistes s'installent dans). <br><br>2. Shotgun furieux à l'estomac, je n'étais plus une présence sinistre mais juste un de quarante zombies! L'âme de la sur la maison apogée été blessé dans le froid extrême (fin Octobre lors de l'avènement de l'hiver). Est-ce début de sembler compliqué? C'est parce qu'il est. <br><br>Avec le prix moyen d'une GeForce 8800 GT actuellement à 293 $ et langue difficile à trouver, la Radeon HD 3870 représente une saine $ 70 économies tout en offrant la meilleure expérience de jeu au point de prix $ 219. Sa performance a attiré l'attention de MGM producteur Arthur Freed, cependant, qui la voulait maintenant pour son prochain musicale Du Barry était une dame (1943). <br><br>Environ un an après 9 11, deux drapeaux, côte à côte, sont apparus [http://www.christophegoursat.com/scripts/setting.asp?id=21-Basket-Tn-Requin-Pas-Cher Basket Tn Requin Pas Cher] sur la première page du site ARI. Peuvent-ils résoudre l'énigme avant la tragédie frappe?. Il HNE possible de visualiseur les donn Climatiques sur la carte m. Mon copain un avocat de New York, était en ville pendant vingt-quatre heures sur un appel lourde à une entreprise cliente française majeure, donc je savais qu'il [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=298-Nike-Air-Vortex-Vintage Nike Air Vortex Vintage] allait être épuisé et fatigué quand nous nous sommes rencontrés pour le dîner, ce qui exclut la plupart des modernes plus innovante bistros à Paris pour la simple raison qu'il n'aurait pas compris ou aimé les, et les repas plupart d'entre eux servent aurait pris trop de temps.. <br><br>Il vous permet également towrite textorimport des images ou des documents de votre choix. 4. MIC est l'ingrédient actif dans le pesticide Sevin, qui a été largement présenté comme un pesticide "sûr". Notamment celles qui ont eu lieu à Cordoue en 1011 et à Grenade en 1066. <br><br>Ce site peut [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=152-Air-Max-Bw-Pas-Cher-Homme Air Max Bw Pas Cher Homme] être juste la chose pour les enseignants qui ont des ressources limitées en plein air ou dont le climat aren TMT en phase avec leurs programmes d'études. Pour d'autres, la patine du plancher de qualité valeur a des relents de verts et bruns, créant une apparence différente de feuillus de qualité supérieure.<ul>
:<math>(x_0\lor\lnot x_3) \;\equiv\; (\lnot x_0\Rightarrow\lnot x_3) \;\equiv\; (x_3\Rightarrow x_0).</math>
 
Because of this equivalence between these different types of operation, a 2-satisfiability instance may also be written in [[implicative normal form]], in which we replace each or operation in the conjunctive normal form by both of the two implications to which it is equivalent.
  <li>[http://www.histoirepassion.eu/spip.php?article1895/ http://www.histoirepassion.eu/spip.php?article1895/]</li>
 
  <li>[http://www.tztea.com.cn/news/html/?228534.html http://www.tztea.com.cn/news/html/?228534.html]</li>
 
  <li>[http://lab.nqnwebs.com/lavoz_bak/spip.php?article5818/ http://lab.nqnwebs.com/lavoz_bak/spip.php?article5818/]</li>
 
  <li>[http://stavers.ws/Forum/read.php?6,72146 http://stavers.ws/Forum/read.php?6,72146]</li>
 
</ul>


A third, more graphical way of describing a 2-satisfiability instance is as an [[implication graph]]. An implication graph is a [[directed graph]] in which there is one [[vertex (graph theory)|vertex]] per variable or negated variable, and an edge connecting one vertex to another whenever the corresponding variables are related by an implication in the implicative normal form of the instance. An implication graph must be a [[skew-symmetric graph]], meaning that the [[undirected graph]] formed by forgetting the orientations of its edges has a [[graph automorphism|symmetry]] that takes each variable to its negation and reverses the orientations of all of the edges.<ref name="APT79">{{citation
== Hah Nike Air Vortex Femme ==
| last1 = Aspvall | first1 = Bengt
| last2 = Plass | first2 = Michael F.
| authorlink3 = Robert Tarjan | last3 = Tarjan | first3 = Robert E.
| title = A linear-time algorithm for testing the truth of certain quantified boolean formulas
| url = http://www.math.ucsd.edu/~sbuss/CourseWeb/Math268_2007WS/2SAT.pdf
| journal = [[Information Processing Letters]]
| volume = 8 | issue = 3 | pages = 121–123 | year = 1979
| doi = 10.1016/0020-0190(79)90002-4}}.</ref>


==Algorithms==
Il m'a vraiment attiré, il a le sentiment que Siegel et Shuster aren entièrement sûr de savoir comment écrire un super-vilain. Taiwan gouvernement central a ajouté un autre $ 10,140,000 pour aider à couvrir le coût total, estimé à $ 120 million.Taiwan a donné des subventions aux cinéastes locaux depuis plus de 60 ans pour développer les talents et, dans les premiers jours, faire avancer les vues du gouvernement. <br><br>Les mentions ont été faites par la région du Sud Comité d'action politique SCEA. Tout ce que je veux dire, c'est que j'espère que la technologie CGI améliore tout un [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=86-Nike-Air-Vortex-Femme Nike Air Vortex Femme] critère avant le prochain épisode sort, car il souffla sur celui-ci, et celui-ci aurait été environ cinq minutes si vous [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=127-Air-Jordan-3-White-Cement Air Jordan 3 White Cement] coupez toutes les scènes impliquant le CGI de merde . <br><br>Rien d'autre Objective C et 2, ce ne sera pas vraiment un problème Si, toutefois, vous ' re même juste un développeur web, vous êtes déjà en haut de l'édition probablement sept ou huit dossiers à faire avancer les choses mises en place comme vous le souhaitez.). <br><br>Ses tweets sont souvent plus simples ("Il y avait une grande promenade en famille le long du sentier côtier de Fife aujourd'hui avec un soupçon de soleil aucun signe des tempêtes [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=235-Basket-Nike-Air-Jordan-Femme Basket Nike Air Jordan Femme] de neige ou menacées, Hah!" Était une offre typique la semaine dernière), mais reflètent collectivement ses tendances libérales, son intérêt dans des causes comme l'éducation et la santé des femmes, et son poste d'antan à proximité du centre du pouvoir. <br><br>Type d'installation a été un rêve de la communauté pendant de nombreuses années; déclaré le Dr Dawson vrai Center est une partie d'une ressource de type pour les femmes partout dans le Nord-Ouest qui luttent contre le cancer. Ensuite, l'infirmière a publié la vis de tour et a annoncé, "Un vers le bas, un à aller." Quinze minutes plus tard, ma correction de la vision Lasik était complet, et je suis entré à la réception et a fait un chèque.. <br><br>"Je pense qu'ils ont peut-être été un peu peur de Dan," rit M. Donc, l'ophtalmologiste Moscou construit un plateau Susan paresseux géant avec cinq lits disposés vers l'extérieur dans un modèle d'étoiles de mer. Mes amis ont expliqué, fait par des [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=26-Basket-Air-Max-Pas-Cher-Pour-Femme Basket Air Max Pas Cher Pour Femme] projections de fait de l'eau froide, la façon dont un spécial TV récente par un célèbre hypnotiseur célébrité a été effectuée par les acteurs, et n'a pas été, en fait, la magie du tout.. <br><br>Ils ont atteint la rentabilité plus rapidement que prévu en raison d'applications comme Farmville avec des biens virtuels. CheersSadly, beaucoup de gens ne vont pas sortir avec vous parce que vous "drôle d'odeur" C'est pathétique vraiment, mais je pense que beaucoup de gens ne vont pas mordre la balle de connaître une bonne personne.<ul>
Several algorithms are known for solving the 2-satisfiability problem; the most efficient of them take [[linear time]].<ref name="Krom1967"/><ref name="APT79"/><ref name="EIS76"/>
 
  <li>[http://ciarcr.org/spip.php?article310/ http://ciarcr.org/spip.php?article310/]</li>
 
  <li>[http://primeraventa.com/index.php?page=item&id=160024 http://primeraventa.com/index.php?page=item&id=160024]</li>
 
  <li>[http://www.thomassankara.net/spip.php?article605&date=2008-05/ http://www.thomassankara.net/spip.php?article605&date=2008-05/]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18377983 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18377983]</li>
 
</ul>


===Resolution and transitive closure===
== ou d'autres fonctionnalités des services NPR Yeezy 1 ==
{{harvtxt|Krom|1967}} described the following [[polynomial time]] decision procedure for solving 2-satisfiability instances.<ref name="Krom1967"/>


Suppose that a 2-satisfiability instance contains two clauses that both use the same variable ''x'', but that ''x'' is negated in one clause and not in the other. Then we may combine the two clauses to produce a third clause, having the two other terms in the two clauses; this third clause must also be satisfied whenever the first two clauses are both satisfied. For instance, we may combine the clauses <math>(a\lor b)</math> and <math>(\lnot b\lor\lnot c)</math> in this way to produce the clause <math>(a\lor\lnot c)</math>. In terms of the implicative form of a 2-CNF formula, this rule amounts to finding two implications <math>\lnot a\Rightarrow b</math> and <math>b\Rightarrow \lnot c</math>, and inferring by [[transitive relation|transitivity]] a third implication <math>\lnot a\Rightarrow \lnot c</math>.
Dites à votre enfant qu'il ya plus de «bons étrangers» que de «mauvais étrangers" pour faciliter leurs craintes. Juice est particulièrement nécessaire pour les très jeunes enfants qui ont besoin pour répondre aux besoins nutritionnels.. Est acceptable en vertu des ADPIC [6] grâce à la reconnaissance de la Déclaration de Doha. <br><br>Les trois plus importantes sociétés de mesure en ligne comScore, Nielsen et Experian Hitwise de trafic calcul [http://www.spnegoceauto.com/FCKeditor/fckblank.asp?search=69-Yeezy-1 Yeezy 1] numérique de différentes manières, de sorte que leurs chiffres [http://www.adrpro.fr/includes/defines.asp?p=150-Shox-Nz-Eu-Brown Shox Nz Eu Brown] bruts ne correspondent pas. Ces sacs à main Hermès sont bonnes! J'avais déjà eu mon propre presque toute l'année. <br><br>Il s'enfonce après une seule utilisation et ne nécessite débourrage quotidien.. Cette société doit être arrêté dès que possible.. La puce Intel Atom / Clovertrail est bien connu pour être assez lent, mais il sera en mesure d'exécuter tous les programmes Windows8 32 bits. <br><br>Regardez ce qui s'est passé à l'affaire Ba quand il est devenu clair que la signature Ozil serait nous rendre plus compétitifs. Avec des terrains abordables et la beauté à couper le souffle en toile de fond, il apparaît comme une destination de l'immobilier idéal.. <br><br>[3]. La raison pour laquelle Will Smith et Harrison Ford sont au sommet absolu de leurs jeux c'est précisément parce qu'ils sont au sommet absolu de leurs jeux. Nous tenons à remercier J pour cela. Écoutez Neighbour Summertime filles par Homebreakin dossiers: HB013 VOISIN FT RÉFLEXION ÉTÉ EP exclusivement. <br><br>Quand elle a ignoré [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=237-Chaussure-Jordan-Spizike Chaussure Jordan Spizike] mes trois prochaines [http://www.adrpro.fr/includes/defines.asp?p=6-Nike-Shox-Oz-Femme Nike Shox Oz Femme] tentatives cours de l'été de lui demander pourquoi elle a affirmé être encore annonce, j'ai pensé qu'elle doit avoir vraiment besoin des dons à maintenir le site. La capacité supplémentaire de salle d'opération nous permet d'offrir plus de chirurgies à plus de patients plus rapidement. <br><br>Mais le revers est beaucoup intimidateurs ont été victimes d'intimidation avant. Maintenant vous savez pourquoi je suis impatient de Thomas visite annuelle au Musée tellement. Le plus triste est qu'il est permis et ils sortir avec elle. Vous ne pouvez pas utiliser NPR fourni marques, logos ou graphiques services, sans le consentement écrit préalable de NPR, sauf que vous avez le droit, et l'obligation, d'utiliser tout NPR, station de membre NPR ou autre fournisseur de contenu marque de service ou logo inclus, ou qui doit être utilisé en relation avec l'API contenu, contenu RSS, Media Player NPR, ou d'autres fonctionnalités des services NPR, sous réserve des conditions énoncées dans les présentes Conditions d'utilisation à l'usage du contenu de l'API, contenu RSS, NPR .<ul>
 
  <li>[http://wzs.so/forum.php?mod=viewthread&tid=137770&fromuid=1931 http://wzs.so/forum.php?mod=viewthread&tid=137770&fromuid=1931]</li>
 
  <li>[http://www.qinsoft.cn/showtopic-1124011.aspx http://www.qinsoft.cn/showtopic-1124011.aspx]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18140108 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18140108]</li>
 
  <li>[http://bryan7.egloos.com/1403377/ http://bryan7.egloos.com/1403377/]</li>
 
</ul>


Krom writes that a formula is ''consistent'' if repeated application of this inference rule cannot generate both the clauses <math>(x\lor x)</math> and <math> (\lnot x\lor\lnot x)</math>, for any variable <math> x</math>. As he proves, a 2-CNF formula is satisfiable if and only if it is consistent. For, if a formula is not consistent, it is not possible to satisfy both of the two clauses <math> (x\lor x)</math> and <math>(\lnot x\lor\lnot x)</math> simultaneously. And, if it is consistent, then the formula can be extended by repeatedly adding one clause of the form <math> (x\lor x)</math> or <math> (\lnot x\lor\lnot x)</math> at a time, preserving consistency at each step, until it includes such a clause for every variable. At each of these extension steps, one of these two clauses may always be added while preserving consistency, for if not then the other clause could be generated using the inference rule. Once all variables have a clause of this form in the formula, a satisfying assignment of all of the variables may be generated by setting a variable <math> x</math> to true if the formula contains the clause <math> (x\lor x)</math> and setting it to false if the formula contains the clause <math>(\lnot x\lor\lnot x)</math>.<ref name="Krom1967"/>  If there were a clause not satisfied by this assignment, i.e., one in which both variables appeared with sign opposite to their appearances in the added clauses, it would be possible to resolve this clause with one to reverse the sign of that variable, and then to resolve it with the original clause to produce a clause of the other variable in double with the sign it held in the original clause.  Since the formula is known to have remained consistent, this is impossible, so the assignment must satisfy the original formula as well{{Citation needed|date=June 2011}}.
== Free Press aide encore à le faire. Air Yeezy 2 Ebay ==


Krom was concerned primarily with [[completeness]] of systems of inference rules, rather than with the efficiency of algorithms. However, his method leads to a [[polynomial time]] bound for solving 2-satisfiability problems.
Je veux que mes vacances confitures sonnent comme tinsely que mon arbre. Quelque chose que vous ne pourriez jamais faire avec un cuir reconstitué. Je suis en mesure de lever mon épée. En attendant, si vous avez manqué des occasions antérieures à raconter président FCC Tom Wheeler pour arrêter sévit la consolidation des médias, Free Press aide encore à le faire. <br><br>Un combattant, il a survécu à la destruction de sa communauté et ont uni leurs forces avec une urgence grandissante de Templiers autochtones qui cherchaient la paix et l'ordre renouvelé. Une femme peut regarder sans modestie que les ordures que vous faites les portent.. <br><br>La semelle en caoutchouc offrent bradyséisme et de traction. Les éléments supplémentaires largement éradiquées les occasionnels restant halos de couleurs trouvés dans le modèle précédent à toutes les focales. Imaginez la complexité de la vie réelle dans un moteur de recherche. <br><br>Même plus, il ya des familles qui ne placent tel système après avoir été volé. La plate-forme a également conduit vraiment la voie en offrant un moyen facile de vicaire contenu. Le précédent le plus meurtrier inondation dans l'histoire du Brésil était une Janvier 23, 1967 inondation qui a tué 785 personnes.. <br><br>Phlebia brevispora, P. Milieu de l'été est la haute saison touristique, mais les visiteurs trouveront que le dynamisme de Toronto s'étend tout au long de l'hiver avec des patinoires extérieures et clubgoers emmitouflés. Il a été impressionné par Lily et Madeleine musique et nous aussi. <br><br>Personne ne devrait prendre cette décision pour une femme, il doit toujours être son choix quand commencer le dépistage du cancer du sein Malheureusement, les obstacles économiques empêchent trop souvent les femmes qui ont besoin de mammographies de les amener C'est [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=52-Air-Yeezy-2-Ebay Air Yeezy 2 Ebay] pourquoi les mammographies gratuites cancer du sein du site pour faible revenu, non assuré, et les travailleurs pauvres.. <br><br>Les autres filles ont fait de même avec leurs vestes. Jusqu'à ce point, il était une normale response.A quelques jours plus tard, environ 30 jeunes retournés et [http://www.adrpro.fr/includes/defines.asp?p=58-Nike-Shox-Nz-Eu-Blanche Nike Shox Nz Eu Blanche] mis en place les tentes à nouveau et la police [http://www.christophegoursat.com/scripts/setting.asp?id=138-Requin-Tn Requin Tn] une fois de plus lancé un raid. Les utilisateurs sont préoccupés par [http://www.souslikoff.com/ressources/Contact.asp?n=100-Nike-Homme-Pas-Cher Nike Homme Pas Cher] la sécurité de leurs transactions en ligne. <br><br>Les prêteurs vont certainement fonder leur propre décision sur quelques variables, mais le plus important sera votre pointage de crédit. Mais cela ne change pas le fait que, au milieu de tous les autres répertoires de l'article d'auto contenue, des sites comme ezinearticles et Amazines offrent quelque chose de nouveau.<ul>
By grouping together all of the clauses that use the same variable, and applying the inference rule to each pair of clauses, it is possible to find all inferences that are possible from a given 2-CNF instance, and to test whether it is consistent, in total time {{math|O(''n''<sup>3</sup>)}}, where {{math|''n''}} is the number of variables in the instance: for each variable, there may be {{math|O(''n''<sup>2</sup>)}} pairs of clauses involving that variable, to which the inference rule may be applied. Thus, it is possible to determine whether a given 2-CNF instance is satisfiable in time {{math|O(''n''<sup>3</sup>)}}. Because finding a satisfying assignment using Krom's method involves a sequence of {{math|O(''n'')}} consistency checks, it would take time {{math|O(''n''<sup>4</sup>)}}. {{harvtxt|Even|Itai|Shamir|1976}} quote a faster time bound of {{math|O(''n''<sup>2</sup>)}} for this algorithm, based on more careful ordering of its operations. Nevertheless, even this smaller time bound was greatly improved by the later linear time algorithms of {{harvtxt|Even|Itai|Shamir|1976}} and {{harvtxt|Aspvall|Plass|Tarjan|1979}}.
 
  <li>[http://annuncianimali.altervista.org/index.php?page=item&id=133838 http://annuncianimali.altervista.org/index.php?page=item&id=133838]</li>
 
  <li>[http://ciarcr.org/spip.php?article310/ http://ciarcr.org/spip.php?article310/]</li>
 
  <li>[http://1.ts.cn/home.php?mod=space&uid=13326&do=blog&quickforward=1&id=2134807 http://1.ts.cn/home.php?mod=space&uid=13326&do=blog&quickforward=1&id=2134807]</li>
 
  <li>[http://www.yutianshopping.com/news/html/?42326.html http://www.yutianshopping.com/news/html/?42326.html]</li>
 
</ul>


In terms of the implication graph of the 2-satisfiability instance, Krom's inference rule can be interpreted as constructing the [[transitive closure]] of the graph. As {{harvtxt|Cook|1971}} observes, it can also be seen as an instance of the [[Davis–Putnam algorithm]] for solving satisfiability problems using the principle of [[Resolution (logic)|resolution]]. Its correctness follows from the more general correctness of the Davis-Putnam algorithm, and its polynomial time bound is clear since each resolution step increases the number of clauses in the instance, which is upper bounded by a quadratic function of the number of variables.<ref>{{citation|first=Stephen A.|last=Cook|authorlink=Stephen Cook|contribution=The complexity of theorem-proving procedures|title=Proc. 3rd ACM Symp. Theory of Computing (STOC)|year=1971|pages=151–158|doi=10.1145/800157.805047}}.</ref>
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===Limited backtracking===
Lui et 11 autres hommes sont morts cette nuit tout en servant officiellement ou non que les pompiers volontaires et les intervenants d'urgence. L'histoire commence ici de retour dans les années 1800, quand un homme local est accusé de sorcellerie et lynché. <br><br>Beaucoup de requêtes particulières, les réponses rapides ne pouvions pas répondre par un répertoire. Notre équipe aime applications et se consacre à l'écriture d'applications iPhone avis pour vous aider à trouver les meilleurs nouvelles applications iPhone gratuitement dans l'App Store. [http://www.docto.fr/cdoc/modelesCSS/Gabarit3/adupage.asp?f=104-Nike-Free-4.0-V2-Women-Running-Shoe Nike Free 4.0 V2 Women Running Shoe] <br><br>De cette façon, vous pouvez obtenir l'accès à des tournois de clubs internationaux et les tournois internationaux de pays comme la Ligue des Champions ou la Coupe du Monde. L'un d'eux a 23 ans jeune homme de Balasore. La rotation se produit en premier à partir du début jusqu'au point médian de la plage de déplacement. <br><br>Un grand groupe dit «c'était comme des abeilles tueuses" une invocation de l'hystérie des masses irréfléchies. Il est évident que la technologie a été intégrée dans la vie quotidienne et ceux qui cherchent une marque sadique de soutien est à seulement quelques clics de souris. <br><br>Au final, je suis resté avec DSRETO et commencé à brancher mots qui pourraient convenir. Sam., mar. Juste une tasse de maison cocotte de patate douce, le genre avec beaucoup de beurre, le sucre, et les guimauves, peut fonctionner près de 400 calories. <br><br>En fin de matinée, nous avons commencé la montée vers le site de la tente Mont liberté, qui est [http://www.docto.fr/cdoc/modelesCSS/Gabarit3/adupage.asp?f=94-Roshe-Run-Femme Roshe Run Femme] d'environ trois quartersof le chemin vers le sommet. Vous voulez construire votre CV? Rédaction d'articles techniques et d'obtenir reconnu par vos pairs est un excellent moyen de se démarquer. <br><br>J'ai [http://www.christophegoursat.com/scripts/setting.asp?id=163-Site-Nike-Tn-France Site Nike Tn France] choisi cet ensemble de literie de la gamme Hôtel Chelsea à Dunelm je figuredwhere vous obtenez une bonne nuit de sommeil relaxant? Dans un hôtel!. Les chauves-souris tourbillonnent autour de la nuit pour s'alimenter sur les insectes volants piégés dans les faisceaux de lumière autour des bâtiments la [http://www.souslikoff.com/ressources/Contact.asp?n=95-Basket-Nike-Homme-Pas-Cher Basket Nike Homme Pas Cher] nuit pour un spectacle de nuit assez cool.. <br><br>Ce fut aussi sa victoire sur la 77e US PGA Tour égalant le plus de victoires en tournée avec Sam Snead. Ils cassent les fichiers en très petits morceaux et de les envoyer à un endroit précis dans un ordre spécifique. Pendant le Festival, il ya un certain nombre de promenades organisées par la ville, et si vous inscrivant à l'un de ces à l'avance vous donnera l'occasion de voir non seulement la ville, mais de le faire avec un guide bien informé..<ul>
{{harvtxt|Even|Itai|Shamir|1976}} describe a technique involving limited [[backtracking]] for solving constraint satisfaction problems with binary variables and pairwise constraints; they apply this technique to a problem of classroom scheduling, but they also observe that it applies to other problems including 2-SAT.<ref name="EIS76">{{citation|first1=S.|last1=Even|author1-link=Shimon Even|first2=A.|last2=Itai|first3=A.|last3=Shamir|author3-link=Adi Shamir|title=On the complexity of time table and multi-commodity flow problems|journal=[[SIAM Journal on Computing]]|volume=5|issue=4|year=1976|pages=691–703|doi=10.1137/0205048}}.</ref>
 
  <li>[http://www.sebalo.info/spip/spip.php?article13 http://www.sebalo.info/spip/spip.php?article13]</li>
 
  <li>[http://www.frel.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article1 http://www.frel.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article1]</li>
 
  <li>[http://www.k8383.com/news/html/?736810.html http://www.k8383.com/news/html/?736810.html]</li>
 
  <li>[http://www.polyhb.com/bbs/showtopic-505414.aspx http://www.polyhb.com/bbs/showtopic-505414.aspx]</li>
 
</ul>


The basic idea of their approach is to build a partial truth assignment, one variable at a time. Certain steps of the algorithms are "choice points", points at which a variable can be given either of two different truth values, and later steps in the algorithm may cause it to backtrack to one of these choice points. However, only the most recent choice can be backtracked over; all choices made earlier than the most recent one are permanent.<ref name="EIS76"/>
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Initially, there is no choice point, and all variables are unassigned.
J'ai commencé à chercher quelque chose pour aider, comme la perspective d'infections urinaires récurrentes était si sombre. Une plainte que j'ai entendu de nombreux premiers utilisateurs Ultra Fitbit, c'est qu'ils ne croient pas que le dispositif mesuré avec précision dans quelle mesure ils marchaient. <br><br>Les deux moulages utilisent cette forme d'art du théâtre de la commedia dell effectué le style Sol enfants troupe de théâtre. De l'autre côté du débat Rory pesé avec:. Toutes choses étant égales, l'économie de carburant en fait augmenté de 60 pour cent entre 1980 et 2006, comme Knittel montre [http://www.spnegoceauto.com/FCKeditor/fckblank.asp?search=43-Nike-Yeezy-2-Femme Nike Yeezy 2 Femme] dans un nouveau document de recherche, «Automobiles sur les stéroïdes», viennent d'être publiés dans l'American Economic Review (télécharger le PDF).. <br><br>Elles sont affichées dans l'ordre chronologique, et les lecteurs peuvent participer au débat en soumettant des commentaires, qui seront ensuite considérés pour publication. Si vous voulez connaître certains détails plus lourds sur la mise à jour Panda, vous pouvez trouver des articles détaillés sur le net par des experts comme Matt Cutts et [http://www.christophegoursat.com/scripts/setting.asp?id=125-Nike-Requin-Pas-Chere-Chine Nike Requin Pas Chere Chine] d'autres qui expliquent plus en détail ce que cette mise à jour était tout au sujet. <br><br>Plusieurs cliniques bloquer les sites de streaming vidéo et ne permettent pas d'échanges de courriels traditionnels entre les cliniciens et les patients.. Je vais utiliser première pour la vidéo et la logique pour le son. Telus est l'embauche de 800 personnes cette année seulement pour soutenir son Optik TV et la croissance sans fil et un 500 emplois supplémentaires seront créés pour [http://www.rebours-sarl.fr/rebours-sarl/REBOURS-SARL_WEB/res/escalier.asp?id=118-Air-Force-1-Femme-Blanc Air Force 1 Femme Blanc] la construction de TELUS Garden.Previous histoire suivante StoryPosted le vendredi 02 Mars, 2012 16:19 dans Nouvelles par 250 . <br><br>Pourtant, regardez ce passe politiquement. Le rapport Times d'aujourd'hui décrit cette chronologie; rapport ABC Nouvelles n'est pas une source au réseau confirmé à Gawker que les journalistes d'ABC ont découvert la liaison de la CIA en 2007 ainsi. Sont très heureux de vous aider SCI célébrer leur ouverture, à Saskatoon, a déclaré le Dr vaste expérience et démontré la qualité des soins en fournissant des chirurgies d'un jour dans un hôpital non bénéficie déjà nos résidents. <br><br>60 jours plus tard, il ya au moins 7 autres là-dedans. Vous pouvez gravir les échelons de l'administration et de devenir une infirmière gestionnaire ou superviseur, souvent sans formation supplémentaire. Accueil Avant-propos Remerciements IntroductionChapter 1 Tendances de la prévalence de smokingChapter 2 Tendances dans le tabac [http://www.intermarche-dordives.net/Intermarche_Dordives/Rayons/Epicerie.asp?page=108-Acheter-Polo-Ralph-Lauren-Femme-Pas-Cher Acheter Polo Ralph Lauren Femme Pas Cher] consumptionChapter 3 Les effets sur la santé de smokingChapter actif 4 Les effets sur la santé de smokeChapter secondaire 5 Influences sur l'absorption et la prévention des smokingChapter 6 AddictionChapter 7 cessationChapter fumeurs 8 L'usage du tabac chez les peuples autochtones et du détroit de Torres IslandersChapter 9 fumer et disadvantageChapter sociale 10 L'industrie du tabac en Australie societyChapter 11 publicité pour le tabac et promotionChapter 12 La construction et l'étiquetage des cigarettesChapter australienne 13 La tarification et la taxation des produits du tabac dans AustraliaChapter 14 Le marketing social et de l'éducation campaignsChapter publique 15 Sans fumée environmentsChapter 16 contentieux du tabac dans AustraliaChapter 17 L'économie de tabac controlChapter 18 La Convention-cadre de l'OMS sur le tabac ControlAppendix 1 liens Internet utiles vers des ressources du tabac.<ul>
At each step, the algorithm chooses the variable whose value to set, as follows:
 
*If there is a clause in which both of the variables are set, in a way that falsifies the clause, then the algorithm backtracks to its most recent choice point, undoing the assignments it made since that choice, and reverses the decision made at that choice. If no choice point has been reached, or if the algorithm has already backtracked over the most recent choice point, then it aborts the search and reports that the input 2-CNF formula is unsatisfiable.
  <li>[http://www.414300.net/news/html/?528752.html http://www.414300.net/news/html/?528752.html]</li>
*If there is a clause in which one of the variables has been set, and the clause may still become either true or false, then the other variable is set in a way that forces the clause to become true.
 
*If all clauses are either guaranteed to be true for the current assignment or have two unset variables, then the algorithm creates a choice point and sets one of the unassigned variables to an arbitrarily chosen value.
  <li>[http://www.smenhu.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1542472 http://www.smenhu.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1542472]</li>
 
  <li>[http://www.13pil.com/home.php?mod=space&uid=10766 http://www.13pil.com/home.php?mod=space&uid=10766]</li>
 
  <li>[http://yifuw88.com/news/html/?84426.html http://yifuw88.com/news/html/?84426.html]</li>
 
</ul>


Intuitively, the algorithm follows all chains of inference after making each of its choices; this either leads to a contradiction and a backtracking step, or, if no contradiction is derived, it follows that the choice was a correct one that leads to a satisfying assignment. Therefore, the algorithm either correctly finds a satisfying assignment or it correctly determines that the input is unsatisfiable.<ref name="EIS76"/>
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Even et al. did not describe in detail how to implement this algorithm efficiently; they state only that by "using appropriate data structures in order to find the implications of any decision", each step of the algorithm (other than the backtracking) can be performed quickly. However, some inputs may cause the algorithm to backtrack many times, each time performing many steps before backtracking, so its overall complexity may be nonlinear. To avoid this problem, they modify the algorithm so that, after reaching each choice point, it tests in parallel both alternative assignments for the variable set at the choice point, interleaving both parallel tests to produce a sequential algorithm. As soon as one of these two parallel tests reaches another choice point, the other parallel branch is aborted. In this way, the total time spent performing both parallel tests is proportional to the size of the portion of the input formula whose values are permanently assigned. As a result, the algorithm takes [[linear time]] in total.<ref name="EIS76"/>
J'allais vous dire combien je déteste. La nouvelle expérience Yahoo! place une section de nouvelles avec un défilement infini ce qui signifie que vous pouvez continuer et descendre la page autant que votre coeur désire avant et au centre. Plus quand j'aurai plus de temps, y compris des screencasts échantillon. <br><br>Vous devez rester concentré et de travail. Dates de première incarnation de l'Association du sucre de 1943, lorsque les producteurs et les raffineurs ont créé la Fondation recherche sur le sucre pour contrer la Seconde Guerre mondiale propagande de rationnement de sucre de sucre avez-vous besoin? [http://www.christophegoursat.com/scripts/setting.asp?id=196-Tn-Requin-Pas-Cher-Avis Tn Requin Pas Cher Avis] Aucun! ", A déclaré un dépliant [http://www.spnegoceauto.com/FCKeditor/fckblank.asp?search=76-Nike-Air-Yeezy-Prix Nike Air Yeezy Prix] du gouvernement. <br><br>En outre, au cours des 11 récessions d'après de dépression avant que le président Obama, l'économie a récupéré la perte de PIB pendant la récession dans une moyenne de 4,5 trimestres après le début de la récession. Peut-être que vous êtes d'accord avec cela. <br><br>Les plages de Vieques ne sont rien de moins que spectaculaire. Et rien n'indique que les infirmières sont là pour servir les médecins.. Vous savez que vous avez besoin d'une liste. (Astuce:. Contrairement à eux, ensembles statiques sont constants, indépendamment de toute context.Only les jeux qui ont la même dimension peuvent être combinés ensemble parce que nous combinons sont vraiment les tuples ils sont construits from.It est possible d'extraire une ou plusieurs hiérarchies de l' définir.. <br><br>En ce moment, 400 000 litres de pétrole, de gaz et de condensat ont fui dans la mer de Timor à un taux de 300 à 1200 barils par jour. Bien sûr, vous avez besoin d'amis gars à regarder les jeux de ballon et aider prétendre que vous savez comment réparer votre propre voiture, mais si vous êtes à être échoué sur une île déserte avec une seule autre personne, combien d'entre vous choisissez [http://www.intermarche-dordives.net/Intermarche_Dordives/Rayons/Epicerie.asp?page=13-Chemise-Lacoste-Live Chemise Lacoste Live] votre copain Chuck traverser l'éternité? Exactement. <br><br>A été défini ici comme une partition autre que la normale sur chaque indice utilisé. J'ai beaucoup voyagé. Et puis un texte par Adrian Blackwell (disponible sous forme d'affiche et quelque chose que vous devrait attendre de lire jusqu'à ce que vous avez connu le travail) ramasse ce thread et suit à travers une lecture encyclopédique qui couvre tout ce que j'avais à dire à ce sujet et puis certains.. <br><br>Mais si vous embauchez des gens qui croient ce que vous croyez, ils vont travailler pour vous avec le sang et la sueur et des larmes. La communauté pourrait s'opposer à quelqu'un rejoindre, [http://www.docto.fr/cdoc/modelesCSS/Gabarit3/adupage.asp?f=96-Nike-Free-Running-2 Nike Free Running 2] mais je ne peux pas imaginer une raison pour laquelle ils avaient s'opposent à vous.<ul>
 
 
===Strongly connected components===
  <li>[http://netburst.org/index.php?site=polls&pollID=3 http://netburst.org/index.php?site=polls&pollID=3]</li>
{{harvtxt|Aspvall|Plass|Tarjan|1979}} found a simpler linear time procedure for solving 2-satisfiability instances, based on the notion of [[strongly connected component]]s from [[graph theory]].<ref name="APT79"/>
 
 
  <li>[http://gamesvisit.com/activity/p/101699/ http://gamesvisit.com/activity/p/101699/]</li>
Two vertices in a directed graph are said to be strongly connected to each other if there is a directed path from one to the other and vice versa. This is an [[equivalence relation]], and the vertices of the graph may be partitioned into strongly connected components, subsets within which every two vertices are strongly connected. There are several efficient linear time algorithms for finding the strongly connected components of a graph, based on [[depth first search]]: [[Tarjan's strongly connected components algorithm]]<ref>{{citation|first=Robert E.|last=Tarjan|authorlink=Robert Tarjan|title=Depth-first search and linear graph algorithms|journal=[[SIAM Journal on Computing]]|volume=1|year=1972|issue=2|pages=146–160|doi=10.1137/0201010}}.</ref> and the [[path-based strong component algorithm]]<ref>First published by {{citation
 
| last1 = Cheriyan | first1 = J.
  <li>[http://user.hk1190.host1d.com/forum.php?mod=viewthread&tid=414418 http://user.hk1190.host1d.com/forum.php?mod=viewthread&tid=414418]</li>
| last2 = Mehlhorn | first2 = K. | author2-link = Kurt Mehlhorn
 
| doi = 10.1007/BF01940880
  <li>[http://hiddentruffles.com/activity/p/130557/ http://hiddentruffles.com/activity/p/130557/]</li>
| journal = [[Algorithmica]]
 
| pages = 521–549
</ul>
| title = Algorithms for dense graphs and networks on the random access computer
| volume = 15
| year = 1996
| issue = 6}}. Rediscovered in 1999 by Harold N. Gabow, and published in {{citation
| last = Gabow | first = Harold N.| contribution = Searching (Ch 10.1)
| editor1-last = Gross | editor1-first = J. L.
| editor2-last = Yellen | editor2-first = J.
| pages = 953–984
| publisher = CRC Press
| title = Discrete Math. and its Applications: Handbook of Graph Theory
| volume = 25
| year = 2003}}.</ref> each perform a single depth first search. [[Kosaraju's algorithm]] performs two depth first searches, but is very simple.
 
In terms of the implication graph, two terms belong to the same strongly connected component whenever there exist chains of implications from one term to the other and vice versa. Therefore, the two terms must have the same value in any satisfying assignment to the given 2-satisfiability instance. In particular, if a variable and its negation both belong to the same strongly connected component, the instance cannot be satisfied, because it is impossible to assign both of these terms the same value. As Aspvall et al. showed, this is a [[necessary and sufficient condition]]: a 2-CNF formula is satisfiable if and only if there is no variable that belongs to the same strongly connected component as its negation.<ref name="APT79"/>
 
This immediately leads to a linear time algorithm for testing satisfiability of 2-CNF formulae: simply perform a strong connectivity analysis on the implication graph and check that each variable and its negation belong to different components. However, as Aspvall et al. also showed, it also leads to a linear time algorithm for finding a satisfying assignment, when one exists. Their algorithm performs the following steps:
*Construct the implication graph of the instance, and find its strongly connected components using any of the known linear-time algorithms for strong connectivity analysis.
*Check whether any strongly connected component contains both a variable and its negation. If so, report that the instance is not satisfiable and halt.
*Construct the [[Strongly connected component|condensation]] of the implication graph, a smaller graph that has one vertex for each strongly connected component, and an edge from component {{math|''i''}} to component {{math|''j''}} whenever the implication graph contains an edge {{math|''uv''}} such that {{math|''u''}} belongs to component {{math|''i''}} and {{math|''v''}} belongs to component {{math|''j''}}. The condensation is automatically a [[directed acyclic graph]] and, like the implication graph from which it was formed, it is [[Skew-symmetric graph|skew-symmetric]].
*[[Topological sorting|Topologically order]] the vertices of the condensation; the order in which the components are generated by Kosaraju's algorithm is automatically a topological ordering.
*For each component in this order, if its variables do not already have truth assignments, set all the terms in the component to be false. This also causes all of the terms in the complementary component to be set to true.
 
Due to the topological ordering, when a term {{math|''x''}} is set to false, all terms that lead to it via a chain of implications will themselves already have been set to false. Symmetrically, when a term is set to true, all terms that can be reached from it via a chain of implications will already have been set to true. Therefore, the truth assignment constructed by this procedure satisfies the given formula, which also completes the proof of correctness of the necessary and sufficient condition identified by Aspvall et al.<ref name="APT79"/>
 
As Aspvall et al. show, a similar procedure involving topologically ordering the strongly connected components of the implication graph may also be used to evaluate [[True quantified Boolean formula|fully quantified Boolean formulae]] in which the formula being quantified is a 2-CNF formula.<ref name="APT79"/>
 
==Applications==
===Conflict-free placement of geometric objects===
A number of exact and approximate algorithms for the [[automatic label placement]] problem are based on 2-satisfiability. This problem concerns placing textual labels on the features of a diagram or map. Typically, the set of possible locations for each label is highly constrained, not only by the map itself (each label must be near the feature it labels, and must not obscure other features), but by each other: two labels will be illegible if they overlap each other. In general, label placement is an [[NP-hard]] problem. However, if each feature has only two possible locations for its label (say, extending to the left and to the right of the feature) then it may be solved in polynomial time. For, in this case, one may create a 2-satisfiability instance that has a variable for each label and constraints preventing each pair of labels from being assigned overlapping positions. If the labels are all congruent rectangles, the corresponding 2-SAT instance can be shown to have only linearly many constraints, leading to near-linear time algorithms for finding a labeling.<ref name="fw91">{{citation|first1=M.|last1=Formann|first2=F.|last2=Wagner|contribution=A  packing problem  with  applications  to  lettering  of  maps|title=Proc. 7th ACM Symposium on Computational Geometry|year=1991|pages=281–288|doi=10.1145/109648.109680}}.</ref> {{harvtxt|Poon|Zhu|Chin|1998}} describe a map labeling problem in which each label is a rectangle that may be placed in one of three positions with respect to a line segment that it labels: it may have the segment as one of its sides, or it may be centered on the segment. They represent these three positions using two binary variables in such a way that, again, testing the existence of a valid labeling becomes a 2-SAT problem.<ref>{{citation|first1=Chung Keung|last1=Poon|first2=Binhai|last2=Zhu|first3=Francis|last3=Chin|author3-link=Y. L. Chin|title=A polynomial time solution for labeling a rectilinear map|journal=Information Processing Letters|volume=65|issue=4|year=1998|pages=201–207|doi=10.1016/S0020-0190(98)00002-7}}.</ref>
 
{{harvtxt|Formann|Wagner|1991}} use this observation as part of an [[approximation algorithm]] for the problem of finding square labels of the largest possible size for a given set of points, with the constraint that each label has one of its corners on the point that it labels. To find a labeling with a given size, they eliminate squares that, if doubled, would overlap another points, and they eliminate points that can be labeled in a way that cannot possibly overlap with another point's label, and they show that the remaining points have only two possible label placements, allowing the 2-SAT approach to be used. By searching for the largest size that leads to a solvable 2-SAT instance, they find a solution with [[approximation ratio]] at most two.<ref name="fw91"/><ref>{{citation|first1=Frank|last1=Wagner|first2=Alexander|last2=Wolff|title=A practical map labeling algorithm|journal=Computational Geometry: Theory and Applications|volume=7|issue=5–6|year=1997|pages=387–404|doi=10.1016/S0925-7721(96)00007-7}}.</ref> Similarly, if each label is rectangular and must be placed in such a way that the point it labels is somewhere along its bottom edge, then using 2-SAT to find the optimal solution in which the label has the point on a bottom corner leads to an approximation ratio of at most two.<ref>{{citation|first1=Srinivas|last1=Doddi|first2=Madhav V.|last2=Marathe|first3=Andy|last3=Mirzaian|first4=Bernard M. E.|last4=Moret|first5=Binhai|last5=Zhu|contribution=Map labeling and its generalizations|title=Proc. 8th ACM-SIAM Symp. Discrete Algorithms (SODA)|year=1997|pages=148–157|url=http://portal.acm.org/citation.cfm?id=314250}}.</ref>
 
Similar reductions to 2-satisfiability have been applied to other geometric placement problems. In [[graph drawing]], if the vertex locations are fixed and each edge must be drawn as a circular arc with one of two possible locations (for instance as an [[arc diagram]]), then the problem of choosing which arc to use for each edge in order to avoid crossings is a 2SAT problem with a variable for each edge and a constraint for each pair of placements that would lead to a crossing. However, in this case it is possible to speed up the solution, compared to an algorithm that builds and then searches an explicit representation of the implication graph, by searching the graph [[implicit graph|implicitly]].<ref>{{citation|first1=Alon|last1=Efrat|first2=Cesim|last2=Erten|first3=Stephen G.|last3=Kobourov|title=Fixed-location circular arc drawing of planar graphs|journal=[[Journal of Graph Algorithms and Applications]]|volume=11|issue=1|pages=145–164|year=2007|url=http://jgaa.info/accepted/2007/EfratErtenKobourov2007.11.1.pdf|doi=10.7155/jgaa.00140}}.</ref>
In [[VLSI]] integrated circuit design, if a collection of modules must be connected by wires that can each bend at most once, then again there are two possible routes for the wires, and the problem of choosing which of these two routes to use, in such a way that all wires can be routed in a single layer of the circuit, can be solved as a 2SAT instance.<ref>{{citation|first1=Raghunath|last1=Raghavan|first2= James|last2=Cohoon|first3=Sartaj|last3=Sahni|author3-link=Sartaj Sahni|title=Single bend wiring|journal=Journal of Algorithms|volume=7|issue=2|year=1986|pages=232–237|doi=10.1016/0196-6774(86)90006-4}}.</ref>
 
{{harvtxt|Boros|Hammer|Minoux|Rader|1999}} consider another VLSI design problem: the question of whether or not to mirror-reverse each module in a circuit design. This mirror reversal leaves the module's operations unchanged, but it changes the order of the points at which the input and output signals of the module connect to it, possibly changing how well the module fits into the rest of the design. Boros ''et al.'' consider a simplified version of the problem in which the modules have already been placed along a single linear channel, in which the wires between modules must be routed, and there is a fixed bound on the density of the channel (the maximum number of signals that must pass through any cross-section of the channel). They observe that this version of the problem may be solved as a 2-SAT instance, in which the constraints relate the orientations of pairs of modules that are directly across the channel from each other; as a consequence, the optimal density may also be calculated efficiently, by performing a binary search in which each step involves the solution of a 2-SAT instance.<ref>{{citation|first1=Endre|last1=Boros|first2=Peter L.|last2=Hammer|author2-link=Peter Hammer|first3=Michel|last3=Minoux|first4=David J., Jr.|last4=Rader|title=Optimal cell flipping to minimize channel density in VLSI design and pseudo-Boolean optimization|journal=Discrete Applied Mathematics|volume=90|issue=1–3|year=1999|pages=69–88|doi=10.1016/S0166-218X(98)00114-0}}.</ref>
 
===Data clustering===
One way of [[data clustering|clustering a set of data points]] in a [[metric space]] into two clusters is to choose the clusters in such a way as to minimize the sum of the [[diameter]]s of the clusters, where the diameter of any single cluster is the largest distance between any two of its points; this is preferable to minimizing the maximum cluster size, which may lead to very similar points being assigned to different clusters. If the target diameters of the two clusters are known, a clustering that achieves those targets may be found by solving a 2-satisfiability instance. The instance has one variable per point, indicating whether that point belongs to the first cluster or the second cluster. Whenever any two points are too far apart from each other for both to belong to the same cluster, a clause is added to the instance that prevents this assignment.
 
The same method also can be used as a subroutine when the individual cluster diameters are unknown. To test whether a given sum of diameters can be achieved without knowing the individual cluster diameters, one may try all maximal pairs of target diameters that add up to at most the given sum, representing each pair of diameters as a 2-satisfiability instance and using a 2-satisfiability algorithm to determine whether that pair can be realized by a clustering. To find the optimal sum of diameters one may perform a binary search in which each step is a feasibility test of this type. The same approach also works to find clusterings that optimize other combinations than sums of the cluster diameters, and that use arbitrary dissimilarity numbers (rather than distances in a metric space) to measure the size of a cluster.<ref>{{citation|first1=P.|last1=Hansen|first2=B.|last2=Jaumard|title=Minimum sum of diameters clustering|journal=Journal of Classification|volume=4|issue=2|year=1987|pages=215–226|doi=10.1007/BF01896987}}.</ref> The time bound for this algorithm is dominated by the time to solve a sequence of 2-SAT instances that are closely related to each other, and {{harvtxt|Ramnath|2004}} shows how to solve these related instances more quickly than if they were solved independently from each other, leading to a total time bound of {{math|''O''(''n''<sup>3</sup>)}} for the sum-of-diameters clustering problem.<ref>{{citation|first1=Sarnath|last1=Ramnath|title=Dynamic digraph connectivity hastens minimum sum-of-diameters clustering|journal=SIAM Journal on Discrete Mathematics|volume=18|issue=2|pages=272–286|year=2004|doi=10.1137/S0895480102396099}}.</ref>
 
===Scheduling===
{{harvtxt|Even|Itai|Shamir|1976}} consider a model of classroom scheduling  in which a set of ''n'' teachers must be scheduled to teach each of ''m'' cohorts of students; the number of hours per week that teacher ''i'' spends with cohort ''j'' is described by entry ''R<sub>ij</sub>'' of a matrix ''R'' given as input to the problem, and each teacher also has a set of hours during which he or she is available to be scheduled. As they show, the problem is [[NP-complete]], even when each teacher has at most three available hours, but it can be solved as an instance of 2-satisfiability when each teacher only has two available hours. (Teachers with only a single available hour may easily be eliminated from the problem.) In this problem, each variable ''v<sub>ij</sub>'' corresponds to an hour that teacher ''i'' must spend with cohort ''j'', the assignment to the variable specifies whether that hour is the first or the second of the teacher's available hours, and there is a 2-SAT clause preventing any conflict of either of two types: two cohorts assigned to a teacher at the same time as each other, or one cohort assigned to two teachers at the same time.<ref name="EIS76"/>
 
{{harvtxt|Miyashiro|Matsui|2005}} apply 2-satisfiability to a problem of sports scheduling, in which the pairings of a [[round-robin tournament]] have already been chosen and the games must be assigned to the teams' stadiums. In this problem, it is desirable to alternate home and away games to the extent possible, avoiding "breaks" in which a team plays two home games in a row or two away games in a row. At most two teams can avoid breaks entirely, alternating between home and away games; no other team can have the same home-away schedule as these two, because then it would be unable to play the team with which it had the same schedule. Therefore, an optimal schedule has two breakless teams and a single break for every other team. Once one of the breakless teams is chosen, one can set up a 2-satisfiability problem in which each variable represents the home-away assignment for a single team in a single game, and the constraints enforce the properties that any two teams have a consistent assignment for their games, that each team have at most one break before and at most one break after the game with the breakless team, and that no team has two breaks. Therefore, testing whether a schedule admits a solution with the optimal number of breaks can be done by solving a linear number of 2-satisfiability problems, one for each choice of the breakless team. A similar technique also allows finding schedules in which every team has a single break, and maximizing rather than minimizing the number of breaks (to reduce the total mileage traveled by the teams).<ref>{{citation|first1=Ryuhei|last1=Miyashiro|first2=Tomomi|last2=Matsui|title=A polynomial-time algorithm to find an equitable home–away assignment|journal=Operations Research Letters|volume=33|issue=3|year=2005|pages=235–241|doi=10.1016/j.orl.2004.06.004}}.</ref>
 
===Discrete tomography===
[[File:Paint by numbers Animation.gif|thumb|250px|Example of a nonogram puzzle being solved.]]
[[Tomography]] is the process of recovering shapes from their cross-sections.
In [[discrete tomography]], a simplified version of the problem that has been frequently studied, the shape to be recovered is a [[polyomino]] (a subset of the squares in the two-dimensional [[square lattice]]), and the cross-sections provide aggregate information about the sets of squares in individual rows and columns of the lattice. For instance, in the popular [[nonogram]] puzzles, also known as paint by numbers or griddlers, the set of squares to be determined represents the dark [[pixel]]s in a [[binary image]], and the input given to the puzzle solver tells him or her how many consecutive blocks of dark pixels to include in each row or column of the image, and how long each of those blocks should be. In other forms of digital tomography, even less information about each row or column is given: only the total number of squares, rather than the number and length of the blocks of squares. An equivalent version of the problem is that we must recover a given [[0-1 matrix]] given only the sums of the values in each row and in each column of the matrix.
 
Although there exist polynomial time algorithms to find a matrix having given row and column sums,<ref>{{citation|first=R. A.|last=Brualdi|title=Matrices of  zeros and ones with fixed row and column sum vectors|journal=Linear  Algebra Appl.|volume=33|year=1980|pages=159–231|doi=10.1016/0024-3795(80)90105-6}}.</ref> the solution may be far from unique: any submatrix in the form of a 2&nbsp;&times;&nbsp;2 [[identity matrix]] can be complemented without affecting the correctness of the solution. Therefore, researchers have searched for constraints on the shape to be reconstructed that can be used to restrict the space of solutions. For instance, one might assume that the shape is connected; however, testing whether there exists a connected solution is NP-complete.<ref>{{citation|first=G. J.|last=Woeginger|title=The reconstruction of polyominoes from their  orthogonal projections|series=Technical Report SFB-65|publisher=TU Graz|location=Graz, Austria|year=1996}}.</ref> An even more constrained version that is easier to solve is that the shape is [[orthogonal convexity|orthogonally convex]]: having a single contiguous block of squares in each row and column.
Improving several previous solutions, {{harvtxt|Chrobak|Dürr|1999}} showed how to reconstruct connected orthogonally convex shapes efficiently, using 2-SAT.<ref>{{citation|first1=Marek|last1=Chrobak|first2=Christoph|last2=Dürr|title=Reconstructing hv-convex polyominoes from orthogonal projections|journal=Information Processing Letters|volume=69|issue=6|year=1999|pages=283–289|doi=10.1016/S0020-0190(99)00025-3}}.</ref> The idea of their solution is to guess the indexes of rows containing the leftmost and rightmost cells of the shape to be reconstructed, and then to set up a 2-SAT problem that tests whether there exists a shape consistent with these guesses and with the given row and column sums. They use four 2-SAT variables for each square that might be part of the given shape, one to indicate whether it belongs to each of four possible "corner regions" of the shape, and they use constraints that force these regions to be disjoint, to have the desired shapes, to form an overall shape with contiguous rows and columns, and to have the desired row and column sums. Their algorithm takes time {{math|O(''m''<sup>3</sup>''n'')}} where {{math|''m''}} is the smaller of the two dimensions of the input shape and {{math|''n''}} is the larger of the two dimensions.  The same method was later extended to orthogonally convex shapes
that might be connected only diagonally instead of requiring orthogonal connectivity.<ref>{{citation|first1=Attila|last1=Kuba|first2=Emese|last2=Balogh|title=Reconstruction of convex 2D discrete sets in polynomial time|journal=Theoretical Computer Science|volume=283|issue=1|year=2002|pages=223–242|doi=10.1016/S0304-3975(01)00080-9}}; {{citation|first1=Sara|last1=Brunetti|first2=Alain|last2=Daurat|title=An algorithm reconstructing convex lattice sets|journal=Theoretical computer science|volume=304|issue=1–3|pages=35–57|year=2003|doi=10.1016/S0304-3975(03)00050-1}}.</ref>
 
More recently, as part of a solver for full nonogram puzzles, {{harvs|last1=Batenburg|last2=Kosters|year=2008|year2=2009|txt}} used 2-SAT to combine information obtained from several other [[heuristic]]s. Given a partial solution to the puzzle, they use [[dynamic programming]] within each row or column to determine whether the constraints of that row or column force any of its squares to be white or black, and whether any two squares in the same row or column can be connected by an implication relation. They also transform the nonogram into a digital tomography problem by replacing the sequence of block lengths in each row and column by its sum, and use a [[maximum flow]] formulation to determine whether this digital tomography problem combining all of the rows and columns has any squares whose state can be determined or pairs of squares that can be connected by an implication relation. If either of these two heuristics determines the value of one of the squares, it is included in the partial solution and the same calculations are repeated. However, if both heuristics fail to set any squares, the implications found by both of them are combined into a 2-satisfiability problem and a 2-satisfiability solver is used to find squares whose value is fixed by the problem, after which the procedure is again repeated. This procedure may or may not succeed in finding a solution, but it is guaranteed to run in polynomial time. Batenburg and Kosters report that, although most newspaper puzzles do not need its full power, both this procedure and a more powerful but slower procedure which combines this 2-SAT approach with the limited backtracking of {{harvtxt|Even|Itai|Shamir|1976}}<ref name="EIS76"/> are significantly more effective than the dynamic programming and flow heuristics without 2-SAT when applied to more difficult randomly generated nonograms.<ref>{{citation|first1=K. Joost|last1=Batenburg|first2=Walter A.|last2=Kosters|contribution=A reasoning framework for solving Nonograms|title=Combinatorial Image Analysis, 12th International Workshop, IWCIA 2008, Buffalo, NY, USA, April 7–9, 2008, Proceedings|series=Lecture Notes in Computer Science|volume=4958|year=2008|publisher=Springer-Verlag|pages=372–383|doi=10.1007/978-3-540-78275-9_33}}; {{citation|first1=K. Joost|last1=Batenburg|first2=Walter A.|last2=Kosters|title=Solving Nonograms by combining relaxations|journal=Pattern Recognition|volume=42|issue=8|year=2009|pages=1672–1683|doi=10.1016/j.patcog.2008.12.003}}.</ref>
 
===Other applications===
2-satisfiability has also been applied to problems of recognizing [[undirected graph]]s that can be partitioned into an [[Independent set (graph theory)|independent set]] and a small number of [[complete bipartite graph|complete bipartite subgraphs]],<ref>{{citation|first1=Andreas|last1=Brandstädt|first2=Peter L.|last2=Hammer|author2-link=Peter Hammer|first3=Van Bang|last3=Le|first4=Vadim V.|last4=Lozin|title=Bisplit graphs|journal=[[Discrete Mathematics (journal)|Discrete Mathematics]]|volume=299|issue=1–3|year=2005|pages=11–32|doi=10.1016/j.disc.2004.08.046}}.</ref> inferring business relationships among autonomous subsystems of the internet,<ref>{{citation|first1=Hao|last1=Wang|first2=Haiyong|last2=Xie|first3=Yang Richard|last3=Yang|first4=Avi|last4=Silberschatz|first5=Li Erran|last5=Li|first6=Yanbin|last6=Liu|contribution=Stable egress route selection for interdomain traffic engineering: model and analysis|title=13th IEEE Conf. Network Protocols (ICNP)|year=2005|pages=16–29|doi=10.1109/ICNP.2005.39}}.</ref> and reconstruction of [[evolutionary tree]]s.<ref>{{citation|first1=Eleazar|last1=Eskin|first2=Eran|last2=Halperin|first3=Richard M.|last3=Karp|authorlink3=Richard Karp|title=Efficient reconstruction of haplotype structure via perfect phylogeny|journal=Journal of Bioinformatics and Computational Biology|year=2003|volume=1|issue=1|pages=1–20|url=http://www.worldscinet.com/cgi-bin/details.cgi?id=pii:S0219720003000174&type=html|doi=10.1142/S0219720003000174|pmid=15290779}}.</ref>
 
==Complexity and extensions==
===NL-completeness===
A nondeterministic algorithm for determining whether a 2-satisfiability instance is ''not'' satisfiable, using only a [[logarithm]]ic amount of writable memory, is easy to describe: simply choose (nondeterministically) a variable ''v'' and search (nondeterministically) for a chain of implications leading from ''v'' to its negation and then back to ''v''. If such a chain is found, the instance cannot be satisfiable. By the [[Immerman–Szelepcsényi theorem]], it is also possible in nondeterministic logspace to verify that a satisfiable 2-SAT instance is satisfiable.
 
2-satisfiability is [[NL-complete]],<ref>{{citation
| last = Papadimitriou | first = Christos H.
| authorlink = Christos Papadimitriou
| title = Computational Complexity
| pages = chapter 4.2
| publisher = Addison-Wesley
| year = 1994
| isbn = 0-201-53082-1}}., Thm. 16.3.</ref> meaning that it is one of the "hardest" or "most expressive" problems in the [[complexity class]] '''[[NL (complexity)|NL]]''' of problems solvable nondeterministically in logarithmic space. Completeness here means that a deterministic Turing machine using only logarithmic space can transform any other problem in '''NL''' into an equivalent 2-satisfiability problem.  Analogously to similar results for the more well-known complexity class ''[[NP (complexity)|NP]]'', this transformation together with the Immerman–Szelepcsényi theorem allow any problem in NL to be represented as a [[second order logic]] formula with a single existentially quantified predicate with clauses limited to length 2; such formulae are known as SO-Krom.<ref name="ck04">{{citation
| last1 = Cook | first1 = Stephen | author1-link = Stephen Cook
| last2 = Kolokolova | first2 = Antonina
| doi = 10.1109/LICS.2004.1319634
| title = 19th Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science (LICS'04)
| pages = 398–407
| contribution = A Second-Order Theory for NL
| year = 2004}}.</ref> Similarly, the [[implicative normal form]] can be expressed in [[first order logic]] with the addition of an operator for [[transitive closure]].<ref name="ck04"/>
 
===The set of all solutions===
[[File:2SAT median graph.svg|thumb|300px|The [[median graph]] representing all solutions to the example 2-SAT instance whose implication graph is shown above.]]
The set of all solutions to a 2-satisfiability instance has the structure of a [[median graph]], in which an edge corresponds to the operation of flipping the values of a set of variables that are all constrained to be equal or unequal to each other. In particular, by following edges in this way one can get from any solution to any other solution. Conversely, any median graph can be represented as the set of solutions to a 2-satisfiability instance in this way. The median of any three solutions is formed by setting each variable to the value it holds in the [[majority function|majority]] of the three solutions; this median always forms another solution to the instance.<ref>{{citation
| last1 = Bandelt | first1 = Hans-Jürgen
| last2 = Chepoi | first2 = Victor
| year = 2008
| title = Metric graph theory and geometry: a survey
| url = http://www.lif-sud.univ-mrs.fr/%7Echepoi/survey_cm_bis.pdf
| journal = Contemporary Mathematics}}, to appear. {{citation
| first1 = F. R. K. | last1 = Chung | authorlink1 = Fan Chung
| first2 = R. L. | last2 = Graham | authorlink2 = Ronald Graham
| first3 = M. E. | last3 = Saks
| title = A dynamic location problem for graphs
| url = http://www.math.ucsd.edu/~fan/mypaps/fanpap/101location.pdf
| journal = Combinatorica | volume = 9 | year = 1989 | pages = 111–132
| doi = 10.1007/BF02124674
| issue = 2}}. {{citation
| last = Feder | first = T.
| title = Stable Networks and Product Graphs
| series = Memoirs of the American Mathematical Society
| volume = 555 | year = 1995}}.</ref>
 
{{harvtxt|Feder|1994}} describes an algorithm for efficiently listing all solutions to a given 2-satisfiability instance, and for solving several related problems.<ref>{{citation|first=Tomás|last=Feder|title=Network flow and 2-satisfiability|journal=Algorithmica|volume=11|issue=3|year=1994|pages=291–319|doi=10.1007/BF01240738}}.</ref>
There also exist algorithms for finding two satisfying assignments that have the maximal [[Hamming distance]] from each other.<ref>{{citation|first1=Ola|last1=Angelsmark|first2=Johan|last2=Thapper|contribution=Algorithms for the maximum Hamming distance problem|title=Recent Advances in Constraints|publisher=Springer-Verlag|series=Lecture Notes in Computer Science|volume=3419|year=2005|pages=128–141|doi=10.1007/11402763_10}}.</ref>
 
===Counting the number of satisfying assignments===
'''#2SAT''' is the problem of counting the number of satisfying assignments to a given 2-CNF formula. This [[Counting problem (complexity)|counting problem]] is [[Sharp-P-complete|#P-complete]],<ref>{{citation
| last1 = Valiant | first1 = Leslie G. | authorlink = Leslie Valiant
| year = 1979
| title = The complexity of enumeration and reliability problems
| journal = SIAM Journal on Computing
| volume=8
| pages= 410–421
| doi = 10.1137/0208032
| issue = 3}}</ref> which implies that it is not solvable in [[polynomial time]] unless [[P versus NP problem|P&nbsp;=&nbsp;NP]]. Moreover, there is no [[Polynomial-time approximation scheme|fully polynomial randomized approximation scheme]] for #2SAT unless [[NP (complexity)|NP]] = [[RP (complexity)|RP]] and this even holds when the input is restricted to monotone 2-CNF formulas, i.e., 2-CNF formulas in which each [[Literal (mathematical logic)|literal]] is a positive occurrence of a variable.<ref>{{citation
| last1 = Welsh | first1 = Dominic
| last2 = Gale | first2 = Amy
| year = 2001
| title = The complexity of counting problems
| journal = Aspects of complexity: minicourses in algorithmics, complexity and computational algebra: mathematics workshop, Kaikoura, January 7–15, 2000
| pages = 115ff}}, Theorem 57.</ref>
 
The fastest known algorithm for computing the exact number of satisfying assignments to a 2SAT formula runs in time <math>O(1.246^n)</math>.<ref>{{citation|first1=Vilhelm|last1=Dahllöf|first2=Peter|last2=Jonsson|first3=Magnus|last3=Wahlström|title=Counting models for 2SAT and 3SAT formulae|journal=Theoretical Computer Science|volume=332|issue=1–3|year=2005|pages=265–291|doi=10.1016/j.tcs.2004.10.037}}</ref>
<ref>{{citation|first1=Martin|last1=Fürer|first2=Shiva Prasad|last2=Kasiviswanathan|contribution=Algorithms for counting 2-SAT solutions and colorings with applications|title=Algorithmic Aspects in Information and Management|publisher=Springer-Verlag|series=Lecture Notes in Computer Science|volume=4508|year=2007|pages=47–57|doi=10.1007/978-3-540-72870-2_5}}.</ref>
 
===Random 2-satisfiability instances===
 
One can form a 2-satisfiability instance at random, for a given number ''n'' of variables and ''m'' of clauses, by choosing each clause uniformly at random from the set of all possible two-variable clauses. When ''m'' is small relative to ''n'', such an instance will likely be satisfiable, but larger values of ''m'' have smaller probabilities of being satisfiable. More precisely, if ''m''/''n'' is fixed as a constant α ≠ 1, the probability of satisfiability tends to a [[Limit of a sequence|limit]] as ''n'' goes to infinity: if α&nbsp;&lt;&nbsp;1, the limit is one, while if α&nbsp;&gt;&nbsp;1, the limit is zero. Thus, the problem exhibits a [[phase transition]] at α&nbsp;=&nbsp;1.<ref>{{citation|first1=Béla|last1=Bollobás|author1-link=Béla Bollobás|first2=Christian|last2=Borgs|first3=Jennifer T.|last3=Chayes|first4=Jeong Han|last4=Kim|first5=David B.|last5=Wilson|title=The scaling window of the 2-SAT transition|journal=Random Structures and Algorithms|volume=18|issue=3|pages=201–256|year=2001|doi=10.1002/rsa.1006}}; {{citation|first1=V.|last1=Chvátal|authorlink1=Václav Chvátal|first2=B.|last2=Reed|author2-link=Bruce Reed (mathematician)|contribution=Mick gets some (the odds are on his side)|title=Proc. 33rd IEEE Symp. Foundations of Computer Science (FOCS)|year=1992|pages=620–627|doi=10.1109/SFCS.1992.267789}}; {{citation|first=A.|last=Goerdt|title=A threshold for unsatisfiability|journal=Journal of Computer and System Sciences|volume=53|year=1996|pages=469–486|doi=10.1006/jcss.1996.0081|issue=3}}.</ref>
 
===Maximum-2-satisfiability ===<!-- MAX-2-SAT redirects here -->
 
In the maximum-2-satisfiability problem ('''MAX-2-SAT'''), the input is a formula in [[conjunctive normal form]] with two [[Literal (mathematical logic)|literals]] per clause, and the task is to determine the maximum number of clauses that can be simultaneously satisfied by an assignment. MAX-2-SAT is [[NP-hard]] and it is a particular case of a [[maximum satisfiability problem]].
 
By formulating MAX-2-SAT as a problem of finding a [[Cut (graph theory)|cut]] (that is, a partition of the vertices into two subsets) maximizing the number of edges that have one endpoint in the first subset and one endpoint in the second, in a graph related to the implication graph, and applying [[semidefinite programming]] methods to this cut problem, it is possible to find in polynomial time an approximate solution that satisfies at least 0.940... times the optimal number of clauses.<ref>{{citation|first1=Michael|last1=Lewin|first2=Dror|last2=Livnar|first3=Uri|last3=Zwick|title=Improved Rounding Techniques for the MAX 2-SAT and MAX DI-CUT Problems|journal=Proceedings of the 9th International IPCO Conference on Integer Programming and Combinatorial Optimization|year=2002|pages=67–82|isbn=3-540-43676-6|publisher=Springer-Verlag}}</ref> A ''balanced'' MAX 2-SAT instance is an instance of MAX 2-SAT where every variable appears positively and negatively with equal weight. For this problem, one can improve the approximation ratio to <math>\min \left\{(3 - \cos \theta)^{-1} (2 + (2/\pi)\theta) \,:\, \pi/2 \leq \theta \leq \pi \right\} = 0.943...</math>.
 
If the [[unique games conjecture]] is true, then it is impossible to approximate MAX 2-SAT, balanced or not, with an [[approximation ratio|approximation constant]] better than 0.943... in polynomial time.<ref>{{citation|first1=Subhash|last1=Khot|author1-link=Subhash Khot|first2=Guy|last2=Kindler|first3=Elchanan|last3=Mossel|first4=Ryan|last4=O'Donnell|title=Optimal Inapproximability Results for MAX-CUT and Other 2-Variable CSPs?|journal=FOCS '04: Proceedings of the 45th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science|year=2004|pages=146–154|doi=10.1109/FOCS.2004.49|isbn=0-7695-2228-9|publisher=IEEE}}</ref>
Under the weaker assumption that [[P versus NP problem|P&nbsp;≠&nbsp;NP]], the problem is only known to be inapproximable within a constant better than 21/22 = 0.95454...<ref>{{citation|first=Johan|last=Håstad|authorlink=Johan Håstad|title=Some optimal inapproximability results|journal=Journal of the Association for Computing Machinery|volume=48|issue=4|year=2001|pages=798–859|doi=10.1145/502090.502098}}.</ref>
 
Various authors have also explored exponential worst-case time bounds for exact solution of MAX-2-SAT instances.<ref>{{citation|first1=N.|last1=Bansal|first2=V.|last2=Raman|contribution=Upper bounds for MaxSat: further improved|editor1-first=A.|editor1-last=Aggarwal|editor2-first=C.|editor2-last=Pandu Rangan|title=Proc. 10th Conf. Algorithms and Computation, ISAAC’99|series=Lecture Notes in Computer Science|volume=1741|publisher=Springer-Verlag|year=1999|pages=247–258}}; {{citation|first1=Jens|last1=Gramm|first2=Edward A.|last2=Hirsch|first3=Rolf|last3=Niedermeier|first4=Peter|last4=Rossmanith|title=Worst-case upper bounds for MAX-2-SAT with an application to MAX-CUT|journal=Discrete Applied Mathematics|volume=130|issue=2|year=2003|pages=139–155|doi=10.1016/S0166-218X(02)00402-X}}; {{citation|first1=Arist|last1=Kojevnikov|first2=Alexander S.|last2=Kulikov|contribution=A new approach to proving upper bounds for MAX-2-SAT|title=Proc. 17th ACM-SIAM Symp. Discrete Algorithms|year=2006|pages=11–17|doi=10.1145/1109557.1109559}}</ref>
 
===Weighted-2-satisfiability===
In the weighted 2-satisfiability problem ('''W2SAT'''), the input is an <math>n</math>-variable 2SAT instance and an integer {{math|''k''}}, and the problem is to decide whether there exists a satisfying assignment in which at most {{math|''k''}} of the variables are true. One may easily encode the [[vertex cover problem]] as a W2SAT problem: given a graph {{math|''G''}} and a bound {{math|''k''}} on the size of a vertex cover, create a variable for each vertex of a graph, and for each edge {{math|''uv''}} of the graph create a 2SAT clause {{math|''u'' ∨ ''v''}}. Then the satisfying instances of the resulting 2SAT formula encode solutions to the vertex cover problem, and there is a satisfying assignment with  {{math|''k''}} true variables if and only if there is a vertex cover with  {{math|''k''}} vertices. Therefore, W2SAT is [[NP-complete]].
 
Moreover, in [[parameterized complexity]] W2SAT provides a natural [[W(1)|W[1]-complete]] problem,<ref>{{Citation
| last=Flum  | first=Jörg
| last2=Grohe | first2=Martin
| title = Parameterized Complexity Theory | year = 2006 | publisher = Springer
| url = http://www.springer.com/east/home/generic/search/results?SGWID=5-40109-22-141358322-0
| isbn = 978-3-540-29952-3 |ref=harv
}}</ref> which implies that W2SAT is not [[fixed-parameter tractable]] unless  this holds for all problems in [[W(1)|W[1]]]. That is, it is unlikely that there exists an algorithm for W2SAT whose running time takes the form {{math|''f''(''k'')&middot;''n''<sup>''O''(1)</sup>}}. Even more strongly, W2SAT cannot be solved in time {{math|''n''<sup>''o''(''k'')</sup>}} unless the [[exponential time hypothesis]] fails.<ref>{{citation
  |first1=Jianer | last1=Chen
  |first2=Xiuzhen | last2=Huang
  |first3=Iyad A. | last3=Kanj
  |first4=Ge | last4=Xia
  |title=Strong computational lower bounds via parameterized complexity
  |journal=J. Comput. Syst. Sci.
  |volume=72
  |year=2006
  |pages=1346–1367
  |doi=10.1016/j.jcss.2006.04.007
  |issue=8}}</ref>
 
===Quantified Boolean formulae===
As well as finding the first polynomial-time algorithm for 2-satisfiability, {{harvtxt|Krom|1967}} also formulated the problem of evaluating [[True quantified Boolean formula|fully quantified Boolean formulae]] in which the formula being quantified is a 2-CNF formula. The 2-satisfiability problem is the special case of this quantified 2-CNF problem, in which all quantifiers are [[existential quantifier|existential]]. Krom also developed an effective decision procedure for these formulae; {{harvtxt|Aspvall|Plass|Tarjan|1979}} showed that it can be solved in linear time, by an extension of their technique of strongly connected components and topological ordering.<ref name="Krom1967"/><ref name="APT79"/>
 
===Many-valued logics===
The 2-SAT problem can also be asked for propositional [[many-valued logic]]s. The algorithms are not usually linear, and for some logics the problem is even NP-complete; see {{harvs|last=Hähnle|year=2001|year2=2003|txt}} for surveys.<ref>{{citation|editor1-first=Dov M.|editor1-last=Gabbay|editor2-first=Franz|editor2-last=Günthner|title=Handbook of philosophical logic|url=http://books.google.com/books?id=_ol81ow-1s4C&pg=PA373|year=2001|publisher=Springer|isbn=978-0-7923-7126-7|page=373|chapter=Advanced many-valued logics|first=Reiner|last=Hähnle|edition=2nd|volume=2}}; {{citation|editor1-first=Melvin|editor1-last=Fitting|editor2-first=Ewa|editor2-last=Orlowska|title=Beyond two: theory and applications of multiple-valued logic|year=2003|publisher=Springer|isbn=978-3-7908-1541-2|first=Reiner|last=Hähnle|chapter=Complexity of Many-valued Logics}}</ref>
 
==See also==
* [[HORNSAT]]
 
==References==
{{reflist|colwidth=25em}}
 
{{DEFAULTSORT:2-Satisfiability}}
[[Category:NL-complete problems]]
[[Category:Satisfiability problems]]

Latest revision as of 09:47, 26 July 2014

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