|
|
| (One intermediate revision by one other user not shown) |
| Line 1: |
Line 1: |
| In [[mathematics]], specifically in [[homotopy theory]], a '''classifying space''' ''BG'' of a [[topological group]] ''G'' is the quotient of a [[weakly contractible]] space ''EG'' (i.e. a topological space for which all its [[homotopy group]]s are trivial) by a [[free action]] of ''G''. It has the property that any ''G'' [[principal bundle]] over a [[paracompact]] manifold is isomorphic to a [[pullback bundle|pullback]] of the principal bundle ''EG'' → ''BG''.<ref>{{Citation | last1=Stasheff | first1=James D.|authorlink=Jim Stasheff | title=Algebraic topology (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | year=1971 | chapter=''H''-spaces and classifying spaces: foundations and recent developments | pages=247–272}}, Theorem 2</ref>
| | == alebo horšie. Nike Run == |
|
| |
|
| For a [[discrete group]] ''G'', ''BG'' is, roughly speaking, a [[connected space|path-connected]] [[topological space]] ''X'' such that the [[fundamental group]] of ''X'' is isomorphic to ''G'' and the higher [[homotopy groups]] of ''X'' are [[trivial group|trivial]], that is, ''BG'' is an [[Eilenberg-Maclane space]], or a ''K(G,1)''.
| | Takže od tej doby má letenku už môžeme tiež urobiť výlet z nej. Som žartom navrhol, ideme do Disneylandu (hey, ja chcem vidieť Kalifornia vánok zblízka). To je náš šiesty výlet do Štátov. Polica de Uso:? La Guia Hotel v sídle Guia de Hoteles en Brasil, žiadne eval la Calidad de los servicios prestados por los Establecimientos, la estructura en el sitio ňu lo que el hotel ofrece. Si o sebe konzultačné la Guia Hotel v sídle usted acepta los tminos de uso de este sitio. Para m Detalles Haga clic aqu? /> ... <br><br>Dry stav počasia zvíťazil v ostatných častiach štátu. Karnataka v období od marca 11 až 17 marca zaznamenali prebytok dažďové zrážky. Dôvod: bez ohľadu na to, ako dobré počasie, park je zafajčený. Frates bol diagnostikovaný s ALS marca 2012 27 rokov. Beverly, Massachusetts, rodák, hral v outfield pre Maroon a zlato od roku 2004 do 07. Kapitán jeho ročníku, on dokončil jeho BC kariéru s 107 štartmi, v priemere 0,228, 88 zobrazenie, 56 RBIs, 11 domov . <br><br>18 mesiacov, že to jednoducho brať rovnaký krok ako David Guetta je. Použitie slávnej featurings zasiahnuť. Preto, že to nie je jeho pôvodný zvuk, je to ako používať popovej spevákmi na elektronickej hudby, a to jednoducho necíti to isté. Táto kohorta tvorí kvantitatívne rámec, v ktorom sú vnorené niekoľko, väčšinou kvalitatívne, projekty študujúci preferencie a očakávania pacientov a použiteľnosť smerníc dopredu. Kohorta tiež tvorí základ pre projekt ďalej rozvíjať [http://www.reinatour.cz/UserFiles/config.asp Nike Run] koncept osobné dôstojnosť na konci života. V roku 2008 získala v kariére ocenenie od holandskej organizácie pre vedecký výskum (NWO, Vici systém) pre pohľadu pacienta výskumného programu na konci životnosti starostlivosti: osobnú dôstojnosť, preferencie a účasť.. <br><br>V tomto sypký hry, môžete ponoriť hlboko do vesmíru, jesť a vyvíja, zber do malej sústa pomôcť vášmu stvorenia väčšie a zložitejšie. S vloženým dizajnom DDA (prispôsobenie Dynamic obtiažnosti), hráči s rôznym stupňom zručností môže intuitívne prispôsobiť svoj zážitok z hry a vychutnať si hru svojím vlastným tempom. Hráči môžu tiež prispôsobiť vzhľad svojich organizmov založených na hranie ... <br><br>Ale majte sa na pozore! Niektoré z nich majú legitímne príležitosti, zatiaľ čo iní sa treba vyhnúť. Podvodníci často sa z reklamy sľubujú veľké peniaze za [http://www.tankovepivo.cz/application/error.asp Polo Ralph Lauren Praha] prácu doma. Povedala, kam sa pozerať, robiť a čo nerobiť, a ako [http://www.tankovepivo.cz/editor/filer.asp Nike Free Run] veľmi sa dá odôvodnene očakávať, že robiť. <br><br>Oni sa vzali 20. Júna 1955, v hoteli The Plaza Hotel v New York [http://www.kolomy.cz/includes/define.asp Hollister Shop] City. Manželstvo bolo údajne zrušené v roku 1958. Záleží tiež na drogy samotnej, samozrejme. Je to už niekoľko rokov, čo som si užíval. Pri spätnom pohľade som mal pekne desivé chvíle a ja som stále ohromený som nikdy nemal predávkovania, autonehodu, alebo horšie.<ul> |
| | | |
| ==Motivation==
| | <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum18072587 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum18072587]</li> |
| An example for ''G'' [[infinite cyclic]] is the [[circle]] as ''X''. When ''G'' is a [[discrete group]], another way to specify the condition on ''X'' is that the [[universal cover]] ''Y'' of ''X'' is [[contractible]]. In that case the projection map
| | |
| | | <li>[http://www.kaichequba.com/forum.php?mod=viewthread&tid=26820&fromuid=4187 http://www.kaichequba.com/forum.php?mod=viewthread&tid=26820&fromuid=4187]</li> |
| :<math>\pi: Y\longrightarrow X\ </math>
| | |
| | | <li>[http://www.snesup-paris13.org/spip.php?article1/ http://www.snesup-paris13.org/spip.php?article1/]</li> |
| becomes a [[fiber bundle]] with structure group ''G'', in fact a [[principal bundle]] for ''G''. The interest in the classifying space concept really arises from the fact that in this case ''Y'' has a [[universal property]] with respect to principal ''G''-bundles, in the [[homotopy category]]. This is actually more basic than the condition that the higher homotopy groups vanish: the fundamental idea is, given ''G'', to find such a contractible space ''Y'' on which ''G'' acts ''[[group action|freely]]''. (The [[weak equivalence (homotopy theory)|weak equivalence]] idea of homotopy theory relates the two versions.) In the case of the circle example, what is being said is that we remark that an infinite cyclic group ''C'' acts freely on the [[real line]] ''R'', which is contractible. Taking ''X'' as the [[quotient space]] circle, we can regard the projection π from ''R'' = ''Y'' to ''X'' as a [[helix]] in geometrical terms, undergoing projection from three dimensions to the plane. What is being claimed is that π has a universal property amongst principal ''C''-bundles; that any principal ''C''-bundle in a definite way 'comes from' π.
| | |
| | | <li>[http://www.metransparent.com/spip.php?article10827&lang=ar&id_forum=14263/ http://www.metransparent.com/spip.php?article10827&lang=ar&id_forum=14263/]</li> |
| ==Formalism==
| | |
| A more formal statement takes into account that ''G'' may be a [[topological group]] (not simply a ''discrete group''), and that [[group action]]s of ''G'' are taken to be continuous; in the absence of continuous actions the classifying space concept can be dealt with, in homotopy terms, via the [[Eilenberg–MacLane space]] construction. In homotopy theory the definition of a topological space ''BG'', the '''classifying space''' for principal ''G''-bundles, is given, together with the space ''EG'' which is the '''total space''' of the [[universal bundle]] over ''BG''. That is, what is provided is in fact a [[continuous mapping]]
| | <li>[http://www.film-video-dvd-production.com/spip.php?article6/ http://www.film-video-dvd-production.com/spip.php?article6/]</li> |
| | | |
| :<math>\pi: EG\longrightarrow BG.\ </math>
| | </ul> |
| | |
| Assume that the homotopy category of [[CW complex]]es is the underlying category, from now on. The ''classifying'' property required of ''BG'' in fact relates to π. We must be able to say that given any principal ''G''-bundle
| |
| | |
| :<math>\gamma: Y\longrightarrow Z\ </math>
| |
| | |
| over a space ''Z'', there is a '''classifying map''' φ from ''Z'' to ''BG'', such that γ is the [[pullback of a bundle]] of π along φ. In less abstract terms, the construction of γ by 'twisting' should be reducible via φ to the twisting already expressed by the construction of π.
| |
| | |
| For this to be a useful concept, there evidently must be some reason to believe such spaces ''BG'' exist. In abstract terms (which are not those originally used around 1950 when the idea was first introduced) this is a question of whether the [[contravariant functor]] from the homotopy category to the [[category of sets]], defined by
| |
| | |
| :''h''(''Z'') = set of isomorphism classes of principal ''G''-bundles on ''Z'' | |
| | |
| is a [[representable functor]]. The abstract conditions being known for this ([[Brown's representability theorem]]) the result, as an [[existence theorem]], is affirmative and not too difficult.
| |
| | |
| ==Examples==
| |
| #The [[circle]] '''S'''<sup>1</sup> is a classifying space for the [[infinite cyclic group]] '''Z'''.
| |
| #The [[torus|''n''-torus]] <math>\mathbb T^n</math> is a classifying space for '''Z'''<sup>''n''</sup>, the [[free abelian group]] of rank ''n''.
| |
| #The wedge of ''n'' circles is a classifying space for the [[free group]] of rank ''n''.
| |
| #A [[closed manifold|closed]] (that is [[compact space|compact]] and without boundary) connected [[surface]] ''S'' of [[Genus (mathematics)|genus]] at least 1 is a classifying space for its [[fundamental group]] <math>\pi_1(S)</math>.
| |
| #The [[Real_projective_space#Infinite_real_projective_space|infinite-dimensional projective space]] <math>\mathbb {RP}^\infty</math> is a classifying space for '''Z'''/2'''Z'''.
| |
| #A [[closed manifold|closed]] (that is [[compact space|compact]] and without boundary) connected [[hyperbolic manifold]] ''M'' is a classifying space for its [[fundamental group]] <math>\pi_1(M)</math>.
| |
| #A finite connected locally [[CAT(0) space|CAT(0)]] [[cubical complex]] is a classifying space of its [[fundamental group]].
| |
| #<math>\mathbb{CP}^\infty</math> is the classifying space ''B'''''S'''<sup>1</sup> for the circle '''S'''<sup>1</sup> thought of as a compact topological group.
| |
| | |
| ==Applications==
| |
| This still leaves the question of doing effective calculations with ''BG''; for example, the theory of [[characteristic class]]es is essentially the same as computing the [[cohomology group]]s of ''BG'', at least within the restrictive terms of homotopy theory, for interesting groups ''G'' such as [[Lie group]]s. As was shown by the [[Bott periodicity theorem]], the [[homotopy group]]s of ''BG'' are also of fundamental interest. The early work on classifying spaces introduced constructions (for example, the [[bar construction]]), that gave concrete descriptions as a [[simplicial complex]].
| |
| | |
| An example of a classifying space is that when ''G'' is cyclic of order two; then ''BG'' is [[real projective space]] of infinite dimension, corresponding to the observation that ''EG'' can be taken as the contractible space resulting from removing the origin in an infinite-dimensional [[Hilbert space]], with ''G'' acting via ''v'' going to −''v'', and allowing for [[homotopy equivalence]] in choosing ''BG''. This example shows that classifying spaces may be complicated.
| |
| | |
| In relation with [[differential geometry]] ([[Chern–Weil theory]]) and the theory of [[Grassmannian]]s, a much more hands-on approach to the theory is possible for cases such as the [[unitary group]]s that are of greatest interest. The construction of the [[Thom complex]] ''MG'' showed that the spaces ''BG'' were also implicated in [[cobordism theory]], so that they assumed a central place in geometric considerations coming out of [[algebraic topology]]. Since [[group cohomology]] can (in many cases) be defined by the use of classifying spaces, they can also be seen as foundational in much [[homological algebra]].
| |
| | |
| Generalizations include those for classifying [[foliation]]s, and the [[classifying topos]]es for logical theories of the predicate calculus in [[intuitionistic logic]] that take the place of a 'space of models'.
| |
| | |
| ==References== | |
| <references /> | |
| * J.P. May, ''A concise course in algebraic topology''
| |
| | |
| == External links == | |
| *{{Springer|id=C/c022440|title=Classifying space}}
| |
| | |
| ==See also==
| |
| * [[Classifying space for O(n)]], ''B''O(''n'')
| |
| * [[Classifying space for U(n)]], ''B''U(''n'')
| |
| * [[Classifying stack]]
| |
| | |
| [[Category:Algebraic topology]]
| |
| [[Category:Homotopy theory]]
| |
| [[Category:Fiber bundles]]
| |
| [[Category:Representable functors]]
| |
alebo horšie. Nike Run
Takže od tej doby má letenku už môžeme tiež urobiť výlet z nej. Som žartom navrhol, ideme do Disneylandu (hey, ja chcem vidieť Kalifornia vánok zblízka). To je náš šiesty výlet do Štátov. Polica de Uso:? La Guia Hotel v sídle Guia de Hoteles en Brasil, žiadne eval la Calidad de los servicios prestados por los Establecimientos, la estructura en el sitio ňu lo que el hotel ofrece. Si o sebe konzultačné la Guia Hotel v sídle usted acepta los tminos de uso de este sitio. Para m Detalles Haga clic aqu? /> ...
Dry stav počasia zvíťazil v ostatných častiach štátu. Karnataka v období od marca 11 až 17 marca zaznamenali prebytok dažďové zrážky. Dôvod: bez ohľadu na to, ako dobré počasie, park je zafajčený. Frates bol diagnostikovaný s ALS marca 2012 27 rokov. Beverly, Massachusetts, rodák, hral v outfield pre Maroon a zlato od roku 2004 do 07. Kapitán jeho ročníku, on dokončil jeho BC kariéru s 107 štartmi, v priemere 0,228, 88 zobrazenie, 56 RBIs, 11 domov .
18 mesiacov, že to jednoducho brať rovnaký krok ako David Guetta je. Použitie slávnej featurings zasiahnuť. Preto, že to nie je jeho pôvodný zvuk, je to ako používať popovej spevákmi na elektronickej hudby, a to jednoducho necíti to isté. Táto kohorta tvorí kvantitatívne rámec, v ktorom sú vnorené niekoľko, väčšinou kvalitatívne, projekty študujúci preferencie a očakávania pacientov a použiteľnosť smerníc dopredu. Kohorta tiež tvorí základ pre projekt ďalej rozvíjať Nike Run koncept osobné dôstojnosť na konci života. V roku 2008 získala v kariére ocenenie od holandskej organizácie pre vedecký výskum (NWO, Vici systém) pre pohľadu pacienta výskumného programu na konci životnosti starostlivosti: osobnú dôstojnosť, preferencie a účasť..
V tomto sypký hry, môžete ponoriť hlboko do vesmíru, jesť a vyvíja, zber do malej sústa pomôcť vášmu stvorenia väčšie a zložitejšie. S vloženým dizajnom DDA (prispôsobenie Dynamic obtiažnosti), hráči s rôznym stupňom zručností môže intuitívne prispôsobiť svoj zážitok z hry a vychutnať si hru svojím vlastným tempom. Hráči môžu tiež prispôsobiť vzhľad svojich organizmov založených na hranie ...
Ale majte sa na pozore! Niektoré z nich majú legitímne príležitosti, zatiaľ čo iní sa treba vyhnúť. Podvodníci často sa z reklamy sľubujú veľké peniaze za Polo Ralph Lauren Praha prácu doma. Povedala, kam sa pozerať, robiť a čo nerobiť, a ako Nike Free Run veľmi sa dá odôvodnene očakávať, že robiť.
Oni sa vzali 20. Júna 1955, v hoteli The Plaza Hotel v New York Hollister Shop City. Manželstvo bolo údajne zrušené v roku 1958. Záleží tiež na drogy samotnej, samozrejme. Je to už niekoľko rokov, čo som si užíval. Pri spätnom pohľade som mal pekne desivé chvíle a ja som stále ohromený som nikdy nemal predávkovania, autonehodu, alebo horšie.