|
|
| Line 1: |
Line 1: |
| In [[mathematics]], '''pointless topology''' (also called '''point-free''' or '''pointfree topology''') is an approach to [[topology]] that avoids mentioning points. The name 'pointless topology' is due to [[John von Neumann]].<ref>Garrett Birkhoff, ''VON NEUMANN AND LATTICE THEORY'', ''John Von Neumann 1903-1957'', J. C. Oxtoley, B. J. Pettis, American Mathematical Soc., 1958, page 50-5 </ref> The ideas of pointless topology are closely related to [[mereotopology| mereotopologies]] in which regions (sets) are treated as foundational without explicit reference to underlying point sets.
| | W jaki sposób pozycjonować? Wideto acz pamiętać, że pozycjonowanie nie istnieje procesem jednokrotnym. Czy opieko dlatego pozycjonować stronę natomiast jeśliby tak, to w jaki sposób? Niezależnie od owego, czy przeważymy blog o konserwacji ogródka, czy taż paginę z poradnikami dla majsterkowiczów, [http://freetowerdefensegames.org/profile/woj87 Białystok] zaś przerwawszy na portalu ze opanowaniami - pyszne pozycje w wyszukiwarką tasują się na postęp wartości eksploatatorów.<br><br>Tutaj nie ma jednej, rzadkiej metody. Najakuratniej zdać się na badanie ekspertów, którzy za małą wypłatą ugoszczą się pozycjonowania naszej gablotki i zapożyczą na siebie wszystkie ewentualne, przeczące konsekwencje pozycjonowania. Pozycjonować stronę zawsze wideto.<br><br>Jeśliby tylko przestaniem dbać o lokalizację polskiej paginy internetowej, to prawdopodobnie w przewiewu kilku najbliższych [http://minecraftplayforfreeonline.net/profile/22926/froxley pozycjonowanie w Białymstoku] tygodniu spadnie ona w wytworach wyszukiwań. I niesamorzutne wahania lokalizacji mogą sprawić jej dogłębne rozdysponowanie z rezultatów jako sankcję za zabawianie nieotwartych przedsięwzięć w stosunku do konkurencji natomiast samymi wyszukiwarki internetowej.<br><br>Pozycjonować stronę internetową wolno na wiele sposób - wolno przydawać ją do informatorów strony, zastępować się linkami, kupować linki, czy taż po prostu skupić się na jej ewoluowaniu a rachować na oczywisty rozwój zalety treściowej paginy, jaki sam przełoży się na wzrost ilości konsumentów. |
| | |
| ==General concepts==
| |
| Traditionally, a [[topological space]] consists of a [[Set (mathematics)|set]] of [[point (topology)|points]], together with a system of [[open set]]s. These open sets with the operations of [[intersection (set theory)|intersection]] and [[union (set theory)|union]] form a [[lattice (order)|lattice]] with certain properties. Pointless topology then studies lattices like these abstractly, without reference to any underlying set of points. Since some of the so-defined lattices do not arise from topological spaces, one may see the [[category theory|category]] of pointless topological spaces, also called [[Frames and locales|locales]], as an extension of the category of ordinary topological spaces.
| |
| | |
| ==Categories of frames and locales==
| |
| :{{main|Frames and locales}} | |
| Formally, a '''frame''' is defined to be a [[lattice (order)|lattice]] ''L'' in which finite [[Meet (mathematics)|meet]]s [[Distributivity (order theory)|distribute]] over arbitrary [[Join (mathematics)|joins]], i.e. every (even infinite) subset {''a''<sub>i</sub>} of ''L'' has a [[supremum]] ⋁''a''<sub>''i''</sub> such that
| |
| | |
| :<math>b \wedge \left( \bigvee a_i\right) = \bigvee \left(a_i \wedge b\right)</math>
| |
| | |
| for all ''b'' in ''L''. These frames, together with lattice homomorphisms that respect arbitrary suprema, form a category. The [[dual (category theory)|dual]] of the '''category of frames''' is called the '''category of locales''' and generalizes the category '''[[category of topological spaces|Top]]''' of all topological spaces with continuous functions. The consideration of the dual category is motivated by the fact that every [[continuous function (topology)|continuous map]] between topological spaces ''X'' and ''Y'' induces a map between the lattices of open sets ''in the opposite direction'' as for every continuous function ''f'': ''X'' → ''Y'' and every open set ''O'' in ''Y'' the [[inverse image]] ''f''<sup> -1</sup>(''O'') is an open set in ''X''.
| |
| | |
| ==Relation to point-set topology==
| |
| It is possible to translate most concepts of [[point-set topology]] into the context of locales, and prove analogous theorems. While many important theorems in point-set topology require the [[axiom of choice]], this is not true for some of their analogues in locale theory. This can be useful if one works in a [[topos]] that does not have the axiom of choice.
| |
| | |
| The concept of "product of locales" diverges slightly from the concept of "[[Product_topology|product of topological spaces]]", and this divergence has been called a disadvantage of the locale approach.
| |
| Others{{who|date=November 2010}} claim that the locale product is more natural, and point to several "desirable" properties{{Which?|date=November 2010}} not shared by products of topological spaces.
| |
| | |
| For almost all spaces (more precisely for [[sober space]]s), the topological product and the localic product have the same set of points. The products differ in how equality between sets of open rectangles, the canonical base for the product topology, is defined: equality for the topological product means the same set of points is covered;
| |
| equality for the localic product means provable equality using the frame axioms. As a result, two open sublocales of a localic product may contain exactly the same points without being equal.
| |
| | |
| A point where locale theory and topology diverge much more strongly is the concept of subspaces vs. sublocales.
| |
| The rational numbers have ''c'' subspaces but 2<sup>''c''</sup> sublocales. The proof for the latter statement is due to [[John Isbell]], and uses the fact that the rational numbers have ''c'' many pairwise almost disjoint (= finite intersection) closed subspaces.<ref>{{citation
| |
| | last = Isbell | first = John
| |
| | contribution = Some problems in descriptive locale theory
| |
| | location = Providence, RI
| |
| | mr = 1192150
| |
| | pages = 243–265
| |
| | publisher = Amer. Math. Soc.
| |
| | series = CMS Conf. Proc.
| |
| | title = Category theory 1991 (Montreal, PQ, 1991)
| |
| | volume = 13
| |
| | year = 1992}}. See in particular [http://books.google.com/books?id=3hwiWc4iau0C&pg=PA245 p. 245].</ref>
| |
| | |
| ==See also==
| |
| * [[Heyting algebra]]. A locale is a [[complete Heyting algebra]].
| |
| * Details on the relationship between the category of topological spaces and the category of locales, including the explicit construction of the duality between [[sober space]]s and spatial locales, are to be found in the article on [[Stone duality]].
| |
| * [[Point-free geometry]]
| |
| * [[Mereology]]
| |
| * [[Mereotopology]]
| |
| | |
| ==References==
| |
| {{reflist}}
| |
| *[[Peter Johnstone (mathematician)|Johnstone, Peter T.]], 1983, "[http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183550014 The point of pointless topology,]" ''Bulletin of the American Mathematical Society 8(1)'': 41-53.
| |
| | |
| [[Category:Category theory]]
| |
| [[Category:General topology]]
| |
W jaki sposób pozycjonować? Wideto acz pamiętać, że pozycjonowanie nie istnieje procesem jednokrotnym. Czy opieko dlatego pozycjonować stronę natomiast jeśliby tak, to w jaki sposób? Niezależnie od owego, czy przeważymy blog o konserwacji ogródka, czy taż paginę z poradnikami dla majsterkowiczów, Białystok zaś przerwawszy na portalu ze opanowaniami - pyszne pozycje w wyszukiwarką tasują się na postęp wartości eksploatatorów.
Tutaj nie ma jednej, rzadkiej metody. Najakuratniej zdać się na badanie ekspertów, którzy za małą wypłatą ugoszczą się pozycjonowania naszej gablotki i zapożyczą na siebie wszystkie ewentualne, przeczące konsekwencje pozycjonowania. Pozycjonować stronę zawsze wideto.
Jeśliby tylko przestaniem dbać o lokalizację polskiej paginy internetowej, to prawdopodobnie w przewiewu kilku najbliższych pozycjonowanie w Białymstoku tygodniu spadnie ona w wytworach wyszukiwań. I niesamorzutne wahania lokalizacji mogą sprawić jej dogłębne rozdysponowanie z rezultatów jako sankcję za zabawianie nieotwartych przedsięwzięć w stosunku do konkurencji natomiast samymi wyszukiwarki internetowej.
Pozycjonować stronę internetową wolno na wiele sposób - wolno przydawać ją do informatorów strony, zastępować się linkami, kupować linki, czy taż po prostu skupić się na jej ewoluowaniu a rachować na oczywisty rozwój zalety treściowej paginy, jaki sam przełoży się na wzrost ilości konsumentów.