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In [[mathematics]], the '''Thom space,''' '''Thom complex,''' or '''Pontryagin-Thom construction''' (named after [[René Thom]] and [[Lev Pontryagin]]) of [[algebraic topology]] and [[differential topology]] is a [[topological space]] associated to a [[vector bundle]], over any [[paracompact]] space.
== Abercrombie Louise Garder une maison propre ==


==Construction of the Thom space==
Suivi avec votre adolescent sur qui ils sont amis avec, à la fois en ligne et hors .. Donc dans l'ensemble, je pense que le hautbois doit être considérée comme un instrument très difficile à apprendre à jouer, et encore moins, et il serait même de plus en plus difficile <br><br>Grâce à lui, toutes choses sont possibles. La plupart de la génétique semble être sur la pose d'une base, puis casser pour faire un [http://www.spellenclubs.be/extern/functions.asp?l=7-Abercrombie-Louise Abercrombie Louise] pas au-delà. Mon mari a perdu son emploi pour cause de maladie et nous avons perdu tout la seule façon que nous allons posséder encore une maison serait de gagner l'un parce que nous ne pouvions pas le faire sur mon salaire.<br><br>L'objectif de la recherche est sur les mammifères marins dans le sud de la Californie Bight, une zone de 90.000 de mile carré du Pacifique oriental qui s'étend 450 miles le long de la côte de l'océan Pacifique à partir de Point Conception, près de Santa Barbara sud de Cabo Colonet en Basse-Californie, au Mexique ..<br><br>Garder une maison propre, trop, et ne lui donner aucune raison de vous méfier. Si vous voulez donner un cadeau d'une vie, pourquoi ne pas égayer la journée de quelqu'un en nommant une étoile après eux. Cela provoque le ressentiment .. "Le carburant est un coût énorme pour eux dollar sage, mais il est aussi un coût énorme quand ils doivent envoyer ces convois de carburant des centaines de miles en Afghanistan pour fournir du carburant aux troupes, de mettre la vie des gens en danger», <br><br>Mais certaines études ont montré lois résidence ne font rien pour empêcher de nouveaux crimes sexuels contre les enfants en partie parce que de nombreux délinquants sont liés à leurs victimes et de créer une pression indue sur les organismes d'application de la loi .. L'annulation est le moyen Églises catholiques de vous acheter de sortir [http://www.lebleu.be/SpryAssets/content.asp?h=41-Timberland-Bruxelles Timberland Bruxelles] d'une vie <br><br>  Coachella Valley High School a eu le même mascotte de plus de 80 ans, mais ce n'est pas sans controversy.At une fois que le nom de [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=114-Nike-Air-Max-2014-Flyknit Nike Air Max 2014 Flyknit] l'équipe de football professionnel, les Redskins, a fait l'objet à l'exactitude microscope politique, a donc le nom de la La mascotte de l'école, la Arabs.Read plus tendance à storiesAccording KESQ, le Comité anti-discrimination arabo-américaine a envoyé une lettre à Coachella, exhortant l'école d'abandonner le nom, car il continue les stéréotypes négatifs du groupe arabe Americans.The veut le surnom, mascotte intimidation, logos et même la danse des écoles mi-temps du ventre performancechanged.Severe conduit aurait joueur de la NFL à marcher hors teamSchool intimide cuir chevelu déchirure de 8 ans girlBrother meurt sur le chemin de l'hôpital après la suicideMan sœur accusé à tort d'être pédophile brûlé aliveDaughter tue mère [http://www.thelord.be/scripts/menukaart.asp?j=70-Air-Jordan-Homme-Noir Air Jordan Homme Noir] et son frère, papa tue fille histoires> Plus populaires et orientés ..<ul>
 
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One way to construct this space is as follows. Let
== Mbt Chaussures Paris Odeon  excellent travail ==


:''p'' : ''E'' → ''B''  
Et il n est pas qui est là pour s'accrocher à l'image de la bombe atomique après. C'était le genre de choses que vous voulez faire à l'école secondaire de ces jours. Ce film s'est transformé en un projet très compliqué. Un film de morph, mais je essayer de faire preuve de créativité avec elle et morphing non seulement les visages mais aussi coups de folie en arrière-plan.<br><br>L'activité physique signifie simplement le mouvement du corps qui utilise l'énergie. Marche, le jardinage, poussant vivement une poussette de bébé, monter les escaliers, jouer au football, ou danser toute la nuit sont tous de bons exemples d'une vie active. La semaine dernière, j'ai commencé à chercher dans la région de Washington, DC métropolitaine [http://www.betonsnijwerk.be/includes/boren.asp?t=35-Mbt-Chaussures-Paris-Odeon Mbt Chaussures Paris Odeon] statistique (MSA), qui se compose du District de Columbia, Nord de la Virginie et du Maryland parties. <br><br>S'il vous plaît savoir que l'équipe IE travaille dur. Nous sommes impatients d'améliorer et de mieux sécuriser l'expérience du web pour les centaines de millions d'utilisateurs d'IE à travers le monde. La principale différence est que la plupart en sol chauffage solaire de piscine sont installés sur le toit, et vous avez besoin d'une [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=75-Nike-Tn-Requin Nike Tn Requin] pompe de piscine hors-sol, avec suffisamment de puissance ascenseur vertical pour pomper l'eau sur le toit. Une autre grande différence est le niveau [http://www.glasscoating.be/contact/custing.asp?t=51-Barbour-Femme-Parka Barbour Femme Parka] de prix.<br><br>Gardez fonctionnement, excellent travail! Beau site! Je suis l'aimer! Je reviendrais sans hésiter. Je prends également vos flux Bonjour. L'avocat de Rowling Neil Blair, dit-il en regardant dans contre Scribd, Follet éditeur Macmillan est en cela, et l'éditeur Aravind Adiga, Toby Mundy à Atlantic Books, dit que les éditeurs du monde entier seraient à l'action. <br><br>Réservation en était intéressant car ils avaient l'arrivée et de départ mal, mais ils triés sans un bruit. Mais plus que tout les [http://www.thelord.be/scripts/menukaart.asp?j=99-Air-Jordans-Femme Air Jordans Femme] grands groupes de «jeunes gens» à proximité sentaient un peu oppressante .. Si possible, que vous devenez expertise, auriez-vous des pensées mettre à jour votre blog avec plus de détails? Il est extrêmement utile pour moi. <br><br>Une fois que j'ai commencé à changer l'élément de garniture correcte tout s'est bien passé. J'ai besoin de régler la hauteur de 30 pour compenser la dérive vers l'avant et le rouleau de 15 pour compenser la dérive droite .. La gestation dure de 226 à 232 jours, un bébé est né à la fois avec les naissances survenues dans 2 à 4 ans d'intervalle . <br><br>Nous savons environ 45 sites qui ont accueilli par GANNETT MEDIA TECHNOLOGIES INTERNATIONAL. Nous croyons que 0% de ces sites ont un code malveillant et peut être dangereux pour les visiteurs .. Bonne poste est une pensée unique ou d'observation ou une anecdote, clairement exprimée et directement transporté, dit David Bromwich, un professeur d'anglais à Yale, dans le Huffington Poster Complete Guide to Blogging.<ul>
 
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be a rank ''k'' [[real number|real]] vector bundle over the paracompact space ''B''. Then for each point ''b'' in ''B'', the fiber ''F''<sub>''b''</sub> is a ''k''-dimensional real [[vector space]]. We can form an associated [[Fiber bundle #Sphere bundles|sphere bundle]] Sph(''E'') → ''B'' by taking the [[one-point compactification]] of each fiber separately. Finally, from the total space Sph(''E'') we obtain the '''Thom complex''' ''T''(''E'') by identifying all the new points to a single point <math>\infty</math>, which we take as the [[basepoint]] of ''T''(''E'').
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==The Thom isomorphism==
En fait, la blessure peut être si faible que le patient peut ne pas se rappeler avoir jamais reçu une blessure. Pour des raisons que nous ne comprenons pas, le système nerveux sympathique semble assumer une fonction anormale après une blessure. Vous pourriez avoir à leur parler du processus, mais vous trouverez souvent les investisseurs moins expérimentés payer plus pour vos liens. <br><br>Comment pouvez-vous parler de hoeselmsness et la rareté des emplois sans parler de pourquoi et [http://www.aircleaning.be/includes/Scripts/fiche.asp?c=20-Christian-Louboutin-Anvers Christian Louboutin Anvers] comment ces pauvres gens sont devenus pauvres en premier lieu? Leur pauvreté didn [http://www.thelord.be/scripts/menukaart.asp?j=45-Nike-Jordan-Oreo Nike Jordan Oreo] juste tomber du ciel. Un grand nombre de l'histoire est laissé de côté. Un certain nombre de normes plus état Railway Group sur la couverture que «Ce document est une norme NOTIFIÉE dans [http://www.paloma-curiosa.be/includes/old/function.asp?l=59-Longchamp-Belgique-Prix Longchamp Belgique Prix] le cadre des directives européennes en matière d'interopérabilité des systèmes ferroviaires". <br><br>Des équipes spéciales jeu donne Seattle 10 3 plomb à halfSEATTLE (AP) Michael Robinson a retourné un botté de dégagement bloqué 17 verges pour un touché pour aider les Seahawks de Seattle ont un 10 3 d'avance sur les Rams de St. Louis à la mi-temps lundi soir. Il est très dévoué à son métier, et ne veut pas vendre. <br><br>Ils l'écran toutes les demandes de location. En outre, Concepts examine et approuve chaque envoi individuel pour s'assurer que le matériel envoyé à vous couvre appropriés, sujets professionnels. Black Hills société immobilière, Dakota or de l'immobilier, est à la recherche pour le bon match de souscrire et de maintenir un plomb, complexe commercial SD. <br><br>Je n'avais pas joué que de nombreux tournois professionnels avant de passer pro. Mais il en a joué un assez grand nombre maintenant. Vous avez l'idée, maintenant emballer bien! La façon dont vous présentez votre entreprise et vision permettra de déterminer si vous avez les bons partenaires financiers et la bonne affaire. <br><br>"J'ai essayé de faire ma part dans la première moitié et jouer mes minutes et contribuer partout où je pouvais. Vous devez joueurs de rôle sur chaque équipe. Chiffres globaux des échanges de la Chine, cependant, ont dépassé les attentes du marché. L'ralentissement inattendu de la reprise chinoise l'économie a progressé 7,7 pour cent au premier trimestre, en baisse de 7,9 pour cent au dernier trimestre de 2012 a freiné les attentes avant la publication des données du commerce [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=173-Air-Max-One Air Max One] le mercredi, renforcée par terne données d'usine ..<br><br>Google peut dans une certaine mesure de détecter la qualité, que ce panda fait, si le classement du contenu filé lui-même ou un contenu de qualité inférieure en général est devenu plus difficile, mais ce doesn établir des liens de contenu filé moins efficaces. Ils ne savent peut-il pas un grand texte scientifique, mais ils peuvent dire si c'est écrit à la main ou filé ..<ul>
 
 
The significance of this construction begins with the following result, which belongs to the subject of [[cohomology]] of fiber bundles. (We have stated the result in terms of '''Z'''<sub>2</sub> [[coefficients]] to avoid complications arising from [[orientability]].)
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Let ''B'', ''E'', and ''p'' be as above. Then there is an isomorphism, now called a '''Thom isomorphism'''
  <li>[http://www.rzyy.com.cn/news/html/?52030.html http://www.rzyy.com.cn/news/html/?52030.html]</li>
:<math>\Phi \colon H^i(B; \mathbf{Z}_2) \to \tilde{H}^{i+k}(T(E); \mathbf{Z}_2),</math>
 
for all ''i'' greater than or equal to 0, where the [[Left-hand side and right-hand side of an equation|right hand side]] is [[reduced cohomology]].
  <li>[http://bbs.power.net.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=123669 http://bbs.power.net.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=123669]</li>
 
 
We can loosely interpret the theorem as being a generalization of the suspension isomorphism on (co)homology, because the Thom space of a trivial bundle on ''B'' of rank ''k'' is isomorphic to the ''k''th suspension of ''B+'', ''B'' with a disjoint point added.
  <li>[http://www.2sov.com/forum.php?mod=viewthread&tid=494953 http://www.2sov.com/forum.php?mod=viewthread&tid=494953]</li>
 
 
This theorem was formulated and proved by [[René Thom]] in his 1952 thesis.
  <li>[http://qingquzu.com/forum.php?mod=viewthread&tid=606329&fromuid=295485 http://qingquzu.com/forum.php?mod=viewthread&tid=606329&fromuid=295485]</li>
 
 
==The Thom class==
</ul>
 
The isomorphism of the theorem is explicitly known: there is a certain cohomology class, the '''Thom class''', in the ''k''th cohomology group of the Thom space. Denote this Thom class by ''U''. Then for a class ''b'' in the cohomology of the base, we can compute the Thom isomorphism via the pullback of the bundle projection and the cohomology [[cup product]]:
:<math>\Phi(b) = p^*(b) \smile U.</math>
In particular, the Thom isomorphism sends the [[identity (mathematics)|identity]] element of ''H''*(''B'') to ''U''.  
 
==Significance of Thom's work==
 
In his 1952 paper, Thom showed that the Thom class, the [[Stiefel-Whitney class]]es, and the [[Steenrod operation]]s were all related. He used these ideas to prove in the 1954 paper ''Quelques propriétés globales des variétés differentiables'' that the [[cobordism]] groups could be computed as the [[homotopy groups]] of certain Thom spaces ''MG''(''n''). The proof depends on and is intimately related to the [[transversality (mathematics)|transversality]] properties of [[smooth manifolds]] -- see [[Thom transversality theorem]]. By reversing this construction, [[John Milnor]] and [[Sergei Novikov (mathematician)|Sergei Novikov]] (among many others) were able to answer questions about the existence and uniqueness of high-dimensional manifolds: this is now known as [[surgery theory]]. In addition, the spaces ''MG(n)'' fit together to form [[spectrum (homotopy theory)|spectra]] ''MG'' now known as ''Thom spectra'', and the cobordism groups are in fact [[stable homotopy theory|stable]]. Thom's construction thus also unifies [[differential topology]] and stable homotopy theory, and is in particular integral to our knowledge of the [[stable homotopy groups of spheres]].
 
If the Steenrod operations are available, we can use them and the isomorphism of the theorem to construct the Stiefel-Whitney classes. Recall that the Steenrod operations (mod 2) are [[natural transformation]]s
:<math>Sq^i \colon H^m(-; \mathbf{Z}_2) \to H^{m+i}(-; \mathbf{Z}_2),</math>
defined for all nonnegative integers ''m''. If ''i'' = ''m'', then ''Sq<sup>i</sup>'' coincides with the cup square. We can define the ''i''th Stiefel-Whitney class ''w''<sub>''i''</sub> (''p'') of the vector bundle ''p'' : ''E'' → ''B'' by:
:<math>w_i(p) = \Phi^{-1}(Sq^i(\Phi(1))) = \Phi^{-1}(Sq^i(U)).\,</math>
 
==Consequences for differentiable manifolds==
 
If we take the bundle in the above to be the [[tangent bundle]] of a smooth manifold, the conclusion of the above is called the [[Wu formula]], and has the following strong consequence: since the Steenrod operations are invariant under homotopy equivalence, we conclude that the Stiefel-Whitney classes of a manifold are as well. This is an extraordinary result that does not generalize to other characteristic classes. There exists a similar famous and difficult result establishing topological invariance for rational [[Pontryagin classes]], due to [[Sergei Novikov (mathematician)|Sergei Novikov]].
 
==See also==
* [[Fiber bundle]]
* [[Characteristic classes]]
* [[Cobordism]]
* [[Cohomology operation]]
* [[Steenrod problem]]
 
==References==
* [[Dennis Sullivan]], ''[http://www.ams.org/bull/2004-41-03/S0273-0979-04-01026-2/home.html René Thom's Work on Geometric Homology and Bordism].'' Bull. Am. Math. Soc. 41 (2004), pp. 341&ndash;350.
* [[Raoul Bott|R. Bott]], L. Tu ''Differential Forms in Algebraic Topology'': a classic reference for [[differential topology]], treating the link to [[Poincaré duality]] and the [[Euler class]] of [[Sphere bundle]]s
* J.P. May, ''A Concise Course in Algebraic Topology.'' University of Chicago Press, 1999, pp. 183&ndash;198.
* [http://mathoverflow.net/questions/7375/explanation-for-the-thom-pontryagin-construction-and-its-generalisations Explanation for the Pontryagin-Thom construction] on [[MathOverflow]]
* René Thom, ''[[List of important publications in mathematics#Quelques propriétés globales des variétés differentiables|Quelques propriétés globales des variétés différentiables]].'' Comm. Math. Helv. 28 (1954), pp. 17&ndash;86.
 
==External links==
* {{springer|title=Thom space|id=p/t092680}}
 
[[Category:Algebraic topology]]
[[Category:Characteristic classes]]

Latest revision as of 17:25, 9 November 2014

Abercrombie Louise Garder une maison propre

Suivi avec votre adolescent sur qui ils sont amis avec, à la fois en ligne et hors .. Donc dans l'ensemble, je pense que le hautbois doit être considérée comme un instrument très difficile à apprendre à jouer, et encore moins, et il serait même de plus en plus difficile

Grâce à lui, toutes choses sont possibles. La plupart de la génétique semble être sur la pose d'une base, puis casser pour faire un Abercrombie Louise pas au-delà. Mon mari a perdu son emploi pour cause de maladie et nous avons perdu tout la seule façon que nous allons posséder encore une maison serait de gagner l'un parce que nous ne pouvions pas le faire sur mon salaire.

L'objectif de la recherche est sur les mammifères marins dans le sud de la Californie Bight, une zone de 90.000 de mile carré du Pacifique oriental qui s'étend 450 miles le long de la côte de l'océan Pacifique à partir de Point Conception, près de Santa Barbara sud de Cabo Colonet en Basse-Californie, au Mexique ..

Garder une maison propre, trop, et ne lui donner aucune raison de vous méfier. Si vous voulez donner un cadeau d'une vie, pourquoi ne pas égayer la journée de quelqu'un en nommant une étoile après eux. Cela provoque le ressentiment .. "Le carburant est un coût énorme pour eux dollar sage, mais il est aussi un coût énorme quand ils doivent envoyer ces convois de carburant des centaines de miles en Afghanistan pour fournir du carburant aux troupes, de mettre la vie des gens en danger»,

Mais certaines études ont montré lois résidence ne font rien pour empêcher de nouveaux crimes sexuels contre les enfants en partie parce que de nombreux délinquants sont liés à leurs victimes et de créer une pression indue sur les organismes d'application de la loi .. L'annulation est le moyen Églises catholiques de vous acheter de sortir Timberland Bruxelles d'une vie

  Coachella Valley High School a eu le même mascotte de plus de 80 ans, mais ce n'est pas sans controversy.At une fois que le nom de Nike Air Max 2014 Flyknit l'équipe de football professionnel, les Redskins, a fait l'objet à l'exactitude microscope politique, a donc le nom de la La mascotte de l'école, la Arabs.Read plus tendance à storiesAccording KESQ, le Comité anti-discrimination arabo-américaine a envoyé une lettre à Coachella, exhortant l'école d'abandonner le nom, car il continue les stéréotypes négatifs du groupe arabe Americans.The veut le surnom, mascotte intimidation, logos et même la danse des écoles mi-temps du ventre performancechanged.Severe conduit aurait joueur de la NFL à marcher hors teamSchool intimide cuir chevelu déchirure de 8 ans girlBrother meurt sur le chemin de l'hôpital après la suicideMan sœur accusé à tort d'être pédophile brûlé aliveDaughter tue mère Air Jordan Homme Noir et son frère, papa tue fille histoires> Plus populaires et orientés ..

Mbt Chaussures Paris Odeon excellent travail

Et il n est pas qui est là pour s'accrocher à l'image de la bombe atomique après. C'était le genre de choses que vous voulez faire à l'école secondaire de ces jours. Ce film s'est transformé en un projet très compliqué. Un film de morph, mais je essayer de faire preuve de créativité avec elle et morphing non seulement les visages mais aussi coups de folie en arrière-plan.

L'activité physique signifie simplement le mouvement du corps qui utilise l'énergie. Marche, le jardinage, poussant vivement une poussette de bébé, monter les escaliers, jouer au football, ou danser toute la nuit sont tous de bons exemples d'une vie active. La semaine dernière, j'ai commencé à chercher dans la région de Washington, DC métropolitaine Mbt Chaussures Paris Odeon statistique (MSA), qui se compose du District de Columbia, Nord de la Virginie et du Maryland parties.

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En fait, la blessure peut être si faible que le patient peut ne pas se rappeler avoir jamais reçu une blessure. Pour des raisons que nous ne comprenons pas, le système nerveux sympathique semble assumer une fonction anormale après une blessure. Vous pourriez avoir à leur parler du processus, mais vous trouverez souvent les investisseurs moins expérimentés payer plus pour vos liens.

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