Binary tree: Difference between revisions

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{{distinguish|B-tree}}
== und sah Kostümdesigner des Films Beats Dre ==
[[Image:binary tree.svg|right|192px|thumb|A simple binary tree of size 9 and height 3, with a root node whose value is 2. The above tree is unbalanced and not sorted.]]


In [[computer science]], a '''binary tree''' is a [[tree (data structure)|tree]] [[data structure]] in which each node has at most two [[child node|children]] (referred to as the ''left'' child and the ''right'' child). In a binary tree, the ''degree'' of each node can be at most two. Binary trees are used to implement [[binary search tree]]s and [[binary heap]]s, and are used for efficient [[search algorithm|searching]] and [[Sorting algorithm|sorting]]. A binary tree is a special case of a [[K-ary tree]], where ''k'' is 2.
Der erste Schritt ist, [http://www.cattledog-kelpie.ch/infragistics/Images/Large/config.asp?b=43-Beats-Dre Beats Dre] um für eine Minute zu beruhigen. Wenn Sie sehr stressig und unruhig fühlen, können Sie die Schulter-, Arm-, Taille und Beine und andere Teile zu klopfen, kann dies helfen, der ganze Körper entspannt zu machen. Dann kam der 1999 Frauen-Fußball-Weltmeisterschaft. Team "Babe City", und während einige rief Sexismus, nahmen die meisten es als ein Zeichen des Fortschritts. <br><br>Ich kann nicht glauben, dass es Leute, die mit Großhandels Reisen zufrieden sind! Ich stimme mit anderen Plakaten, die sie hat für die Arbeitnehmer sein. Ich nannte sie im Juni zu einem "Wochenende" Reise im Dezember buchen. In der modernen und populären Kultur ist dieses Verhalten typisch. Rap, Hip-Hop-und R Künstler selbst ihren Lebensunterhalt streiten darüber, wer eine der unaufrichtig Künstler innerhalb der Unternehmen ist. <br><br>Er argumentiert, dass Geburt und der Offenbarung des Antichristen kam mit Bonifatius III, die den Titel beansprucht [http://www.cattledog-kelpie.ch/infragistics/Images/Large/config.asp?b=53-Beats-By-Dre-Schweiz-Günstig Beats By Dre Schweiz Günstig] AD 606 zum Tragen "Universal Bischof". [7] Darüber hinaus ihre Insignien entsprechen den Beschreibungen in der Offenbarung 17.03, 4 mit unheimlicher Genauigkeit. <br><br>Worden Tango ist nicht ein Blick auf die sie anstreben wollen, aber ein Blitz der extravaganten Orange können machen Sie sich in einer Unternehmens Menge. Um Spaß, Optimismus und Freundlichkeit, sagt Nachtigall. Ich wusste nicht, wer er war zu der Zeit. Ich sah nur einen älteren Herrn Probleme beim Lesen sein Ticket. <br><br>Ich dachte, "geh an die Quelle", und sah Kostümdesigner des Films, in der Hoffnung eine E-Mail-Adresse [http://www.maennerchor-therwil.ch/images/gelterkinden/deco/banner.asp?f=126-Nike-Free-Haven-3.0 Nike Free Haven 3.0] könnte nur möglich sein. Leider kann ich keine Features über Thierry Delettre finden, seine Einträge auf imdb und Französisch [http://www.maennerchor-therwil.ch/images/gelterkinden/deco/banner.asp?f=67-Nike-Free-Shop-Schweiz Nike Free Shop Schweiz] Äquivalente Liste nur die Filme, die er ist schon beteiligt, gibt es ein Thierry Delettre, die ein Animator unübersichtlich Ergebnisse ist, und es gibt fünf Thierry Delettres auf Französisch Facebook mit wenig info oder mit eigenem Einstellungen. <br><br>Ist BoardThreaded öffnen. Bravenet, abgesehen von den Pop-up-Anzeigen, ist ein großer kostenloser Service, aber manchmal sind sie JOG links und vergessen, den Rest der Welt zu erzählen. Con esto en mente, sin Embargo, usted puede todava examinar los precios que un insbesondere belleza Ladungen almacn de la Fuente. Estar en busca de produkte que que parecen tienen un precio demasiado Alt. <br><br>Richards, Direktor. Schneiderinnen M. Ein dritter Mann wurde nach vorne wirft ehemaligen Elmo Puppenspieler unsachgemäßer Beziehungen, wenn der Ankläger noch minderjährig war zu kommen, so die New York Post. Der anonyme Ankläger aus Florida, die Clash traf, als er nach New York ging, um die Modellierung in einem Anzug, der verwendete Alkohol Clash, ihn zu verführen zu verfolgen.<ul>
 
  <li>[http://co.ctbu.edu.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=856098&fromuid=4681 http://co.ctbu.edu.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=856098&fromuid=4681]</li>
 
  <li>[http://www.vc1000.com/news/html/?82745.html http://www.vc1000.com/news/html/?82745.html]</li>
 
  <li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1739/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1739/]</li>
 
  <li>[http://www.realdao.cn/library/forum.php?mod=viewthread&tid=397863 http://www.realdao.cn/library/forum.php?mod=viewthread&tid=397863]</li>
 
</ul>


==Types of binary trees==
== Es ist nicht alles Ray Ban New Wayfarer Fielmann ==
[[File:BinaryTreeRotations.svg|thumb|300px|[[Tree rotation]]s are very common internal operations on [[Self-balancing binary search tree|self-balancing binary trees]].]]
* A '''rooted binary tree''' is a [[tree data structure|tree]] with a [[root node]] in which every node has at most two children.
* A '''full binary tree''' (sometimes '''2-tree''' or '''strictly binary tree''') is a tree in which every node other than the leaves has two children. A full tree is sometimes ambiguously defined as a ''perfect tree''. Physicists define a ''binary tree'' to mean a ''full binary tree''.<ref>''Unitary Symmetry'', James D. Louck, World Scientific Pub., 2008</ref> [[File:Waldburg Ahnentafel.jpg|thumb|An [[ancestry chart]] which maps to a perfect depth-4 binary tree]].
* A '''proper binary tree''' is an ordered tree in which each internal node has exactly two children.
* A '''{{visible anchor|perfect binary tree}}''' is a ''full binary tree'' in which all ''leaves'' have the same ''depth'' or same ''level'', and in which every parent has two children.<ref>{{cite web|url=http://www.nist.gov/dads/HTML/perfectBinaryTree.html|title=perfect binary tree | publisher = [[NIST]]}}</ref> (This is ambiguously also called a ''complete binary tree'' (see next).) An example of a perfect binary tree is the [[ancestry chart]] of a person to a given depth, as each person has exactly two biological parents (one mother and one father); note that this reverses the usual parent/child tree convention, and these trees go in the opposite direction from usual (root at bottom).
* A '''{{visible anchor|complete binary tree}}''' is a binary tree in which every level, ''except possibly the last'', is completely filled, and all nodes are as far left as possible.<ref>{{cite web|url=http://www.nist.gov/dads/HTML/completeBinaryTree.html|title=complete binary tree| publisher = NIST}}</ref> A tree is called an almost complete binary tree or nearly complete binary tree if the exception holds, i.e. the last level is not completely filled. This type of tree is used as a specialized data structure called a [[Heap_(data_structure)|heap]]. <!--http://www.math.uic.edu/~leon/cs-mcs401-s08/handouts/nearly_complete.pdf--><!--"doubt please give correct perfect definition and example for full complete binary tree and also for depth ? and depth-->
* An '''infinite complete binary tree''' is a tree with a [[countably infinite]] number of levels, in which every node has two children, so that there are 2<sup>''d''</sup> nodes at level ''d''. The set of all nodes is countably infinite, but the set of all infinite paths from the root is uncountable, having the [[cardinality of the continuum]]. These paths correspond by an order-preserving [[bijection]] to the points of the [[Cantor set]], or (using the example of a [[Stern–Brocot tree]]) to the set of positive [[irrational number]]s.
* A '''balanced binary tree''' is commonly defined as a binary tree in which the depth of the left and right subtrees of every node differ by 1 or less,<ref>Aaron M. Tenenbaum, et. al Data Structures Using C, Prentice Hall, 1990 ISBN 0-13-199746-7</ref> although in general it is a binary tree where no leaf is much farther away from the root than any other leaf. (Different balancing schemes allow different definitions of "much farther".<ref>Paul E. Black (ed.), entry for ''data structure'' in ''[[Dictionary of Algorithms and Data Structures]]. U.S. [[National Institute of Standards and Technology]]. 15 December 2004. [http://xw2k.nist.gov/dads//HTML/balancedtree.html Online version] Accessed 2010-12-19.</ref>) Binary trees that are balanced according to this definition have a predictable depth (how many nodes are traversed from the root to a leaf, counting the root as node 0 and subsequent nodes as 1, 2, ..., ''n''). This depth (also called the height) is equal to the integer part of log<sub>2</sub>(''n''), where ''n'' is the number of nodes on the balanced tree. For example, for a balanced tree with only 1 node, log<sub>2</sub>(1)&nbsp;=&nbsp;0, so the depth of the tree is&nbsp;0. For a balanced tree with 100 nodes, log<sub>2</sub>(100)&nbsp;=&nbsp;6.64, so it has a depth of&nbsp;6.
* A '''degenerate''' (or '''pathological''') '''tree''' is a tree where each parent node has only one associated child node. This means that performance-wise, the tree will behave like a [[linked list]] data structure.


Note that this terminology often varies in the literature, especially with respect to the meaning of "complete" and "full".
Ziel eine einzigartige Markt Die Top-Online-Vermarkter wählen Sie einen bestimmten Bereich oder Nische zum Ziel. Sie wissen nicht gehen um zu versuchen, alles für alle zu werden. So zum Beispiel, wenn Sie China blockieren den Zugriff auf Ihre Server das ganze Land nicht in der Lage, es zu überhaupt zugreifen! GeoBlock verbessert die Effektivität und [http://www.ferotech.ch/highslide/graphics/outlines/define.asp?r=40-Ray-Ban-New-Wayfarer-Fielmann Ray Ban New Wayfarer Fielmann] Produktivität von Sicherheits Vor-und ihre Server, reduziert die Kosten, die mit der Systemsicherheit und Maßnahmen verbunden sind, lässt Bandbreite für offen sein realen Benutzer der Website und Gewinn macht nur Server schneller laufen. Bei Tometa haben wir nie einen Verkauf, um bestimmte Gebiete der Erde, wurden aber ständig mit Versuchen, unsere Website zu hacken und laden Sie unsere Software zum Knacken bombardiert. <br><br>Obwohl erbitterte Rivalen, die beide Mestawat und Werqitu waren Feinde des Kaisers. Werqitu war zunächst nicht gerne, obwohl sein Vater war ein enger Verbündeter gewesen, die Shewan Prinzen zu helfen. Die Grundidee der Verordnung 1896/2006 ist für das Sammeln von unbestrittener Forderungen zwischen den Mitgliedsstaaten ein vereinfachtes System. Die Verordnung enthält eine Standard-Form, um durch das zuständige Gericht gemäß Verordnung [http://www.buesser-metallbau.ch/about/section.asp?h=84-Hollister-Shop-Paris Hollister Shop Paris] 44/2001 auf Antrag des Gläubigers ausgestellt werden. <br><br>So schnell, wie Oak Hill Fitzy Fitzpatrick ging an die Spitze in der Box-Welt, verdienen in der heutigen Geld equivlent auf über eine Million Dollar, schlug er unten noch schneller. Einmal. Offenbar Dolores Cuenca hatte behauptet, das Pferd und gesund war für den Wettbewerb. Dolores hat Cuenca der Behandlung des Pferdes mit Steroiden zu seiner körperlichen condition.Although diese Praxis im Reitschul [http://www.cattledog-kelpie.ch/infragistics/Images/Large/config.asp?b=36-Beats-By-Dre-Price-In-Switzerland Beats By Dre Price In Switzerland] ziemlich alltäglich sein maskieren beschuldigt worden, wird es als betrügerisch, solche Informationen in der Pferde sales.Dolores Cuenca vorenthalten behauptet Tom Selleck und seine Frau Jillie Mack nicht Zorro tierärztlichen Unterlagen vor dem Kauf des Pferdes für ihre daughter.The San Diego Gericht untersuchen Auszeichnung wurde berechnet, um den Kaufpreis des Pferdes, sowie Bord-und Veterinärgebühren. <br><br>Es ist nicht alles, was für Ihre Seite zu tun, und ist optisch dissonant mit dem Rest davon. Außerdem sind die meisten Menschen nicht herumsitzen und warten lange genug für die Weiterleitung. Haotian äußerst zögerlich, um die Armee südlich schaffen es unmöglich ist, aber wenn man das Auftreten von drei, wenn sie nicht 1000 von Soldaten nach Peking haben, können sie nicht sicher sein können. .. <br><br>Die effektivste Szene in der Episode war ein kleines Stück vom Drama zwischen Dexter und Lumen. Sie schließlich so viel wie ihm voll darüber, wie sie sich bald nach dem, was mit ihr passiert Gefühl eröffnet. Sie gaben Weg, um Spaß, die jetzt hier schon drei Mal seit April gespielt hat. Sein Satz war ziemlich ähnlich wie die beiden anderen: mit [http://www.paint-point.ch/energy/inc/config.asp?a=53-Abercrombie-Outlet-Chicago Abercrombie Outlet Chicago] viel Aufbrausen und Freude gefüllt.<ul>
 
  <li>[http://1.ts.cn/home.php?mod=space&uid=22871&do=blog&quickforward=1&id=2066225 http://1.ts.cn/home.php?mod=space&uid=22871&do=blog&quickforward=1&id=2066225]</li>
 
  <li>[http://111.11.181.205:8082/news/html/?54233.html http://111.11.181.205:8082/news/html/?54233.html]</li>
 
  <li>[http://www.09dm.com/news/html/?182726.html http://www.09dm.com/news/html/?182726.html]</li>
 
  <li>[http://wiki.apsinfotech.com/index.php?title=User:Kwhonsrqz#mit_ihren_Taschen_zu_stimmen._Michael_Kors_Bestellen_Schwei http://wiki.apsinfotech.com/index.php?title=User:Kwhonsrqz#mit_ihren_Taschen_zu_stimmen._Michael_Kors_Bestellen_Schwei]</li>
 
</ul>


==Properties of binary trees==
== dass ich würde fragen New Balance Schuhe Sale ==
* The number of nodes ''n'' in a '''perfect binary tree''' can be found using this formula: ''n'' = 2<sup>''h''+1</sup>-1 where ''h'' is the depth of the tree.
* The number of nodes ''n'' in a binary tree of height ''h'' is at least ''n'' = ''h'' + 1 and at most ''n'' = 2<sup>''h''+1</sup>-1 where ''h'' is the depth of the tree.
* The number of leaf nodes ''l'' in a '''perfect binary tree''' can be found using this formula: ''l'' = 2<sup>''h''</sup> where ''h'' is the depth of the tree.
* The number of nodes ''n'' in a '''perfect binary tree''' can also be found using this formula: ''n'' = 2''l''-1 where ''l'' is the number of leaf nodes in the tree.
* The number of null links (i.e., absent children of nodes) in a '''complete binary tree''' of ''n'' nodes is (''n''+1).
* The number of internal nodes (i.e., non-leaf nodes or ''n''-''l'') in a '''complete binary tree''' of ''n'' nodes is &lfloor; ''n''/2 &rfloor;.
* For any non-empty binary tree with ''n''<sub>0</sub> leaf nodes and ''n''<sub>2</sub> nodes of degree 2, ''n''<sub>0</sub> = ''n''<sub>2</sub> + 1.<ref>{{cite book | last=Mehta | first=Dinesh | coauthors = [[Sartaj Sahni]]| title=Handbook of Data Structures and Applications|publisher=[[Chapman and Hall]]|isbn = 1-58488-435-5|year=2004 }}</ref>


== Common operations ==
Ich möchte nun, um das Gespräch über Warren Kneeshaw, Vice President Investor Relations wenden. Herr Kneeshaw, bitte gehen Sie vor .. Reid könnte auch entscheiden, in Eagles-Quarterback Michael Vick, der von den Eagles freigesetzt werden können, zu bringen. Vick ist auf machen über 15.000.000 $ in dieser Saison und hatte darauf hingewiesen, er ist nicht bereit, seinen Vertrag zu restrukturieren. <br><br>Einige 'n fag bei Dark Knights Auto-Show kam auf mich zu und sagte mir, er würde genau die gleiche Lackierung wie mir zu tun. [http://www.blockhouse.ch/thesheriff/Collagen/thumbnails/menu.asp?n=100-New-Balance-Schuhe-Sale New Balance Schuhe Sale] Der Computer den Cursor auf dem Bildschirm auf der Grundlage der von der Maus empfangenen Koordinaten. Nach monatelanger Arbeit und einer langen anstrengenden Woche. Alle Mädchen wollen, ist, gehen und haben eine gute Zeit wünschte wir diese Bewertungen vor sah. <br><br>Restaurant. Das neue Just in Time System, genannt "Made for You", war in twicklung für eine Reihe von yearsand zielte darauf ab, den Kunden "frischer, heißer Nahrung" liefern; enablepatrons auf Bestellung Sandwiches (ein Perk lange byrivals Burger King und Wendys angeboten) zu [http://www.ferotech.ch/highslide/graphics/outlines/define.asp?r=58-Ray-Ban-Schweiz-Online Ray Ban Schweiz Online] empfangen; und ermöglichen neue Menüpunkte leicht eingeführt dank BeMore E Systeme th erhöhte Flexibilität. <br><br>Mit Hilfe seiner früheren Erfahrung im Theater-und Lichtdesign, Feldman entwarf den Ballpark Preview Center, die technologisch fortschrittlichsten und erfolgreichsten Vertriebsbüro für alle MLB-Team. Via visionären neuen Anwendungen und preisgekrönten Innovationen für die Padres, Feldman half auch Mastercard-Test die erste drahtlose Smart-Card-Ticketing-Lösung für die Padres und vier andere MLB-Teams ... <br><br>Vielleicht WP braucht [http://www.relax-limousinen.ch/images/umbau/banner.asp?m=61-Michael-Kors-Handbags Michael Kors Handbags] einige echte Männer in ihre Crew für Beratungs Zweck nicht, dass ich würde fragen, ist Larry verdammt schrill und kann, egal wo er fliegen und da der Zugriff auf die Fahrgastinformation ist jemand verfolgt werden können gesichtet werden. Die Polizei kann nicht, aber gut dann wieder die Polizei kann nicht viel tun. <br><br>Kenntnisse über Wein und Getränke [http://www.riccicabanas.com/includes/client.asp?k=69-Oakley-Brillen-Mit-Sehstärke Oakley Brillen Mit Sehstärke] wäre eine plus.Job Lage sein: Crawley, West SussexAceville Publikationen für eine Suche. Sie werden eine erfahrene Assistenten oder Stellvertreter Level-Editor, mit hervorragenden Unter Bearbeitung, Proofing-und Kommunikationsfähigkeit sein. <br><br>Obwohl die Nord Bristol Vertrauen hat eine stabile Finanzplan ist der Grund dahinter, wie durch die Anzahl der Betten sie tätig gezeigt eine schockierende ein. Im Jahr 2003 das Vertrauen verwaltet 1630 Betten, im Jahr 2005 ihren neuen Plan erlaubt für 1230 Betten, 3 Monate später und die Figur wurde auf 947 korrigiert..<ul>
There are a variety of different operations that can be performed on binary trees. Some are [[mutator method|mutator]] operations, while others simply return useful information about the tree.
 
  <li>[http://midvalleytreasurehunters.info//read.php?22,299673 http://midvalleytreasurehunters.info//read.php?22,299673]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18119013 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18119013]</li>
 
  <li>[http://lynntech.com/member/45968/ http://lynntech.com/member/45968/]</li>
 
  <li>[http://www.bissogaleto.it/e107_plugins/forum/forum_viewtopic.php?67605.last http://www.bissogaleto.it/e107_plugins/forum/forum_viewtopic.php?67605.last]</li>
 
</ul>


=== Insertion ===
== Mein einziger Vorschlag wäre Air Max Schuhe Outlet ==
Nodes can be inserted into binary trees in between two other nodes or added after an [[external node]]. In binary trees, a node that is inserted is specified as to which child it is.


==== External nodes ====
Das Gewicht der Erwartung drückt schwer auf den Audi TT RS. Es könnte sogar machen den 10mm Suspension Tropfen. Das Problem für den TT RS ist, dass, sobald diese beiden Paare von Buchstaben war, wurden nebeneinander wussten wir, was wir wollten, was wir erwartet haben, was wir uns erhofft dieses Auto wäre: eine leichte, agile, Hardcore-Rivalen für den Porsche Cayman S. <br><br>Mein einziger Vorschlag wäre, etwas [http://www.mcaviglia.ch/test/pageflip/test/session.asp?a=171-Air-Max-Schuhe-Outlet Air Max Schuhe Outlet] größere Blatt Pergamentpapier zu verwenden. Ich denke, es wäre einfacher gewesen für mich, sie zu wickeln, wenn das Pergamentpapier hatte etwas größer gewesen, so werde ich das nächste Mal zu versuchen. Ich hatte etwas von dem schwarzen Bohnenmischung übrig, als ich didn nutzen sie für ihr zweites Rezept. <br><br>Geboren Schuhe behauptet, in der gebaut werden "alten europäischen Weg, Schuhwerk." Was dies bedeutet, vermutlich, ist, dass alle geboren Schuhwerk ist handgenäht. Darüber hinaus werden die Schuhe mit einem System, nennt Born gemacht "Opanka Bau." Dieses kann wie etwas, das die Leute dachten, Ikea bis klingen, aber in der Realität scheint es (wie Born), tatsächlich nichts mit Skandinavien zu tun haben. Vielmehr bezieht sich Opanka Bau der Art und Weise, die die Schuhe zusammengenäht (wo sie bekam den Namen, ist reine Vermutung).. <br><br>Dynamic ist die sportlichste Einstellung, so dass die Lenkung schwerer und das Gaspedal empfindlicher, aber es ist nicht sehr effektiv, nicht ganz was genug zusätzliche Leistung, während Sie die Fahrt weniger komfortabel. Normal-und AllWeather sprechen für sich. Twinclutch Modelle kommen mit einem halbautomatischen Getriebe, optional mit Paddel steuert hinter dem Lenkrad angebracht ist. <br><br>Aluminium-Aktenkoffer-Unternehmen sicher sein, dass sie in der Lage zu halten mit den neuesten Trends Stil. Sie sind in der Lage, ein insbesondere im konventionellen Silber-Finish oder in einem anspruchsvollen Bronze-oder Holzmaserung zu kaufen. Es gibt viele zur Auswahl. <br><br>So "Hipster" don wie die Dinge, die "cool". So kann ich die Funk-Band "Bop Skizzum" mögen, weil [http://www.blockhouse.ch/thesheriff/Collagen/thumbnails/menu.asp?n=24-New-Balance-Schuhe-Wien New Balance Schuhe Wien] Sie nicht wissen, dass es (obwohl Sie sollten). Und auf der anderen Seite, kann ich ironisch wie Dinge wie One Direction, weil sie so Mainstream, dass nicht einmal die Massen denken, sie zu kühlen. <br><br>Es gibt auch funkier Farbkombinationen für Sie, wenn Sie das [http://www.maennerchor-therwil.ch/images/gelterkinden/deco/banner.asp?f=187-Nike-Free-Run-3-Women Nike Free Run 3 Women] Modell AL0784 von Alain Mikli Brille zu bekommen. Der gesamte Rahmen der Gläser hat einen braun-Checker-Design. Der AL0882 ist in drei Hauptfarben, schwarz, braun schattiert Karamell und Kristall. <br><br>Früher habe ich ein Fleischesser sein, weil ich es nicht besser wissen. Nachdem ich [http://www.ferotech.ch/highslide/graphics/outlines/define.asp?r=28-Ray-Ban-Aviator-Preis Ray Ban Aviator Preis] eine Autoimmunerkrankung bei 20 Jahre alt, musste ich meine Essgewohnheiten zu ändern, um mehr pflanzlichen Lebensmitteln enthalten. Das allein hat die größte Verbesserung in meiner Gesundheit zusammen mit regelmäßiger Bewegung gemacht.<ul>
Say that the external node being added onto is node A. To add a new node after node A, A assigns the new node as one of its children and the new node assigns node A as its parent.
 
  <li>[http://demon-inferno.net/forum/viewtopic.php?f=4&t=255997 http://demon-inferno.net/forum/viewtopic.php?f=4&t=255997]</li>
 
  <li>[http://www.hzbchy.com/news/html/?271610.html http://www.hzbchy.com/news/html/?271610.html]</li>
 
  <li>[http://www.121e.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2383771 http://www.121e.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2383771]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18170767 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18170767]</li>
 
</ul>


==== Internal nodes ====
== und Fluid-Suche und Organische Nike Air Max Classic Si ==
[[File:Insertion of binary tree node.svg|thumb|360px|The process of inserting a node into a binary tree]]
Insertion on [[internal node]]s is slightly more complex than on external nodes. Say that the internal node is node A and that node B is the child of A. (If the insertion is to insert a right child, then B is the right child of A, and similarly with a left child insertion.) A assigns its child to the new node and the new node assigns its parent to A. Then the new node assigns its child to B and B assigns its parent as the new node.


=== Deletion ===
Einer der besten Schuhe, supra Schuhe ist sicherlich erschwinglich. Dies kann eine stilvolle Ergänzung für den Trainer im Laufe der Zeit produziert gut und frisch. Wenn Sie jemals sehen die verschiedenen Farben verfügbar sein. Alles, was Sie jetzt erleben, ist Ihr Gehirn Wahrnehmungen von ihnen, kann es nicht wirklich sein. Deshalb Halluzination ist ziemlich viel, nur, dass ein Kerl. Allerdings haben die Halluzination oder tatsächliche Ereignisse die gleiche Wirkung auf Ihren Geist. <br><br>Erstens, zu bewerten, was Ihnen die Schuhe für den Einsatz. Wenn Sie [http://www.mcaviglia.ch/test/pageflip/test/session.asp?a=113-Nike-Air-Max-Classic-Si Nike Air Max Classic Si] ein Jogger sind, versuchen Sie, eine gute Pass Paar Laufschuhe zu finden. Wenn Sie gerne "seitlich" oder von der Seite, um Aktivitäten wie Aerobic oder Tennis und her, dann werden Sie wollen einen Schuh, der mehr Seitenhalt und Knöchelschutz bietet. <br><br>Ich glaube, was mich am meisten schimpft ist die Macht Reise einige dieser Beamten sind auf. Ich in einem Streit mit einem Kaufmann bei Sam gewesen, über ein Foto ich heruntergeladen über das Internet. Wenn es ein Problem gab, hatten sie jede Menge Kontaktinformationen, mir zu raten, bevor ich zeigen, bis zur Aufnahme der Drucke. <br><br>Haben Sie eine Ahnung, was sie sein könnte? Sie sehen aus wie Lippenherpes (rechts, bevor sie über zu reißen sind). Ohne eine direkte Untersuchung ist es schwer, mit Sicherheit sagen, aber was Sie beschreiben, klingt sehr ähnlich wie dyshydrotic Ekzeme. Dies ist eine Form des Ekzems durch sweating.The Behandlung induziert wird, ist ähnlich wie bei anderen Ekzemformen, das ist mit Steroid-Cremes. <br><br>Bozich Hodge und wählte einen Ort in der Dominikanischen Republikaner, wo ein Koreanowned Anlage einst Kleidung gemacht für Nike und Reebok. Das Unternehmen, BJ hatte das Werk heruntergefahren, nachdem der Mitarbeiter gewerkschaftlich organisiert. Aber seine Arbeiter hatten Beziehungen mit amerikanischen [http://www.relax-limousinen.ch/images/umbau/banner.asp?m=88-Michael-Kors-Bag-Outlet Michael Kors Bag Outlet] Aktivisten geschmiedet und USAS Führer überzeugte die Ritter Führungskräfte, dass die Schüler würden ihre Kollegen ermutigen, dort produziert Kleidung kaufen. <br><br>Aber hohe Rücklaufquoten und die steigenden Kosten für die Gewinnung neuer Kunden in Gewinne zu essen, so dass Einzelhändler nach Möglichkeiten, um die Online-Erfahrung Saft die Geschicke backendfocused Tech-Firmen wie der New Yorker RichFX, Scene7 [http://www.blockhouse.ch/thesheriff/Collagen/thumbnails/menu.asp?n=60-New-Balance-Herrenschuhe New Balance Herrenschuhe] von Novato, Kalifornien, und Fluid-Suche und Organische, beide von San Francisco. "Es ist [http://www.relax-limousinen.ch/images/umbau/banner.asp?m=2-Michael-Kors-Outlet Michael Kors Outlet] ein Wendepunkt im Online-Handel", sagt Lauren Freedman, Präsident der ETailing Group. Hier ist, wie drei Spitzentechnologien helfen Internethändler das Geschäft zu schließen.<ul>
Deletion is the process whereby a node is removed from the tree. Only certain nodes in a binary tree can be removed unambiguously.<ref name="rice">{{cite web |url=http://www.clear.rice.edu/comp212/03-spring/lectures/22/|title=Binary Tree Structure|author=Dung X. Nguyen|year=2003|work= |publisher=rice.edu|accessdate=December 28, 2010}}
 
</ref>
  <li>[http://livinginplaya.net/read.php?2,173556 http://livinginplaya.net/read.php?2,173556]</li>
 
  <li>[http://frank1908.com/news/html/?30414.html http://frank1908.com/news/html/?30414.html]</li>
 
  <li>[http://www.hlyjq.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2701286&extra= http://www.hlyjq.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2701286&extra=]</li>
 
  <li>[http://qualitynationblog.com/activity/p/56105/ http://qualitynationblog.com/activity/p/56105/]</li>
 
</ul>


==== Node with zero or one children ====
== Kalifornien machen. Air Vortex ==
[[File:Deletion of internal binary tree node.svg|thumb|360px|The process of deleting an internal node in a binary tree]]
Say that the node to delete is node A. If a node has no children ([[external node]]), deletion is accomplished by setting the child of A's parent to [[null pointer|null]]. If it has one child, set the parent of A's child to A's parent and set the child of A's parent to A's child.


==== Node with two children ====
Es war [http://www.mcaviglia.ch/test/pageflip/test/session.asp?a=54-Air-Vortex Air Vortex] angeordnet worden, dass der Adminis trator Partei von Port Moresby sollte von der Residentrichter am Kokoda erfüllt werden, um "den tiefsten Punkt in der Owen Stanley Range, wie die Lücke bekannt, beschreibt Cap Tain Barton damit das Treffen ing:." Wir waren arbeiten uns entlang einer eher schwierigen Grat, [http://www.maennerchor-therwil.ch/images/gelterkinden/deco/banner.asp?f=183-Nike-Free-Run-Günstig Nike Free Run Günstig] wenn Huhui, der vor als Führer war, sud Denly gestoppt und lenkte meine Aufmerksamkeit auf den Klang der Holzfäller Ping vor uns. Es gab keinen Zweifel, dass wir Mr. Griffin Partei nähert sich, und ein paar Minuten später trafen wir uns. <br><br>Nein, das sind nicht die traditionellen Tamales, aber ich liebe dieses kleine Rezept. Ich habe es geschrieben und modifiziert. Heute werde ich, um es als Startpunkt nutzen, um Truthahn Tamales aus dem Rezept aus dem alten Nut Tree Restaurant in Vacaville, Kalifornien machen. <br><br>Alle Kleidungsstücke aus dem Bereich haben gute ATPV HRC und Bewertungen macht sie sicher und komfortabel sowie dauerhaft während der Arbeitszeit tragen. Durch die Erweiterung der Palette für Frauen, haben mehr bequem Shirts aufgenommen worden, um eine breite Palette von Wahlmöglichkeiten bieten. Es ist nicht nur die Wahl der Shorts und Hosen, aber auch einige große persönliche Schutz Attraktivität als auch das Einkaufen Spaß macht. <br><br>Durch Weight Watchers. Nach der Diagnose war ich mit schwere Müdigkeit von der MS betroffen und konnte keine Übung nicht bekommen überhaupt. Ich dachte, ich würde root auf die Couch und die einzige Übung, die ich bekam, war an den Kühlschrank gehen zu nehmen! Ich gewann nicht nur alle das Gewicht zurück, dass ich verloren hatte, fügte aber hinzu, weitere £ 23 oben drauf. <br><br>Er macht Motorgeräusche mit dem Mund beim Spielen mit Lastwagen. Und er wird quasseln, während eine Telefon bis zu seinem Ohr. Er wird selbst hob seine Fäuste und Box mit mir, wenn ich sage, "stellen Sie Ihr Herzöge". Wenn Sie erwägen, den Namen Ihrer Firma, müssen Sie [http://www.maennerchor-therwil.ch/images/gelterkinden/deco/banner.asp?f=14-Nike-Free-5.0-Womens Nike Free 5.0 Womens] die Bedeutung der Branding erinnern. Die Entscheidung für [http://www.blockhouse.ch/thesheriff/Collagen/thumbnails/menu.asp?n=5-New-Balance-Händler-Schweiz New Balance Händler Schweiz] ein Name ist kein Zufall, sondern ein gut durchdachtes Verfahren und Analyse von Namen und Bedeutung. Die Bedeutung der Markenbildung beginnt mit dem Erstellen einer einfachen Namen für Ihr Unternehmen. <br><br>Oben ist eine der einfachsten und wahrscheinlich einer der besten Nike Air Force 1 Bespoke so weit. Sie wurden von (keine Wort darüber, ob es die House of Pain-Frontmann, ein Typ, der Box-Trainingsgeräte, oder weder liebt) und mit ihren einfachen Aufbau whiteonblack werden diese Bespoke Air Force 1 Everlast Gelenke entwickelt, um den Test der Zeit dauern konzipiert. Und während einfache, verfügen sie über eine reiche Reptilleder auf der Zehe und Ösen, die schön kontrastiert eine glattere Leder auf der Rückfußes.<ul>
In a binary tree, a node with two children cannot be deleted unambiguously.<ref name="rice"/> However, in certain binary trees (including [[binary search tree]]s) these nodes ''can'' be deleted, though with a rearrangement of the tree structure.
 
 
  <li>[http://www.film-video-dvd-production.com/spip.php?article6/ http://www.film-video-dvd-production.com/spip.php?article6/]</li>
=== Traversal ===
 
{{Main|Tree traversal}}
  <li>[http://xdzwzz.dx1.nns.cc/forum.php?mod=viewthread&tid=129442 http://xdzwzz.dx1.nns.cc/forum.php?mod=viewthread&tid=129442]</li>
 
 
Pre-order, in-order, and post-order traversal visit each node in a tree by recursively visiting each node in the left and right subtrees of the root.
  <li>[http://www.frel.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article1 http://www.frel.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article1]</li>
 
 
==== Depth-first order ====
  <li>[http://www.dailyqr.com/blog_entry.php?user=1155371&blogentry_id=16035567 http://www.dailyqr.com/blog_entry.php?user=1155371&blogentry_id=16035567]</li>
In depth-first order, we always attempt to visit the node farthest from the root node that we can, but with the caveat that it must be a child of a node we have already visited. Unlike a depth-first search on graphs, there is no need to remember all the nodes we have visited, because a tree cannot contain cycles. Pre-order is a special case of this. See [[depth-first search]] for more information.
 
 
</ul>
==== Breadth-first order ====
Contrasting with depth-first order is breadth-first order, which always attempts to visit the node closest to the root that it has not already visited. See [[breadth-first search]] for more information. Also called a ''level-order traversal''.
 
In a complete binary tree, a node's breadth-index (''i - (2<sup>d</sup> - 1)'') can be used as traversal instructions from the root. Reading bitwise from left to right, starting at bit ''d - 1'', where ''d'' is the node's distance from the root (''d = floor(log2(i+1))'') and the node in question is not the root itself (''d > 0''). When the breadth-index is masked at bit ''d - 1'', the bit values <tt>0</tt> and <tt>1</tt> mean to step either left or right, respectively. The process continues by successively checking the next bit to the right until there are no more. The rightmost bit indicates the final traversal from the desired node's parent to the node itself. There is a time-space trade-off between iterating a complete binary tree this way versus each node having pointer/s to its sibling/s.
 
==Type theory==
 
In [[type theory]], a binary tree with nodes of type A is defined [[inductive family|inductively]] as ''T''<sub>''A''</sub> = μα. 1 + ''A'' &times; α &times; α.
 
==Definition in graph theory==
 
For each binary tree data structure, there is equivalent rooted [[binary tree (graph theory)|binary tree]] in graph theory.
 
[[graph theory|Graph theorists]] use the following definition: A binary tree is a [[connected graph|connected]] [[Forest (graph theory)|acyclic graph]] such that the [[degree (graph theory)|degree]] of each [[vertex (graph theory)|vertex]] is no more than three. It can be shown that in any binary tree of two or more nodes, there are exactly two more nodes of degree one than there are of degree three, but there can be any number of nodes of degree two. A '''rooted binary tree''' is such a graph that has one of its vertices of degree no more than two singled out as the root.
 
With the root thus chosen, each vertex will have a uniquely defined parent, and up to two children; however, so far there is insufficient information to distinguish a left or right child. If we drop the connectedness requirement, allowing multiple [[connected component (graph theory)|connected components]] in the graph, we call such a structure a forest.
 
Another way of defining binary trees is a recursive definition on directed graphs. A binary tree is either:
* A single vertex.
* A graph formed by taking two binary trees, adding a vertex, and adding an edge directed from the new vertex to the root of each binary tree.
This also does not establish the order of children, but does fix a specific root node.
 
==Combinatorics==
 
In combinatorics one considers the problem of counting the number of full binary trees of a given size.  Here the trees have no values attached to their nodes (this would just multiply the number of possible trees by an easily determined factor), and trees are distinguished only by their structure; however the left and right child of any node are distinguished (if they are different trees, then interchanging them will produce a tree distinct from the original one). The size of the tree is taken to be the number ''n'' of internal nodes (those with two children); the other nodes are leaf nodes and there are {{nowrap|''n'' + 1}} of them. The number of such binary trees of size ''n'' is equal to the number of ways of fully parenthesizing a string of {{nowrap|''n'' + 1}} symbols (representing leaves) separated by ''n'' binary operators (representing internal nodes), so as to determine the argument subexpressions of each operator. For instance for {{nowrap|''n'' {{=}} 3}} one has to parenthesize a string like {{nowrap| <math>X*X*X*X</math>}}, which is possible in five ways:
: <math>((X*X)*X)*X,\qquad (X*(X*X))*X,\qquad (X*X)*(X*X),\qquad X*((X*X)*X),\qquad X*(X*(X*X)).</math>
The correspondence to binary trees should be obvious, and the addition of redundant parentheses (around an already parenthesized expression or around the full expression) is disallowed (or at least not counted as producing a new possibility).
 
There is a unique binary tree of size 0 (consisting of a single leaf), and any other binary tree is characterized by the pair of its left and right children; if these have sizes ''i'' and ''j'' respectively, the full tree has size {{nowrap|''i'' + ''j'' + 1}}. Therefore the number <math>C_n</math> of binary trees of size ''n'' has the following recursive description <math>C_0=1</math>, and <math>\textstyle C_n=\sum_{i=0}^{n-1}C_iC_{n-1-i}</math> for any positive integer ''n''. It follows that <math>C_n</math> is the [[Catalan number]] of index ''n''.
 
The above parenthesized strings should not be confused with the set of words of length 2''n'' in the [[Dyck language]], which consist only of parentheses in such a way that they are properly balanced. The number of such strings satisfies the same recursive description (each Dyck word of length 2''n'' is determined by the Dyck subword enclosed by the initial '(' and its matching ')' together with the Dyck subword remaining after that closing parenthesis, whose lengths 2''i'' and 2''j'' satisfy {{nowrap|''i'' + ''j'' + 1 {{=}} ''n''}}); this number is therefore also the Catalan number <math>C_n</math>. So there are also five Dyck words of length 10:
: <math>()()(),\qquad ()(()),\qquad (())(),\qquad (()()),\qquad ((()))</math>.
These Dyck words do not correspond in an obvious way to binary trees. A bijective correspondence can nevertheless be defined as follows: enclose the Dyck word in an extra pair of parentheses, so that the result can be interpreted as a  [[Lisp (programming language)|Lisp]] list expression (with the empty list () as only occurring atom); then the [[Lisp (programming language)#S-expressions represent lists|dotted-pair]] expression for that proper list is a fully parenthesized expression (with NIL as symbol and '.' as operator) describing the corresponding binary tree (which is in fact the internal representation of the proper list).
 
The ability to represent binary trees as strings of symbols and parentheses implies that binary trees can represent the elements of a [[free magma]] on a singleton set.
 
== Methods for storing binary trees ==<!-- This section is linked from [[Ahnentafel]] -->
Binary trees can be constructed from [[programming language]] primitives in several ways.
 
=== Nodes and references ===
 
In a language with [[record (computer science)|records]] and [[reference (computer science)|reference]]s, binary trees are typically constructed by having a tree node structure which contains some data and references to its left child and its right child. Sometimes it also contains a reference to its unique parent. If a node has fewer than two children, some of the child pointers may be set to a special null value, or to a special [[sentinel node]].
 
In languages with [[tagged union]]s such as [[ML (programming language)|ML]], a tree node is often a tagged union of two types of nodes, one of which is a 3-tuple of data, left child, and right child, and the other of which is a "leaf" node, which contains no data and functions much like the null value in a language with pointers.
 
===Arrays===
 
Binary trees can also be stored in breadth-first order as an [[implicit data structure]] in [[array data structure|array]]s, and if the tree is a complete binary tree, this method wastes no space. In this compact arrangement, if a node has an index ''i'', its children are found at indices <math>2i + 1</math> (for the left child) and <math>2i +2</math> (for the right), while its parent (if any) is found at index ''<math>\left \lfloor \frac{i-1}{2} \right \rfloor</math>'' (assuming the root has index zero). This method benefits from more compact storage and better [[locality of reference]], particularly during a preorder traversal. However, it is expensive to grow and wastes space proportional to 2<sup>''h''</sup> - ''n'' for a tree of depth ''h'' with ''n'' nodes.
 
This method of storage is often used for [[binary heap]]s. No space is wasted because nodes are added in breadth-first order.
 
<center>[[Image:Binary tree in array.svg|300px|A small complete binary tree stored in an array]]</center>
 
== Encodings ==
 
=== Succinct encodings ===
A [[succinct data structure]] is one which occupies close to minimum possible space, as established by [[information theory|information theoretical]] lower bounds. The number of different binary trees on <math>n</math> nodes is <math>\mathrm{C}_{n}</math>, the <math>n</math>th [[Catalan number]] (assuming we view trees with identical ''structure'' as identical). For large <math>n</math>, this is about <math>4^{n}</math>; thus we need at least about <math>\log_{2}4^{n} = 2n</math> bits to encode it. A succinct binary tree therefore would occupy <math>2n+o(n)</math> bits.
 
One simple representation which meets this bound is to visit the nodes of the tree in preorder, outputting "1" for an internal node and "0" for a leaf. [http://theory.csail.mit.edu/classes/6.897/spring03/scribe_notes/L12/lecture12.pdf] If the tree contains data, we can simply simultaneously store it in a consecutive array in preorder. This function accomplishes this:
 
'''function''' EncodeSuccinct(''node'' n, ''bitstring'' structure, ''array'' data) {
    '''if''' n = ''nil'' '''then'''
        append 0 to structure;
    '''else'''
        append 1 to structure;
        append n.data to data;
        EncodeSuccinct(n.left, structure, data);
        EncodeSuccinct(n.right, structure, data);
}
 
The string ''structure'' has only <math>2n + 1</math> bits in the end, where <math>n</math> is the number of (internal) nodes; we don't even have to store its length. To show that no information is lost, we can convert the output back to the original tree like this:
 
'''function''' DecodeSuccinct(''bitstring'' structure, ''array'' data) {
    remove first bit of ''structure'' and put it in ''b''
    '''if''' b = 1 '''then'''
        create a new node ''n''
        remove first element of data and put it in n.data
        n.left = DecodeSuccinct(structure, data)
        n.right = DecodeSuccinct(structure, data)
        '''return''' n
    '''else'''
        '''return''' nil
}
 
More sophisticated succinct representations allow not only compact storage of trees but even useful operations on those trees directly while they're still in their succinct form.
 
=== Encoding general trees as binary trees ===
There is a one-to-one mapping between general ordered trees and binary trees, which in particular is used by [[Lisp (programming language)|Lisp]] to represent general ordered trees as binary trees. To convert a general ordered tree to binary tree, we only need to represent the general tree in left child-sibling way. The result of this representation will be automatically binary tree, if viewed from a different perspective. Each node ''N'' in the ordered tree corresponds to a node ''N' '' in the binary tree; the ''left'' child of ''N' '' is the node corresponding to the first child of ''N'', and the ''right'' child of ''N' '' is the node corresponding to ''N'' 's next sibling --- that is, the next node in order among the children of the parent of ''N''. This binary tree representation of a general order tree is sometimes also referred to as a [[left child-right sibling binary tree]] (LCRS tree), or a [[doubly chained tree]], or a [[Filial-Heir chain]].
 
One way of thinking about this is that each node's children are in a [[linked list]], chained together with their ''right'' fields, and the node only has a pointer to the beginning or head of this list, through its ''left'' field.
 
For example, in the tree on the left, A has the 6 children {B,C,D,E,F,G}.  It can be converted into the binary tree on the right.
 
<center>
[[Image:N-ary to binary.svg|400x240px|An example of converting an n-ary tree to a binary tree]]
</center>
 
The binary tree can be thought of as the original tree tilted sideways, with the black left edges representing ''first child'' and the blue right edges representing ''next sibling''. The leaves of the tree on the left would be written in Lisp as:
 
:(((N O) I J) C D ((P) (Q)) F (M))
 
which would be implemented in memory as the binary tree on the right, without any letters on those nodes that have a left child.
 
==See also==
* [[2-3 tree]]
* [[2-3-4 tree]]
* [[AA tree]]
* [[AVL tree]]
* [[B-tree]]
* [[Binary space partitioning]]
* [[Huffman tree]]
* [[K-ary tree]]
* [[Kraft's inequality]]
* [[Random binary tree]]
* [[Recursion (computer science)]]
* [[Red-black tree]]
* [[Rope (computer science)]]
* [[Self-balancing binary search tree]]
* [[Splay tree]]
* [[Strahler number]]
* [[Tree of primitive Pythagorean triples#Alternative methods of generating the tree]]
* [[Unrooted binary tree]]
 
==Notes==
{{reflist|33em}}
 
== References ==
* [[Donald Knuth]]. ''The art of computer programming vol 1. Fundamental Algorithms'', Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89683-4. Section 2.3, especially subsections 2.3.1&ndash;2.3.2 (pp.&nbsp;318&ndash;348).
* [[Kenneth A Berman]], [[Jerome L Paul]]. ''Algorithms: Parallel, Sequential and Distributed''. Course Technology, 2005. ISBN 0-534-42057-5. Chapter 4. (pp.&nbsp;113&ndash;166).
 
==External links==
{{commons category|Binary trees}}
*[http://www.gamedev.net/page/resources/_/technical/general-programming/trees-part-2-binary-trees-r1433 Gamedev.net introduction on binary trees]
*[http://www.brpreiss.com/books/opus4/html/page355.html Binary Tree Proof by Induction]
*[http://piergiu.wordpress.com/2010/02/21/balanced-binary-search-tree-on-array/ Balanced binary search tree on array How to create bottom-up an Ahnentafel list, or a balanced binary search tree on array]
 
{{CS-Trees}}
 
{{DEFAULTSORT:Binary Tree}}
[[Category:Binary trees| ]]
[[Category:Data structures]]

Revision as of 02:26, 20 February 2014

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