Countable set: Difference between revisions

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{{Redirect|Countable|the linguistic concept|Count noun}}
== Nike Air Max Thea Atomic Pink  mes amis ==
{{distinguish2| [[recursively enumerable set|(recursively) enumerable sets]]}}
In [[mathematics]], a '''countable set''' is a [[Set (mathematics)|set]] with the same [[cardinality]] ([[cardinal number|number]] of elements) as some [[subset]] of the set of [[natural number]]s. A set that is not countable is called ''[[uncountable set|uncountable]]''. The term was originated by [[Georg Cantor]]. The elements of a countable set can be counted one at a time and although the counting may never finish, every element of the set will eventually be associated with a natural number.


Some authors use ''countable set'' to mean a set with the same cardinality as the set of natural numbers.<ref name="Rudin">For an example of this usage see {{Harv|Rudin|1976|loc=Chapter 2}}</ref>
Sauf si vous êtes un des articles Machine barattage, en prenant dans ce genre de responsabilité est un travail à plein temps. Donc je suppose que l'idée de nouveauté de la brosse à dents n'est pas si précis. Depuis la répression sanglante des manifestants après les élections présidentielles de 2009 contestées en Iran, la dissidence a été extrêmement rares.<br><br>Il a rencontré sa fin quand il est entré un bain d'eau tiède de bronze et a demandé un peu de vin, qu'il avala, puis avec son dernier souffle exhorté ses partisans à se souvenir de ses doctrines: mes amis, les vrais, j'ai enseigné prise rapide. Ils sont méchants cause mauvaise dey r jealuz de l'éclat de ender omg! <br><br>Alors que quelqu'un peut dépenser n'importe quelle somme sur son propre plaidoyer politique, le montant qu'il peut donner aux partis politiques et des candidats est strictement limité par des lois que la Cour suprême a confirmé dans le cas séminal de financement de la campagne de Buckley v Veiller à ce que le gouvernement fédéral a les fonds alloués <br><br>L'université a été lancé avec une campagne populaire qui a soulevé 3 millions $. Le pont [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=150-Nike-Air-Max-Thea-Atomic-Pink Nike Air Max Thea Atomic Pink] ouvre à 5 h du lundi au jeudi et à 16 heures les samedis et dimanches. David Cassidy arrêté sur des soupçons de papa de DUI Fox Nouvelles catégorie Étoile Katie Cassidy arrêté pour la deuxième CFA en six mois Rapport David Cassidy arrêté sur des soupçons de DUI USA [http://www.betonsnijwerk.be/includes/boren.asp?t=44-Mbt-Shoes-Usa Mbt Shoes Usa] TODAY rhinocéros noir permis de chasse aux enchères aux Etats-Unis BBC Nouvelles Google Nouvelles du monde (Aujourd'hui) BBC NewsBlack rhinocéros chasse <br><br>Pensez au catalogue de carte dans votre bibliothèque. Apple a acquis Quattro Wireless en Janvier et est largement devrait annoncer son propre service de publicité mobile très bientôt (peut-être dès iPhone OS événement médiatique de jeudi). J'ai eu qui ne recule pas Philly perspectives ". Elle est venue à l'Ohio quand sa mère se remarie Ron Richards, qui a été impliqué dans le monde [http://www.pyck.be/includes/realisaties.asp?id=102-Nike-Free-Run-Femme Nike Free Run Femme] des courses de dragsters et a travaillé comme chef d'équipe pour cinq fois champion du monde Jegs Coughlin Jr.Initially elle était intéressée <br><br>  l'une des régions les plus pauvres de l'un des Etats les plus pauvres de la caisse de la nation Eliza Shook dit des dizaines de clients dans le coin épicerie devaient remettre l'épicerie quand les cartes ont échoué samedi parce qu'ils ne pouvaient pas se permettre de payer pour la nourriture. <br><br>Cela ressemble à aller politique et va certainement se retourner pour mordre la Nats / Libs. La lumière peut être étudiée, l'obscurité ne peut pas. Brotto aide les femmes à restaurer la libido grâce [http://www.stobbeldeen.be/download/spelletjes.asp?d=66-New-Balance-U420 New Balance U420] à l'utilisation de pratiques et conscients des affirmations positives comme, "Mon corps est vivant et sexuelle."<ul>
 
  <li>[http://yukeshangcheng.com/news/html/?73907.html http://yukeshangcheng.com/news/html/?73907.html]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article172#forum17392327 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article172#forum17392327]</li>
 
  <li>[http://www.let581.com/forum.php?mod=viewthread&tid=92217&fromuid=45119 http://www.let581.com/forum.php?mod=viewthread&tid=92217&fromuid=45119]</li>
 
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  <li>[http://www.vc1000.com/news/html/?55936.html http://www.vc1000.com/news/html/?55936.html]</li>
 
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The difference between the two senses of ''countable set'' is in how they handle [[finite set]]s. Under the first definition finite sets are considered to be countable, while under the second definition they are not. To resolve this ambiguity, the term '''at most countable''' is sometimes used for the first definition, and '''countably infinite''' for the second.
== Nike Free Run 3.0 V4 CWU ==


The term '''denumerable''' can also be used to mean countably infinite,<ref name="Lang">See {{Harv|Lang|1993|loc=&sect;2 of Chapter I}}.</ref> or countable, in contrast with the term '''nondenumerable'''.<ref name="Apostol">See {{Harv|Apostol|1969|loc=Chapter 13.19}}.</ref>
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  <li>[http://mercaves.com/aviariosylinks/index.php?page=item&id=130739 http://mercaves.com/aviariosylinks/index.php?page=item&id=130739]</li>
 
  <li>[http://minecraftforum.co.uk/showthread.php?tid=426413 http://minecraftforum.co.uk/showthread.php?tid=426413]</li>
 
  <li>[http://www.ezlsw.com/news/html/?19965.html http://www.ezlsw.com/news/html/?19965.html]</li>
 
  <li>[http://euve30437.vserver.de/sold/viewtopic.php?f=8&t=137406 http://euve30437.vserver.de/sold/viewtopic.php?f=8&t=137406]</li>
 
</ul>


==Definition==
== Adidas Js Wings 2.0  selon une avance homme équipe Giffords ==
A set ''S'' is called '''countable''' if there exists an [[injective function]] ''f'' from ''S'' to the [[natural numbers]] '''N''' = {0, 1, 2, 3, ...}.<ref>Since there is an obvious [[bijection]] between '''N''' and '''N'''* = {1, 2, 3, ...}, it makes no difference whether one considers 0 to be a natural number of not. In any case, this article follows [[ISO 31-11]] and the standard convention in [[mathematical logic]], which make 0 a natural number.</ref>


If this ''f'' is also [[surjective function|surjective]] and therefore [[bijection|bijective]], then ''S'' is called '''countably [[infinite set|infinite]].'''
Nous allons également partager des articles National Geographic, des vidéos, et sous les traits de scènes et vous tiendrons au courant de notre travail de l'Initiative de grands chats pour aider les grands félins s'accrochent dans la nature .. Un grand chapeau de soleil avec écharpe assortie aurait été acceptable <br><br>C'est ainsi que Teresa, quatre fuseaux horaires de la maison de sorte que sa famille pourrait avoir une maison qui se place à la pluie, a épousé un homme qui pouvait lui dire exactement ce que c'était que de voir son propre père qu'une seule fois tous les deux ans. Remarque: faire de vieux conservateurs comme les jolies femmes plus que les anciens libéraux) le public fausse femelle.<br><br>AirPlay est la nouvelle fonctionnalité que je suis plus excité. Lui posant pour les siestes plus fréquentes ou de le mettre au lit plus tôt que d'habitude peut aider à obtenir le plus de sommeil dont il a besoin pour récupérer plus rapidement. Centre pour les étudiantes et étudiants: Comme le national sans but lucratif derrière je suis d'abord qui propose des blogs et des vidéos de premiers étudiants et diplômés gen fonds OSC une bourse annuelle pour les étudiants qui aspirent à être les premiers de leur famille à obtenir un diplôme d'une institution de quatre ans <br><br>Restez avec votre enfant. Dans le Dakota du Nord, dans le NRA [http://www.sadietoast.be/backoffice/ckeditor/plugins/forms/dialogs/upfile.asp?j=12-Adidas-Js-Wings-2.0 Adidas Js Wings 2.0] forcé un changement de lieu de dernière minute, selon une avance homme équipe Giffords, qui se refusé d'être nommé par crainte de mélange avec d'acquisition d'armes à feu en provenance [http://www.r2b.be/verstraete/design/disclaimer.asp?k=9-Botte-Ugg-Pas-Cher Botte Ugg Pas Cher] de Washington. Les lignes directrices ont indigné le sénateur Elle est rapidement devenue l'expérience de tout le monde mais comme il a gagné en popularité.<br><br>Compte tenu de ses infractions répétées et le manque de remords pour le crime, O'Neill condamné Wilcox au maximum: 20 ans et demi de prison. Si vous êtes heureux avec Amazon Prime, ne rien faire. "Il a essayé très dur pour s'assurer que nous n'avons pas nous prendre trop au sérieux." Secrétaire d'Etat de l'Ohio Jon Husted dit Corbin était un bon législateur et un homme encore mieux. "La chose à propos de Bob pour moi, c'est qu'il était toujours favorable et avait [http://www.mycontigo.com/includes/contact.asp?p=13-Nike-Free-Powerlines Nike Free Powerlines] toujours un mot gentil, ce qui est rare dans un monde politique où tout le monde [http://www.bistrolarmagnac.be/history/foto/contact.asp?g=39-Sneakers-Isabel-Marant-2014 Sneakers Isabel Marant 2014] veut donner leur avis et bécassines ", dit Husted.<br><br>Si vous avez des problèmes traitant de la colère et d'autres émotions, il n'est jamais mauvais de parler avec un thérapeute et de discuter des moyens plus positifs de l'expression émotionnelle .. Vous pouvez même mettre en place des tracts autour de la ville ou les campus universitaires demander aux gens de faire don de leurs vieux livres pour vous.<ul>
 
  <li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1739/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1739/]</li>
 
  <li>[http://50.118.36.18/forum.php?mod=viewthread&tid=5494&fromuid=2371 http://50.118.36.18/forum.php?mod=viewthread&tid=5494&fromuid=2371]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17363926 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17363926]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum17351748 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum17351748]</li>
 
  <li>[http://www.laoshr.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1563&fromuid=2278 http://www.laoshr.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1563&fromuid=2278]</li>
 
</ul>


In other words, a set is called "countably infinite" if it has [[One-one correspondence|one-to-one correspondence]] with the natural number set, '''N'''.
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As noted above, this terminology is not universal: Some authors use countable to mean what is here called "countably infinite," and to not include finite sets.
Utilisez un bon shampooing et revitalisant odeur correspondant. Mais soyons réalistes, l'attirance physique est un élément important de toute relation. Trouver des idées locales, des conseils, des avis, des notes sur les entreprises locales dans votre ville et dans les quartiers .. La Terre primitive [http://www.stobbeldeen.be/download/spelletjes.asp?d=8-Chaussures-New-Balance-Belgique Chaussures New Balance Belgique] était une vision de l'enfer, toutes les roches bouillante et les fumées toxiques.<br><br>Avec un effectif d'environ 6000, Elon est la taille idéale, avec les ressources d'une université dans un proche atmosphère de la communauté de tricot .. L'étude de Catalyst, un but non lucratif qui vise à élargir les possibilités d'emploi pour les femmes, conclut que 83 pour cent des femmes qui <br><br>La partie la plus difficile est de décider comment arrêter .. "Spyder", comme on l'appelle, a fait ses débuts en 1993, ce qui rend l'échange plus ancien fonds négocié. génération projet de loi Supporters du vent comme source d'énergie propre qui ne tapez pas dans l'approvisionnement en eau et prévenir que de laisser le crédit expire signifierait une condamnation à mort pour l'industrie.<br><br>Des études montrent TDA / [http://www.debatjeshoek.be/wpimages/wpimages/contact.asp?b=10-Magasin-Hollister-Wavre Magasin Hollister Wavre] H peut également être traités avec la thérapie, qui est potentiellement meilleure option pour le corps et la santé .. Et l'autre fois, elle a dit que c'était comme si elle pouvait voir à l'intérieur de sa tête, comme si l'œil regardait vers le passé et elle vit <br><br>Il dit que son fils a joué au football et un de ses coéquipiers eu une prothèse de jambe et il était le joueur le plus rapide de l'équipe. "Alors, quand le médecin est venu à parler d'une prothèse de jambe, Kyle était comme, 'Donnez-moi le plus rapide jambe vous avez! ". <br><br>Par exemple, je ne suis pas intéressé par les établissements de soins de l'enfant, mais je suis intéressé dans les cafés. Premila Lal, 18 ans, aurait été tué par [http://www.sadietoast.be/backoffice/ckeditor/plugins/forms/dialogs/upfile.asp?j=79-Adidas-Jeremy-Scott-Wings-Prix Adidas Jeremy Scott Wings Prix] copain surpris Nerreck Daniel Galley, 21, après s'être caché dans un placard et sauter à jouer un tour sur lui Un adolescent g. <br><br>Il montre même dans mon travail et les relations avec mes clients. Comme l'a fait Galilée, ils peuvent obtenir un sursis s'ils recant.I espèrent que mec ne fait jamais d'entendre l'affirmation la plus hérétique de Dyson:. CO2 atmosphérique peut effectivement améliorer l'environnement "Il est certainement vrai que le dioxyde de carbone est bon pour la végétation", a déclaré Dyson <br><br>Mais la prochaine impulsion que vous avez, juste le remarquer et ne pas agir sur elle. Les frais sont généralement beaucoup moins cher que de prendre votre véhicule à un mécanicien, mais ne sont toujours pas [http://www.creamark.eu/includes/contact.asp?b=35-Revendeur-Beats-Belgique Revendeur Beats Belgique] les réponses libres promis .. Il a dit que ceux encore sont vendus à des négociants qui expédient une grande partie de la Chine, mais le nombre de ceux qui peuvent satisfaire aux exigences de Pékin pour séparer<ul>
 
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</ul>


For alternative (equivalent) formulations of the definition in terms of a bijective function or a surjective function, see the section [[#Formal definition and properties|Formal definition and properties]] below.
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==Introduction==
Yale Environment 360 explique que de nombreux vins européens sont liés à une zone géographique spécifique, créer un problème pour les régions qui pourrait bientôt se trouver le plus adapté à un nouveau type de raisin. Dans la fission, l'énergie vient de briser les liens de la force qui [http://www.verbeke-daniel.be/doeself/includes/promoties.asp?p=9-Moncler-Outlet Moncler Outlet] a tenu l'atome lourd originale ensemble, avec la fusion, la source d'énergie est plus ésotérique partie de la masse de chacun des deux noyaux légers est convertie directement en énergie quand ils fusionnent, dans <br><br>La résistance est là. 1) la mise hors tension par des problèmes qui sont facilement résolus. Il a récemment appris un nouveau mot, le père Tom disait en tagalog: la peur de rester dans une relation engagée .. Mon fils, mon fiancé et [http://www.andersmetklank.be/ontwikkeling/favicon.asp?l=36-Vibram-Five-Fingers-Bruxelles Vibram Five Fingers Bruxelles] moi-même allé visiter ma famille / frères de cette façon, il peut avoir la chance de les (je répondre <br><br>22, selon le cabinet de recherche en ligne comScore, et les détaillants s'attendre ventes globales de vacances pour être en hausse de près de 4 pour cent, plus de 600 millions de dollars »Nous avons eu une saison raccourcie de vacances en termes de shopping:. Six jours de moins et une hausse de la demande en ligne, en particulier accélérée par une forte augmentation dans les appareils mobiles ", a déclaré Mark Mahaney, un analyste de détail en ligne.<br><br>AirPlay est la nouvelle fonctionnalité que je suis plus excité. Vous auriez certainement adorer prendre leur cerveau et de gagner juste un brin de leur connaissance pour votre propre bénéfice, pas vous? Mais comment pouvez-vous faire cela et ce que cela coûterait-il si vous pouviez obtenir leur attention et leur délibéré personnelle? <br><br>Je peux attendre pour se diriger dans le monde de l'alimentation et font de ce restaurant une réalité. "Elle a déjà acheté [http://www.paloma-curiosa.be/includes/old/function.asp?l=41-Longchamp-Sac-Pas-Cher Longchamp Sac Pas Cher] une cuisine commerciale de seconde main et est à la recherche d'un espace pour ouvrir un restaurant avec son petit ami Dan .. Mais cela signifie aussi que vous avez gagné ' [http://www.aircleaning.be/includes/Scripts/fiche.asp?c=15-Christian-Louboutin-Homme-2014 Christian Louboutin Homme 2014] <br><br>Inscrivez-vous maintenant et commencer à être plus de succès .. Avec plus de la quantité quotidienne recommandée de vitamine A, petits pois sont également riches en protéines, la vitamine C, la vitamine K, la vitamine B6 et folate. Des restrictions supplémentaires et séjour minimum peuvent s'appliquer .. Après cinq saisons et 11 Gemini Awards (dont meilleure série dramatique, meilleure réalisation et meilleur acteur), "Flashpoint" va fermer boutique.<br><br>Il y aura un tirage au sort à 50/50, jeux de style Monte Carlo et vivre et auctions.Items silencieux jusqu'à grappin pour inclure des packages de golf, une guitare de Zac Brown Band, un arrangement floral de Far Hills Fleuriste, adhésion à des clubs AAA et des illustrations originales .. janvier La baisse du nombre de commerçants qui achètent la ferraille pour expédier en Chine a également fait baisser les prix des entreprises de recyclage américains et européens peuvent obtenir pour leur plastique et métaux ..<ul>
A ''[[Set (mathematics)|set]]'' is a collection of ''elements'', and may be described in many ways. One way is simply to list all of its elements; for example, the set consisting of the integers 3, 4, and 5 may be denoted {3, 4, 5}. This is only effective for small sets, however; for larger sets, this would be time-consuming and error-prone. Instead of listing every single element, sometimes an ellipsis ("...") is used, if the writer believes that the reader can easily guess what is missing; for example, {1, 2, 3, ..., 100} presumably denotes the set of [[integer]]s from 1 to 100. Even in this case, however, it is still ''possible'' to list all the elements, because the set is ''finite''; it has a specific number of elements.
 
  <li>[http://www.yxwzkj.com/news/html/?90742.html http://www.yxwzkj.com/news/html/?90742.html]</li>
 
  <li>[http://wangxuejun-001-site2.site4future.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1052&fromuid=1548 http://wangxuejun-001-site2.site4future.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1052&fromuid=1548]</li>
 
  <li>[http://jianzhan.pctop1.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1646760 http://jianzhan.pctop1.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1646760]</li>
 
  <li>[http://www.jthwba.com/news/html/?263390.html http://www.jthwba.com/news/html/?263390.html]</li>
 
  <li>[http://www.yueyelianmeng.com/forum.php?mod=viewthread&tid=35004 http://www.yueyelianmeng.com/forum.php?mod=viewthread&tid=35004]</li>
 
</ul>


Some sets are ''infinite''; these sets have more than ''n'' elements for any integer ''n''. For example, the set of natural numbers, denotable by {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, has infinitely many elements, and we cannot use any normal number to give its size. Nonetheless, it turns out that infinite sets do have a well-defined notion of size (or more properly, of ''cardinality'', which is the technical term for the number of elements in a set), and not all infinite sets have the same cardinality.
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To understand what this means, we first examine what it ''does not'' mean. For example, there are infinitely many odd integers, infinitely many even integers, and (hence) infinitely many integers overall. However, it turns out that the number of odd integers, which is the same as the number of even integers, is also the same as the number of integers overall. This is because we arrange things such that for every integer, there is a distinct odd integer: ... −2 → −3, −1 → −1, 0 → 1, 1 → 3, 2 → 5, ...; or, more generally, ''n'' → 2''n'' + 1. What we have done here is arranged the integers and the odd integers into a ''one-to-one correspondence'' (or ''[[bijection]]''), which is a [[function (mathematics)|function]] that maps between two sets such that each element of each set corresponds to a single element in the other set.
En fin de compte, notre objectif est de formuler une image plus complète anthropologique de l'histoire humaine, et chaque participant qui rejoint le projet contribue à cet objectif .. Migration pour meilleure occasion est aussi vieux que l'histoire humaine, mais aujourd'hui, il est probable que plus de gens vivent à l'extérieur <br><br>Clercs de la ligne dure disent que les femmes route mènera à «libertinage». Un éminent religieux a également causé un émoi quand il a dit que les études médicales montrent conduire une voiture nuit les ovaires d'une femme .. Une partie de la raison pour laquelle j'ai attendu pour le faire parce que je voulais être plus stable dans mon nouvel emploi avant de commencer tous les FET <br><br>5000mSv dans un court laps de temps vous tuer, mais 5000 propagation plus de 50 ans est bien, STILL statistiquement plus susceptibles de vous donner le cancer. Demain sera essentiellement juste un autre dimanche au me.I n'ai [http://www.davalie.be/class/config.asp?m=57-Canada-Goose-Chilliwack Canada Goose Chilliwack] jamais pris mon père à dîner le jour de père ou lui a présenté des pantoufles, un ensemble d'outils Craftsman, deux peut boire chapeau, cravate farfelu ou un père Chia Scooby Doo.My doesn <br><br>Il serait détourner des [http://www.funkafee.be/caurina/transitions/memory.asp?y=29-Roshe-Run-Hyperfuse Roshe Run Hyperfuse] redevances à un organisme de l'ONU, à Kingston, en Jamaïque. Sans les heures de bureau définies que les travailleurs traditionnels reposent sur de savoir quand déconnecter, les télétravailleurs peuvent être la proie de la journée de travail sans [http://www.pyck.be/includes/realisaties.asp?id=118-Nike-Cortez-Zalando Nike Cortez Zalando] fin (et la nuit). "Personnellement, je ne trouve difficile d'être le travail" off "parfois", Sutton Fell <br><br>En 1950, un sondage Associated Press nommé Bill Tilden comme le plus grand joueur de tennis de la demi-siècle par une large marge .. Le coup d'envoi de la semaine, le rapport spécial Bret Baier et Megyn Kelly de [http://www.stobbeldeen.be/download/spelletjes.asp?d=66-New-Balance-U420 New Balance U420] l'Amérique en direct seront co ancrer quartier général des élections de l'Amérique, un prime time spécial sur <br><br>Ils nous ont dit qu'ils portaient des jeans skinny, des petits hauts en dentelle et des vestes de motards, ils sont venus dans Topshop et H, ils portaient leurs cheveux dans des coupes à la mode et ils ont adoré encore la mode .. Je me souviens de l'anxiété chez les adolescentes de marcher sur le sol d'un gymnase à poser <br><br>Krzysztof Makowski Hanula, un archéologue à l'Université catholique pontificale du Pérou à Lima et conseiller scientifique du projet, a déclaré le temple nouvellement mis au jour des morts "est comme un panthéon, comme un mausolée de toute la noblesse Wari dans la région." Le Wari seigneurs ont longtemps été éclipsé par l'Inca plus tard, dont les réalisations ont été largement documentés par les conquérants espagnols.<ul>
 
  <li>[http://www.hebdo.bf/spip.php?article22 http://www.hebdo.bf/spip.php?article22]</li>
 
  <li>[http://www.chinastemi.com/thread-106758-1-1.html http://www.chinastemi.com/thread-106758-1-1.html]</li>
 
  <li>[http://viewofield.egloos.com/4847064/ http://viewofield.egloos.com/4847064/]</li>
 
  <li>[http://www.itdiy.net/forum.php?mod=viewthread&tid=1108611 http://www.itdiy.net/forum.php?mod=viewthread&tid=1108611]</li>
 
  <li>[http://www.tuxeros.ch/ http://www.tuxeros.ch/]</li>
 
</ul>


However, not all infinite sets have the same cardinality. For example, [[Georg Cantor]] (who introduced this concept) demonstrated that the [[real number]]s cannot be put into one-to-one correspondence with the natural numbers (non-negative integers), and therefore that the set of real numbers has a greater cardinality than the set of natural numbers.
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A set is ''countable'' if: (1) it is finite, or (2) it has the same cardinality (size) as the set of natural numbers. Equivalently, a set is ''countable'' if it has the same cardinality as some [[subset]] of the set of natural numbers. Otherwise, it is ''uncountable''.
Vous aurez probablement pas voir un joint caterpillaring son chemin le long Broadway.Yet l'intérieur de la ville accueille également une accumulation étrange de la faune, les animaux qui sont includingnative tailler espaces pour eux-mêmes dans les couloirs de béton et les espèces exotiques que nous avons introduites à la vie de la ville. Coyotes (Canis latrans) peuvent Bethe habile de hiddenwildlife de New York City.<br><br>GTA a été fondée en 2006 par le financier Charles Wang et ancien président du Comité national démocrate Terry McAullife campagne, qui a quitté l'entreprise à la fin de 2012 pour se concentrer sur son offre Gubernatorial en Virginie. Backers DAYTON du projet de refaire la rivière Great Miami centre-ville en une attraction de loisirs de l'eau disent qu'ils ont de recueillir 3,8 millions de dollars et va maintenant solliciter [http://www.bistrochapoo.be/includes/menukaart.asp?g=14-Louis-Vuitton-Sac-Pas-Cher Louis Vuitton Sac Pas Cher] des contributions en espèces du public pour augmenter le restant de $ 200,000. Jusqu'à présent, les engagements se sont en grande partie du secteur privé <br><br>Si vous êtes concerné que vous pouvez avoir plus d'une paupière commun contraction, contactez un professionnel de la vue pour une évaluation .. Alors ne son physicien de Princeton compatriote et collègue sceptique, William Happer. "Il ya [http://www.mycontigo.com/includes/contact.asp?p=13-Nike-Free-Powerlines Nike Free Powerlines] des gens qui ont juste besoin d'une cause qui est plus grand qu'eux-mêmes <br><br>Rassembler plus de 20 flamants roses de triage, et de préparer des feuilles de papier à l'avance. "Comment pouvez-vous prendre la prochaine étape dans une relation lorsque vous disposez les emplois que vous avez? Quels sacrifices doivent être faits? Je suis juste heureux de raconter les histoires que nous voulons raconter et l'envelopper d'une manière qui rend tout le monde <br><br>Une fois la pierre à travers l'uretère, la douleur cesse habituellement, et peu de temps après, la pierre du rein sera adopté, probablement lors de la miction. Alien tumeur février Toujours suivre votre première esprit. Dans ce dernier cas, un agent du FBI a également affirmé dans un affidavit que Rosen était peut-être un criminel "conspirateur co." aucune accusation n'a été portée contre Rosen, l'Association des correspondants de la Maison Blanche de dit qu'aucun journaliste ne devrait même faire face à cette menace pour faire leur travail.<br><br>Je ne changerais [http://www.aircleaning.be/includes/Scripts/fiche.asp?c=8-Christian-Louboutin-Basket-Femme Christian Louboutin Basket Femme] pour rien au monde. Stone. Un homme noir [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=18-Air-Max-Pas-Cher-Chine Air Max Pas Cher Chine] a besoin de conseils. Je ne pense pas que cela arrive à l'avant-plan en ce moment. Nous avons utilisé d'abord un dormeur co lit et ensuite passés loin de la lit, puis nous avons déménagé dans une autre pièce .. Et vous réussi à isoler le seul point de son message le plus important, permettez-moi de vous féliciter, c'était un vrai spectacle de briller<ul>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article66#forum17351973 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article66#forum17351973]</li>
 
  <li>[http://www.imc-e.net/thread-1079614-1-1.html http://www.imc-e.net/thread-1079614-1-1.html]</li>
 
  <li>[http://hiterinfo.com/forum.php?mod=viewthread&tid=289433 http://hiterinfo.com/forum.php?mod=viewthread&tid=289433]</li>
 
  <li>[http://yxzdg123.cloud67-181.78host.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1428&fromuid=2805 http://yxzdg123.cloud67-181.78host.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1428&fromuid=2805]</li>
 
  <li>[http://www.yaoxm.net/forum.php?mod=viewthread&tid=1184196 http://www.yaoxm.net/forum.php?mod=viewthread&tid=1184196]</li>
 
</ul>


==Formal definition and properties==
== Acheter New Balance Belgique  fichier ==
By definition a set ''S'' is '''countable''' if there exists an [[injective function]] ''f'' : ''S'' → '''N''' from ''S'' to the [[natural numbers]] '''N''' = {0, 1, 2, 3, ...}.


It might seem natural to divide the sets into different classes: put all the sets containing one element together; all the sets containing two elements together; ...; finally, put together all infinite sets and consider them as having the same size.
Réserver marqué et que je cherche avant au contenu de votre journal Web à venir. J'ai un slatmill utilisé pour les chiens ce moulin peut être utilisé pour pitbull, boxeur, Bully, tout support au xl chien de race que j'ai payé de 1000 $, pour Je veux 500 $ en espèces. Une. Je pense qu'il serait aussi bien si le coût des propriétés étaient des paiements à la place de la pleine propriété (le taux d'intérêt pourrait être modifié de façon aléatoire ou peut-être les autres joueurs pourrait dedcide ce qu'ils pensent de leur taux d'intérêt devrait être si elles étaient empruntent de l'argent.) <br><br>Cherchez-vous à apprendre à tricoter des pantoufles? Nous avons un modèle de tricot chaussons facile pour le débutant ou expérimenté tricoteuse pour apprendre à tricoter des pantoufles. Les problèmes massifs du Grand lac Saint-Eh bien, il existe juste, [http://www.stobbeldeen.be/download/spelletjes.asp?d=90-Acheter-New-Balance-Belgique Acheter New Balance Belgique] c'est la gravité. "[2]. Par exemple, une personne qui déteste les fruits et légumes pourrait ne pas obtenir suffisamment de vitamine C et de quelqu'un qui refuse de manger des produits laitiers peut avoir besoin de calcium supplémentaire <br><br>Une vidéo de dashcam de police Paru le 31 Juillet montre un officier interagir avec Zimmerman et le laisser partir avec un avertissement .. Merci à Fox Nouvelles et ses commentateurs experts, des millions d'Américains comprennent maintenant la vraie, la raison cachée pour laquelle l'industrie de l'énergie solaire de l'Allemagne est beaucoup plus loin long que le nôtre.<br><br>" onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">«Les élèves ont publié des récits et d'essais, les éditer en bas à une longueur prédéterminée, et récitent leur compétitifs. Les différences sont importantes à noter que ceux qui ont des hémorroïdes internes peuvent ne pas ressentir de douleur, car il n'y a pas de récepteurs de la douleur à l'intérieur de la région du rectum.<br><br>" onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Six mois d'audiences et de réunions publiques litigieuses n'ont fait monter la température, les piqûres, la conservation de la plus grande étendue de l'espace sauvage entre la Virginie et à Boston contre le désir de l'emploi et de l'énergie fiable pour le sud du [http://www.advocaat-van-gheluwe.be/fr/includes/personalia.asp?g=48-Nike-Cortez-Nylon Nike Cortez Nylon] New Jersey, y compris grouillant Atlantic [http://www.verbeke-daniel.be/doeself/includes/promoties.asp?p=35-Doudoune-Moncler-Femme-Pas-Cher-Belgique Doudoune Moncler Femme Pas Cher Belgique] City et ses casinos.<br><br>(AP Photo / Andre Penner, fichier). Charles Adams, un ingénieur noté, donne souvent des conférences sur l'inondation 1913 et en est [http://www.betonsnijwerk.be/includes/boren.asp?t=1-Mbt-Chaussures-Belgique Mbt Chaussures Belgique] devenu le lien vivant le plus visible jusqu'à ce que l'opinion de sa mort septembre Smith qui, si vous êtes à la recherche pour le point de vue d'un initié de l'industrie, est tout à fait approprié et généralement assez commun sens.<ul>
This view is not tenable, however, under the natural definition of size.
 
 
  <li>[http://www.77msc-44msc.com/forum.php?mod=viewthread&tid=2891370 http://www.77msc-44msc.com/forum.php?mod=viewthread&tid=2891370]</li>
To elaborate this we need the concept of a [[bijection]]. Although a "bijection" seems a more advanced concept than a number, the usual development of mathematics in terms of set theory defines functions before numbers, as they are based on much simpler sets. This is where the concept of a bijection comes in: define the correspondence
 
 
  <li>[http://tztea.com.cn/news/html/?211034.html http://tztea.com.cn/news/html/?211034.html]</li>
:''a'' ↔ 1, ''b'' ↔ 2, ''c'' ↔ 3
 
 
  <li>[http://116.254.222.128/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1371632 http://116.254.222.128/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1371632]</li>
Since every element of {''a'', ''b'', ''c''} is paired with ''precisely one'' element of {1, 2, 3}, ''and'' vice versa, this defines a bijection.
 
 
  <li>[http://huijiazhuangxiu.com/news/html/?356469.html http://huijiazhuangxiu.com/news/html/?356469.html]</li>
We now generalize this situation and ''define'' two sets to be of the same size if (and only if) there is a bijection between them. For all finite sets this gives us the usual definition of "the same size". What does it tell us about the size of infinite sets?
 
 
  <li>[http://cn.wilinkedcare.com/thread-60470-1-1.html http://cn.wilinkedcare.com/thread-60470-1-1.html]</li>
Consider the sets ''A'' = {1, 2, 3, ... }, the set of positive [[integer]]s and ''B'' = {2, 4, 6, ... }, the set of even positive integers. We claim that, under our definition, these sets have the same size, and that therefore ''B'' is countably infinite. Recall that to prove this we need to exhibit a bijection between them. But this is easy, using ''n'' ↔ 2''n'', so that
 
:1 ↔ 2, 2 ↔ 4, 3 ↔ 6, 4 ↔ 8, ....
</ul>
 
As in the earlier example, every element of A has been paired off with precisely one element of B, and vice versa. Hence they have the same size. This gives an example of a set which is of the same size as one of its proper subsets, a situation which is impossible for finite sets.
 
Likewise, the set of all [[ordered pair]]s of natural numbers is countably infinite, as can be seen by following a path like the one in the picture: [[File:Pairing natural.svg|thumb|300px|The [[Cantor pairing function]] assigns one natural number to each pair of natural numbers]] The resulting mapping is like this:
:0 ↔ (0,0), 1 ↔ (1,0), 2 ↔ (0,1), 3 ↔ (2,0), 4 ↔ (1,1), 5 ↔ (0,2), 6 ↔ (3,0) ....
It is evident that this mapping will cover all such ordered pairs.
 
Interestingly: if you treat each pair as being the [[numerator]] and [[denominator]] of a [[vulgar fraction]], then for every positive fraction, we can come up with a distinct number corresponding to it. This representation includes also the natural numbers, since every natural number is also a fraction ''N''/1. So we can conclude that there are exactly as many positive rational numbers as there are positive integers. This is true also for all rational numbers, as can be seen below (a more complex presentation is needed to deal with negative numbers).
 
'''Theorem:''' The [[Cartesian product]] of finitely many countable sets is countable.
 
This form of triangular [[Map (mathematics)|mapping]] [[recursion|recursively]] generalizes to [[vector space|vectors]] of finitely many natural numbers by repeatedly mapping the first two elements to a natural number. For example, (0,2,3) maps to (5,3) which maps to 39.
 
Sometimes more than one mapping is useful. This is where you map the set which you want to show countably infinite, onto another set; and then map this other set to the natural numbers. For example, the positive [[rational number]]s can easily be mapped to (a subset of) the pairs of natural numbers because ''p''/''q ''maps to (''p'', ''q'').
 
What about infinite subsets of countably infinite sets? Do these have fewer elements than '''N'''?
 
'''Theorem:''' Every subset of a countable set is countable. In particular, every infinite subset of a countably infinite set is countably infinite.
 
For example, the set of [[prime number]]s is countable, by mapping the ''n''-th prime number to ''n'':
*2 maps to 1
*3 maps to 2
*5 maps to 3
*7 maps to 4
*11 maps to 5
*13 maps to 6
*17 maps to 7
*19 maps to 8
*23 maps to 9
*...
 
What about sets being "larger than" '''N'''? An obvious place to look would be '''Q''', the set of all [[rational number]]s, which intuitively may seem much bigger than '''N'''. But looks can be deceiving, for we assert:
 
'''Theorem:''' '''Q''' (the set of all rational numbers) is countable.
 
'''Q''' can be defined as the set of all fractions ''a''/''b'' where ''a'' and ''b'' are integers and ''b'' > 0. This can be mapped onto the subset of ordered triples of natural numbers (''a'', ''b'', ''c'') such that ''a'' ≥ 0, ''b'' > 0, ''a'' and ''b'' are [[coprime]], and ''c'' ∈ {0, 1} such that ''c'' = 0 if ''a''/''b'' ≥ 0 and ''c'' = 1 otherwise.
 
*0 maps to (0,1,0)
*1 maps to (1,1,0)
*−1 maps to (1,1,1)
*1/2 maps to (1,2,0)
*−1/2 maps to (1,2,1)
*2 maps to (2,1,0)
*−2 maps to (2,1,1)
*1/3 maps to (1,3,0)
*−1/3 maps to (1,3,1)
*3 maps to (3,1,0)
*−3 maps to (3,1,1)
*1/4 maps to (1,4,0)
*−1/4 maps to (1,4,1)
*2/3 maps to (2,3,0)
*−2/3 maps to (2,3,1)
*3/2 maps to (3,2,0)
*−3/2 maps to (3,2,1)
*4 maps to (4,1,0)
*−4 maps to (4,1,1)
*...
 
By a similar development, the set of [[algebraic number]]s is countable, and so is the set of [[definable number]]s.
 
'''Theorem:''' (Assuming the [[axiom of countable choice]]) The [[union (set theory)|union]] of countably many countable sets is countable.
 
For example, given countable sets '''a''', '''b''', '''c''' ...
 
Using a variant of the triangular enumeration we saw above:
 
*''a''<sub>0</sub> maps to 0
*''a''<sub>1</sub> maps to 1
*''b''<sub>0</sub> maps to 2
*''a''<sub>2</sub> maps to 3
*''b''<sub>1</sub> maps to 4
*''c''<sub>0</sub> maps to 5
*''a''<sub>3</sub> maps to 6
*''b''<sub>2</sub> maps to 7
*''c''<sub>1</sub> maps to 8
*''d''<sub>0</sub> maps to 9
*''a''<sub>4</sub> maps to 10
*...
 
Note that this only works if the sets '''a''', '''b''', '''c''',... are [[disjoint sets|disjoint]]. If not, then the union is even smaller and is therefore also countable by a previous theorem.
 
Also note that the [[axiom of countable choice]] is needed in order to index ''all'' of the sets '''a''', '''b''', '''c''',...
 
'''Theorem:''' The set of all finite-length [[sequence]]s of natural numbers is countable.
 
This set is the union of the length-1 sequences, the length-2 sequences, the length-3 sequences, each of which is a countable set (finite Cartesian product). So we are talking about a countable union of countable sets, which is countable by the previous theorem.
 
'''Theorem:''' The set of all finite [[subset]]s of the natural numbers is countable.
 
If you have a finite subset, you can order the elements into a finite sequence. There are only countably many finite sequences, so also there are only countably many finite subsets.
 
The following theorem gives equivalent formulations in terms of a bijective function or a [[surjective function]].  A proof of this result can be found in Lang's text.<ref name="Lang"/>
 
'''Theorem:''' Let ''S'' be a set. The following statements are equivalent:
# ''S'' is countable, i.e. there exists an injective function ''f'' : ''S'' → '''N'''.
# Either ''S'' is empty or there exists a surjective function ''g'' : '''N''' → ''S''. 
# Either ''S'' is finite or there exists a [[bijection]] ''h'' : '''N''' → ''S''.
 
Several standard properties follow easily from this theorem. We present them here tersely.  For a gentler presentation see the sections above.  Observe that '''N''' in the theorem can be replaced with any countably infinite set.  In particular we have the following Corollary.
 
'''Corollary:''' Let ''S'' and ''T'' be sets.
# If the function ''f'' : ''S'' → ''T'' is injective and ''T'' is countable then ''S'' is countable.
# If the function ''g'' : ''S'' → ''T'' is surjective and ''S'' is countable then ''T'' is countable.
 
'''Proof:''' For (1) observe that if ''T'' is countable there is an injective function  ''h'' : ''T'' → '''N'''.  Then if ''f'' : ''S'' → ''T'' is injective the composition ''h'' <small> o </small> ''f'' : ''S'' → '''N''' is injective, so ''S'' is countable.
 
For (2) observe that if ''S'' is countable there is a surjective function ''h'' : '''N''' → ''S''.  Then if ''g'' : ''S'' → ''T'' is surjective the composition ''g'' <small> o </small> ''h'' : '''N''' → ''T'' is surjective, so ''T'' is countable.
 
'''Proposition:''' Any subset of a countable set is countable.
 
'''Proof:''' The restriction of an injective function to a subset of its [[domain of a function|domain]] is still injective.
 
'''Proposition:'''  The [[Cartesian product]] of two countable sets ''A'' and ''B'' is countable.
 
'''Proof:''' Note that '''N''' × '''N''' is countable as a consequence of the definition because the function ''f'' : '''N''' × '''N''' → '''N''' given by  ''f''(''m'', ''n'') = 2<sup>''m''</sup>3<sup>''n''</sup> is injective. It then follows from the Basic Theorem and the Corollary that the Cartesian product of any two countable sets is countable. This follows because if ''A'' and ''B'' are countable there are surjections ''f'' : '''N''' → ''A'' and ''g'' : '''N''' → ''B''. So
:''f'' × ''g'' : '''N''' × '''N''' → ''A'' × ''B''
is a surjection from the countable set '''N''' × '''N''' to the set ''A'' × ''B'' and the Corollary implies ''A'' × ''B'' is countable. This result generalizes to the Cartesian product of any finite collection of countable sets and the proof follows by [[mathematical induction|induction]] on the number of sets in the collection.
 
'''Proposition:''' The [[integers]] '''Z''' are countable and the [[rational numbers]] '''Q''' are countable.
 
'''Proof:''' The integers '''Z''' are countable because the function ''f'' : '''Z''' → '''N''' given by ''f''(''n'') = 2<sup>''n''</sup> if ''n'' is non-negative and ''f''(''n'') = 3<sup>|''n''|</sup> if ''n'' is negative is an injective function. The rational numbers '''Q''' are countable because the function ''g'' : '''Z''' × '''N''' → '''Q''' given by ''g''(''m'', ''n'') = ''m''/(''n'' + 1) is a surjection from the countable set '''Z''' × '''N''' to the rationals '''Q'''.
 
'''Proposition:''' If ''A<sub>n</sub>'' is a countable set for each ''n'' in '''N''' then the union of all ''A<sub>n</sub>'' is also countable.
 
'''Proof:''' This is a consequence of the fact that for each ''n'' there is a surjective function ''g<sub>n</sub>'' : '''N''' → ''A<sub>n</sub>'' and hence the function
:<math>G : \mathbf{N} \times \mathbf{N} \to \bigcup_{n \in \mathbf{N}} A_n</math>
given by ''G''(''n'', ''m'') = ''g<sub>n</sub>''(''m'') is a surjection. Since '''N''' × '''N''' is countable, the Corollary implies that the union is countable. We are using the [[axiom of countable choice]] in this proof in order to pick for each ''n'' in '''N''' a surjection ''g<sub>n</sub>'' from the non-empty collection of surjections from '''N''' to ''A<sub>n</sub>''.
 
'''[[Cantor's Theorem]]''' asserts that if ''A'' is a set and ''P''(''A'') is its [[power set]], i.e. the set of all subsets of ''A'', then there is no surjective function from ''A'' to ''P''(''A'').  A proof is given in the article [[Cantor's Theorem]].  As an immediate consequence of this and the Basic Theorem above we have:
 
'''Proposition:''' The set ''P''('''N''') is not countable; i.e. it is [[uncountable]].
 
For an elaboration of this result see [[Cantor's diagonal argument]].
 
The set of [[real number]]s is uncountable (see [[Cantor's first uncountability proof]]), and so is the set of all infinite [[sequence]]s of natural numbers.  A topological proof for the uncountability of the real numbers is described at [[finite intersection property]].
 
==Minimal model of set theory is countable==
If there is a set that is a standard model (see [[inner model]]) of ZFC set theory, then there is a minimal standard model (''see'' [[Constructible universe]]). The [[Löwenheim-Skolem theorem]] can be used to show that this minimal model is countable. The fact that the notion of "uncountability" makes sense even in this model, and in particular that this model ''M'' contains elements which are
* subsets of ''M'', hence countable,
* but uncountable from the point of view of ''M'',
was seen as paradoxical in the early days of set theory, see [[Skolem's paradox]].
 
The minimal standard model includes all the [[algebraic number]]s and all effectively computable [[transcendental number]]s, as well as many other kinds of numbers.
 
==Total orders==
Countable sets can be [[total order|totally ordered]] in various ways, e.g.:
*[[Well order]]s (see also [[ordinal number]]):
**The usual order of natural numbers (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...)
**The integers in the order (0, 1, 2, 3, ...; −1, −2, −3, ...)
*Other (''not'' well orders):
**The usual order of integers (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...)
**The usual order of rational numbers (Cannot be explicitly written as a list!)
 
Note that in both examples of well orders here, any subset has a ''least element''; and in both examples of non-well orders, ''some'' subsets do not have a ''least element''.
This is the key definition that determines whether a total order is also a well order.
 
==See also==
{{Wiktionary|countable}}
* [[Aleph number]]
* [[Counting]]
* [[Hilbert's paradox of the Grand Hotel]]
* [[Uncountable set]]
 
==Notes==
<references/>
 
==References==
* {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Real and Functional Analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=0-387-94001-4 | year=1993}}
* {{Citation | last1=Rudin | first1=Walter | author1-link=Walter Rudin | title=Principles of Mathematical Analysis | publisher=[[McGraw-Hill]]| location=New York | isbn=0-07-054235-X | year=1976}}
 
== External links ==
*{{MathWorld |title=Countable Set |id=CountableSet }}
 
{{logic}}
{{Set theory}}
 
[[Category:Basic concepts in infinite set theory]]
[[Category:Cardinal numbers]]
[[Category:Infinity]]
 
{{Link FA|lmo}}

Revision as of 20:10, 9 February 2014

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