Curl (mathematics): Difference between revisions

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en>Wavelength
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{{Calculus |Vector}}
== Nike Air Max Thea Atomic Pink  mes amis ==


In [[vector calculus]], the '''curl''' is a [[vector operator]] that describes the [[Differential (infinitesimal)|infinitesimal]] [[rotation]] of a 3-dimensional [[vector field]]. At every point in the field, the curl of that field is represented by a [[vector (geometry)|vector]]. The attributes of this vector (length and direction) characterize the rotation at that point.
Sauf si vous êtes un des articles Machine barattage, en prenant dans ce genre de responsabilité est un travail à plein temps. Donc je suppose que l'idée de nouveauté de la brosse à dents n'est pas si précis. Depuis la répression sanglante des manifestants après les élections présidentielles de 2009 contestées en Iran, la dissidence a été extrêmement rares.<br><br>Il a rencontré sa fin quand il est entré un bain d'eau tiède de bronze et a demandé un peu de vin, qu'il avala, puis avec son dernier souffle exhorté ses partisans à se souvenir de ses doctrines: mes amis, les vrais, j'ai enseigné prise rapide. Ils sont méchants cause mauvaise dey r jealuz de l'éclat de ender omg! <br><br>Alors que quelqu'un peut dépenser n'importe quelle somme sur son propre plaidoyer politique, le montant qu'il peut donner aux partis politiques et des candidats est strictement limité par des lois que la Cour suprême a confirmé dans le cas séminal de financement de la campagne de Buckley v Veiller à ce que le gouvernement fédéral a les fonds alloués <br><br>L'université a été lancé avec une campagne populaire qui a soulevé 3 millions $. Le pont [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=150-Nike-Air-Max-Thea-Atomic-Pink Nike Air Max Thea Atomic Pink] ouvre à 5 h du lundi au jeudi et à 16 heures les samedis et dimanches. David Cassidy arrêté sur des soupçons de papa de DUI Fox Nouvelles catégorie Étoile Katie Cassidy arrêté pour la deuxième CFA en six mois Rapport David Cassidy arrêté sur des soupçons de DUI USA [http://www.betonsnijwerk.be/includes/boren.asp?t=44-Mbt-Shoes-Usa Mbt Shoes Usa] TODAY rhinocéros noir permis de chasse aux enchères aux Etats-Unis BBC Nouvelles Google Nouvelles du monde (Aujourd'hui) BBC NewsBlack rhinocéros chasse <br><br>Pensez au catalogue de carte dans votre bibliothèque. Apple a acquis Quattro Wireless en Janvier et est largement devrait annoncer son propre service de publicité mobile très bientôt (peut-être dès iPhone OS événement médiatique de jeudi). J'ai eu qui ne recule pas Philly perspectives ". Elle est venue à l'Ohio quand sa mère se remarie Ron Richards, qui a été impliqué dans le monde [http://www.pyck.be/includes/realisaties.asp?id=102-Nike-Free-Run-Femme Nike Free Run Femme] des courses de dragsters et a travaillé comme chef d'équipe pour cinq fois champion du monde Jegs Coughlin Jr.Initially elle était intéressée <br><br>  l'une des régions les plus pauvres de l'un des Etats les plus pauvres de la caisse de la nation Eliza Shook dit des dizaines de clients dans le coin épicerie devaient remettre l'épicerie quand les cartes ont échoué samedi parce qu'ils ne pouvaient pas se permettre de payer pour la nourriture. <br><br>Cela ressemble à aller politique et va certainement se retourner pour mordre la Nats / Libs. La lumière peut être étudiée, l'obscurité ne peut pas. Brotto aide les femmes à restaurer la libido grâce [http://www.stobbeldeen.be/download/spelletjes.asp?d=66-New-Balance-U420 New Balance U420] à l'utilisation de pratiques et conscients des affirmations positives comme, "Mon corps est vivant et sexuelle."<ul>
 
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  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article172#forum17392327 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article172#forum17392327]</li>
 
  <li>[http://www.let581.com/forum.php?mod=viewthread&tid=92217&fromuid=45119 http://www.let581.com/forum.php?mod=viewthread&tid=92217&fromuid=45119]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17364645 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17364645]</li>
 
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The direction of the curl is the axis of rotation, as determined by the [[right-hand rule]], and the magnitude of the curl is the magnitude of rotation.  If the vector field represents the [[flow velocity]] of a moving [[fluid]], then the curl is the '''[[circulation (fluid dynamics)|circulation]] density''' of the fluid.  A vector field whose curl is zero is called [[irrotational]].
== Nike Free Run 3.0 V4 CWU ==
The curl is a form of [[derivative|differentiation]] for vector fields.  The corresponding form of the [[fundamental theorem of calculus]] is [[Kelvin-Stokes theorem|Stokes' theorem]], which relates the [[surface integral]] of the curl of a vector field to the [[line integral]] of the vector field around the boundary curve.


The alternative terminology ''rotor'' or ''rotational'' and alternative notations rot '''F''' and ∇ × '''F''' are often used (the former especially in many European countries, the latter, using the [[del]] operator and the [[cross product]], is more used in other countries) for ''curl'' and curl '''F'''.
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Unlike the [[gradient]] and [[divergence]], curl does not generalize as simply to other dimensions; some [[#Generalizations|generalizations]] are possible, but only in three dimensions is the geometrically defined curl of a vector field again a vector field. This is a similar phenomenon as in the 3 dimensional [[cross product]], and the connection is reflected in the notation ∇ × for the curl.
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The name "curl" was first suggested by [[James Clerk Maxwell]] in 1871.<ref>[http://www.clerkmaxwellfoundation.org/MathematicalClassificationofPhysicalQuantities_Maxwell.pdf Proceedings of the London Mathematical Society, March 9th, 1871]</ref>
Nous allons également partager des articles National Geographic, des vidéos, et sous les traits de scènes et vous tiendrons au courant de notre travail de l'Initiative de grands chats pour aider les grands félins s'accrochent dans la nature .. Un grand chapeau de soleil avec écharpe assortie aurait été acceptable <br><br>C'est ainsi que Teresa, quatre fuseaux horaires de la maison de sorte que sa famille pourrait avoir une maison qui se place à la pluie, a épousé un homme qui pouvait lui dire exactement ce que c'était que de voir son propre père qu'une seule fois tous les deux ans. Remarque: faire de vieux conservateurs comme les jolies femmes plus que les anciens libéraux) le public fausse femelle.<br><br>AirPlay est la nouvelle fonctionnalité que je suis plus excité. Lui posant pour les siestes plus fréquentes ou de le mettre au lit plus tôt que d'habitude peut aider à obtenir le plus de sommeil dont il a besoin pour récupérer plus rapidement. Centre pour les étudiantes et étudiants: Comme le national sans but lucratif derrière je suis d'abord qui propose des blogs et des vidéos de premiers étudiants et diplômés gen fonds OSC une bourse annuelle pour les étudiants qui aspirent à être les premiers de leur famille à obtenir un diplôme d'une institution de quatre ans <br><br>Restez avec votre enfant. Dans le Dakota du Nord, dans le NRA [http://www.sadietoast.be/backoffice/ckeditor/plugins/forms/dialogs/upfile.asp?j=12-Adidas-Js-Wings-2.0 Adidas Js Wings 2.0] forcé un changement de lieu de dernière minute, selon une avance homme équipe Giffords, qui se refusé d'être nommé par crainte de mélange avec d'acquisition d'armes à feu en provenance [http://www.r2b.be/verstraete/design/disclaimer.asp?k=9-Botte-Ugg-Pas-Cher Botte Ugg Pas Cher] de Washington. Les lignes directrices ont indigné le sénateur Elle est rapidement devenue l'expérience de tout le monde mais comme il a gagné en popularité.<br><br>Compte tenu de ses infractions répétées et le manque de remords pour le crime, O'Neill condamné Wilcox au maximum: 20 ans et demi de prison. Si vous êtes heureux avec Amazon Prime, ne rien faire. "Il a essayé très dur pour s'assurer que nous n'avons pas nous prendre trop au sérieux." Secrétaire d'Etat de l'Ohio Jon Husted dit Corbin était un bon législateur et un homme encore mieux. "La chose à propos de Bob pour moi, c'est qu'il était toujours favorable et avait [http://www.mycontigo.com/includes/contact.asp?p=13-Nike-Free-Powerlines Nike Free Powerlines] toujours un mot gentil, ce qui est rare dans un monde politique où tout le monde [http://www.bistrolarmagnac.be/history/foto/contact.asp?g=39-Sneakers-Isabel-Marant-2014 Sneakers Isabel Marant 2014] veut donner leur avis et bécassines ", dit Husted.<br><br>Si vous avez des problèmes traitant de la colère et d'autres émotions, il n'est jamais mauvais de parler avec un thérapeute et de discuter des moyens plus positifs de l'expression émotionnelle .. Vous pouvez même mettre en place des tracts autour de la ville ou les campus universitaires demander aux gens de faire don de leurs vieux livres pour vous.<ul>
 
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  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17363926 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17363926]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum17351748 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum17351748]</li>
 
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==Definition==
== Chaussures New Balance Belgique  ". ==
[[File:Curl.svg|thumb|300px|The components of '''F''' at position '''r''', normal and tangent to a closed curve ''C'' in a plane, enclosing a planar [[vector area]] '''A''' = ''A'''''n'''.]]


<!---DEL CROSS F IS NOT A DEFINITION, IT'S AN ALTERNATIVE NOTATION. IT DOESN'T MEAN ANYTHING SO YOU CAN'T BASE A DEFINITION ON IT----->The curl of a vector field '''F''', denoted by curl '''F''' or ∇ × '''F''', at a point is defined in terms of its projection onto various lines through the point. If <math>\scriptstyle\mathbf{\hat{n}}</math> is any unit vector, the projection of the curl of '''F''' onto <math>\scriptstyle\mathbf{\hat{n}}</math> is defined to be the limiting value of a closed [[line integral]] in a plane orthogonal to <math>\scriptstyle\mathbf{\hat{n}}</math> as the path used in the integral becomes infinitesimally close to the point, divided by the area enclosed.  
Utilisez un bon shampooing et revitalisant odeur correspondant. Mais soyons réalistes, l'attirance physique est un élément important de toute relation. Trouver des idées locales, des conseils, des avis, des notes sur les entreprises locales dans votre ville et dans les quartiers .. La Terre primitive [http://www.stobbeldeen.be/download/spelletjes.asp?d=8-Chaussures-New-Balance-Belgique Chaussures New Balance Belgique] était une vision de l'enfer, toutes les roches bouillante et les fumées toxiques.<br><br>Avec un effectif d'environ 6000, Elon est la taille idéale, avec les ressources d'une université dans un proche atmosphère de la communauté de tricot .. L'étude de Catalyst, un but non lucratif qui vise à élargir les possibilités d'emploi pour les femmes, conclut que 83 pour cent des femmes qui <br><br>La partie la plus difficile est de décider comment arrêter .. "Spyder", comme on l'appelle, a fait ses débuts en 1993, ce qui rend l'échange plus ancien fonds négocié. génération projet de loi Supporters du vent comme source d'énergie propre qui ne tapez pas dans l'approvisionnement en eau et prévenir que de laisser le crédit expire signifierait une condamnation à mort pour l'industrie.<br><br>Des études montrent TDA / [http://www.debatjeshoek.be/wpimages/wpimages/contact.asp?b=10-Magasin-Hollister-Wavre Magasin Hollister Wavre] H peut également être traités avec la thérapie, qui est potentiellement meilleure option pour le corps et la santé .. Et l'autre fois, elle a dit que c'était comme si elle pouvait voir à l'intérieur de sa tête, comme si l'œil regardait vers le passé et elle vit <br><br>Il dit que son fils a joué au football et un de ses coéquipiers eu une prothèse de jambe et il était le joueur le plus rapide de l'équipe. "Alors, quand le médecin est venu à parler d'une prothèse de jambe, Kyle était comme, 'Donnez-moi le plus rapide jambe vous avez! ". <br><br>Par exemple, je ne suis pas intéressé par les établissements de soins de l'enfant, mais je suis intéressé dans les cafés. Premila Lal, 18 ans, aurait été tué par [http://www.sadietoast.be/backoffice/ckeditor/plugins/forms/dialogs/upfile.asp?j=79-Adidas-Jeremy-Scott-Wings-Prix Adidas Jeremy Scott Wings Prix] copain surpris Nerreck Daniel Galley, 21, après s'être caché dans un placard et sauter à jouer un tour sur lui Un adolescent g. <br><br>Il montre même dans mon travail et les relations avec mes clients. Comme l'a fait Galilée, ils peuvent obtenir un sursis s'ils recant.I espèrent que mec ne fait jamais d'entendre l'affirmation la plus hérétique de Dyson:. CO2 atmosphérique peut effectivement améliorer l'environnement "Il est certainement vrai que le dioxyde de carbone est bon pour la végétation", a déclaré Dyson <br><br>Mais la prochaine impulsion que vous avez, juste le remarquer et ne pas agir sur elle. Les frais sont généralement beaucoup moins cher que de prendre votre véhicule à un mécanicien, mais ne sont toujours pas [http://www.creamark.eu/includes/contact.asp?b=35-Revendeur-Beats-Belgique Revendeur Beats Belgique] les réponses libres promis .. Il a dit que ceux encore sont vendus à des négociants qui expédient une grande partie de la Chine, mais le nombre de ceux qui peuvent satisfaire aux exigences de Pékin pour séparer<ul>
 
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As such, the curl operator maps [[smooth function|C<sup>1</sup>]] functions from '''R'''<sup>3</sup> to '''R'''<sup>3</sup> to ''C''<sup>0</sup> functions from '''R'''<sup>3</sup> to '''R'''<sup>3</sup>. [[Image:Curlorient.svg|200px|right|thumb|Convention for vector orientation of the line integral]]
== Moncler Outlet ==


Implicitly, curl is defined by:<ref>Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3</ref><ref>Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7</ref>
Yale Environment 360 explique que de nombreux vins européens sont liés à une zone géographique spécifique, créer un problème pour les régions qui pourrait bientôt se trouver le plus adapté à un nouveau type de raisin. Dans la fission, l'énergie vient de briser les liens de la force qui [http://www.verbeke-daniel.be/doeself/includes/promoties.asp?p=9-Moncler-Outlet Moncler Outlet] a tenu l'atome lourd originale ensemble, avec la fusion, la source d'énergie est plus ésotérique partie de la masse de chacun des deux noyaux légers est convertie directement en énergie quand ils fusionnent, dans <br><br>La résistance est là. 1) la mise hors tension par des problèmes qui sont facilement résolus. Il a récemment appris un nouveau mot, le père Tom disait en tagalog: la peur de rester dans une relation engagée .. Mon fils, mon fiancé et [http://www.andersmetklank.be/ontwikkeling/favicon.asp?l=36-Vibram-Five-Fingers-Bruxelles Vibram Five Fingers Bruxelles] moi-même allé visiter ma famille / frères de cette façon, il peut avoir la chance de les (je répondre <br><br>22, selon le cabinet de recherche en ligne comScore, et les détaillants s'attendre ventes globales de vacances pour être en hausse de près de 4 pour cent, plus de 600 millions de dollars »Nous avons eu une saison raccourcie de vacances en termes de shopping:. Six jours de moins et une hausse de la demande en ligne, en particulier accélérée par une forte augmentation dans les appareils mobiles ", a déclaré Mark Mahaney, un analyste de détail en ligne.<br><br>AirPlay est la nouvelle fonctionnalité que je suis plus excité. Vous auriez certainement adorer prendre leur cerveau et de gagner juste un brin de leur connaissance pour votre propre bénéfice, pas vous? Mais comment pouvez-vous faire cela et ce que cela coûterait-il si vous pouviez obtenir leur attention et leur délibéré personnelle? <br><br>Je peux attendre pour se diriger dans le monde de l'alimentation et font de ce restaurant une réalité. "Elle a déjà acheté [http://www.paloma-curiosa.be/includes/old/function.asp?l=41-Longchamp-Sac-Pas-Cher Longchamp Sac Pas Cher] une cuisine commerciale de seconde main et est à la recherche d'un espace pour ouvrir un restaurant avec son petit ami Dan .. Mais cela signifie aussi que vous avez gagné ' [http://www.aircleaning.be/includes/Scripts/fiche.asp?c=15-Christian-Louboutin-Homme-2014 Christian Louboutin Homme 2014] <br><br>Inscrivez-vous maintenant et commencer à être plus de succès .. Avec plus de la quantité quotidienne recommandée de vitamine A, petits pois sont également riches en protéines, la vitamine C, la vitamine K, la vitamine B6 et folate. Des restrictions supplémentaires et séjour minimum peuvent s'appliquer .. Après cinq saisons et 11 Gemini Awards (dont meilleure série dramatique, meilleure réalisation et meilleur acteur), "Flashpoint" va fermer boutique.<br><br>Il y aura un tirage au sort à 50/50, jeux de style Monte Carlo et vivre et auctions.Items silencieux jusqu'à grappin pour inclure des packages de golf, une guitare de Zac Brown Band, un arrangement floral de Far Hills Fleuriste, adhésion à des clubs AAA et des illustrations originales .. janvier La baisse du nombre de commerçants qui achètent la ferraille pour expédier en Chine a également fait baisser les prix des entreprises de recyclage américains et européens peuvent obtenir pour leur plastique et métaux ..<ul>
 
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:<math>(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{\hat{n}} \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lim_{A \to 0}\left( \frac{1}{|A|}\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\right)</math>
== Canada Goose Chilliwack  Sutton Fell ==


where <math>\scriptstyle\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}</math> is a [[line integral]] along the [[Boundary (topology)|boundary]] of the [[area]] in question, and |''A''| is the magnitude of the area. If <math>\scriptstyle\mathbf{\hat{\nu}}</math> is an outward pointing in-plane normal, whereas <math>\scriptstyle\mathbf{\hat{n}}</math> is the [[unit vector]] perpendicular to the plane (see caption at right), then the [[Orientability|orientation]] of C is chosen so that a [[tangent vector]] <math>\scriptstyle\mathbf{\hat{\omega}}</math> to C is [[orientation (mathematics)|positively oriented]] if and only if <math>\scriptstyle\{\mathbf{\hat{n}},\mathbf{\hat{\nu}},\mathbf{\hat{\omega}}\}</math> forms a positively oriented basis for '''R'''<sup>3</sup> ([[right-hand rule]]).
En fin de compte, notre objectif est de formuler une image plus complète anthropologique de l'histoire humaine, et chaque participant qui rejoint le projet contribue à cet objectif .. Migration pour meilleure occasion est aussi vieux que l'histoire humaine, mais aujourd'hui, il est probable que plus de gens vivent à l'extérieur <br><br>Clercs de la ligne dure disent que les femmes route mènera à «libertinage». Un éminent religieux a également causé un émoi quand il a dit que les études médicales montrent conduire une voiture nuit les ovaires d'une femme .. Une partie de la raison pour laquelle j'ai attendu pour le faire parce que je voulais être plus stable dans mon nouvel emploi avant de commencer tous les FET <br><br>5000mSv dans un court laps de temps vous tuer, mais 5000 propagation plus de 50 ans est bien, STILL statistiquement plus susceptibles de vous donner le cancer. Demain sera essentiellement juste un autre dimanche au me.I n'ai [http://www.davalie.be/class/config.asp?m=57-Canada-Goose-Chilliwack Canada Goose Chilliwack] jamais pris mon père à dîner le jour de père ou lui a présenté des pantoufles, un ensemble d'outils Craftsman, deux peut boire chapeau, cravate farfelu ou un père Chia Scooby Doo.My doesn <br><br>Il serait détourner des [http://www.funkafee.be/caurina/transitions/memory.asp?y=29-Roshe-Run-Hyperfuse Roshe Run Hyperfuse] redevances à un organisme de l'ONU, à Kingston, en Jamaïque. Sans les heures de bureau définies que les travailleurs traditionnels reposent sur de savoir quand déconnecter, les télétravailleurs peuvent être la proie de la journée de travail sans [http://www.pyck.be/includes/realisaties.asp?id=118-Nike-Cortez-Zalando Nike Cortez Zalando] fin (et la nuit). "Personnellement, je ne trouve difficile d'être le travail" off "parfois", Sutton Fell <br><br>En 1950, un sondage Associated Press nommé Bill Tilden comme le plus grand joueur de tennis de la demi-siècle par une large marge .. Le coup d'envoi de la semaine, le rapport spécial Bret Baier et Megyn Kelly de [http://www.stobbeldeen.be/download/spelletjes.asp?d=66-New-Balance-U420 New Balance U420] l'Amérique en direct seront co ancrer quartier général des élections de l'Amérique, un prime time spécial sur <br><br>Ils nous ont dit qu'ils portaient des jeans skinny, des petits hauts en dentelle et des vestes de motards, ils sont venus dans Topshop et H, ils portaient leurs cheveux dans des coupes à la mode et ils ont adoré encore la mode .. Je me souviens de l'anxiété chez les adolescentes de marcher sur le sol d'un gymnase à poser <br><br>Krzysztof Makowski Hanula, un archéologue à l'Université catholique pontificale du Pérou à Lima et conseiller scientifique du projet, a déclaré le temple nouvellement mis au jour des morts "est comme un panthéon, comme un mausolée de toute la noblesse Wari dans la région." Le Wari seigneurs ont longtemps été éclipsé par l'Inca plus tard, dont les réalisations ont été largement documentés par les conquérants espagnols.<ul>
 
  <li>[http://www.hebdo.bf/spip.php?article22 http://www.hebdo.bf/spip.php?article22]</li>
 
  <li>[http://www.chinastemi.com/thread-106758-1-1.html http://www.chinastemi.com/thread-106758-1-1.html]</li>
 
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  <li>[http://www.itdiy.net/forum.php?mod=viewthread&tid=1108611 http://www.itdiy.net/forum.php?mod=viewthread&tid=1108611]</li>
 
  <li>[http://www.tuxeros.ch/ http://www.tuxeros.ch/]</li>
 
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The above formula means that the curl of a vector field is defined as the infinitesimal [[area density]] of the ''circulation'' of that field. To this definition fit naturally
== Louis Vuitton Sac Pas Cher  la pierre du rein sera adopté ==
* the [[Kelvin-Stokes theorem]], as a global formula corresponding to the definition, and
* the following "easy to memorize" definition of the curl in curvilinear [[orthogonal coordinates]], e.g. in [[Cartesian coordinates]], [[spherical coordinates|spherical]], [[cylindrical coordinates|cylindrical]], or even [[Elliptic coordinate system|elliptical]] or [[Parabolic coordinates|parabolical]] coordinates:
::<math>({\rm curl}\,\mathbf F)\,_3=\frac{1}{a_1a_2}\left (\frac{\partial (a_2F_2)}{\partial u_1}-\frac{\partial (a_1F_1)}{\partial u_2}\right )\,</math>


If (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>) are the [[Cartesian coordinate system|Cartesian coordinates]] and (''u''<sub>1</sub>,''u''<sub>2</sub>,''u''<sub>3</sub>) are the orthogonal coordinates, then
Vous aurez probablement pas voir un joint caterpillaring son chemin le long Broadway.Yet l'intérieur de la ville accueille également une accumulation étrange de la faune, les animaux qui sont includingnative tailler espaces pour eux-mêmes dans les couloirs de béton et les espèces exotiques que nous avons introduites à la vie de la ville. Coyotes (Canis latrans) peuvent Bethe habile de hiddenwildlife de New York City.<br><br>GTA a été fondée en 2006 par le financier Charles Wang et ancien président du Comité national démocrate Terry McAullife campagne, qui a quitté l'entreprise à la fin de 2012 pour se concentrer sur son offre Gubernatorial en Virginie. Backers DAYTON du projet de refaire la rivière Great Miami centre-ville en une attraction de loisirs de l'eau disent qu'ils ont de recueillir 3,8 millions de dollars et va maintenant solliciter [http://www.bistrochapoo.be/includes/menukaart.asp?g=14-Louis-Vuitton-Sac-Pas-Cher Louis Vuitton Sac Pas Cher] des contributions en espèces du public pour augmenter le restant de $ 200,000. Jusqu'à présent, les engagements se sont en grande partie du secteur privé <br><br>Si vous êtes concerné que vous pouvez avoir plus d'une paupière commun contraction, contactez un professionnel de la vue pour une évaluation .. Alors ne son physicien de Princeton compatriote et collègue sceptique, William Happer. "Il ya [http://www.mycontigo.com/includes/contact.asp?p=13-Nike-Free-Powerlines Nike Free Powerlines] des gens qui ont juste besoin d'une cause qui est plus grand qu'eux-mêmes <br><br>Rassembler plus de 20 flamants roses de triage, et de préparer des feuilles de papier à l'avance. "Comment pouvez-vous prendre la prochaine étape dans une relation lorsque vous disposez les emplois que vous avez? Quels sacrifices doivent être faits? Je suis juste heureux de raconter les histoires que nous voulons raconter et l'envelopper d'une manière qui rend tout le monde <br><br>Une fois la pierre à travers l'uretère, la douleur cesse habituellement, et peu de temps après, la pierre du rein sera adopté, probablement lors de la miction. Alien tumeur février Toujours suivre votre première esprit. Dans ce dernier cas, un agent du FBI a également affirmé dans un affidavit que Rosen était peut-être un criminel "conspirateur co." aucune accusation n'a été portée contre Rosen, l'Association des correspondants de la Maison Blanche de dit qu'aucun journaliste ne devrait même faire face à cette menace pour faire leur travail.<br><br>Je ne changerais [http://www.aircleaning.be/includes/Scripts/fiche.asp?c=8-Christian-Louboutin-Basket-Femme Christian Louboutin Basket Femme] pour rien au monde. Stone. Un homme noir [http://www.devlaamschepot.be/orders/reservations.asp?f=18-Air-Max-Pas-Cher-Chine Air Max Pas Cher Chine] a besoin de conseils. Je ne pense pas que cela arrive à l'avant-plan en ce moment. Nous avons utilisé d'abord un dormeur co lit et ensuite passés loin de la lit, puis nous avons déménagé dans une autre pièce .. Et vous réussi à isoler le seul point de son message le plus important, permettez-moi de vous féliciter, c'était un vrai spectacle de briller<ul>
:<math>a_i = \sqrt{\sum \limits_{j = 1}^{3}\left (\frac{\partial x_j}{\partial u_i}\right )^2}</math>  
 
is the length of the coordinate vector corresponding to ''u<sub>i</sub>''. The remaining two components of curl result from [[cyclic permutation]] of [[index notation|indices]]: 3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1.
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article66#forum17351973 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article66#forum17351973]</li>
 
  <li>[http://www.imc-e.net/thread-1079614-1-1.html http://www.imc-e.net/thread-1079614-1-1.html]</li>
 
  <li>[http://hiterinfo.com/forum.php?mod=viewthread&tid=289433 http://hiterinfo.com/forum.php?mod=viewthread&tid=289433]</li>
 
  <li>[http://yxzdg123.cloud67-181.78host.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1428&fromuid=2805 http://yxzdg123.cloud67-181.78host.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1428&fromuid=2805]</li>
 
  <li>[http://www.yaoxm.net/forum.php?mod=viewthread&tid=1184196 http://www.yaoxm.net/forum.php?mod=viewthread&tid=1184196]</li>
 
</ul>


===Intuitive interpretation===
== Acheter New Balance Belgique fichier ==
Suppose the vector field describes the [[velocity field]] of a [[fluid flow]] (such as a large tank of [[liquid]] or [[gas]]) and a small ball is located within the fluid or gas (the centre of the ball being fixed at a certain point). If the ball has a rough surface, the fluid flowing past it will make it rotate. The rotation axis (oriented according to the right hand rule) points in the direction of the curl of the field at the centre of the ball, and the angular speed of the rotation is half the magnitude of the curl at this point.<ref>{{citation|first1=Josiah Willard |last1=Gibbs|authorlink1=Josiah Willard Gibbs|first2=Edwin Bidwell|last2=Wilson|authorlink2=Edwin Bidwell Wilson|title=Vector analysis|url=http://hdl.handle.net/2027/mdp.39015000962285?urlappend=%3Bseq=179|year=1901}}</ref>


== Usage ==
Réserver marqué et que je cherche avant au contenu de votre journal Web à venir. J'ai un slatmill utilisé pour les chiens ce moulin peut être utilisé pour pitbull, boxeur, Bully, tout support au xl chien de race que j'ai payé de 1000 $, pour Je veux 500 $ en espèces. Une. Je pense qu'il serait aussi bien si le coût des propriétés étaient des paiements à la place de la pleine propriété (le taux d'intérêt pourrait être modifié de façon aléatoire ou peut-être les autres joueurs pourrait dedcide ce qu'ils pensent de leur taux d'intérêt devrait être si elles étaient empruntent de l'argent.) <br><br>Cherchez-vous à apprendre à tricoter des pantoufles? Nous avons un modèle de tricot chaussons facile pour le débutant ou expérimenté tricoteuse pour apprendre à tricoter des pantoufles. Les problèmes massifs du Grand lac Saint-Eh bien, il existe juste, [http://www.stobbeldeen.be/download/spelletjes.asp?d=90-Acheter-New-Balance-Belgique Acheter New Balance Belgique] c'est la gravité. "[2]. Par exemple, une personne qui déteste les fruits et légumes pourrait ne pas obtenir suffisamment de vitamine C et de quelqu'un qui refuse de manger des produits laitiers peut avoir besoin de calcium supplémentaire <br><br>Une vidéo de dashcam de police Paru le 31 Juillet montre un officier interagir avec Zimmerman et le laisser partir avec un avertissement .. Merci à Fox Nouvelles et ses commentateurs experts, des millions d'Américains comprennent maintenant la vraie, la raison cachée pour laquelle l'industrie de l'énergie solaire de l'Allemagne est beaucoup plus loin long que le nôtre.<br><br>" onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">«Les élèves ont publié des récits et d'essais, les éditer en bas à une longueur prédéterminée, et récitent leur compétitifs. Les différences sont importantes à noter que ceux qui ont des hémorroïdes internes peuvent ne pas ressentir de douleur, car il n'y a pas de récepteurs de la douleur à l'intérieur de la région du rectum.<br><br>" onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Six mois d'audiences et de réunions publiques litigieuses n'ont fait monter la température, les piqûres, la conservation de la plus grande étendue de l'espace sauvage entre la Virginie et à Boston contre le désir de l'emploi et de l'énergie fiable pour le sud du [http://www.advocaat-van-gheluwe.be/fr/includes/personalia.asp?g=48-Nike-Cortez-Nylon Nike Cortez Nylon] New Jersey, y compris grouillant Atlantic [http://www.verbeke-daniel.be/doeself/includes/promoties.asp?p=35-Doudoune-Moncler-Femme-Pas-Cher-Belgique Doudoune Moncler Femme Pas Cher Belgique] City et ses casinos.<br><br>(AP Photo / Andre Penner, fichier). Charles Adams, un ingénieur noté, donne souvent des conférences sur l'inondation 1913 et en est [http://www.betonsnijwerk.be/includes/boren.asp?t=1-Mbt-Chaussures-Belgique Mbt Chaussures Belgique] devenu le lien vivant le plus visible jusqu'à ce que l'opinion de sa mort septembre Smith qui, si vous êtes à la recherche pour le point de vue d'un initié de l'industrie, est tout à fait approprié et généralement assez commun sens.<ul>
In practice, the above definition is rarely used because in virtually all cases, the curl [[operator (mathematics)|operator]] can be applied using some set of [[curvilinear coordinates]], for which simpler representations have been derived.
 
  <li>[http://www.77msc-44msc.com/forum.php?mod=viewthread&tid=2891370 http://www.77msc-44msc.com/forum.php?mod=viewthread&tid=2891370]</li>
 
  <li>[http://tztea.com.cn/news/html/?211034.html http://tztea.com.cn/news/html/?211034.html]</li>
 
  <li>[http://116.254.222.128/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1371632 http://116.254.222.128/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1371632]</li>
 
  <li>[http://huijiazhuangxiu.com/news/html/?356469.html http://huijiazhuangxiu.com/news/html/?356469.html]</li>
 
  <li>[http://cn.wilinkedcare.com/thread-60470-1-1.html http://cn.wilinkedcare.com/thread-60470-1-1.html]</li>
 
</ul>


The notation ∇ × '''F''' has its origins in the similarities to the 3 dimensional [[cross product]], and it is useful as a [[mnemonic]] in [[Cartesian coordinate system|Cartesian coordinates]] if we take ∇ as a vector [[differential operator]] [[del]].  Such notation involving [[operator (physics)|operators]] is common in [[physics]] and [[algebra]]. However, in certain coordinate systems, such as polar-toroidal coordinates (common in plasma physics), using the notation ∇ × '''F''' will yield an incorrect result.
== Boutique Isabel Marant Aix En Provence district de Kenora ==


Expanded in [[Cartesian coordinate system|Cartesian coordinates]] (see [[Del in cylindrical and spherical coordinates]] for [[Spherical coordinate system|spherical]] and [[Cylindrical coordinate system|cylindrical]] coordinate representations), ∇ × '''F''' is, for '''F''' composed of [''F''<sub>x</sub>, ''F''<sub>y</sub>, ''F''<sub>z</sub>]:
Celle que nous avions des multitudes de gens à l'envers, ils avaient emprunté plus d'argent contre leur ferme que ce que la ferme était la peine », dit Randy Hertz, Consultant accrédité terres et chef d'exploitation chez Hertz Farm Management, une firme de courtage de terre sur la base de l'Iowa.<br><br>Région des lacs expérimentaux (district de Kenora, Ontario) Le [http://www.bistrolarmagnac.be/history/foto/contact.asp?g=66-Boutique-Isabel-Marant-Aix-En-Provence Boutique Isabel Marant Aix En Provence] gouvernement a annoncé la fermeture de la Région des lacs expérimentaux Pêches et Océans Canada géré par Nord-Ouest de l'Ontario. Selon notre rapport de recherche «Global Credit Card Industry dans les marchés émergents", année de l'année, la croissance de l'émission de cartes de crédit dans les marchés émergents devrait s'accélérer dans un avenir proche en raison de taux de pénétration faible de cartes de crédit et les initiatives prises par les organismes de réglementation.<br><br>Votre HSA Administrateur Jui vous prévenir de tout sur le financement, mais ils ne sont pas tenus de le faire. Si vous intéressé par la fonctionnalité de site internet, alors il est fort probable que vous avez découvert l'idée de Specialized évaluation de la fonctionnalité. Analyse: Cette histoire apocryphe d'un âge de collège Albert Einstein prouver l'existence de Dieu à son professeur athée de première a commencé à circuler dans la 2004e<br><br>Après le petit déjeuner, les 59 sœurs rassemblés devant le Saint Sacrement pour chanter le Te Deum, l'hymne d'action de grâce chrétienne .. Les activités du gouvernement fondamentalement un frein aux que Garfield et Lingeres Lingeres puis sont morts dans la douleur et l'inconfort douloureux 79 jours après avoir été <br><br>Le premier Congrès a décidé qu'il permettant de réguler sous la juridiction des cours fédérales, et dans la Loi [http://www.pyck.be/includes/realisaties.asp?id=7-Nike-Free-Run-Pas-Cher Nike Free Run Pas Cher] judiciaire de 1789, le Congrès a établi avec une grande particularité une compétence limitée pour [http://www.advocaat-van-gheluwe.be/fr/includes/personalia.asp?g=29-Basket-Nike-Cortez-Femme Basket Nike Cortez Femme] les tribunaux de district et de circuit, la Cour suprême a la compétence d'origine prévu dans la Constitution , et a accordé la compétence des tribunaux et d'appel dans les cas des cours de circuit fédérales et les tribunaux de l'Etat où la décision de ces tribunaux avaient rejeté les revendications fédérales.<br><br>Il a remporté le comté de Washoe (Reno) de 10 points en 2008 où 12 points de la marge de la victoire d'Obama égalé son total de tout l'État .. "En saison ou hors saison, je m'entraîne encore cinq jours par semaine où je travaille un groupe musculaire différent chaque jour.<br><br>Il a précisé que le monde dans lequel nous vivons est confronté à une "crise de la créativité" avec les solutions à tous nos problèmes basés sur le potentiel créatif humain .. Un conseil [http://www.paloma-curiosa.be/includes/old/function.asp?l=66-Sac-Longchamp-Ebay Sac Longchamp Ebay] que j'ai pour n'importe qui demande, et je ne peux pas insister assez sur ce fait d'.<ul>
 
  <li>[http://crewroomonline.com/index.php?option=com_kunena&view=post&do=new&Itemid=140 http://crewroomonline.com/index.php?option=com_kunena&view=post&do=new&Itemid=140]</li>
 
  <li>[http://www.philatelie-france-russie.fr/spip.php?article51/ http://www.philatelie-france-russie.fr/spip.php?article51/]</li>
 
  <li>[http://gm0637.site90.com/forum.php?mod=viewthread&tid=86760 http://gm0637.site90.com/forum.php?mod=viewthread&tid=86760]</li>
 
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  <li>[http://www.fxjxb.com/news/html/?46244.html http://www.fxjxb.com/news/html/?46244.html]</li>
 
</ul>


:<math>\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \\
== Sacs Michael Kors Femme il ya toutes ces années ==
{\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\
\\  F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}</math>


where '''i''', '''j''', and '''k''' are the [[unit vector]]s for the ''x''-, ''y''-, and ''z''-axes, respectively. This expands as follows:<ref>Arfken, p. 43.</ref>
Les autres sites seront toujours savoir que vous les avez consultées, mais ils ne savent pas ce que recherche que vous avez entré à l'avance .. Bien que la plupart des filles ont passé quatre ans au Allenswood, Eleanor a été appelé à la maison à New York après sa troisième année de ses débuts, qui tous riches <br><br>Les parents biologiques auront le confort en sachant que leur enfant est bien pris en charge par voir des photos de l'enfant comme il ou elle grandit, la vidéoconférence et même des rencontres personnelles. Beaucoup de gens m'ont demandé, ces cellules ont été prises de son, si elle avait été blanc? La réponse est oui, si elle avait été blanche et pauvre.<br><br>Il pré occupé par me tenant la main. Ce programme consiste à acheter des titres de banques dans le but de stimuler les prêts et la détente monétaire à une économie chancelante. L'ensemble humide ne reste dans la plus longue .. Et ce qui était le point de tout cela? <br><br>Maintenant, j'étais bien à le faire avec d'autres personnes et mon conseil thérapeutique succès est au fil des ans a été une preuve solide pour moi de cela, mais avant tout cela a commencé, il ya toutes ces années, je me suis soudain rendu compte que je n'avais pas été moi-même rencontré <br><br>La Chambre a adopté une ligne supérieure de 967 milliards de dollars pour FY2014 dépenses discrétionnaires alors que le Sénat a adopté une limite $ 1058000000000 [http://www.oude-weverij.be/include/header.asp?f=31-Sacs-Michael-Kors-Femme Sacs Michael Kors Femme] .. Avant cela, George a été cadre supérieur dans la Commonwealth Bank of Division Institutional Banking de l'Australie et a également été un partenaire avec le <br><br>Vous connaissez le type. Il est vital pour votre humeur et la santé émotionnelle que vous prenez le temps de vider votre esprit .. "Quand je dis que je n'aime pas ça, je ne suis pas opposé à l'honneur. Pourquoi ne pas amener les élèves à parler en classe sur la façon dont les choses <br><br>A l'intérieur comme la bande a pris la scène, j'ai été servi une bière par le guitariste dans un de mes nouveaux groupes Athènes favoris, Maserati. Je suis conscient de calories, mais ne les a jamais [http://www.sadietoast.be/backoffice/ckeditor/plugins/forms/dialogs/upfile.asp?j=57-Adidas-Wings-Prix Adidas Wings Prix] suivis. : "Car Dieu a tant aimé le monde, qu'il a donné son Fils unique, afin que quiconque croit en lui ne périsse pas, mais ait la vie éternelle." Ce passage est souvent utilisé comme un énoncé de la norme de la foi chrétienne.<br><br>Tous ces gars-là sont la famille. Cependant, cette morpho été nous [http://www.funkafee.be/caurina/transitions/memory.asp?y=25-Nike-Roshe-Run-Femme-Asos Nike Roshe Run Femme Asos] tournait et se rapprocher de plus en plus. «Je n'arrivais pas à croire prières pourrait être répondu comme ça dans un si court laps de [http://www.thelord.be/scripts/menukaart.asp?j=19-Air-Jordan-Femme-Talon Air Jordan Femme Talon] temps." Montgomery a dit qu'elle aurait probablement donné le rein, même sans difficultés médicales de ses membres de la famille, mais être capable de faire preuve d'empathie aidé. "Je pense que<ul>
 
 
:<math>\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}  - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k}</math>
  <li>[http://cokubm.br42.com/forum.php?mod=viewthread&tid=14152 http://cokubm.br42.com/forum.php?mod=viewthread&tid=14152]</li>
 
 
Although expressed in terms of coordinates, the result is invariant under proper rotations of the coordinate axes but the result inverts under reflection.
  <li>[http://bbs.whxx.mhedu.sh.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=1302096 http://bbs.whxx.mhedu.sh.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=1302096]</li>
 
 
In a general coordinate system, the curl is given by<ref name="Mathworld">{{MathWorld |title=Curl |urlname=Curl}}</ref>
  <li>[http://grhdx.site02.51eway.com/news/html/?100518.html http://grhdx.site02.51eway.com/news/html/?100518.html]</li>
 
 
:<math>(\nabla \times \mathbf{F} )^k = \epsilon^{k\ell m} \partial_\ell F_m</math>
  <li>[http://www.nar.ru/forum/activity http://www.nar.ru/forum/activity]</li>
 
 
where ε denotes the [[Levi-Civita symbol]], the [[metric tensor]] is used to [[raising and lowering indices|lower the index]] on '''F''', and the [[Einstein summation convention]] implies that repeated indices are summed over. Equivalently,
  <li>[http://www.heatherbrewer.com/board/read.php?15,130814 http://www.heatherbrewer.com/board/read.php?15,130814]</li>
 
 
:<math>(\nabla \times \mathbf{F} ) = \boldsymbol{e}_k\epsilon^{k\ell m} \partial_\ell F_m</math>
</ul>
 
where '''e'''<sub>''k''</sub> are the coordinate vector fields.  Equivalently, using the [[exterior derivative]], the curl can be expressed as:
 
:<math> \nabla \times \mathbf{F} = \left[ \star \left( {\mathbf d} F^\flat \right) \right]^\sharp </math>
 
Here <math>\scriptstyle\flat </math> and <math>\scriptstyle\sharp </math> are the [[musical isomorphism]]s, and <math>\scriptstyle\star </math> is the [[Hodge dual]]. This formula shows how to calculate the curl of F in any coordinate system, and how to extend the curl to any [[orientation (mathematics)|oriented]] three dimensional [[Riemannian metric|Riemannian]] manifold. Since this depends on a choice of orientation, curl is a [[Chirality (mathematics)|chiral]] operation. In other words, if the orientation is reversed, then the direction of the curl is also reversed.
 
==Examples==
===A simple vector field===
Take the [[vector field]], which depends on ''x'' and ''y'' linearly:
 
:<math>\mathbf{F}(x,y,z)=y\boldsymbol{\hat{x}}-x\boldsymbol{\hat{y}}.</math>
 
Its plot looks like this:
 
[[Image:Uniform curl.svg|center|250px]]
 
Simply by visual inspection, we can see that the field is rotating.  If we place a [[paddle wheel]] anywhere, we see immediately its tendency to rotate clockwise. Using the [[right-hand rule]], we expect the curl to be into the page. If we are to keep a [[Right-handed coordinate system#In three dimensions|right-handed]] coordinate system, into the page will be in the negative z direction. The lack of x and y directions is analogous to the cross product operation.
 
If we calculate the curl:
 
:<math>\nabla \times \mathbf{F}  =0\boldsymbol{\hat{x}}+0\boldsymbol{\hat{y}}+ \left[{\frac{\partial}{\partial x}}(-x) -{\frac{\partial}{\partial y}} y\right]\boldsymbol{\hat{z}}=-2\boldsymbol{\hat{z}}
</math>
 
Which is indeed in the negative ''z'' direction, as expected. In this case, the curl is actually a constant, irrespective of position.  The "amount" of rotation in the above vector field is the same at any point (''x'',&nbsp;''y'').  Plotting the curl of ''F'' is not very interesting:
 
[[Image:Curl of uniform curl.png|center|250px]]
 
===A more involved example===
Suppose we now consider a slightly more complicated vector field:
 
:<math>\mathbf{F}(x,y,z)=-x^2\boldsymbol{\hat{y}}.</math>
 
Its plot:
 
[[Image:Nonuniform curl.svg|250px|center]]
 
We might not see any rotation initially, but if we closely look at the right, we see a larger field at, say, x=4 than at x=3. Intuitively, if we placed a small paddle wheel there, the larger "current" on its right side would cause the paddlewheel to rotate clockwise, which corresponds to a curl in the negative z direction. By contrast, if we look at a point on the left and placed a small paddle wheel there, the larger "current" on its left side would cause the paddlewheel to rotate counterclockwise, which corresponds to a curl in the positive z direction. Let's check out our guess by doing the math:
 
:<math>{\nabla} \times \mathbf{F} =0\boldsymbol{\hat{x}}+0\boldsymbol{\hat{y}}+ {\frac{\partial}{\partial x}}(-x^2) \boldsymbol{\hat{z}}=-2x\boldsymbol{\hat{z}}.
</math>
 
Indeed the curl is in the positive z direction for negative x and in the negative z direction for positive x, as expected. Since this curl is not the same at every point, its plot is a bit more interesting:
 
[[Image:Curl of nonuniform curl.png|center|250px|center]]
 
We note that the plot of this curl has no dependence on y or z (as it shouldn't) and is in the negative z direction for positive x and in the positive z direction for negative x.
 
===Identities===
{{Main|Vector calculus identities}}
Consider the example ∇ × ('''v''' × '''F'''). Using Cartesian coordinates, it can be shown that
::<math>\nabla \times \left( \mathbf{v \times F} \right) = \left[ \left( \mathbf{ \nabla \cdot F } \right) + \mathbf{F \cdot \nabla} \right] \mathbf{v}- \left[ \left( \mathbf{ \nabla \cdot v } \right) + \mathbf{v \cdot \nabla} \right] \mathbf{F} \ . </math>
 
In the case where the vector field '''v''' and ∇ are interchanged:
 
::<math> \mathbf{v \  \times } \left( \mathbf{ \nabla \times F} \right) =\nabla_F \left( \mathbf{v \cdot F } \right) - \left( \mathbf{v \cdot \nabla } \right) \mathbf{ F} \ , </math>
 
which introduces the Feynman subscript notation ∇<sub>F</sub>, which means the subscripted gradient operates only on the factor '''F'''.
 
Another example is ∇ × (∇ × '''F'''). Using Cartesian coordinates, it can be shown that:
 
::<math> \nabla \times \left( \mathbf{\nabla \times F} \right) = \mathbf{\nabla} (\mathbf{\nabla \cdot F}) - \nabla^2 \mathbf{F}  \ , </math>
 
which can be construed as a special case of the previous example with the substitution '''v''' → ∇.
 
(Note: ∇<sup>2</sup>'''F''' represents the [[vector Laplacian]] of '''F''')
 
The curl of the [[gradient]] of ''any'' [[scalar field]] φ is always the [[zero vector]]:
 
::<math>\nabla \times ( \nabla \phi )  = \vec{0}</math>
 
If φ is a scalar valued function and '''F''' is a vector field, then
 
::<math>\nabla \times ( \varphi \mathbf{F}) = \nabla \varphi \times \mathbf{F} + \varphi \nabla \times \mathbf{F}    </math>
 
===Descriptive examples===
* In a vector field describing the linear velocities of each part of a rotating disk, the curl has the same value at all points.
* Of the four [[Maxwell's equations]], two&mdash;[[Faraday's law of induction|Faraday's law]] and [[Ampère's circuital law|Ampère's law]]&mdash;can be compactly expressed using curl. Faraday's law states that the curl of an electric field is equal to the opposite of the time rate of change of the magnetic field, while Ampère's law relates the curl of the magnetic field to the current and rate of change of the electric field.
 
== Generalizations ==
The vector calculus operations of [[gradient|grad]], curl, and [[divergence|div]] are most easily generalized and understood in the context of differential forms, which involves a number of steps. In a nutshell, they correspond to the derivatives of 0-forms, 1-forms, and 2-forms, respectively. The geometric interpretation of curl as rotation corresponds to identifying [[bivector]]s (2-vectors) in 3 dimensions with the [[special orthogonal Lie algebra]] '''so'''(3) of infinitesimal rotations (in coordinates, skew-symmetric 3 × 3 matrices), while representing rotations by vectors corresponds to identifying 1-vectors (equivalently, 2-vectors) and '''so'''(3), these all being 3-dimensional spaces.
 
=== Differential forms ===
{{main|Differential form}}
In 3 dimensions, a differential 0-form is simply a function ''f''(''x'', ''y'', ''z''); a differential 1-form is the following expression: <math>a_1\,dx + a_2\,dy + a_3\,dz;</math> a differential 2-form is the formal sum: <math>a_{12}\,dx\wedge dy + a_{13}\,dx\wedge dz + a_{23}\,dy\wedge dz;</math> and a differential 3-form is defined by a single term: <math>a_{123}\,dx\wedge dy\wedge dz.</math> (Here the a-coefficients are  real functions; the "wedge products", e.g. <math>dx\wedge dy,</math> can be interpreted as some kind of oriented area elements, <math>dx\wedge dy=-dy\wedge dx</math>, etc.) The [[exterior derivative]] of a ''k''-form in '''R'''<sup>3</sup> is defined as the (''k''+1)-form from above (and in '''R'''<sup>''n''</sup> if,  e.g.,
 
:<math>\omega^{(k)}=\sum_{i_1<i_2<...<i_k;\,\,\forall i_\nu\in 1,...,n}\,a_{i_1,...,i_k}\,dx_{i_1}\wedge ...\wedge dx_{i_k},</math>
 
then the exterior derivative ''d'' leads to
 
:<math> d\,\omega^{(k)}=\sum_{j=1;\, i_1<...<i_k}^n\frac{\partial a_{i_1,...,i_k}}{\partial x_j}\,dx_j\,\wedge dx_{i_1}\wedge ...\wedge dx_{i_k}.</math>
 
The exterior derivative of a 1-form is therefore a 2-form, and that of a 2-form is a 3-form. On the other hand, because of the interchangeability of mixed derivatives, e.g. because of
 
:<math>\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2}{\partial y\partial x},</math>
 
the twofold application of the exterior derivative leads to 0.
 
Thus, denoting the space of ''k''-forms by <math>\Omega^k(\mathbf{R}^3)</math> and the exterior derivative by ''d'' one gets a sequence:
 
:<math>0 \overset{d}{\to} \Omega^0(\mathbf{R}^3) \overset{d}{\to} \Omega^1(\mathbf{R}^3) \overset{d}{\to} \Omega^2(\mathbf{R}^3)\overset{d}{\to} \Omega^3(\mathbf{R}^3)\overset{d}{\to} 0.</math>
 
Here <math>\Omega^k(\mathbf{R}^n)</math> is the space of sections of the [[exterior algebra]] <math>\Lambda^k(\mathbf{R}^n)</math> [[vector bundle]] over R<sup>n</sup>, whose dimension is the [[binomial coefficient]] <math>\textstyle{\binom{n}{k}};</math> note that <math>\Omega^k(\mathbf{R}^3) = 0</math> for ''k'' > 3 or ''k'' < 0. Writing only dimensions, one obtains a row of [[Pascal's triangle]]:
 
:0 → 1 → 3 → 3 → 1 → 0;
 
the 1-dimensional fibers correspond to functions, and the 3-dimensional fibers to vector fields, as described below. Note that modulo suitable identifications, the three nontrivial occurrences of the exterior derivative correspond to grad, curl, and div.
 
Differential forms and the differential can be defined on any Euclidean space, or indeed any manifold, without any notion of a Riemannian metric. On a [[Riemannian manifold]], or more generally [[pseudo-Riemannian manifold]], ''k''-forms can be identified with [[p-vector|''k''-vector]] fields (''k''-forms are ''k''-covector fields, and a pseudo-Riemannian metric gives an isomorphism between vectors and covectors), and on an ''oriented'' vector space with a [[nondegenerate form]] (an isomorphism between vectors and covectors), there is an isomorphism between ''k''-vectors and (''n''−''k'')-vectors; in particular on (the tangent space of) an oriented pseudo-Riemannian manifold. Thus on an oriented pseudo-Riemannian manifold, one can interchange ''k''-forms, ''k''-vector fields, (''n''−''k'')-forms, and (''n''−''k'')-vector fields; this is known as [[Hodge duality]]. Concretely, on '''R'''<sup>3</sup> this is given by:
* 1-forms and 1-vector fields: the 1-form <math>a_x\,dx + a_y\,dy + a_z\,dz</math> corresponds to the vector field <math>(a_x, a_y, a_z).</math>
* 1-forms and 2-forms: one replaces ''dx'' by the "dual" quantity <math>dy \wedge dz</math> (i.e., omit ''dx''), and likewise, taking care of orientation: ''dy'' corresponds to <math>dz \wedge dx = -dx \wedge dz,</math> and ''dz'' corresponds to <math>dx \wedge dy.</math> Thus the form <math>a_x\,dx + a_y\,dy + a_z\,dz</math> corresponds to the "dual form" <math>a_z\,dx\wedge dy + a_y\,dz\wedge dx + a_x\,dy\wedge dz.</math>
 
Thus, identifying 0-forms and 3-forms with functions, and 1-forms and 2-forms with vector fields:
* grad takes a function (0-form) to a vector field (1-form);
* curl takes a vector field (1-form) to a vector field (2-form);
* div takes a vector field (2-form) to a function (3-form)
 
On the other hand the fact that ''d''<sup>2</sup> = 0 corresponds to  the identities curl grad ''f'' = 0 and <math>\mathrm{div\,\, curl\,\,}\vec v\,=0</math> for any function ''f'' or vector field <math>\vec v.</math>
 
Grad and div generalize to all oriented pseudo-Riemannian manifolds, with the same geometric interpretation, because the spaces of 0-forms and ''n''-forms is always (fiberwise) 1-dimensional and can be identified with scalar functions, while the spaces of 1-forms and (''n''−1)-forms are always fiberwise ''n''-dimensional and can be identified with vector fields.
 
Curl does not generalize in this way to 4 or more dimensions (or down to 2 or fewer dimensions); in 4 dimensions the dimensions are
 
:0 → 1 → 4 → 6 → 4 → 1 → 0;
 
so the curl of a 1-vector field (fiberwise 4-dimensional) is a ''2-vector field'', which is fiberwise 6-dimensional, one has
 
:<math>\omega^{(2)}=\sum_{i<k=1,...,4}a_{i,k}dx_i\wedge dx_k,</math>  
 
which yields a sum of six independent terms, and cannot be identified with a 1-vector field. Nor can one meaningfully go from a 1-vector field to a 2-vector field to a 3-vector field (4 → 6 → 4), as taking the differential twice yields zero (''d''<sup>2</sup> = 0). Thus there is no curl function from vector fields to vector fields in other dimensions arising in this way.
 
However, one can define a curl of a vector field as a ''2-vector field'' in general, as described below.
 
=== Curl geometrically ===
2-vectors correspond to the exterior power Λ<sup>2</sup>''V''; in the presence of an inner product, in coordinates these are the skew-symmetric matrices, which are geometrically considered as the [[special orthogonal Lie algebra]] '''so'''(''V'') of infinitesimal rotations. This has <math>\textstyle{\binom{n}{2}=\frac{1}{2}n(n-1)}</math> dimensions, and allows one to interpret the differential of a 1-vector field as its infinitesimal rotations. Only in 3 dimensions (or trivially in 0 dimensions) is <math>\textstyle{n=\frac{1}{2}n(n-1)},</math> which is the most elegant and common case. In 2 dimensions the curl of a vector field is not a vector field but a function, as 2-dimensional rotations are given by an angle (a scalar - an orientation is required to choose whether one counts clockwise or counterclockwise rotations as positive); note that this is not the div, but is rather perpendicular to it. In 3 dimensions the curl of a vector field is a vector field as is familiar (in 1 and 0 dimensions the curl of a vector field is 0, because there are no non-trivial 2-vectors), while in 4 dimensions the curl of a vector field is, geometrically, at each point an element of the 6-dimensional Lie algebra '''so'''(4).
 
Note also that the curl of a 3-dimensional vector field which only depends on 2 coordinates (say ''x, y'') is simply a vertical vector field (in the ''z'' direction) whose magnitude is the curl of the 2-dimensional vector field, as in the examples on this page.
 
Considering curl as a 2-vector field (an antisymmetric 2-tensor) has been used to generalize vector calculus and associated physics to higher dimensions.<ref>[http://arxiv.org/abs/hep-ph/0609260 Generalizing Cross Products and Maxwell's Equations to Universal Extra Dimensions], A.W. McDavid, C.D. McMullen, 2006</ref>
 
== See also ==
*[[Vector_cross_product#Triple_product_expansion|Cross product]]
*[[Del]]
*[[Divergence]]
*[[Gradient]]
*[[Helmholtz decomposition]]
*[[Nabla in cylindrical and spherical coordinates]]
*[[Vorticity]]
 
==Notes==
{{reflist}}
 
==References==
* [[George B. Arfken|Arfken, George B.]] and Hans J. Weber. ''Mathematical Methods For Physicists'', Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). ISBN 978-0-12-059876-2.
* {{cite book |author=Korn, Granino Arthur and Theresa M. Korn  |title=Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review |publisher=Dover Publications |location=New York |year= |pages=157–160 |isbn=0-486-41147-8 |oclc= |doi=}}
 
== External links ==
* {{springer|title=Curl|id=p/c027310}}
* [http://mathinsight.org/curl_idea The idea of curl of a vector field]
* [http://betterexplained.com/articles/vector-calculus-understanding-circulation-and-curl Curl BetterExplained]
 
[[Category:Linear operators in calculus]]
[[Category:Vector calculus]]
[[Category:Analytic geometry]]
{{Link GA|zh}}

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