Natural number: Difference between revisions

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{{redirect|Base e|the numbering system which uses [[e (mathematical constant)|e]] as its base|Non-integer representation#Base e}}
== avec les jeunes artistes Chaussure Nike Blazer Low ==


[[Image:Log.svg|thumb|right|300 px|Graph of the natural logarithm function. The function slowly grows to positive infinity as ''x'' increases and rapidly goes to negative infinity as ''x'' approaches 0 ("slowly" and "rapidly" as compared to any [[power law]] of ''x''); the y-axis is an [[asymptote]].]]
Dans l'ensemble, il apparaît assez clignote pour me baver sur lui dans un uniforme Gonzaga comme un étudiant en deuxième année. Vous aurez à faire une évaluation des besoins personnels avant de pouvoir juger si une offre est pour vous.. Revêtement sert à deux fins, à la fois re émettant des rayons UV que la lumière visible et de blindage peau humaine contre le mal .. <br><br>Il ya quelques années, j'ai trouvé Lulu Lemon Athetica et radicalement changé ma garde-robe et accru l'excitation de shopping pour les vêtements de sport. Cette semaine est le 200e anniversaire de la naissance de l'homme qui allait aider à régler, une fois pour toutes, la question de la cause du choléra. <br><br>Mais Bernanke a été un acteur clé dans un régime d'aide gouvernementale gargantuesque qui totalise maintenant près de 10 milliards de dollars en argent prêté, dépensé ou engagé à aider l'économie. Ils peuvent également créer une passion pour la musique à un enfant .. <br><br>Si vous faites de l'exercice à 60 à 70 pour cent de votre fréquence cardiaque maximale, afin de faire . A: Eh bien, avec les jeunes artistes, il est très difficile. Amener les enfants (ou un autre significatif qui agit comme un enfant) est un moyen sûr de [http://www.fertipas.com/Fertipas_com14/svg/constructip.asp?b=93-Chaussure-Nike-Blazer-Low Chaussure Nike Blazer Low] remplir votre panier avec les achats impulsifs .. <br><br>L'étude «Planification de la retraite des soins: le revenu moyen Boomer Perspective», examine comment les attentes sur les besoins de soins de santé ont changé et les idées fausses boomers ont d'où leur viendra de soins et qui pourrait payer pour cela ... <br><br>Alexandre est né à Pella, l'ancienne capitale de la Macédoine en Juillet 356 av. Partir en 5 ans, j'ai a été hospitalisé pour une EF12% et l'insuffisance cardiaque encombré.. La défaillance prématurée de l'asphalte sur le pont a été liée à des camions entrent dans l'installation de l'eau du comté de Montgomery à [http://www.rebours-sarl.fr/rebours-sarl/REBOURS-SARL_WEB/res/escalier.asp?id=68-Nike-Air-Force-One-Mid-Pas-Cher Nike Air Force One Mid Pas Cher] proximité "de freinage sur le pont. <br><br>Une étude de 2011 auprès des fonctionnaires britanniques ont trouvé [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=111-Nike-Air-Vortex-Vintage-Femme Nike Air Vortex Vintage Femme] que travailler 11 heures plus un jour (par rapport à un plus raisonnable sept ou huit) a plus que doublé les chances de glissement d'une personne en dépression .. Le ministère a recueilli 262,9 millions de roupies dans la royauté de ce printemps expédition Everest. <br><br>J'ai rencontré mon objectif de perdre du poids de confort je mets cet hiver qui a eu sur mon estime de soi, et maintenant il être poursuivi pour cette [http://www.intermarche-dordives.net/Intermarche_Dordives/Rayons/Epicerie.asp?page=116-Polo-Ralph-Lauren-Big-Pony-Rose Polo Ralph Lauren Big Pony Rose] jeune fille. "Vous voulez lutter pour la cohérence, pour un modèle dans ce que vous faites, plutôt que de s'en tenir à un calendrier rigide." .<ul>
 
  <li>[http://www.histoirepassion.eu/spip.php?article7/ http://www.histoirepassion.eu/spip.php?article7/]</li>
 
  <li>[http://www.worldfanli.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=57674 http://www.worldfanli.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=57674]</li>
 
  <li>[http://bqlchaoshi.com/news/html/?36634.html http://bqlchaoshi.com/news/html/?36634.html]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article172#forum16001831 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article172#forum16001831]</li>
 
</ul>


The '''natural logarithm''' is the [[logarithm]] to the [[base (exponentiation)|base]] ''[[e (mathematical constant)|e]]'', where ''e'' is an [[Irrational number|irrational]] and [[Transcendental number|transcendental]] constant approximately equal to 2.718<span style="margin-left:0.25em">281</span><span style="margin-left:0.2em">828</span>.  The natural logarithm is generally written as ln ''x'', log<sub>''e''</sub> ''x''  or sometimes, if the base of ''e'' is implicit, as simply log ''x''.<ref>{{cite book
== 000 Chaussure Nike Shox Nz Pas Cher ==
|title=Mathematics for physical chemistry
|edition=3rd
|first1=Robert G.
|last1=Mortimer
|publisher=Academic Press
|year=2005
|isbn=0-12-508347-5
|page=9
|url=http://books.google.com/books?id=nGoSv5tmATsC}}, [http://books.google.com/books?id=nGoSv5tmATsC&pg=PA9 Extract of page 9]
</ref> Parentheses are sometimes added for clarity, giving ln(''x''), log<sub>''e''</sub>(''x'') or log(''x''). This is done in particular when the argument to the logarithm is not a single symbol, in order to prevent ambiguity.


The natural logarithm of a number ''x'' is the [[exponentiation|power]] to which ''e'' would have to be raised to equal ''x''. For example, ln(7.389...) is 2, because ''e''<sup>2</sup>=7.389.... The natural log of ''e'' itself, ln(''e''), is 1 because ''e''<sup>1</sup> = ''e'', while the natural logarithm of 1, ln(1), is 0, since ''e''<sup>0</sup> = 1.
Vous le méritez .. Les entreprises perdent $ 11,000,000,000 chaque année en raison de la rotation du personnel .. Jusque-là, soyons plus préoccupé par les ménages manquants que sur les maisons disparues .. Heureusement, quand j'ai pris ma retraite, la dernière chose que je voulais faire était de passer mon temps et de l'argent du shopping pour des trucs je n besoin. <br><br>2) prise de conscience de l '«effet d'entraînement» de ne pas avoir un équilibre table décisionnelle entre les sexes. J'utilise mes mains pour séparer la viande brune parce que les os font qu'il est plus difficile de se tailler et de cette façon je peux vous assurer que de se débarrasser de tous les dépôts de graisse restes. <br><br>Ils pourraient aller de la simulation à la production en une seule étape .. Elle est dans sa propre émission de télévision. Cyber ​​sécurité des systèmes de contrôle industriels Qu'est-ce que cela signifie pour la sécurité nationale? Séminaire [http://www.adrpro.fr/includes/defines.asp?p=79-Chaussure-Nike-Shox-Nz-Pas-Cher Chaussure Nike Shox Nz Pas Cher] scientifique. <br><br>Dans l'étude de Keas, 73 pour cent des personnes interrogées ont déclaré qu'ils se sentent qu'ils obtiennent toujours ou souvent suffisamment de sommeil ... Pour une évacuation, vous devez avoir un approvisionnement de 3 jours avec vous. Pourquoi est-il bon pour nous présenter une augmentation des impôts pour Noël? Troisièmement, Obama affirme que cette augmentation de la taxe est "tout va revenir à des taux de l'ère Clinton." . <br><br>Nous aimons les petites fioritures qui rendent chemin spécial. Prévisions météorologiques, par exemple, sont tout à fait exact d'un jour ou deux sur. Par la suite, plusieurs d'entre eux que leurs homologues masculins certains postes de gestion de niveau d'entrée de la revendication 53 contre 47 pour cent, selon un rapport publié par McKinsey recherche .. <br><br>C'est un comportement enfant d'âge préscolaire normal pour un enfant de quatre ans à être tellement occupé qu'il ignore les signaux de son corps et ne permet pas aux toilettes jusqu'à ce qu'il commence réellement à faire pipi.. Il est une grande raison que KC a pas [http://www.energiemoderne.net/reservation/system.asp?id=69-Chaussure-Nike-Cortez-Cuir Chaussure Nike Cortez Cuir] manqué un battement depuis Teal Bunbury a été perdu pour la saison .. <br><br>Le temps est maintenant ou jamais pour Ghee. "Mais évidemment, il ya une grande partie du jeu de course, donc nous avons pu l'éliminer, lui faire unidimensionnel, puis nous avons pu réellement trouver une façon de courir avec le ballon, ce qui les rend unidimensionnel, et le match de football est . <br><br>La [http://www.quincaillerieleroy.fr/Test_12/TEST_12_WEB/FR/mentions.asp?r=87-Nike-Roshe-Run-Black Nike Roshe Run Black] pensée des gens dans le Xingu, qui se peindre et utiliser les plaques pour les lèvres et avoir les festivals.. Il vous permet de rester sur le bord de votre siège. Les spéculations sur qui pourrait acheter Vent a sévi après un [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=298-Nike-Air-Vortex-Vintage Nike Air Vortex Vintage] rapport la semaine dernière, citant plusieurs sources non identifiées, a déclaré la société mère basée à Amsterdam VimpelCom a lancé un processus de vendre la filiale de télécommunications..<ul>
 
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  <li>[http://ffhw0595.com/forum.php?mod=viewthread&tid=297889 http://ffhw0595.com/forum.php?mod=viewthread&tid=297889]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum16053670 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum16053670]</li>
 
  <li>[http://www.414300.net/news/html/?432321.html http://www.414300.net/news/html/?432321.html]</li>
 
</ul>


The natural logarithm can be defined for any positive [[real number]] ''a'' as the [[Integral|area under the curve]] ''y'' = 1/''x''  from 1 to ''a''. The simplicity of this definition, which is matched in many other formulas involving the natural logarithm, leads to the term "natural." The definition can be extended to non-zero [[complex number]]s, as explained below.
== soit. Nike Free Run Femme Foot Locker ==


The natural logarithm function, if considered as a real-valued function of a real variable, is the [[inverse function]] of the [[exponential function]], leading to the identities:
"Ne partez pas fou, tout simplement disparaître" était idiot de le faire aller. Vous [http://www.docto.fr/cdoc/modelesCSS/Gabarit3/adupage.asp?f=36-Nike-Free-Run-Femme-Foot-Locker Nike Free Run Femme Foot Locker] n'êtes pas encore fait cependant. La compétition pour la santé de celui-ci. Il a joué deux Oscar le Grincheux et Big Bird depuis 1969, un total de 43 ans. J'ai entendu la plupart des gens commencent leurs bébés sur les céréales à 4 mois. <br><br>Mangez à l'avance. 3. Même quand il est déjà à 60 mph, poignarder la manette des gaz est une expérience tête de lancer .. "Il va là-haut et pénètre dans les ombres, puis je l'ai vu sorte de flottement vers le bas", a déclaré Jones. C'était la première fois Eleanor avait ouvertement défié sa belle-mère et c'était un point dans [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=69-Nike-Jordan-1-Flight Nike Jordan 1 Flight] sa relation à la fois avec Sara et Franklin .. <br><br>Comme un dernier blog sur ce site (et vous serez en mesure de me retrouver, si vous êtes intéressé, sur mon site d'inclusion authentique!), Je voudrais simplement donner aux lecteurs quelques-unes des idées qui je laisse ce particulier . Ce peut également pas être utilisé en toute sécurité depuis un certain temps, mais . <br><br>Levez la tête, rechercher et organiser un grand grand sourire. Le reste de leur temps qu'ils passent des applications d'apprentissage, en notant les bugs, fournir de la rétroaction de la convivialité, la structuration de leur contenu, la [http://www.fertipas.com/Fertipas_com14/svg/constructip.asp?b=105-Nike-Blazer-Low-Premium-Vintage Nike Blazer Low Premium Vintage] mise en place des styles pour leurs fichiers d'aide, de dépannage leurs outils, l'élaboration de stratégies d'aide . <br><br>Devenir la meilleure version de vous .. J'utilise cette carte haut avec parcimonie, préférant, les cartes inférieures, telles que l'écoute, la négociation, et tous les autres grands outils de la classe .. Duke et Syracuse sont à mind.Sometimes, il chaussettes de tube: 4 8 Boston College ou 7 5 fois de Maryland.Other, un colis fragile enveloppé dans du papier journal et du ruban adhésif se révèle [http://www.adrpro.fr/includes/defines.asp?p=28-Nike-Shox-R5-Pas-Cher Nike Shox R5 Pas Cher] être un jeu utilisé, maillot dédicacé pense 9 2 NC Etat ou . <br><br>Tous les chats sont agiles et agile, et leurs longues queues aider leur solde .. Selon un 2013 Association nationale pour le rapport Cadres femelles sur les 50 plus grandes entreprises pour les femmes cadres, de nombreux employeurs, y compris la Bank of America et Target font un effort pour créer une «culture qui identifie, encourage et nourrit les femmes qui réussissent." . <br><br>Puisque les enfants aiment cotillons trop, vous pouvez inclure des cartes religieuses de jeu, jouets, poupées, des bonbons friandises, biscuits et autres articles pour eux de jouir ... Du côté de Pellegrini n'était même pas à son meilleur couramment, soit. <br><br>Bientôt, 300 jeux, un joueur de premier ministre en 2006, Champion du Club en 2008 avec ses six Toutes les sélections de l'équipe australienne faire Cox un des plus grands ruckmen de tous les temps, sans parler de l'un des plus grand projet de interceptions par les Eagles ...<ul>
:<math>e^{\ln(x)} = x \qquad \mbox{if }x > 0\,\!</math>
 
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  <li>[http://414300.net/news/html/?432950.html http://414300.net/news/html/?432950.html]</li>
 
  <li>[http://cerisier.info/spip.php?article20/ http://cerisier.info/spip.php?article20/]</li>
 
</ul>


:<math>\ln(e^x) = x.\,\! </math>
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Like all logarithms, the natural logarithm maps multiplication into addition:
Cette politique doit prendre en compte les zones économiques de nos échanges bilatéraux où la Chine est vulnérable afin qu'ils deviennent des leviers de cette stratégie ... [11] [30] Cette interprétation de la restauration prophétisé d'Israël, [3] combiné avec l'immoralité perçue [31] dans le monde conduit le groupe à croire que les temps de la fin sont arrivés, mais aucune date n'a été fixée. <br><br>Il a inclus dans sa liste Forbes des bienfaiteurs possibles, en disant, "Forbes. Il peut aussi y avoir des effets secondaires. Cela devrait être entièrement financé par les pouvoirs publics indiens et institution qualifiée doit adapter l'enseignement GOI sans défaillance invariablement dans . <br><br>Je le connais. D'une part, ils adoptent des lois et règlements de créer pour attirer les investissements étrangers, et d'autre part, ils ne parviennent pas à résoudre ces lacunes fondamentales, de base.. Les quatre lauréats ont été sélectionnés en fonction de leur originalité et de la créativité, de la probabilité de succès à long terme et l'évolutivité, la façon dont l'entreprise répond à un besoin dans le marché, et la mise en œuvre de solutions AWS .. <br><br>Il n'apparaît que si la majeure partie de la liste des États-Unis a pris forme au cours des deux [http://www.fertipas.com/Fertipas_com14/svg/constructip.asp?b=103-Nike-Blazer-Vintage-Pas-Cher-Homme Nike Blazer Vintage Pas Cher Homme] derniers mois, avec seulement quelques taches à l'avant, sur la défense et probablement l'une place parmi les gardiens de but qui mèneront à des décisions finales difficiles dans le . <br><br>Les chiffres suggèrent une certaine six dans 10 quartiers ont [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=58-Jordan-Air-Pas-Cher Jordan Air Pas Cher] vu leur baisse de revenu . Ils mangaged pour enlever la fille à titre de fiduciaire comme elle était restée en dehors du Royaume-Uni pour plus de 12 mois, pas étonnant comme elle avait vécu en Espagne pendant 6 ans et en effet il a été vivant quand la confiance a été établi.. <br><br>La première société a affrété des avions Indian Airlines pour le but, puis a continué à acquérir des avions de sa propre .. Mais se dirigeant vers le jour du scrutin, Walsh est en avance, un développement qui a pris quelques partisans Connolly par surprise .. <br><br>Nous sommes restés pour la nuit, parler de sport et les événements de jeu All Star .. La résolution du Conseil de sécurité que nous avons négocié sur . Temps le facteur M va modifier la façon nous [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=35-Jordan-Talon-Compensé Jordan Talon Compensé] travaillons tous, mais dans le processus, il va créer des collisions et des divisions de réapparition que les générations se cognent les uns contre les autres en lice pour trouver la meilleure façon de faire les choses. <br><br>Les gouvernements dans le passé ou le présent. Il ya un an, ma mère a commencé à avoir des problèmes de santé, elle a eu une chirurgie il ya 10 mois et fait maintenant face à la chirurgie pour enlever une grande masse dans sa région pelvienne, [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=366-Chaussure-Nike-Air-Max-2013 Chaussure Nike Air Max 2013] les médecins ne savent pas si c'est un cancer ou non..<ul>
 
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  <li>[http://annuncianimali.altervista.org/index.php?page=item&id=133822 http://annuncianimali.altervista.org/index.php?page=item&id=133822]</li>
 
  <li>[http://www.dmnc365.com/news/html/?68033.html http://www.dmnc365.com/news/html/?68033.html]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum15969800 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum15969800]</li>
 
</ul>


:<math> \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y). \!\, </math>
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Thus, the logarithm function is an [[isomorphism]] from the [[group (mathematics)|group]] of positive real numbers under multiplication to the group of real numbers under addition, represented as a [[function (mathematics)|function]]:
(AP Photo / The Canadian Press, Winston Neutel). Pour les meilleures vues de la ville, la tête de Konvikt, avec des vues de la terrasse sur les remparts de la ville. Le but de la pension alimentaire est à peu égaliser cette disparité ... ».. Le stage conservateur concurrentiel est ouvert aux membres du parti inscrits dans un établissement postsecondaire. <br><br>Les chefs étoilés peuvent rentrer au Brésil et Bray, mais les coquillages seront encore nager, les légumes de la [http://www.careladm.org/resold/forum/boutonentrez.asp?p_id=31-Chaussures-Nike-Talons Chaussures Nike Talons] mer va encore croître, le petit temps les producteurs locaux seront encore . Ils envisagent deux petits tournois de 20 équipes chacune, divisées en quatre groupes avec des côtés jouent les uns des autres une fois avant les demi-finales et finale .. <br><br>Il ne fait aucun doute que Dumb Ways To Die a frappé l'imagination de Cannes dans une manière sans précédent. Au fil des ans, l'informatisation [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=144-Air-Max-Pas-Cher-Chine Air Max Pas Cher Chine] des dossiers et intégration des électeurs photos dans les listes électorales ont contribué à faire pour un rouleau libre plus d'erreur. <br><br>«Indice de l'avantage personnalisé« faire toolResearchers une nouvelle décision a développé un modèle de prise de décision qui compare et plusieurs poids variables à prédire le choix optimal. CoffeeCup et Muse font de spécifier les dimensions exactes de la page dès le début, donc ceux qui recherchent un contrôle plus précis préféreront les applications installées de construction de site .. <br><br>Elle dispose actuellement d'un livre dans le [http://www.intermarche-dordives.net/Intermarche_Dordives/Rayons/Epicerie.asp?page=166-Polo-Ralph-Lauren-Femme-Rose Polo Ralph Lauren Femme Rose] développement et est représenté par Joy Tutela de l'Agence David Black. Siège d'Airbus SAS en Virginie, propose de se connecter Airbus avec les fournisseurs de l'État de Washington, et a signé un accord de confidentialité de cinq ans [http://www.rebours-sarl.fr/rebours-sarl/REBOURS-SARL_WEB/res/escalier.asp?id=60-Nike-Air-Force-One-Moins-Cher Nike Air Force One Moins Cher] avec la société à la poursuite de l'exploration des possibilités d'affaires, selon les documents obtenus par l'Associated Press . <br><br>Bose: C'est vrai. Il a été mon expérience dans ma pratique privée qu'il faut au moins neuf heures de thérapie avant que la femme va admettre un avortement passé. Martin Black, gestionnaire de projet pour Birse Civils, a déclaré: «Je suis ravi d'avoir travaillé avec East Riding Collège de mettre en œuvre un plan des compétences d'enseignement sur notre projet dans Beverley Il y avait des cas où MGR a crores de roupies de ses fonds personnels et il a aidé. <br><br>Mon plus récent idée était noms que vous devez savoir, qui a élargi ma conception de la création de la liste pour inclure la participation directe de notre public.. Vous pouvez utiliser, modifier et télécharger des images à autant de versions de Wikitravel que vous le souhaitez (à condition que vous parlez la langue locale bien sûr) ..<ul>
:<math>\ln : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}.</math>
 
  <li>[http://ciiqlgzp.huarenblog.com/uUOoI-b1/Priti-Nike-Free-Femme-b1-p7.htm http://ciiqlgzp.huarenblog.com/uUOoI-b1/Priti-Nike-Free-Femme-b1-p7.htm]</li>
 
  <li>[http://www.pjhaima.com/news/html/?276003.html http://www.pjhaima.com/news/html/?276003.html]</li>
 
  <li>[http://www.jixiankongjian.com/forum.php?mod=viewthread&tid=560279 http://www.jixiankongjian.com/forum.php?mod=viewthread&tid=560279]</li>
 
  <li>[http://88hongmayi.com/forum.php?mod=viewthread&tid=599794 http://88hongmayi.com/forum.php?mod=viewthread&tid=599794]</li>
 
</ul>


Logarithms can be defined to any positive base other than 1, not just ''e''. However, logarithms in other bases differ only by a constant multiplier from the natural logarithm, and are usually defined in terms of the latter. For instance, the [[binary logarithm]] is just the natural logarithm divided by ln(2), the [[natural logarithm of 2]].  Logarithms are useful for solving equations in which the unknown appears as the exponent of some other quantity.  For example, logarithms are used to solve for the half-life, decay constant, or unknown time in [[exponential decay]] problems.  They are important in many branches of mathematics and the sciences and are used in finance to solve problems involving [[compound interest]].
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{| class=infobox width=200px
«orientée non objectif" jeu artistique est la meilleure façon pour moi de planter les graines pour tout ce qui veut éclater prochaine "... Il a exigé un bénévole pour illustrer son propos sur la façon nouvelle, plaquettes courts mettront une pression supplémentaire sur les muscles de l'aine de gardiens de style papillon et d'expliquer une série de blessures de gardien de but.. <br><br>Parking à l'hôtel est près de 40 $, ce qui en fait notre parking couvert .. Mais avec Matt Ryan difficulté, Aaron Rodgers blessé et même Tom Brady après avoir traversé quelques moments difficiles, il n'y a pas beaucoup de valeurs sûres à la position [http://www.intermarche-dordives.net/Intermarche_Dordives/Rayons/Epicerie.asp?page=252-Chemise-Ralph-Lauren-Pas-Cher-Femme Chemise Ralph Lauren Pas Cher Femme] de cette année. <br><br>Tout d'abord, je tiens à vous accueillir de nouveau à Worcester. [126] La chanson a été couverte par de nombreux artistes populaires, y compris le Glee Cast et deux Coldplay et Jessie J, dans la Radio 1 Live Lounge. "C'est comme avoir un commissaire vous propose une série de visites guidées [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=159-Air-Jordans-Foot-Locker Air Jordans Foot Locker] à travers quelques-uns des plus beaux objets de notre collection, à chaque voyage donnant vie à l'histoire d'une idée scientifique clé .. <br><br>Les politiciens, les savants musulmans se joignent vaccin.. Les gens trouvent une raison quelconque, ils peuvent parler mal à propos des États-Unis. Mais Ehrenfreund dit la plupart des chercheurs pensent que les acides aminés trouvés dans les météorites n'ont pas forme dans le milieu interstellaire, mais plutôt des processus de l'eau dans le corps parent asteroid.There est toujours pas de détection incontesté d'un acide aminé dans le milieu interstellaire. <br><br>Prenez Blake Lively et Vanessa Hudgens, par exemple. Ma réponse lui a été, allez-vous vraiment coller votre tête dans le sable et dire ce didn arrivé? . Gestion de mot de passe à risque est une zone particulièrement flagrante le sondage révèle, par exemple, que 43 pour cent des répondants admettent que les employés à gérer les mots de passe dans des feuilles de calcul ou sur des notes autocollantes et 34 pour cent des actions des mots de passe avec leurs collègues de travail pour . <br><br>«Je n'ai pas de neuf ou 10 encore joué [jeu], donc nous allons voir." Jones a joué son neuvième match de dimanche [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=286-Air-Jordan-3-Doernbecher Air Jordan 3 Doernbecher] soir, quand les Predators battent les Jets de Winnipeg 3 1, et si il joue dans le jeu de Nashville mardi soir dans le Minnesota, la première année de son contrat d'entrée de gamme sera lancée dans, fournissant ainsi l'assurance qu'il sera bel et bien vivant à Nashville avec sa maman tous season.As si ce n'était jamais dans le doute. <br><br>En faisant le voyou pense, vous le désarmer. Beaucoup de ces sociétés sont polygames, la polyandrie (une femme partage sa vie [http://www.quincaillerieleroy.fr/Test_12/TEST_12_WEB/FR/mentions.asp?r=65-Nike-Roshe-Run Nike Roshe Run] avec un certain nombre de partenaires exclusifs hommes), polygynandry (plusieurs hommes dans une sorte de ménage ou d'un type de relation exclusive à un certain ensemble des femmes), certains d'entre eux n'ont aucune idée du mariage et de quelques-uns de ces sociétés ont même membres se livrant à des actes et les relations homosexuelles qui est accepté par .<ul>
|colspan=2 align=center| Natural Logarithm
 
|-
  <li>[http://www.frel.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article1 http://www.frel.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article1]</li>
|'''Representation''' ||<math>\ln x \,</math>
 
|-
  <li>[http://www.eventbuddie.com/activity/p/524564/ http://www.eventbuddie.com/activity/p/524564/]</li>
|'''Inverse''' ||<math>e^x \,</math>
 
|-
  <li>[http://bigbeatz.com/forum/viewtopic.php?p=1325406#1325406 http://bigbeatz.com/forum/viewtopic.php?p=1325406#1325406]</li>
|'''Derivative''' ||<math>\frac{1}{x} \,</math>
 
|-
  <li>[http://mercaves.com/aviariosylinks/index.php?page=item&id=101858 http://mercaves.com/aviariosylinks/index.php?page=item&id=101858]</li>
|'''Indefinite Integral''' ||<math>x\ln x - x + C \,</math>
 
|}
</ul>


{{E (mathematical constant)}}
== Nike Shox R4 Homme ==


==History==
Cocaïne Smuggler Dans ce lundi septembre Le résultat de trois nouveaux prélèvements scolaires dans l'élection de mardi se bloque sur moins de 60 votes dans chaque circonscription et ne sera pas connu pendant au moins 10 résultats days.Unofficial avoir de cinq ans, d'urgence de 6,3 moulin de la City Schools . <br><br>J'aime lire les livres avant les films sortent et j'aime la liste de ces nouveaux livres / films qui sont à venir bientôt [http://www.adrpro.fr/includes/defines.asp?p=46-Nike-Shox-R4-Homme Nike Shox R4 Homme] à un théâtre près de chez vous . Les utilisateurs peuvent également désactiver le démarrage des programmes. Heck, j'espère juste que cela aide quelqu'un. <br><br>Alors que certains comptes de courtage peuvent nécessiter . Il ya un effet de savoir si vous avez trop de certains (comme la vitamine A), mais il n'y a aucun moyen scientifique pour prouver que vous avez besoin de toutes les vitamines tout le temps, ou [http://www.christophegoursat.com/scripts/setting.asp?id=249-Nike-Air-Max-Tn-Requin Nike Air Max Tn Requin] même combien vous devriez vraiment avoir.. <br><br>Position sur diverses questions cyber et l'avenir de l'Internet mondial. Contrairement à ses pairs riches, cependant, Eleanor n'a pas hâte de quitter son école bien-aimée pour . Les gens veulent normalement vos opinions honnêtes, alors ne se sentent pas toujours obligés d'être bien si il ya quelque chose que vous trouvez bizarre, n'ayez pas peur de le dire .. <br><br>Papiers dans tout le pays, du Fort Worth Star Telegram au Memphis Commercial Appeal The Denver Post, ont été obligés de se défendre contre les accusations qu'ils exploitaient la mort d'un [http://www.docto.fr/cdoc/modelesCSS/Gabarit3/adupage.asp?f=142-Nike-Free-4.0-V2-Test Nike Free 4.0 V2 Test] homme, le dépouillèrent de sa dignité, envahi sa vie privée, transformé la tragédie en lorgnant . <br><br>Mélanger sang limitée d'un partie du cerveau avec une heure de partie de l'inactivité et vous obtenez un "coma de nourriture." . Le nombre augmente avec l'âge, à deux ou trois embryons pour les femmes jusqu'à 40, car les femmes plus âgées ont plus de difficultés à concevoir ... <br><br>Bijoux est le cadeau ultime de la relation. Vous pouvez aussi demander de l'aide à pratiquer des questions d'entrevue communes, ou demander à un recruteur tiers pour des commentaires sur vos qualifications. Il s'éloigne de plus du mouvement conservateur en déclarant pétulance que conservateur Newt Gingrich ne serait pas . <br><br>Mais il conserve plus de crédibilité que Morris ou Palin, et est bien relié à l'établissement GOP .. Qui ont cité les dates d'arrivée avant Noël. Je pense que la génération [http://www.christophegoursat.com/scripts/setting.asp?id=118-Chaussure-Nike-Tn-Requin-Pas-Chere Chaussure Nike Tn Requin Pas Chere] que j'ai grandi avec, nous sommes très heureux de ce que nous faisons. À Salt Lake City, la ville hôte pour les Jeux olympiques d'hiver de 2002, la maison le prix de vente moyen a chuté de 11,92 pour cent depuis l'année dernière..<ul>
The first mention of the natural logarithm was by [[Nicholas Mercator]] in his work ''Logarithmotechnia'' published in 1668,<ref>{{cite web |author=J J O'Connor and E F Robertson |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html |title=The number e |publisher=The MacTutor History of Mathematics archive |date=September 2001 |accessdate=2009-02-02}}</ref> although the mathematics teacher John Speidell had already in 1619 compiled a table on the natural logarithm.<ref>{{cite book |last=Cajori |first=Florian |authorlink=Florian Cajori |title=A History of Mathematics, 5th ed |pages=152 |publisher=AMS Bookstore |year=1991 |isbn=0-8218-2102-4 |url=http://books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC&dq=%22Cajori%22+%22A+History+of+Mathematics%22+}}</ref> It was formerly also called hyperbolic logarithm,<ref>{{cite web |author=Flashman, Martin |url=http://users.humboldt.edu/flashman/Presentations/Estimations.html |title=Estimating Integrals using Polynomials |accessdate=2008-03-23}}</ref> as it corresponds to the area under a [[hyperbola]]. It is also sometimes referred to as the [[Napierian logarithm]], although the original meaning of this term is slightly different.
 
  <li>[http://www.xiongmaoche.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=890559 http://www.xiongmaoche.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=890559]</li>
 
  <li>[http://funfundiscuss.no-ip.org:81/forum.php?mod=viewthread&tid=109133 http://funfundiscuss.no-ip.org:81/forum.php?mod=viewthread&tid=109133]</li>
 
  <li>[http://recit.cscapitale.qc.ca/~clj/prof/spip.php?article22 http://recit.cscapitale.qc.ca/~clj/prof/spip.php?article22]</li>
 
  <li>[http://cgi.www5a.biglobe.ne.jp/~eucaly/dialy/bbs/apeboard_plus.cgi?msgnum=30&command=read_message/ http://cgi.www5a.biglobe.ne.jp/~eucaly/dialy/bbs/apeboard_plus.cgi?msgnum=30&command=read_message/]</li>
 
</ul>


==Notational conventions==
== c'est que . Basket Nike Tn Discount ==
The notations {{nowrap|"ln ''x''"}} and {{nowrap|"log<sub>''e''</sub> ''x''"}} both refer unambiguously to the natural logarithm of ''x''.


{{nowrap|"log ''x''"}} without an explicit base may also refer to the natural logarithm. This usage is common in mathematics and some scientific contexts as well as in many [[programming language]]s.<ref>Including [[C (programming language)|C]], [[C++]], [[SAS System|SAS]], [[MATLAB]], [[Mathematica]], <!--[[Pascal programming language|Pascal]], -->[[Fortran]], and [[BASIC programming language|BASIC]]</ref> {{nowrap|"log ''x''"}} is frequently used to denote the [[common logarithm|common (base 10) logarithm]], however.
Jeeves embauché du personnel salarié; Les guides MiningCo / A propos payés sur la base de la page vues leurs sites de guidage sur des sujets précis générés .. Cependant, une préparation adéquate, les visites chez le médecin peuvent aller plus en douceur. <br><br>Il dit maintenant sa colonne précédente était les données de l'Université de l'Illinois Arctic Climate Research Center, tel qu'interprété à janvier. Si je le faisais trop hier, je me sens toujours coupable, portant sur le canapé avec une couverture. <br><br>Les examinateurs notent que les deuxième et troisième rangées sont assis assez bas sur le sol, et que la troisième rangée n est pas particulièrement spacieux, bien qu'une plainte typique de la classe.. A lui-même appelé un partisan de l'initiative de la chaîne de Communauté.Le gaie et lesbienne a été salué par la communauté lesbienne groupe de défense des médias de GLAAD, qui avait rapidement condamné les commentaires de Robertson gay et." Ce qui est clair, c'est que . <br><br>C'est une excellente façon de prolonger la saison de jardinage de légumes. Ils ont eu quelques demis physiques et nous devons obtenir le ballon, les frapper dur et les porter vers [http://www.christophegoursat.com/scripts/setting.asp?id=128-Basket-Nike-Tn-Discount Basket Nike Tn Discount] le [http://www.christophegoursat.com/scripts/setting.asp?id=186-Chaussures-Tn-Nike Chaussures Tn Nike] bas. Si votre professeur enseigne un prochain semestre de la classe ou l'année prochaine que vous êtes intéressé, vous pouvez facilement parler. <br><br>Ils ont payé $ [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=301-Jordan-Pas-Cher-Taille-38 Jordan Pas Cher Taille 38] 500 $ 1000 chacun et tentaient de rejoindre Miami ou aux Bahamas . Il a rencontré sa femme à Syracuse Law School, et ils se sont mariés deux années ago.The Associated Press a contribué à cette report.This histoire a été initialement publié sur Sam 21 décembre 2013 09:18 ESTWhere sont Jesse Jackson et Al Sharpton maintenant? . <br><br>Elle écrit de la planification à la retraite blog, qui offre des conseils financiers sur la préparation de la retraite. L'homme [http://www.docto.fr/cdoc/modelesCSS/Gabarit3/adupage.asp?f=116-Nike-Free-Run-3 Nike Free Run 3] a dit à Everett, l'avion a atterri sur son bras. Pour l'instant .. Adolf Hitler en tant que président et F 1932 Hitler a acquis la nationalité allemande et candidat à la présidence, venant en second de von Hindenburg. <br><br>Le capitaine ordonna aux autres pirates pour recueillir le trésor et Laylee suggéré, «Je sais. Mais dans le milieu de la nuit, Trixie réalise quelque chose. Cerveaux sont constamment décider ce qui est assez important de se rappeler et ce qui peut être jeté loin ", a déclaré R. <br><br>3. Il a rejoint l'Annenberg Public Policy Center en Septembre 2005, avec l'expérience précédente sur la colline du Capitole et professeur au département de communication de l'Université George Mason. Vous étiez en retard au travail aujourd'hui? . Une.<ul>
 
  <li>[http://connect.idolfit.com/activity/p/247249/ http://connect.idolfit.com/activity/p/247249/]</li>
 
  <li>[http://web.zaiwww.com/news/html/?118547.html http://web.zaiwww.com/news/html/?118547.html]</li>
 
  <li>[http://ziyun.usa10.yiyidns.net/forum.php?mod=viewthread&tid=273144&fromuid=8409 http://ziyun.usa10.yiyidns.net/forum.php?mod=viewthread&tid=273144&fromuid=8409]</li>
 
  <li>[http://fanling123a.vcv121.cnaaa11.com/news/html/?141546.html http://fanling123a.vcv121.cnaaa11.com/news/html/?141546.html]</li>
 
</ul>


==Origin of the term ''natural logarithm''==
== AFASA Air Jordan 1 Retro High ==
Initially, it might seem that since the common numbering system is [[base 10]], this base would be more "natural" than base ''e''. But mathematically, the number 10 is not particularly significant.  Its use culturally—as the basis for many societies’ numbering systems—likely arises from humans’ typical number of fingers.<ref>{{cite book | last=Boyers | first=Carl | title=A History of Mathematics | publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]] | year=1968}}</ref> Other cultures have based their [[counting systems]] on such choices as [[quinary|5]], [[octal|8]], [[duodecimal|12]], [[vigesimal|20]], and [[sexagesimal|60]].<ref>{{cite journal | last=Harris | first=John | title=Australian Aboriginal and Islander mathematics | journal=Australian Aboriginal Studies | volume=2 |pages=29–37 | year=1987 | url=http://www1.aiatsis.gov.au/exhibitions/e_access/serial/m0005975_v_a.pdf| accessdate=2008-02-12  | format=PDF}}</ref><ref>{{cite journal | last=Large| first=J.J. | title=The vigesimal system of enumeration  | journal=Journal of the Polynesian Society| volume=11|issue=4 |pages=260–261 | year=1902 | url=http://www.jps.auckland.ac.nz/document/?wid=636 | accessdate=30 March 2011}}</ref><ref>{{cite journal | last=Cajori| first=Florian| authorlink = Florian Cajori | title=Sexagesimal fractions among the Babylonians | journal=American Mathematical Monthly| volume=29 |pages=8–10 | year=1922| doi=10.2307/2972914 | jstor=2972914 | issue=1 }}</ref>


log<sub>''e''</sub> is a "natural" log because it automatically springs from, and appears so often in, mathematics. For example, consider the problem of [[derivative|differentiating]] a logarithmic function:<ref>{{cite book
Imprudent pour vos parents de dicter ce que vous pouvez et ne pouvez prendre. Les chansons sont ancrées dans ambition: Vivre sa vie, trouver le succès, faire fonctionner les choses et rester positif. La facilité de trouver rapidement un emploi est un élément important dans ces circonstances, et l'économie souffre déjà de ce qui ressemble à une trop faible taux de [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=61-Air-Jordan-1-Retro-High Air Jordan 1 Retro High] désabonnement du marché du travail .. <br><br>Hertl dit qu'il attribue une grande partie de ses premiers succès à sa place sur la ligne supérieure de San Jose, où il patine [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=222-Nike-Air-Max-90-Homme Nike Air Max 90 Homme] aux côtés capitaine San Jose Joe Thornton et . Tôt ou tard, contact pour les groupes encore isolé est tout sauf inévitable. <br><br>À titre d'exemple, des anomalies congénitales liées à sucre élevé dans le sang de la mère peuvent être réduits par le contrôle glycémique de la mère avant la grossesse. L'analyse montre combien il est important pour nous de conserver l'eau que nous développons dans les catégories de l'hygiène dans les marchés émergents, qui sont confrontés à la rareté croissante de l'eau ".. <br><br>Ryanair ne permettait pas des caméras de télévision dans la salle de conférence .. Bien que cette importante étude semble soutenir cette préoccupation, les participants ont eu leur sommeil soudain limité à un niveau exceptionnellement bas, qui doit avoir été quelque peu stressant .. <br><br>C'est un changement par rapport aux trois dernières années, quand McDonald avait mis le McRib sur le menu nationale comme un moyen de stimuler les ventes dans la moitié arrière de l'année ... Vous voulez les biens matériels sans avoir à construire vers cette réalisation par l'éducation et la formation. <br><br>Je suis, bien sûr, ne dis pas que cela peut se produire dans les relations qui sont verbalement et, surtout, violent physiquement .. L'un des aspects les plus prometteurs de la loi est l'obligation de former des comités de surveillance de l'école, comprenant des parents, des [http://www.spnegoceauto.com/FCKeditor/fckblank.asp?search=76-Nike-Air-Yeezy-Prix Nike Air Yeezy Prix] enseignants et d'autres intervenants, y compris les étudiants.. <br><br>Rien ne pourrait être plus éloigné de la vérité. Dans un discours décousu lors d'une récente Association africaine des agriculteurs de l'Afrique du Sud (AFASA) du [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=408-Chaussure-Jordan-Pas-Cher Chaussure Jordan Pas Cher] dîner, le Président Zuma a tournoyé hors les échecs de son programme de réforme agraire du gouvernement sans apparemment en reconnaissance de ses propres défaillances de l'Etat.. <br><br>Parmi les nombreuses aventures qui ont rempli leur vie, ils ont été consacrées chercheurs spirituels et les praticiens. Une litanie de dates passées signalé qu'il avait un penchant pour l'étouffement sexuelle. Il poursuit: «L'extension de la vie des centrales nucléaires et / ou nouvelle construction pourrait renforcer la contribution du secteur de production à des réductions de CO2, d'ici à 2020 et au-delà." Mais il ajoute que, pour éviter une chute très brutale de la production nucléaire d'une décision doit être prise rapidement, car il faut une décennie pour obtenir stations opérationnelles..<ul>
|title=Calculus: An Applied Approach
 
|edition=8th
  <li>[http://bralife.com/news/html/?72316.html http://bralife.com/news/html/?72316.html]</li>
|first1=Ron
 
|last1=Larson
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|publisher=Cengage Learning
 
|year=2007
  <li>[http://www.aunis.net/blog/index.php?2007/10/24/24-desinformation-virus-chaine-de-mail-comment-ne-plus-se-laisser-avoir/ http://www.aunis.net/blog/index.php?2007/10/24/24-desinformation-virus-chaine-de-mail-comment-ne-plus-se-laisser-avoir/]</li>
|isbn=0-618-95825-8
 
|page=331
  <li>[http://bbs.jzqc.net/forum.php?mod=viewthread&tid=1161597 http://bbs.jzqc.net/forum.php?mod=viewthread&tid=1161597]</li>
|url=http://books.google.com/books?id=rbDG7V0OV34C}}, [http://books.google.com/books?id=rbDG7V0OV34C&pg=PA331 Section 4.5, page 331]
 
</ref>
</ul>
:<math>\frac{d}{dx}\log_b(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\ln(b)} \ln{x} \right) = \frac{1}{\ln(b)} \frac{d}{dx} \ln{x} = \frac{1}{x\ln(b)}. </math>


If the [[base (exponentiation)|base]] ''b'' equals ''e'', then the derivative is simply 1/''x'', and at ''x''&nbsp;=&nbsp;1 this derivative equals 1. Another sense in which the base-''e''-logarithm is the most natural is that it can be defined quite easily in terms of a simple integral or [[Taylor series]] and this is not true of other logarithms.
== Palm Beach et dans les Caraïbes Basket Nike Talon Femme ==


Further senses of this naturalness make no use of [[calculus]]. As an example, there are a number of simple series involving the natural logarithm. [[Pietro Mengoli]] and [[Nicholas Mercator]] called it ''logarithmus naturalis'' a few decades before [[Sir Isaac Newton|Newton]] and [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] developed calculus.<ref>{{cite web | last=Ballew | first=Pat | title=Math Words, and Some Other Words, of Interest | url=http://www.pballew.net/arithme1.html#ln | accessdate=2007-09-16}}</ref>
Ils sont à venir. Vous [http://www.careladm.org/resold/forum/boutonentrez.asp?p_id=81-Basket-Nike-Talon-Femme Basket Nike Talon Femme] pourriez même être en mesure de vendre votre voiture pour un peu d'argent supplémentaire. Grandir voyager entre les maisons à Manhattan, Palm Beach et dans les Caraïbes, elle a développé une compréhension de la nécessité pour les bons vêtements à la bonne place, et l'appréciation pour prendre soin d'eux.. <br><br>"La chose à propos de Bob pour moi, c'est qu'il était toujours favorable et . Je veux dire, regarde mon dossier. Mason occupe une position unique sur le marché de l'enseignement supérieur. Cependant, je fait une fausse couche dans les 7 premières semaines .. <br><br>Ces changements permettront au réseau de continuer à établir la norme de l'industrie pour les années à venir. Au lieu de demander à vos invités de verser de l'argent, vous pouvez mettre en place un registre lune de miel qui permet aux clients de voir où l'argent . <br><br>Celles-ci produits ne peuvent pas être détectés sur les écrans de la drogue, ce qui explique pourquoi certains enfants sont attirés par eux et pourquoi il est difficile de saisir l'information solide sur leur usage et l'abus, il says.Paul Hokemeyer, PhD, dit la consommation de marijuana est un [http://www.rebours-sarl.fr/rebours-sarl/REBOURS-SARL_WEB/res/escalier.asp?id=45-Basket-Nike-Air-Force Basket Nike Air Force] vrai faux crise . <br><br>Il a été libéré en ligne à l'avance en raison de son importance pour la santé, les chercheurs ont dit .. Quand vous voyez que juste une tranche de tofu ferme a cette quantité de protéines et est ce faible en calories, il n'est pas étonnant que de plus en plus de gens se tournent vers elle. <br><br>Alien tumeur février Jo. Les tout-petits ont du mal en même temps que la langue et l'étiquetage expressive des émotions, donc il ne devrait pas s'étonner que cette tâche réduit certains bambins aux larmes.. Faites-vous une à garder sous la main pour les autres viandes et fruits de mer. <br><br>Si vous voulez devenir un meilleur leader, travailler sur la modélisation des qualités que vous aimeriez voir dans les membres de votre [http://www.spnegoceauto.com/FCKeditor/fckblank.asp?search=45-Vente-Nike-Yeezy Vente Nike Yeezy] équipe .. "(ViaBBC) Maintenant que son identité a été rendue publique, bonbon ne sera pas utilisé à nouveau comme elle l'a . <br><br>Oui, nous savons tous que les campagnes sont sur de vagues promesses et généralités affolantes. Cette note, collé sur les boîtes de bobines de film pour le nouveau film controversé d'Otto Preminger, L'Homme au bras d'or, a suscité histoire d'amour capricieuse de l'industrie avec des titres de films.. <br><br>Après tout, presque pas de recette français [http://www.fertipas.com/Fertipas_com14/svg/constructip.asp?b=260-Nike-Vintage-Noir Nike Vintage Noir] ne parvient pas à comprendre l'oignon. Je me demande encore si il est possible que je peux aller plus loin. Toutes les nominations présidentielles, y compris les membres du Cabinet, juges nommés ambassadeurs et doivent être confirmées par le Sénat, qui peut appeler des candidats à témoigner devant elle ...<ul>
 
  <li>[http://nsqkl.org/chat/viewthread.php?tid=381796&extra=page%3D1&frombbs=1 http://nsqkl.org/chat/viewthread.php?tid=381796&extra=page%3D1&frombbs=1]</li>
 
  <li>[http://www.frel.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article1 http://www.frel.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article1]</li>
 
  <li>[http://www.jthwba.com/news/html/?241014.html http://www.jthwba.com/news/html/?241014.html]</li>
 
  <li>[http://www.southernfootballhistory.com/phrum/read.php?49,129790 http://www.southernfootballhistory.com/phrum/read.php?49,129790]</li>
 
</ul>


== Definitions ==
== "Cinq peignes en ivoire Air Jordan 13 ==
[[Image:Log-pole-x 1.svg|thumb|ln(''a'') illustrated as the area under the curve ''f''(''x'') = 1/''x'' from 1 to ''a''. If ''a'' is less than 1, the area from ''a'' to 1 is counted as negative.]]


Formally, ln(''a'') may be defined as the [[integral]],
Cependant, la plus grande réalisation pour moi dans les trois derniers mois a été en baisse £ 10,5 de graisse (qui pour une fille aussi court que moi, c'est un . La quantité d'œstrogène dans le sang [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=274-Air-Jordan-13 Air Jordan 13] semble être dépendante de la quantité de graisse dans un corps de femme. <br><br>Dans la version de Sinatra, il remplace les traditionnels cadeaux [http://www.intermarche-dordives.net/Intermarche_Dordives/Rayons/Epicerie.asp?page=54-Vente-Privée-Polo-Fred-Perry Vente Privée Polo Fred Perry] d'oiseaux avec des choses qu'il aimerait: "Cinq peignes en ivoire, quatre feux de mission, trois clubs de golf, deux écharpes de soie, et un plus beau lien de lavande." Dans une version par Bob Rivers, une personnalité de la radio de Seattle, il remplace chaque «cadeau» avec l'un des inconvénients de Noël: "l'envoi de cartes de Noël", "face à mes beaux-parents," et, bien sûr, "trouver un arbre de Noël". <br><br>Les femmes comme regardant les jolies femmes plus que les hommes) "femmes conservatrices sont généralement moins délicats que progressistes sur le point de faire quoi que ce soit de toute valeur pratique, vous avez besoin d'imprimer tous les composants individuels puis de les assembler à la main, en ajoutant dans les choses qui ne peuvent pas être imprimées vis, ressorts, élastiques, des joints, des circuits imprimés et ainsi de suite.. <br><br>Pour changer une habitude, vous devez remplacer cette habitude avec quelque chose qui offre une récompense positive, en remplacement de l'ancienne récompense de votre mauvaise habitude. Y at-il certains blogueurs qui étaient au bon endroit au bon moment ou tout simplement eu de la chance et ont vu leurs revenus augmenter de blogs rapidement? . <br><br>Aujourd'hui populaire dans l'entreprise: Tous les populaires ArticlesWhy des ressources humaines est essentielle à la marque Storytelling équation Ne confondez pas l'expérience client Service à la clientèle 30 leaders d'opinion sur les compétences Top marketing pour 20143 Leçons B2B de contenu à apprendre de maman MarketingContent MarketingBy Christina Schmitz, Publication 18 Décembre , 2012Be le premier à commenter! Il ne fait aucun doute que les mamans sont liés les uns aux autres par des [http://www.fertipas.com/Fertipas_com14/svg/constructip.asp?b=98-Nike-Vintage Nike Vintage] canaux en ligne.. <br><br>Cubaine. En tant qu'adulte, elle a recueilli porcelaine poule ornaments.Why sont pieds Mary Poppins souvent montrés dans une position ballet avéré Travers était? Danseuse quand elle était dans son adolescence et même si elle n'a pas été formé comme une danseuse de ballet, elle connaissait toutes les positions . <br><br>Les possibilités de plus vous créez de se connecter avec le programme, mieux vous serez en mesure [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=292-Air-Max-1-Yeezy Air Max 1 Yeezy] de juger de sa culture et de la communauté afin de déterminer si c'est la bonne personne pour vous ... De toute façon, les Ravens sont à venir à la ville désespérée pour une victoire à garder leur éliminatoires espoirs.<ul>
:<math>\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.</math>
 
  <li>[http://www.i0994.com/forum.php?mod=viewthread&tid=56604&fromuid=938 http://www.i0994.com/forum.php?mod=viewthread&tid=56604&fromuid=938]</li>
 
  <li>[http://itaob.com/news/html/?19848.html http://itaob.com/news/html/?19848.html]</li>
 
  <li>[http://www.hbsdstny.com/news/html/?4222.html http://www.hbsdstny.com/news/html/?4222.html]</li>
 
  <li>[http://www.mxw1688.com/news/html/?128523.html http://www.mxw1688.com/news/html/?128523.html]</li>
 
</ul>


This function is a logarithm because it satisfies the fundamental property of a logarithm:
== les orthophonistes Nike Cortez Vintage Obsidian ==
:<math>\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b). \,\!</math>


This can be demonstrated by splitting the integral that defines ln(''ab'') into two parts and then making the [[Integration by substitution|variable substitution]] {{nowrap|1=''x'' = ''ta''}} in the second part, as follows:
Grâce Chetwin a créé un monde complètement nouveau pour elle quatre séries de livres, contes de Gom.'' Comme Terremer'' la trilogie d'Ursula Le Guin, l'histoire de Chetwin est [http://www.energiemoderne.net/reservation/system.asp?id=32-Nike-Cortez-Vintage-Obsidian Nike Cortez Vintage Obsidian] une épopée prolongée, . Le fait que l'œil est remplacé par l'oeil tout voyant implique également qu'il est sur le point de perdre toute une vue de lot [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=349-Basket-Nike-Air-Jordan-Pas-Cher Basket Nike Air Jordan Pas Cher] et la liberté .. <br><br>Microsoft Pilotes à jour l'interface utilisateur de sombre tonique affiché tous les pilotes de notre système dans ses résultats de l'analyse, avec ceux qui ont besoin des mises à jour critiques en haut de la liste.. Bien que cela puisse pousser les marchés et les prix des actifs plus . <br><br>Il est une grande raison que KC a pas manqué un battement depuis Teal Bunbury a été perdu pour la saison .. Instinct vous obtient dans la plupart des [http://www.fertipas.com/Fertipas_com14/svg/constructip.asp?b=4-Nike-Blazer-Low-Vintage Nike Blazer Low Vintage] jours, mais parfois vous devez creuser profondément pour trouver vos réserves de patience. ". Sa mission de transformer la parentalité ne limite pas à quelques milliers de parents dont les enfants passent . <br><br>Ce médicament est sans danger pour votre bébé allaité .. Alkhina dit que les responsables de la prison ne lui donner [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=408-Chaussure-Jordan-Pas-Cher Chaussure Jordan Pas Cher] une chance de dire au revoir à compagnons de cellule, mais mis . Objections de la part des organismes de conservation, le Secrétariat a approuvé la Chine programme de contrôle de l'ivoire, et la CITES pays membres du Comité permanent ont approuvé la Chine à participer à un ivoire enchères de 2008 .. <br><br>Même si je suis apparemment dans la minorité, j'ai été ravie de découvrir deux projets qui sont déterminés à honorer et de préserver le livre imprimé .. Fait intéressant, subak était très concentré sur les jambes et coups de pied dans le royaume de Koguryo, qui est quelque chose que le Tae Kwon Do est aujourd'hui connu pour. <br><br>Trouver un équilibre sain et maintenir une relation saine avec la nourriture est essentiel. "" Salut Marc, malheureusement, comme Ann. Si vous êtes un chrétien et que vous croyez que la Bible est la parole directe de Dieu, alors avez-vous lu la plus grande partie et les Evangiles? . <br><br>A cette époque, les nouveaux chrétiens ont été baptisés et reçu dans la foi, et ainsi de l'église primitive a institué une période de 40 jours de jeûne et de repentance .. «Ça devient beaucoup mieux, beaucoup plus rapide. Les pompiers, les orthophonistes, les bibliothécaires et les enseignants spécialisés sont quelques-unes des professions admissibles au programme Perkins, qui désigne généralement des diplômés travailler dans de faibles revenus ou des zones mal desservies pour se qualifier..<ul>
:<math>
 
\ln (ab)
  <li>[http://www.mechatrician.com/Main_Page http://www.mechatrician.com/Main_Page]</li>
= \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx
 
= \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx
  <li>[http://www.it701.cn/news/html/?86712.html http://www.it701.cn/news/html/?86712.html]</li>
=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{at} \; d(at)
 
</math>
  <li>[http://cgi.www5c.biglobe.ne.jp/~kk_aoi/bbs/apeboard_plus.cgi/ http://cgi.www5c.biglobe.ne.jp/~kk_aoi/bbs/apeboard_plus.cgi/]</li>
::<math>
 
=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt
  <li>[http://www.tianwaitianrihua.com/news/html/?526788.html http://www.tianwaitianrihua.com/news/html/?526788.html]</li>
= \ln (a) + \ln (b).
 
</math>
</ul>


The number ''[[E (mathematical constant)|e]]'' can then be defined as the unique real number ''a'' such that ln(''a'')&nbsp;=&nbsp;1.
== en termes de nombre de liens qu'il a Acheter Polo Lacoste ==


Alternatively, if the [[exponential function]] has been defined first, say by using an [[infinite series]], the natural logarithm may be defined as its [[inverse function]], i.e., ln is that function such that exp(ln(''x''))&nbsp;=&nbsp;''x''. Since the range of the exponential function on real arguments is all positive real numbers and since the exponential function is strictly increasing, this is well-defined for all positive ''x''.
C'est en [http://www.intermarche-dordives.net/Intermarche_Dordives/Rayons/Epicerie.asp?page=220-Acheter-Polo-Lacoste Acheter Polo Lacoste] plus de transmettre attentivement le drame et l'émotion à leurs auditeurs. Bail pour chacun a été fixé à 3 millions de dollars attente de leur procès. Il est probable que votre page d'accueil ou la page principale de votre blog va devenir l'un des endroits les plus forts sur votre site (en termes de nombre de liens [http://www.christophegoursat.com/scripts/setting.asp?id=110-Tn-Requin-Pas-Cher-Taille-39 Tn Requin Pas Cher Taille 39] qu'il a) si vous aren aide que le jus de lien de rang pour quelque chose, vous manquer une grande opportunité. <br><br>Un fanatique de hamburgar reacheas autres fanatiques de hamburger, un créateur de musique atteint musique loversand maintenant il est temps pour le faire fonctionner pour vous!.. La façon dont le monde de manuel. Pour plus de détails sur la façon dont Google utilise les informations qu'ils recueillent, voir PPC politique de Google, et pour plus de détails sur la façon dont WebTrends utilisent l'information, bouillonnent menu Aide dans la barre de menu de la plupart des navigateurs vous indiquera comment empêcher votre navigateur d'accepter de nouveaux cookies, comment avoir le navigateur vous avertisse lorsque vous recevez un nouveau cookie et comment désactiver les cookies.. <br><br>La FSA alors repris la mairie et de l'hôpital, et a ensuite porté sur d'autres postes du gouvernement. The Fat Festival de Tyr Jamaïque a été tenue à Negril au cours des 8 dernières années et est principalement un événement hors route limitée à la participation de 3 à 5 Jamaïcains et un plus grand nombre de concurrents internationaux. <br><br>Avec quelques nouvelles fonctionnalités, et un interrupteur dans la pensée du marketing à la motivation, je vois maintenant Animoto dans une lumière très positive pour une utilisation en classe. Il aussi simple que cela. États dans lesquels les adultes obèses représentent au moins 30 pour cent ou plus de la population est passé de neuf en 2009 à 12 en 2010, selon les statistiques fournies par les Centers for Disease Control and Prevention. <br><br>Greer décision était fondée sur le témoignage de Michael Schiavo, son frère, et son épouse de frère que Terri a fait des déclarations pour les un an avant sa blessure qu'elle [http://www.energiemoderne.net/reservation/system.asp?id=78-Nike-Cortez-Pas-Cher Nike Cortez Pas Cher] ne voudrait pas être maintenue en vie artificiellement. J'ai eu quelques échanges impressionnant, et même aider à travers des moments difficiles, certains m'ont dit que je suis une grande aide pour eux à des moments aussi, avoir donné et reçu la façon dont il compte, [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=178-Air-Max-Ltd-Cuir Air Max Ltd Cuir] je suis heureux d'avoir fait partie de ce . <br><br>En utilisant ces deux représentations de genre d'une manière rigide, Rana est effectivement en train de détruire tous les deux, ce qui oblige le spectateur à regarder au-delà et de critiquer le soi-disant machines de la vérité à partir de laquelle ils sont nés..<ul>
 
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</ul>


== Properties ==
== Qu'est-ce qu'il a Nike Cortez Vintage Homme ==
* <math>\ln(1) = 0 \,</math>
* <math>\ln(-1) = i \pi \,</math>
::(see [[complex logarithm]])
* <math>\ln(x) < \ln(y) \quad{\rm for}\quad 0 < x < y \,</math>
* <math>\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \,</math>
* <math>\ln(x^y) = y \, \ln(x) \,</math>
* <math>\frac{x-1}{x} \leq \ln(x) \leq x-1 \quad{\rm for}\quad x > 0 \,</math>
* <math>\ln{( 1+x^\alpha )} \leq \alpha x \quad{\rm for}\quad x \ge 0, \alpha \ge 1 \,</math>


:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left"
Cependant dramatique et spectaculaire de sa carrière politique, concentration sur le caractère et la personnalité de Hitler, à certains [http://www.energiemoderne.net/reservation/system.asp?id=36-Nike-Cortez-Vintage-Homme Nike Cortez Vintage Homme] égards bizarres, dans d'autres carrément médiocre et totalement désagréable peut néanmoins faire peu pour expliquer le magnétisme de son attrait populaire. <br><br>La plupart don ont compliqué les structures fiscales, se prévaloir d'abris en mer, ou faire autre chose que payer des impôts, déduire les frais et les pertes, et machin tout ce que vous faites pour, sage impôt, avec des investissements importants avant vous et des choses comme la dégradation de la valeur du matériel au fil du temps . <br><br>Johnson Family Vacation est le premier film sous la bannière, et il a été récompensé richement. "Nous pensons que de Bing comme un moteur de décision à la place d'un moteur de recherche," m'a dit Weitz. Il tire avec son pistolet à bouchon et fait pleurer. <br><br>Il ya treize ans, Debbane eu un aperçu sur [http://www.spnegoceauto.com/FCKeditor/fckblank.asp?search=118-Basket-Nike-Yeezy Basket Nike Yeezy] l'épidémie d'obésité en Amérique, en pensant que les gens feraient une longue relation de vie avec une perte de poids société de services haut de marque. Google Voice a lancé beaucoup de controverse en 2009 après Apple a rejeté l'application Google Voice iPhone pour inclusion dans son App Store. [http://www.intermarche-dordives.net/Intermarche_Dordives/Rayons/Epicerie.asp?page=50-Big-Pony-Ralph-Lauren Big Pony Ralph Lauren] <br><br>Ne pas avoir de l'eau à l'intérieur de la brosse, elle aura une incidence sur la colle et le pinceau va s'écrouler. Comme Ross Douthat observe judicieusement, Paul semble comprendre est que la base républicaine doesn vraiment d'un ensemble détaillé de positions de politique étrangère: Qu'est-ce qu'il a, au contraire, est le groupe de sympathies et les instincts (pro Israël, pro militaire, nationaliste plutôt que mondialiste , agité de l'islam radical, sceptiques des institutions internationales). <br><br>TWW avait un large public pour la télévision quiz, la plupart d'entre eux l'idée de la personnalité de la télévision canadienne Roy Ward Dickson. Puisque vous voulez juste des gants décentes pour le sac lourd. Attention: occasionnel quatre lettres combativité de ce [http://www.fertipas.com/Fertipas_com14/svg/constructip.asp?b=198-Chaussure-Nike-Blazer-Femme-Pas-Cher Chaussure Nike Blazer Femme Pas Cher] site n'est pas pour l'prim.Why nous l'aimons: messages oh si relatable de Blogger Josie Maurer y compris obtenir plus de glucides délire (et ne pas être gonflé) et «journalisation inverse" (vous écrivez ce que vous avez réussi . <br><br>En un peu plus d'un mois depuis son lancement, le site a attiré 800 000 pages vues et près de 1.300 mémorialistes, allant âgés de 15 à 79. Apprendre à parler français est plus que juste l'apprentissage du vocabulaire et des mots? Il aussi apprendre la culture du peuple français, comme de leur art, de la musique, et leurs coutumes..<ul>
!Proof
 
|-
  <li>[http://www.philatelie-france-russie.fr/spip.php?article51/ http://www.philatelie-france-russie.fr/spip.php?article51/]</li>
|
 
The statement is true for <math>x=0</math>, and we now show that <math>\frac{d}{dx} \ln{( 1+x^\alpha )} \leq \frac{d}{dx} ( \alpha x ) </math> for all <math>x</math>, which completes the proof by the [[fundamental theorem of calculus#First part|fundamental theorem of calculus]]. Hence, we want to show that
  <li>[http://www.banzhuangw.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1987909 http://www.banzhuangw.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1987909]</li>
 
 
:<math>\frac{d}{dx} \ln{( 1+x^\alpha )} = \frac{\alpha x^{\alpha - 1}}{1 + x^\alpha} \leq \alpha = \frac{d}{dx} ( \alpha x ) </math>
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article66#forum18131742 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article66#forum18131742]</li>
 
 
(Note that we have not yet proved that this statement is true.) If this is true, then by multiplying the middle statement by the positive quantity <math>(1+x^\alpha) / \alpha</math> and subtracting <math>x^\alpha</math> we would obtain
  <li>[http://www.510mg.com/news/html/?66826.html http://www.510mg.com/news/html/?66826.html]</li>
 
 
:<math> x^{\alpha-1} \leq x^\alpha + 1 </math>
</ul>
:<math> x^{\alpha-1} (1-x) \leq 1 </math>
 
This statement is trivially true for <math>x \ge 1</math> since the left hand side is negative or zero. For <math>0 \le x < 1</math> it is still true since both factors on the left are less than 1 (recall that <math>\alpha \ge 1</math>). Thus this last statement is true and by repeating our steps in reverse order we find that <math>\frac{d}{dx} \ln{( 1+x^\alpha )} \leq \frac{d}{dx} ( \alpha x ) </math> for all <math>x</math>. This completes the proof.
|}
 
== Derivative, Taylor series ==
[[Image:LogTay.svg|300px|thumb|right|The Taylor polynomials for ln(1&nbsp;+&nbsp;''x'') only provide accurate approximations in the range −1&nbsp;&lt;&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;1. Note that, for ''x''&nbsp;&gt;&nbsp;1, the Taylor polynomials of higher degree are ''worse'' approximations.]]
 
The [[derivative]] of the natural logarithm is given by
:<math>\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,</math>
 
This leads to the [[Taylor series]] for ln(1&nbsp;+&nbsp;''x'') around 0; also known as the [[Mercator series]]
:<math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad{\rm for}\quad \left|x\right| \leq 1,\quad</math>
::<math>{\rm unless}\quad x = -1.</math>
 
([[Leonhard Euler]]<ref>[[Leonhard Euler]], Introductio in Analysin Infinitorum. Tomus Primus. Bousquet, Lausanne 1748. Exemplum 1, p. 228; quoque in: Opera Omnia, Series Prima, Opera Mathematica, Volumen Octavum, Teubner 1922</ref> nevertheless boldly applied this series to ''x= -1'',
in order to show that the harmonic series equals the (natural) logarithm of ''1/(1-1)'', that is the logarithm of infinity. Nowadays, more formally but perhaps less vividly, we prove that the harmonic series truncated at ''N'' is close to the logarithm of ''N'', when ''N'' is large).
 
At right is a picture of ln(1&nbsp;+&nbsp;''x'') and some of its [[Taylor polynomial]]s around 0. These approximations converge to the function only in the region −1&nbsp;&lt;&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;1; outside of this region the higher-degree Taylor polynomials are ''worse'' approximations for the function.
 
Substituting ''x''&nbsp;−&nbsp;1 for ''x'', we obtain an alternative form for ln(x) itself, namely
:<math>\ln(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1) ^ n</math>
 
:<math>\ln(x)= (x - 1) - \frac{(x-1) ^ 2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} \cdots</math>
 
:<math>{\rm for}\quad \left|x-1\right| \leq 1\quad {\rm unless}\quad x = 0 \,.</math><ref>[http://www.math2.org/math/expansion/log.htm "Logarithmic Expansions" at Math2.org]</ref>
 
By using the [[binomial transform#Euler transform|Euler transform]] on the Mercator series, one obtains the following, which is valid for any x with absolute value greater than 1:
 
:<math>\ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots \,.</math>
 
This series is similar to a [[BBP-type formula]].
 
Also note that <math> x \over {x-1} </math> is its own inverse function, so to yield the natural logarithm of a certain number ''y'', simply put in <math> y \over {y-1} </math> for ''x''.
 
:<math>\ln{x} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n}} \left( {x - 1 \over x} \right)^n = \left( {x - 1 \over x} \right) + {1 \over 2} \left( {x - 1 \over x} \right)^2 + {1 \over 3} \left( {x - 1 \over x} \right)^3 + \cdots \,</math>
 
:<math>{\rm for }\quad \operatorname{Re} (x) \geq \frac12 \,.</math>
 
== The natural logarithm in integration ==
The natural logarithm allows simple [[integral|integration]] of functions of the form ''g''(''x'') = ''f''&nbsp;'(''x'')/''f''(''x''): an [[antiderivative]] of ''g''(''x'') is given by ln(|''f''(''x'')|).  This is the case because of the [[chain rule]] and the following fact:
 
:<math>\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.</math>
 
In other words,
 
:<math>\int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C</math>
 
and
 
:<math>\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.</math>
 
Here is an example in the case of ''g''(''x'') = tan(''x''):
 
:<math>\int \tan (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx</math>
:<math>\int \tan (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.</math>
Letting ''f''(''x'') = cos(''x'') and ''f'''(''x'')= – sin(''x''):
:<math>\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C</math>
:<math>\int \tan (x) \,dx = \ln{\left| \sec (x) \right|} + C</math>
 
where ''C'' is an [[arbitrary constant of integration]].
 
The natural logarithm can be integrated using [[integration by parts]]:
 
:<math>\int \ln (x) \,dx = x \ln (x)  - x + C.</math>
 
== Numerical value ==<!-- This section is linked from [[Common logarithm]] -->
To calculate the numerical value of the natural logarithm of a number, the Taylor series expansion can be rewritten as:
 
:<math>\ln(1+x)= x \,\left( \frac{1}{1} - x\,\left(\frac{1}{2} - x \,\left(\frac{1}{3} - x \,\left(\frac{1}{4} - x \,\left(\frac{1}{5}- \cdots \right)\right)\right)\right)\right) \quad{\rm for}\quad \left|x\right|<1.\,\!</math>
 
To obtain a better rate of convergence, the following identity can be used.
 
:{|
|-
|<math>\ln(x) = \ln\left(\frac{1+y}{1-y}\right)</math>
|<math>= 2\,y\, \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{3} y^{2} + \frac{1}{5} y^{4} + \frac{1}{7} y^{6} + \frac{1}{9} y^{8} + \cdots \right) </math>
|-
|
|<math>= 2\,y\, \left( \frac{1}{1} + y^{2} \, \left( \frac{1}{3} +  y^{2} \, \left( \frac{1}{5} + y^{2} \, \left( \frac{1}{7} + y^{2} \, \left( \frac{1}{9} + \cdots \right) \right) \right)\right) \right) </math>
|}
 
:provided that ''y'' = (''x''−1)/(''x''+1) and Re(''x'') &ge; 0 but ''x'' ≠ 0.
 
For ln(''x'') where ''x'' &gt; 1, the closer the value of ''x'' is to 1, the faster the rate of convergence. The identities associated with the logarithm can be leveraged to exploit this:
 
:{|
|-
|<math>\ln(123.456)\!</math>
|<math>= \ln(1.23456 \times 10^2) \,\!</math>
|-
|
|<math>= \ln(1.23456) + \ln(10^2) \,\!</math>
|-
|
|<math>= \ln(1.23456) + 2 \times \ln(10) \,\!</math>
|-
|
|<math>\approx \ln(1.23456) + 2 \times 2.3025851. \,\!</math>
|}
 
Such techniques were used before calculators, by referring to numerical tables and performing manipulations such as those above.
 
===Natural logarithm of 10===
The natural logarithm of 10 ({{OEIS2C|A002392}}) plays a role for example in computation of natural logarithms of numbers represented in the [[scientific notation]], a mantissa multiplied by a power of 10:
 
: <math>\ln (a\times 10^n) = \ln a + n \ln 10.</math>
 
By this scaling, the algorithm may reduce the logarithm of all positive real numbers to an algorithm for natural logarithms in the range <math>1\le a< 10</math>.
 
===High precision===
To compute the natural logarithm with many digits of precision, the Taylor series approach is not efficient since the convergence is slow. If ''x'' is near 1, an alternative is to use [[Newton's method]] to invert the exponential function, whose series converges more quickly. For an optimal function, the iteration simplifies to
:<math> y_{n+1} = y_n + 2 \cdot \frac{ x - \exp ( y_n ) }{ x + \exp ( y_n ) } \,</math>
which has [[cubic convergence]] to ln(''x'').
 
Another alternative for extremely high precision calculation is the formula<ref>{{cite journal |first1=T. |last1=Sasaki |first2=Y. |last2=Kanada |title=Practically fast multiple-precision evaluation of log(x) |journal=Journal of Information Processing |volume=5|issue=4 |pages=247–250 |year=1982 | url=http://ci.nii.ac.jp/naid/110002673332 | accessdate=30 March 2011}}</ref>
<ref>
{{Cite journal
|first1=Timm
|last1=Ahrendt
|title=Stacs 99
|series=Lecture notes in computer science
|doi=10.1007/3-540-49116-3_28
|volume=1564
|year=1999
|pages=302–312
|postscript=<!--None-->
|chapter=Fast Computations of the Exponential Function
|isbn=978-3-540-65691-3
}}
</ref>
 
:<math>\ln x \approx \frac{\pi}{2 M(1,4/s)} - m \ln 2,</math>
 
where ''M'' denotes the [[arithmetic-geometric mean]] of 1 and 4/s, and
 
:<math>s = x \,2^m > 2^{p/2},</math>
 
with ''m'' chosen so that ''p'' bits of precision is attained. (For most purposes, the value of 8 for m is sufficient.) In fact, if this method is used, Newton inversion of the natural logarithm may conversely be used to calculate the exponential function efficiently. (The constants ln 2 and [[pi|π]] can be pre-computed to the desired precision using any of several known quickly converging series.)
 
===Computational complexity===
{{main|Computational complexity of mathematical operations}}
The [[computational complexity]] of computing the natural logarithm (using the arithmetic-geometric mean) is O(''M''(''n'') ln ''n''). Here ''n'' is the number of digits of precision at which the natural logarithm is to be evaluated and ''M''(''n'') is the computational complexity of multiplying two ''n''-digit numbers.
 
==Continued fractions==
While no simple [[continued fraction]]s are available, several [[generalized continued fraction]]s are, including:
 
:<math>
\ln (1+x)=\frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots=
\cfrac{x}{1-0x+\cfrac{1^2x}{2-1x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\cfrac{4^2x}{5-4x+\ddots}}}}}
</math>
 
:<math>
\ln \left( 1+\frac{x}{y} \right) = \cfrac{x} {y+\cfrac{1x} {2+\cfrac{1x} {3y+\cfrac{2x} {2+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {2+\ddots}}}}}}
= \cfrac{2x} {2y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(2y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(2y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(2y+x)-\ddots}}}}
</math>
 
These continued fractions—particularly the last—converge rapidly for values close to 1. However, the natural logarithms of much larger numbers can easily be computed by repeatedly adding those of smaller numbers, with similarly rapid convergence.
 
For example, since 2 = 1.25<sup>3</sup> × 1.024, the [[natural logarithm of 2]] can be computed as:
:<math>
\ln 2 = 3 \ln \left( 1+\frac{1}{4} \right) + \ln \left( 1+\frac{3}{125} \right)
= \cfrac{6} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}}
+ \cfrac{6} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}.
</math>
 
Furthermore, since 10 = 1.25<sup>10</sup> × 1.024<sup>3</sup>, even the natural logarithm of 10 similarly can be computed as:
:<math>
\ln 10 = 10 \ln \left( 1+\frac{1}{4} \right) + 3\ln \left( 1+\frac{3}{125} \right)
= \cfrac{20} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}}
+ \cfrac{18} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}.
</math>
 
==Complex logarithms==
{{Main|Complex logarithm}}
The exponential function can be extended to a function which gives a [[complex number]] as ''e''<sup>''x''</sup> for any arbitrary complex number ''x''; simply use the infinite series with ''x'' complex. This exponential function can be inverted to form a complex logarithm that exhibits most of the properties of the ordinary logarithm. There are two difficulties involved: no ''x'' has ''e''<sup>''x''</sup> = 0; and it turns out that ''e''<sup>2''πi''</sup> = 1 = ''e''<sup>0</sup>. Since the multiplicative property still works for the complex exponential function, ''e''<sup>''z''</sup> = ''e''<sup>''z''+2''nπi''</sup>, for all complex ''z'' and integers ''n''.
 
So the logarithm cannot be defined for the whole [[complex plane]], and even then it is multi-valued – any complex logarithm can be changed into an "equivalent" logarithm by adding any integer multiple of 2''πi'' at will. The complex logarithm can only be single-valued on the [[complex plane#Cutting the plane|cut plane]].  For example, ln ''i'' = 1/2 ''πi'' or 5/2 ''πi'' or −3/2 ''πi'', etc.; and although ''i''<sup>4</sup> = 1, 4 log ''i'' can be defined as 2''πi'', or 10''πi'' or −6 ''πi'', and so on.
 
<gallery mode=packed caption="Plots of the natural logarithm function on the complex plane ([[principal branch]])">
Image:Natural Logarithm Re.svg| ''z'' = Re(ln(x+iy))
Image:Natural Logarithm Im Abs.svg| ''z'' = |Im(ln(x+iy))|
Image:Natural Logarithm Abs.svg| ''z'' = |ln(x+iy)|
Image:Natural Logarithm All.svg| Superposition of the previous 3 graphs
</gallery>
 
==See also==
* [[John Napier]] – inventor of logarithms
* [[Logarithm of a matrix]]
* [[Logarithmic integral function]]
* [[Nicholas Mercator]] – first to use the term natural log
* [[Polylogarithm]]
* [[Von Mangoldt function]]
* [[e (mathematical constant)|The number ''e'']]
 
==References==
{{Reflist|2}}
 
==External links==
* [http://betterexplained.com/articles/demystifying-the-natural-logarithm-ln/ Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained]
 
{{DEFAULTSORT:Natural Logarithm}}
[[Category:Logarithms]]
[[Category:Elementary special functions]]
[[Category:E (mathematical constant)]]
 
[[de:Logarithmus#Natürlicher Logarithmus]]

Revision as of 18:00, 26 February 2014

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