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| {{Featured article}}
| | == und viele Male Fred Perry Polo == |
| [[Image:CircularCoordinates.svg|thumb|250px|Points in the polar coordinate system with pole ''O'' and polar axis ''L''. In green, the point with radial coordinate 3 and angular coordinate 60 degrees, or (3,60°). In blue, the point (4,210°).]]
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| In [[mathematics]], the '''polar coordinate system''' is a [[dimension|two-dimensional]] [[coordinate system]] in which each [[point (mathematics)|point]] on a [[plane (mathematics)|plane]] is determined by a [[distance]] from a fixed point and an [[angle]] from a fixed direction.
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| The fixed point (analogous to the origin of a [[Cartesian coordinate system|Cartesian system]]) is called the ''pole'', and the [[ray (geometry)|ray]] from the pole in the fixed direction is the ''polar axis''. The distance from the pole is called the ''radial coordinate'' or ''radius'', and the angle is the ''angular coordinate'', ''polar angle'', or ''[[azimuth]]''.<ref name="brown">{{Cite book| last = Brown| first = Richard G.| editor = Andrew M. Gleason| year = 1997| title = Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis| publisher = McDougal Littell| location = Evanston, Illinois| isbn = 0-395-77114-5}}</ref>
| | Er hat nie absolviert, aber erreicht ein GED später. Vor kurzem, wegen der häufig Kommunikation, [http://www.studerkunststoffe.ch/script/style.asp?p=138-Fred-Perry-Polo Fred Perry Polo] es gibt [http://www.studerkunststoffe.ch/script/style.asp?p=4-Ralph-Lauren-Kaufen Ralph Lauren Kaufen] mehr Anlass, wir sollten zu besuchen. Serverstandort gibt an, wo es körperlich. Theyve habe passender Hose als auch. Ich fühle mich sehr privilegiert, über Ihre Webseiten gekommen sind und freuen uns auf ein paar Minuten mehr awesome lesen Sie hier. Nochmals vielen Dank für die Details. <br><br>PHP CalDAV Class 1.0 Ein PHP-Klasse, die das CalDAV-Protokoll, wie in RFC 4791 beschrieben unterstützt. Kann jemand in Arizona Petition ihren Generalstaatsanwalt oder eine Art Wachhund, eine Prüfung dieser NHL Tochterunternehmen, Arena Newco, um zu sehen, wie das Geld vergeudet wurde ? Wenn die ersten hundert Fäden (mehr oder weniger) wurden zu den Coyotes gewidmet, vielleicht können die nächsten hundert der Untersuchung umgarnen ehemaligen Stadtverwaltung Personal-und NHL-Personal und ihre Studien gewidmet. <br><br>Longview, Washington Die Tausende von Regenbogen-Familie Mitglieder sind lange vorbei. Die Gebete für den Frieden wurden gesungen, die Trommeln geschlagen und das Dope geraucht. Um das zu tun, brauchen wir aber, um den Stecker in Besitzer davon zu überzeugen, zur richtigen Zeit durch Preis Strom billig spät in der Nacht, wenn die Nachfrage gering ist wieder aufzuladen. Wenn Laden eines Plug-in-Batterie kostet 2 Cent pro Meile nach Mitternacht, und viele Male, dass im Laufe des Tages, Treiber wird wahrscheinlich warten, bevor Sie in. <br><br>James Wallace ist wahnhaft, als er sagte. Ganze Frage der [http://www.ferotech.ch/highslide/graphics/outlines/define.asp?r=120-Ray-Ban-Brillen-Schweiz Ray Ban Brillen Schweiz] links und rechts ist Unsinn meiner Meinung nach jedenfalls. In den 1920er Jahren ein Instrument namens Luthal [2] erfunden wurde, wo Objekte wurden knapp über bestimmte Zeichenfolgen wie Hackbrett abgesenkt, [http://www.eyerex.com/net/news/Beschreibung/header.asp?p=7-Pandora-Schmuck-Zurich Pandora Schmuck Zurich] um Klänge zu erzeugen, obwohl das Instrument selbst obsolet wurde in wenigen Jahren aufgrund der fragilen Natur der Mechanik. Ein weiteres Beispiel für Leistungen, die Klavier Modifikationen enthalten war ein Stück von der Französisch Komponisten Maurice Delage (1879 1961) mit dem Titel Ragamalika (1912 22), die einen Ausschnitt aus Pappe auf Saiten gelegt, um den Klang einer indischen Trommel eingebaut emulieren. <br><br>Die GTF sagt, sie hat Hits aus statt durch dazwischen angehalten. So geschieht es. 3 Krankenschwestern Ich weiß, nahm die Refresher und immer noch nichts gefunden. Aber ich denke, man muss auch tun, was funktioniert. Wieder tollen Job mit diesem Blog und ich werde bald wieder!. Etwa zur gleichen Zeit begann NJHA Tracking Krankenschwestern und keine Beschwerden über sie gemacht.<ul> |
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| | <li>[http://sz-jiazhou.com/news/html/?415351.html http://sz-jiazhou.com/news/html/?415351.html]</li> |
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| | <li>[http://sundae.se/2004/01/28/b2evolution/ http://sundae.se/2004/01/28/b2evolution/]</li> |
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| | <li>[http://www.christophegreffet.fr/blog/index.php?2013/04/17/87-ma-reunion-a-bercy/ http://www.christophegreffet.fr/blog/index.php?2013/04/17/87-ma-reunion-a-bercy/]</li> |
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| | <li>[http://fluids.hrbeu.edu.cn/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1447322 http://fluids.hrbeu.edu.cn/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1447322]</li> |
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| ==History== | | == Geflügel- Nike Air Presto Damen == |
| {{See also|History of trigonometric functions}}
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| [[Image:Hipparchos 1.jpeg|thumb|190px|Hipparchus]]
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| The concepts of angle and radius were already used by ancient peoples of the 1st millennium [[Before Christ|BC]]. The [[Greek astronomy|Greek astronomer]] and [[astrologer]] [[Hipparchus]] (190–120 BC) created a table of [[chord (geometry)|chord]] functions giving the length of the chord for each angle, and there are references to his using polar coordinates in establishing stellar positions.<ref name="milestones">{{Cite web| last = Friendly| first = Michael| title = Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization| url = http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/sec4.html| accessdate = 2006-09-10}}</ref>
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| In ''[[On Spirals]]'', [[Archimedes]] describes the [[Archimedean spiral]], a function whose radius depends on the angle. The Greek work, however, did not extend to a full coordinate system.
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| From the 8th century AD onward, astronomers developed methods for approximating and calculating the direction to [[Makkah]] ([[qibla]])—and its distance—from any location on the Earth.<ref>{{Cite book
| | Obwohl es [http://www.maennerchor-therwil.ch/images/gelterkinden/deco/banner.asp?f=30-Nike-Air-Presto-Damen Nike Air Presto Damen] etwa 60 Grad an der Spitze, es war noch etwas Schnee herum in diverse Taschen aus einem Freak Kälteeinbruch hatten wir ein oder zwei früheren Tag. Es gibt einige schöne Wälder entlang dieser Strecke, und man fühlt sich, als ob Sie wieder oder vielleicht sogar um "Zeit" und getreten habe, es wäre völlig normal, wenn Sie eine Hobbit sitzt auf einem Fliegenpilz sah. <br><br>Wenn das Tragen eines T-Shirt auf einem Colorado Rafting-Tour, stellen Sie sicher, um eine tightfitting Unter Armour darunter tragen. Tees sollte ein aus einem leichten Baumwoll-Material hergestellt sein, sollte aber nicht so gut baggy sein. Nellie Tier Mitbegründer Ann Porter sah die Nächstenliebe in Aktion in Nepal im vergangenen Jahr und ist ein glühender Verfechter. Der Koriander und Rose Creme kostet $ 38, zuzüglich Verpackung und Porto von 5 € (für bis zu sechs Gläser), mit $ 20 von jedem Glas gehen zu einer Augenklinik in Nepal und mit genügend Geld für eine Operation. <br><br>Beyonce selbst inszenierte den Film, der 16. Februar Premiere haben wird, weniger als zwei Wochen nach ihrer Super Bowl Halbzeit-Show, die stattfinden wird, 3. NEW YORK (Marketwatch) BP Beamten erzählte Mitglieder des Kongresses in einer closeddoor Treffen, dass die Öl-Leck im Golf von Mexiko könnte spuckt so viel wie 60.000 Barrel Öl pro Tag, weit über eine frühere Schätzung von 5.000 Barrel pro Tag, je nach Berichte am Mittwoch. BP Beamten, sagte der größere Zahl ein Worst-Case-Szenario respresents. <br><br>Ein DIM IDEE: Sonnenhieb, oder auch nur entgegenkommenden hellen Scheinwerfer, kann ein echtes Problem sein. Stellen Sie sich vor, wenn Dynamische Eye-Technologie wurden in Windschutzscheiben eingebaut. Sie sind alle ziemlich [http://www.leu-ruesi.ch/pages/inc/Guest.asp?n=60-Nike-Blazer-Black Nike Blazer Black] nackt. Es macht die Menschen wollen, so zu sein, sei sexy, und stellen die Mitglieder des anderen Geschlechts "wollen" sie. <br><br>Machen Sie einen Punkt auf der Schnecken loszuwerden, sobald Sie sie sehen. Schnecken werden weiterhin essen Ihre Pflanzen, bis Ihr Garten ist nur eine Hülle seines früheren Selbst. Männer VNta. Det [http://www.mcaviglia.ch/test/pageflip/test/session.asp?a=236-Nike-Air-Max-90-Damen-Schweiz Nike Air Max 90 Damen Schweiz] finns mer. Die [http://www.studerkunststoffe.ch/script/style.asp?p=62-Ralph-Lauren-Store-New-York Ralph Lauren Store New York] 40% Fett sollte aus Poly und einfach ungesättigte Fette, wie Olivenöl, Avocados, Nüsse und Lachs zu kommen. Foods auf dieser Diät erlaubt sind Fleisch-, Geflügel-, Pflanzenöl, Milchprodukte, Obst und Gemüse.. <br><br>Ein weiterer großer Gratwanderung, um alle Aufmerksamkeit von Alf Skrastins in der Foothills Wildnis Blatt gebracht. Es liegt in einem regen Schattenbereich und wird oft in Sonnenlicht getaucht, als bloße Kilometer über das Tal der Misty Range in regen Wolken gehüllt.<ul> |
| | title= The Sacred Geography of Islam
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| | first= David A.
| | <li>[http://urogenomics.tu-bs.de/en/node/47#comment-1119138 http://urogenomics.tu-bs.de/en/node/47#comment-1119138]</li> |
| | last= King
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| | others = p.166. In {{Cite book
| | <li>[http://4000075729.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1386889 http://4000075729.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1386889]</li> |
| | title= Mathematics and the Divine: A Historical Study
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| | editor1-last= Koetsier
| | <li>[http://www.dailymenanews.com/node/37069 http://www.dailymenanews.com/node/37069]</li> |
| | editor1-first= Teun
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| | editor2-first= Bergmans
| | <li>[http://www.mondodellapesca.com/public/viewtopic.php?f=19&t=125272 http://www.mondodellapesca.com/public/viewtopic.php?f=19&t=125272]</li> |
| | editor2-last= Luc
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| | publisher= Elsevier
| | </ul> |
| | location= Amsterdam
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| | year= 2005
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| | pages= 162–78
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| | isbn= 0-444-50328-5
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| | url= http://books.google.com/?id=AMOQZfrZq-EC&printsec=frontcover#v=onepage
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| |ref=harv}}
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| | year= 2005
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| | url= http://books.google.com.au/books?id=AMOQZfrZq-EC&pg=PA161#v=onepage&f=false
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| | ref=harv}}
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| </ref> From the 9th century onward they were using [[spherical trigonometry]] and [[map projection]] methods to determine these quantities accurately. The calculation is essentially the conversion of the [[Geodetic_coordinates#Coordinates|equatorial polar coordinates]] of Mecca (i.e. its [[longitude]] and [[latitude]]) to its polar coordinates (i.e. its qibla and distance) relative to a system whose reference meridian is the great circle through the given location and the Earth's poles, and whose polar axis is the line through the location and its [[antipodal point]].<ref>King ([[#CITEREFKing2005|2005]], [http://books.google.com.au/books?id=AMOQZfrZq-EC&pg=PA169#v=onepage&f=false p. 169]). The calculations were as accurate as could be achieved under the limitations imposed by their assumption that the Earth was a perfect sphere.</ref> | |
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| There are various accounts of the introduction of polar coordinates as part of a formal coordinate system. The full history of the subject is described in [[Harvard University|Harvard]] professor [[Julian Lowell Coolidge]]'s ''Origin of Polar Coordinates.''<ref name="coolidge">{{Cite journal| last = Coolidge| first = Julian| authorlink = Julian Lowell Coolidge| title = The Origin of Polar Coordinates| journal = American Mathematical Monthly| volume = 59| pages = 78–85| year = 1952| url = http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Extras/Coolidge_Polars.html| doi = 10.2307/2307104| issue = 2| publisher = Mathematical Association of America| jstor = 2307104}}</ref> [[Grégoire de Saint-Vincent]] and [[Bonaventura Cavalieri]] independently introduced the concepts in the mid-seventeenth century. Saint-Vincent wrote about them privately in 1625 and published his work in 1647, while Cavalieri published his in 1635 with a corrected version appearing in 1653. Cavalieri first used polar coordinates to solve a problem relating to the area within an [[Archimedean spiral]]. [[Blaise Pascal]] subsequently used polar coordinates to calculate the length of [[parabola|parabolic arcs]].
| | == ohne die Notwendigkeit Polo Ralph Lauren Online Shop Schwei == |
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| In ''[[Method of Fluxions]]'' (written 1671, published 1736), Sir [[Isaac Newton]] examined the transformations between polar coordinates, which he referred to as the "Seventh Manner; For Spirals", and nine other coordinate systems.<ref>{{Cite journal| last = Boyer| first = C. B.| title = Newton as an Originator of Polar Coordinates| journal = American Mathematical Monthly| volume = 56| pages = 73–78| year = 1949| doi = 10.2307/2306162| issue = 2| publisher = Mathematical Association of America| jstor = 2306162}}</ref> In the journal ''[[Acta Eruditorum]]'' (1691), [[Jacob Bernoulli]] used a system with a point on a line, called the ''pole'' and ''polar axis'' respectively. Coordinates were specified by the distance from the pole and the angle from the ''polar axis''. Bernoulli's work extended to finding the [[Radius of curvature (mathematics)|radius of curvature]] of curves expressed in these coordinates.
| | Konnte nicht zu einem besseren Kerl passiert haben, wird seine Arroganz endlich aufholen zu ihm. Treffen Demut [http://www.studerkunststoffe.ch/script/style.asp?p=32-Polo-Ralph-Lauren-Online-Shop-Schweiz Polo Ralph Lauren Online Shop Schweiz] MJ. Er musste beweisen, dass er der Mogul ist er nicht! "Ich kann ein NBA-Team zu kaufen." Nein, du kannst nicht MJ. Was mir an Soho OS ist, dass sie ständig versuchen, in Bezug auf ihre eigenen Leistungen aus der Box zu denken. Große Unternehmen sind in der Regel sehr zufrieden mit ihren Produkten, mit ihnen in einer linearen Weise, ohne die Notwendigkeit, sie auf andere Möglichkeiten anzupassen. Wenn eine neue Notwendigkeit auftaucht, sie einfach ein anderes Produkt zu bauen. <br><br>Die Steuerung der Anzahl der Bulletins und wann Aktionen mit der Timed Bulletin Aspekt senden. Massively akzeptiert Freundschaftsanfragen, auch so für alle Freundschaftsanfragen automatisch angenommen werden. Weiterhin Nachrichten hinterlassen oder Kommentare nach Annahme Freunde. <br><br>Das das Unternehmen von seiner Hand, dass Bohnen eingefangen brach Fumble, so dass er schließlich einen winzigen Platz in der oberen der Bohnen ausgezogen identifiziert. Wenn Sie irgendwelche Bedenken über Ihre eigene Gesundheit oder die Gesundheit Ihres Kindes haben, sollten Sie immer mit einem Arzt oder anderen Angehörigen des Gesundheitswesens aufsuchen. Bitte überprüfen Sie die Datenschutzbestimmungen und Nutzungsbedingungen, bevor Sie diese Website. <br><br>Da die Gesetze sind ein wenig anders, es Verbindungen die Probleme der Einheitlichkeit der Konzeption und schmerzt Skaleneffekte, die Franchise-Geber und Franchise-Nehmer zu genießen, so dass sie gegen die größeren Feld Typ speichert konkurrieren können, die Brech die kleinen Jungs sind so. Kleine Jungs, was bedeutet, kleine Unternehmen, die im Bundesstaat Kalifornien beschäftigt 2/3 der Bevölkerung. Jedes Mal, wenn einer dieser Franchisegeber wird in den Anwendungs oder Erneuerung Male verzögert es kostet den Staat Geld der Steuereinnahmen und kalifornischen Bestandteile [http://www.studerkunststoffe.ch/script/style.asp?p=82-Ralph-Lauren-Usa Ralph Lauren Usa] in Arbeitsplätze, niedriger Lebensstandard, höhere Preise [http://www.blockhouse.ch/thesheriff/Collagen/thumbnails/menu.asp?n=69-New-Balance-Laufschuhe-Herren New Balance Laufschuhe Herren] (künstliche Inflation), reduzierte Auswahl und Optionen bei der Verfolgung ihrer American Dream .. <br><br>Vietn. Ilha de Wake. Ilhas de Barlovento. Über das Buch Wege unserer Großväter lobt David [http://www.maennerchor-therwil.ch/images/gelterkinden/deco/banner.asp?f=15-Nike-Free-Run-7.0-Damen Nike Free Run 7.0 Damen] D Plain früheren Buch, die Ebenen von Aamjiwnaang. Während seines ersten Buches konzentriert sich auf die Geschichte der Ahnishenahbek (Chippewa) von Aamjiwnaang Gebiet Ways unserer Großväter beschreibt Ahnishenahbek Kultur und Traditionen aus der Vor-und Frühzeit Kontakt mit den Europäern. Es deckt solche anthropologischen Themen soziale Leben, das Wirtschaftsleben und religiösen Lebens.<ul> |
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| | <li>[http://f1fanclub.com.au/activity/p/27140/ http://f1fanclub.com.au/activity/p/27140/]</li> |
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| The actual term ''polar coordinates'' has been attributed to [[Gregorio Fontana]] and was used by 18th-century Italian writers. The term appeared in [[English language|English]] in [[George Peacock]]'s 1816 translation of [[Sylvestre François Lacroix|Lacroix]]'s ''Differential and Integral Calculus''.<ref>{{Cite web| last = Miller| first = Jeff| title = Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics| url = http://members.aol.com/jeff570/p.html| accessdate = 2006-09-10}}</ref><ref>{{Cite book| last = Smith| first = David Eugene| title = History of Mathematics, Vol II| publisher = Ginn and Co.| year = 1925| location = Boston| pages = 324}}</ref> [[Alexis Clairaut]] was the first to think of polar coordinates in three dimensions, and [[Leonhard Euler]] was the first to actually develop them.<ref name="coolidge" />
| | == ist wirklich eine Schwierigkeit.. Nike Air Max 87 Rot == |
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| [[Image:Polar graph paper.svg|thumb|right|300px|A polar grid with several angles labeled in degrees]] | | |
| The radial coordinate is often denoted by ''r'', and the angular coordinate by ''φ'', ''θ'' or ''t''. The angular coordinate is specified as ''φ'' by [[International Organisation for Standardisation|ISO]] standard [[ISO 31-11|31-11]].
| | <li>[http://yaobuy.com.cn/news/html/?200177.html http://yaobuy.com.cn/news/html/?200177.html]</li> |
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| | <li>[http://www.zerunmall.com/news/html/?139791.html http://www.zerunmall.com/news/html/?139791.html]</li> |
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| | </ul> |
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| Angles in polar notation are generally expressed in either [[degree (angle)|degree]]s or [[radian]]s (2[[pi|π]] rad being equal to 360°). Degrees are traditionally used in [[navigation]], [[surveying]], and many applied disciplines, while radians are more common in mathematics and mathematical [[physics]].<ref>{{Cite book| last = Serway| first = Raymond A.| coauthors = Jewett, Jr., John W.| title = Principles of Physics| publisher = Brooks/Cole—Thomson Learning| year = 2005| isbn = 0-534-49143-X}}</ref>
| | == in der Regel.. Abercrombie Schweiz Outlet == |
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| In many contexts, a positive angular coordinate means that the angle ''φ'' is measured [[clockwise|counterclockwise]] from the axis.
| | (Der Garmont Design auf der Seite jedes Boot ist ziemlich raffinierte auch.) [http://www.paint-point.ch/energy/inc/config.asp?a=100-Abercrombie-Schweiz-Outlet Abercrombie Schweiz Outlet] Ich liebe allgemein Stiefel mit Vibram Sohlen, aber was macht mich lieben diese Stiefel noch mehr ist, dass sie mit Lautstärkeeinstellung Distanzscheiben (VAS) kommen oder hinzugefügt padding-Einsätze, um in jedem Kofferraum verstauen. Dies ist ideal für Leute wie mich, die mehr Kissen auf der Unterseite ihrer Füße wollen. <br><br>Einmal war ich mit dem Kabel gemacht, ich war in der Lage, die Keramikfliesen installieren sofort (während mit den Lehren, du sollst den Mörtel zu legen, trocknen lassen und kommen am nächsten Tag zurück, um die Fliesen zu [http://www.studerkunststoffe.ch/script/style.asp?p=44-Ralph-Lauren-Schweiz-Zürich Ralph Lauren Schweiz Zürich] legen, um nicht um das Kabel zu beschädigen). Ich habe nach dem Verlegen der Fliesen und kam am nächsten Tag zu tun, die Fugenmasse zurück.. <br><br>Es ermöglicht Ihnen, so weit die Leistung betrifft nehmen alle Arten von Herausforderungen möglich. Bei schweren Kissen auf die als Stoßdämpfer wirken Heels und eine angemessene Unterstützung für die Mitte des Fußes der Grip auf dem Boden ist bemerkenswert besser. <br><br>Die Tropfenform der Flieger nimmt die Aufmerksamkeit weg von einer größeren Stirn und zieht den Fokus auf [http://www.maennerchor-therwil.ch/images/gelterkinden/deco/banner.asp?f=131-Nike-Free-Run-5.0-Herren Nike Free Run 5.0 Herren] die Augen. Oversized-Rahmen schaffen die gleiche Wirkung. Noch ein Schnäppchen, und ich werden eng Blick auf Gründung eines kleinen Position morgen. Das war ein neun-Dollar-Lager am Montagmorgen. <br><br>Ihre Bosse schnell verwarf die Gerüchte. Aber da Leserschaft bei der Zeitschrift ist nach unten und zwei der Wintour der Lieblingsprojekte, Herren Vogue und [http://www.ahoperating.ch/images/layout/fotorahmen/style.asp?m=41-Mbt-Herren-Sandalen Mbt Herren Sandalen] Vogue Living Magazine (letztere startete vor einem Jahr), scheinen zu kämpfen haben, könnte der richtige Zeitpunkt, um Schiff zu springen. <br><br>Die Entwicklung eines Grund LCD ist einfacher als Sie denken. Ihr beginnen mit dem Sandwich von oben beschrieben und fügen Sie zwei transparente Elektroden, um es zu Glas und Flüssigkristalle. Der junge sterben nicht. Sie wissen nicht, entweder zu töten, in der Regel.. <br><br>Egal, welcher Motor Sie sich entscheiden, bieten alle Autos Rockbottom Betriebskosten. Der 875cc TwinAir-Motor ist um Stadt groß, aber die 1.3litre MultiJet-Diesel ist eine bessere Wahl, wenn Sie länger Autobahn Meilen auf einer regelmäßigen Basis zu tun. <br><br>Wenn Sie Polarisator-Filter haben, verwenden Sie zwei. Sie werden in der Lage, zwei Sonnenbrillenlinsen ersetzen keine Notwendigkeit, die Linsen herausspringen Sie in der Lage, benutzen Sie einfach zwei Sonnenbrillen sein. Dieses Geschäftsmodell verursacht anderen Teams zu folgen und schließlich zu der Einführung der Yankees-TV-Netz besitzen, YES. Während das Team übersprungen, die World Series für den Rest des Jahrzehnts, die Fernsehangebote und Besucherzahlen explodierenden Offset-Steinbrenner-Team Budgets und drehte die Yankees in die höchsten bewerteten Sport-Franchise in Nordamerika.<ul> |
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| In mathematical literature, the polar axis is often drawn horizontal and pointing to the right.
| | <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18233775 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18233775]</li> |
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| ===Uniqueness of polar coordinates===
| | <li>[http://usa.publishkaro.com/index.php?page=item&id=116087 http://usa.publishkaro.com/index.php?page=item&id=116087]</li> |
| Adding any number of full [[turn (geometry)|turn]]s (360°) to the angular coordinate does not change the corresponding direction. Also, a negative radial coordinate is best interpreted as the corresponding positive distance measured in the opposite direction. Therefore, the same point can be expressed with an infinite number of different polar coordinates {{nowrap|(''r'', ''φ'' ± ''n''×360°)}} or {{nowrap|(−''r'', ''φ'' ± (2''n'' + 1)180°)}}, where ''n'' is any [[integer]].<ref>{{Cite web| url = http://www.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006%5Cteacher_20060413_0948.pdf| title = Polar Coordinates and Graphing| accessdate = 2006-09-22| date = 2006-04-13| format = PDF}}</ref> Moreover, the pole itself can be expressed as (0, ''φ'') for any angle ''φ''.<ref>{{Cite book|title=Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry|last=Lee|first=Theodore|coauthors=David Cohen, David Sklar|year=2005|publisher=Thomson Brooks/Cole|edition=Fourth|isbn=0-534-40230-5}}</ref>
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| | | <li>[http://zps.alpha.cddgg.net/cksi/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2201763&extra= http://zps.alpha.cddgg.net/cksi/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2201763&extra=]</li> |
| Where a unique representation is needed for any point, it is usual to limit ''r'' to [[non-negative number]]s ({{nowrap|''r'' ≥ 0}}) and ''φ'' to the [[interval (mathematics)|interval]] [0, 360°) or (−180°, 180°] (in radians, [0, 2π) or (−π, π]).<ref>{{Cite book|title=Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane)|first=Ian|last=Stewart|coauthors=David Tall|year=1983|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-28763-4}}</ref> One must also choose a unique azimuth for the pole, e.g., ''φ'' = 0.
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| | | <li>[http://bqlchaoshi.com/news/html/?69847.html http://bqlchaoshi.com/news/html/?69847.html]</li> |
| ==Converting between polar and Cartesian coordinates==
| | |
| [[Image:Polar to cartesian.svg|right|thumb|250px|A diagram illustrating the relationship between polar and Cartesian coordinates.]]
| | </ul> |
| [[File:Cartesian to polar.gif|right|thumb|251px|A curve on the Cartesian plane can be mapped into polar coordinates. In this animation, <math>y = \sin (6x) + 2</math> is mapped onto <math>r = \sin (6 \varphi) + 2</math>. Click on image for details.]]
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| | |
| The polar coordinates ''r'' and ''φ'' can be converted to the [[Cartesian coordinate system|Cartesian coordinates]] ''x'' and ''y'' by using the [[trigonometric function]]s sine and cosine:
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| :<math>x = r \cos \varphi \,</math>
| |
| :<math>y = r \sin \varphi \,</math>
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| The Cartesian coordinates ''x'' and ''y'' can be converted to polar coordinates ''r'' and ''φ'' with ''r'' ≥ 0 and ''φ'' in the interval (−π, π] by:<ref>{{Cite book|first=Bruce Follett|last=Torrence|coauthors=Eve Torrence|title=The Student's Introduction to Mathematica|year=1999|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-59461-8}}</ref>
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| :<math>r = \sqrt{x^2 + y^2} \quad</math> (as in the [[Pythagorean theorem]] or the [[Euclidean norm]]), and
| |
| :<math>\varphi = \operatorname{atan2}(y, x) \quad</math>,
| |
| where [[atan2]] is a common variation on the [[arctangent]] function defined as
| |
| :<math>\operatorname{atan2}(y, x) = | |
| \begin{cases}
| |
| \arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0\\
| |
| \arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
| |
| \arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
| |
| \frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
| |
| -\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
| |
| \text{undefined} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0
| |
| \end{cases}</math>
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| | |
| The value of ''φ'' above is the [[principal value]] of the complex number function [[Argument (complex analysis)|arg]] applied to ''x''+''iy''. An angle in the range [0, 2π) may be obtained by adding 2π to the value in case it is negative.
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| | |
| ==Polar equation of a curve==
| |
| The equation defining an [[algebraic curve]] expressed in polar coordinates is known as a ''polar equation''. In many cases, such an equation can simply be specified by defining ''r'' as a [[function (mathematics)|function]] of ''φ''. The resulting curve then consists of points of the form (''r''(''φ''), ''φ'') and can be regarded as the [[graph of a function|graph]] of the polar function ''r''.
| |
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| Different forms of [[symmetry]] can be deduced from the equation of a polar function ''r''. If {{nowrap|''r''(−''φ'') {{=}} ''r''(''φ'')}} the curve will be symmetrical about the horizontal (0°/180°) ray, if {{nowrap|''r''(π − ''φ'') {{=}} ''r''(''φ'')}} it will be symmetric about the vertical (90°/270°) ray, and if {{nowrap|''r''(''φ'' − α) {{=}} ''r''(''φ'')}} it will be [[rotational symmetry|rotationally symmetric]] α [[clockwise|counterclockwise]] about the pole.
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| | |
| Because of the circular nature of the polar coordinate system, many curves can be described by a rather simple polar equation, whereas their Cartesian form is much more intricate. Among the best known of these curves are the [[Rose (mathematics)|polar rose]], [[Archimedean spiral]], [[Lemniscate of Bernoulli|lemniscate]], [[limaçon]], and [[cardioid]].
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| For the circle, line, and polar rose below, it is understood that there are no restrictions on the domain and range of the curve.
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| ===Circle===
| |
| [[Image:circle r=1.svg|thumb|right|A circle with equation {{nowrap|''r''(''φ'') {{=}} 1}}]]
| |
| The general equation for a circle with a center at {{nowrap|(''r''<sub>0</sub>, <math>\gamma</math>)}} and radius ''a'' is
| |
| :<math>r^2 - 2 r r_0 \cos(\varphi - \gamma) + r_0^2 = a^2.\, </math>
| |
| | |
| This can be simplified in various ways, to conform to more specific cases, such as the equation
| |
| :<math>r(\varphi)=a \,</math>
| |
| for a circle with a center at the pole and radius ''a''.<ref name="ping">{{Cite web| first=Johan| last=Claeys| url=http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm| title=Polar coordinates| accessdate=2006-05-25}}</ref>
| |
| | |
| When {{math|''r''}}<sub>0</sub> = {{math|a}}, or when the origin lies on the circle, the equation becomes
| |
| :<math>r = 2 a\cos(\varphi - \gamma)</math>.
| |
| | |
| In the general case, the equation can be solved for {{math|''r''}}, giving
| |
| :<math>r = r_0 \cos(\varphi - \gamma) + \sqrt{a^2 - r_0^2 \sin^2(\varphi - \gamma)}</math>,
| |
| the solution with a minus sign in front of the square root gives the same curve.
| |
| | |
| ===Line===
| |
| [[Image:Rose 2sin(4theta).svg|thumb|right|A polar rose with equation {{nowrap|''r''(''φ'') {{=}} 2 sin 4''φ''}}]]
| |
| ''Radial'' lines (those running through the pole) are represented by the equation
| |
| :<math>\varphi = \gamma \,</math>,
| |
| where ɣ is the angle of elevation of the line; that is, {{nowrap|ɣ {{=}} arctan ''m''}} where ''m'' is the [[slope]] of the line in the Cartesian coordinate system. The non-radial line that crosses the radial line {{nowrap|''φ'' {{=}} ɣ}} [[perpendicular]]ly at the point (''r<sub>0</sub>'', ɣ) has the equation
| |
| :<math>r(\varphi) = {r_0}\sec(\varphi-\gamma). \,</math>
| |
| | |
| Otherwise stated (''r<sub>0</sub>'', ɣ) is the point in which the tangent intersects the imaginary circle of radius ''r<sub>0</sub>''.
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| ===Polar rose===
| |
| A [[rose (mathematics)|polar rose]] is a famous mathematical curve that looks like a petaled flower, and that can be expressed as a simple polar equation,
| |
| :<math>r(\varphi) = a \cos (k\varphi + \gamma_0)\,</math>
| |
| for any constant ɣ<sub>0</sub> (including 0). If ''k'' is an integer, these equations will produce a ''k''-petaled rose if ''k'' is [[even and odd numbers|odd]], or a 2''k''-petaled rose if ''k'' is even. If ''k'' is rational but not an integer, a rose-like shape may form but with overlapping petals. Note that these equations never define a rose with 2, 6, 10, 14, etc. petals. The [[variable (math)|variable]] ''a'' represents the length of the petals of the rose.
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| {{-}}
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| ===Archimedean spiral===
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| [[Image:Archimedian spiral.svg|thumb|right|One arm of an Archimedean spiral with equation {{nowrap|''r''(''φ'') {{=}} ''φ'' / 2π }} for {{nowrap|0 < ''φ'' < 6π}}]]
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| The [[Archimedean spiral]] is a famous spiral that was discovered by [[Archimedes]], which also can be expressed as a simple polar equation. It is represented by the equation
| |
| :<math>r(\varphi) = a+b\varphi. \,</math>
| |
| Changing the parameter ''a'' will turn the spiral, while ''b'' controls the distance between the arms, which for a given spiral is always constant. The Archimedean spiral has two arms, one for {{nowrap|''φ'' > 0}} and one for {{nowrap|''φ'' < 0}}. The two arms are smoothly connected at the pole. Taking the mirror image of one arm across the 90°/270° line will yield the other arm. This curve is notable as one of the first curves, after the [[conic section]]s, to be described in a mathematical treatise, and as being a prime example of a curve that is best defined by a polar equation.
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| {{-}}
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| ===Conic sections===
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| [[Image:Elps-slr.svg|thumb|right|250px|Ellipse, showing semi-latus rectum]]
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| A conic section with one focus on the pole and the other somewhere on the 0° ray (so that the conic's [[semi-major axis|major axis]] lies along the polar axis) is given by:
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| : <math>r = { \ell\over {1 + e \cos \varphi}}</math>
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| | |
| where ''e'' is the [[eccentricity (mathematics)|eccentricity]] and <math>\ell</math> is the [[semi-latus rectum]] (the perpendicular distance at a focus from the major axis to the curve). If {{nowrap|''e'' > 1}}, this equation defines a [[hyperbola]]; if {{nowrap|''e'' {{=}} 1}}, it defines a [[parabola]]; and if {{nowrap|''e'' < 1}}, it defines an [[ellipse]]. The special case {{nowrap|''e'' {{=}} 0}} of the latter results in a circle of radius <math>\ell</math>.
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| {{-}}
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| ==Intersection of two polar curves==
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| The graphs of two polar functions <math>r=f(\theta)</math> and <math>r=g(\theta)</math> have possible intersections in 3 cases:
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| # In the origin if the equations <math>f(\theta)=0</math> and <math>g(\theta)=0</math> have at least one solution each.
| |
| # All the points <math>[g(\theta_i),\theta_i]</math> where <math>\theta_i</math> are the solutions to the equation <math>f(\theta)=g(\theta)</math>.
| |
| # All the points <math>[g(\theta_i),\theta_i]</math> where <math>\theta_i</math> are the solutions to the equation <math>f(\theta+(2k+1)\pi)=-g(\theta)</math> where <math>k</math> is an integer.
| |
| {{-}}
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| ==Complex numbers==
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| [[Image:Imaginarynumber2.svg|thumb|right|265px|An illustration of a complex number ''z'' plotted on the complex plane]]
| |
| [[Image:Euler's formula.svg|thumb|right|265px|An illustration of a complex number plotted on the complex plane using [[Euler's formula]]]]
| |
| Every [[complex number]] can be represented as a point in the [[complex plane]], and can therefore be expressed by specifying either the point's Cartesian coordinates (called rectangular or Cartesian form) or the point's polar coordinates (called polar form). The complex number ''z'' can be represented in rectangular form as
| |
| : <math>z = x + iy\,</math>
| |
| where ''i'' is the [[imaginary unit]], or can alternatively be written in polar form (via the conversion formulae given [[#Converting between polar and Cartesian coordinates|above]]) as
| |
| :<math>z = r\cdot(\cos\varphi+i\sin\varphi)</math>
| |
| and from there as
| |
| : <math>z = re^{i\varphi} \,</math>
| |
| where ''e'' is [[e (mathematical constant)|Euler's number]], which are equivalent as shown by [[Euler's formula]].<ref>
| |
| {{Cite book| last = Smith| first = Julius O.| title = Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT)| accessdate = 2006-09-22| year = 2003| publisher = W3K Publishing| isbn = 0-9745607-0-7| chapter = Euler's Identity| chapterurl = http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html}}</ref> (Note that this formula, like all those involving exponentials of angles, assumes that the angle ''φ'' is expressed in [[radian]]s.) To convert between the rectangular and polar forms of a complex number, the conversion formulae given [[#Converting between polar and Cartesian coordinates|above]] can be used.
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| | |
| For the operations of [[multiplication]], [[division (mathematics)|division]], and [[exponentiation]] of complex numbers, it is generally much simpler to work with complex numbers expressed in polar form rather than rectangular form. From the laws of exponentiation:
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| | |
| *Multiplication:
| |
| :: <math>r_0 e^{i\varphi_0} \cdot r_1 e^{i\varphi_1}=r_0 r_1 e^{i(\varphi_0 + \varphi_1)} \,</math>
| |
| *Division:
| |
| :: <math>\frac{r_0 e^{i\varphi_0}}{r_1 e^{i\varphi_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\varphi_0 - \varphi_1)} \,</math>
| |
| *Exponentiation ([[De Moivre's formula]]):
| |
| :: <math>(re^{i\varphi})^n=r^ne^{in\varphi} \,</math>
| |
| | |
| ==Calculus==
| |
| [[Calculus]] can be applied to equations expressed in polar coordinates.<ref>{{Cite web|url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html|title=Areas Bounded by Polar Curves|author=Husch, Lawrence S.|accessdate=2006-11-25}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html|title=Tangent Lines to Polar Graphs|author=Lawrence S. Husch|accessdate=2006-11-25}}</ref>
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| | |
| The angular coordinate ''φ'' is expressed in radians throughout this section, which is the conventional choice when doing calculus.
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| ===Differential calculus===
| |
| Using {{nowrap|''x'' {{=}} ''r'' cos ''φ'' }} and {{nowrap|''y'' {{=}} ''r'' sin ''φ'' }}, one can derive a relationship between derivatives in Cartesian and polar coordinates. For a given function, ''u''(''x'',''y''), it follows that
| |
| :<math>r \frac{\partial u}{\partial r} = r \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + r \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r},</math>
| |
| :<math>\frac{\partial u}{\partial \varphi} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \varphi} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \varphi},</math>
| |
| or
| |
| :<math>r \frac{\partial u}{\partial r} = r \frac{\partial u}{\partial x} \cos \varphi + r \frac{\partial u}{\partial y} \sin \varphi = x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y},</math>
| |
| :<math>\frac{\partial u}{\partial \varphi} = - \frac{\partial u}{\partial x} r \sin \varphi + \frac{\partial u}{\partial y} r \cos \varphi = -y \frac{\partial u}{\partial x} + x \frac{\partial u}{\partial y}.</math>
| |
| | |
| Hence, we have the following formulae:
| |
| | |
| :<math>r \frac{\partial}{\partial r}= x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y} \,</math>
| |
| :<math>\frac{\partial}{\partial \varphi} = -y \frac{\partial}{\partial x} + x \frac{\partial}{\partial y} .</math>
| |
| | |
| Using the inverse coordinates transformation, an analogous reciprocal relationship can be derived between the derivatives. Given a function ''u''(''r'',''φ''), it follows that
| |
| :<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial x},</math>
| |
| :<math>\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial y},</math> | |
| or
| |
| :<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial r}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{\partial u}{\partial \varphi}\frac{y}{x^2+y^2} = \cos \varphi \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{1}{r} \sin \varphi \frac{\partial u}{\partial \varphi},</math>
| |
| :<math>\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial r}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} + \frac{\partial u}{\partial \varphi}\frac{x}{x^2+y^2} = \sin \varphi \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r} \cos \varphi \frac{\partial u}{\partial \varphi}.</math>
| |
| | |
| Hence, we have the following formulae:
| |
| :<math>\frac{\partial}{\partial x} = \cos \varphi \frac{\partial}{\partial r} - \frac{1}{r} \sin \varphi \frac{\partial}{\partial \varphi} \,</math>
| |
| :<math>\frac{\partial}{\partial y} = \sin \varphi \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r} \cos \varphi \frac{\partial}{\partial \varphi}.</math>
| |
| | |
| To find the Cartesian slope of the tangent line to a polar curve ''r''(''φ'') at any given point, the curve is first expressed as a system of [[parametric equations]].
| |
| :<math>x=r(\varphi)\cos\varphi \,</math> | |
| :<math>y=r(\varphi)\sin\varphi \,</math>
| |
| | |
| [[Derivative|Differentiating]] both equations with respect to ''φ'' yields
| |
| :<math>\frac{dx}{d\varphi}=r'(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi \,</math>
| |
| :<math>\frac{dy}{d\varphi}=r'(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi. \,</math>
| |
| | |
| Dividing the second equation by the first yields the Cartesian slope of the tangent line to the curve at the point {{nowrap|(''r''(''φ''), ''φ'')}}:
| |
| :<math>\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi}{r'(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi}.</math>
| |
| | |
| For other useful formulas including divergence, gradient, and Laplacian in polar coordinates, see [[curvilinear coordinates]].
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| | |
| ===Integral calculus (arc length)===
| |
| The arc length (length of a line segment) defined by a polar function is found by the integration over the curve ''r''(''φ''). Let ''L'' denote this length along the curve starting from points ''A'' through to point ''B'', where these points correspond to ''φ'' = ''a'' and ''φ'' = ''b'' such that {{nowrap|0 < ''b'' − ''a'' < 2π}}. The length of ''L'' is given by the following integral
| |
| | |
| :<math>L = \int_a^b \sqrt{ \left[r(\varphi)\right]^2 + \left[ {{dr(\varphi) } \over { d\varphi }} \right] ^2 } d\varphi</math>
| |
| | |
| ===Integral calculus (area)===
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| [[Image:Polar coordinates integration region.svg|thumb|The integration region ''R'' is bounded by the curve ''r''(''φ'') and the rays ''φ'' = ''a'' and ''φ'' = ''b''.]]
| |
| Let ''R'' denote the region enclosed by a curve ''r''(''φ'') and the rays ''φ'' = ''a'' and ''φ'' = ''b'', where {{nowrap|0 < ''b'' − ''a'' ≤ 2π}}. Then, the area of ''R'' is
| |
| | |
| :<math>\frac12\int_a^b \left[r(\varphi)\right]^2\, d\varphi.</math>
| |
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| [[Image:Polar coordinates integration Riemann sum.svg|thumb|The region ''R'' is approximated by ''n'' sectors (here, ''n'' = 5).]]
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| [[File:Planimeter.jpg|thumb|A [[planimeter]], which mechanically computes polar integrals]]
| |
| This result can be found as follows. First, the interval {{nowrap|[''a'', ''b'']}} is divided into ''n'' subintervals, where ''n'' is an arbitrary positive integer. Thus Δ''φ'', the length of each subinterval, is equal to {{nowrap|''b'' − ''a''}} (the total length of the interval), divided by ''n'', the number of subintervals. For each subinterval ''i'' = 1, 2, …, ''n'', let ''φ''<sub>''i''</sub> be the midpoint of the subinterval, and construct a [[circular sector|sector]] with the center at the pole, radius ''r''(''φ''<sub>''i''</sub>), central angle Δ''φ'' and arc length ''r''(''φ''<sub>''i''</sub>)Δ''φ''. The area of each constructed sector is therefore equal to
| |
| :<math>\left[r(\varphi_i)\right]^2 \pi \cdot \frac{\Delta \varphi}{2\pi} = \frac{1}{2}\left[r(\varphi_i)\right]^2 \Delta \varphi.</math>
| |
| Hence, the total area of all of the sectors is
| |
| :<math>\sum_{i=1}^n \tfrac12r(\varphi_i)^2\,\Delta\varphi.</math>
| |
| | |
| As the number of subintervals ''n'' is increased, the approximation of the area continues to improve. In the limit as {{nowrap|''n'' → ∞}}, the sum becomes the [[Riemann sum]] for the above integral.
| |
| | |
| A mechanical device that computes area integrals is the [[planimeter]], which measures the area of plane figures by tracing them out: this replicates integration in polar coordinates by adding a joint so that the 2-element [[Linkage (mechanical)|linkage]] effects [[Green's theorem]], converting the quadratic polar integral to a linear integral.
| |
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| ====Generalization====
| |
| Using [[Cartesian coordinates]], an infinitesimal area element can be calculated as ''dA'' = ''dx'' ''dy''. The [[integration by substitution#Substitution_for_multiple_variables|substitution rule for multiple integrals]] states that, when using other coordinates, the [[Jacobian matrix and determinant|Jacobian]] determinant of the coordinate conversion formula has to be considered:
| |
| : <math>J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}
| |
| =\begin{vmatrix}
| |
| \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\[8pt]
| |
| \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi}
| |
| \end{vmatrix}
| |
| =\begin{vmatrix} | |
| \cos\varphi & -r\sin\varphi \\
| |
| \sin\varphi & r\cos\varphi
| |
| \end{vmatrix}
| |
| =r\cos^2\varphi + r\sin^2\varphi = r.</math>
| |
| | |
| Hence, an area element in polar coordinates can be written as
| |
| :<math>dA = dx\,dy\ = J\,dr\,d\varphi = r\,dr\,d\varphi.</math> | |
| | |
| Now, a function that is given in polar coordinates can be integrated as follows:
| |
| :<math>\iint_R f(x,y) \, dA = \int_a^b \int_0^{r(\varphi)} f(r,\varphi)\,r\,dr\,d\varphi.</math>
| |
| Here, ''R'' is the same region as above, namely, the region enclosed by a curve ''r''(''φ'') and the rays ''φ'' = ''a'' and ''φ'' = ''b''.
| |
| | |
| The formula for the area of ''R'' mentioned above is retrieved by taking ''f'' identically equal to 1. A more surprising application of this result yields the [[Gaussian integral]]
| |
| :<math> \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt\pi.</math>
| |
| | |
| ===Vector calculus===
| |
| [[Vector calculus]] can also be applied to polar coordinates. For a planar motion, let <math>\mathbf{r}</math> be the position vector {{nowrap|(''r''cos(''φ''), ''r''sin(''φ''))}}, with ''r'' and ''φ'' depending on time ''t''.
| |
| | |
| We define the unit vectors
| |
| :<math>\hat{\mathbf{r}}=(\cos(\varphi),\sin(\varphi))</math>
| |
| in the direction of '''r''' and
| |
| :<math>\hat{\boldsymbol\varphi}=(-\sin(\varphi),\cos(\varphi)) = \hat {\mathbf{k}} \times \hat {\mathbf{r}} \ , </math> | |
| in the plane of the motion perpendicular to the radial direction, where <math>\hat{\mathbf {k}}</math> is a unit vector normal to the plane of the motion.
| |
| | |
| Then
| |
| | |
| :<math> \mathbf{r} = (x, \ y ) = r (\cos \varphi ,\ \sin \varphi) = r \hat{\mathbf{r}}\ , </math>
| |
| | |
| :<math> \dot {\mathbf r} = (\dot x, \ \dot y ) = \dot r (\cos \varphi ,\ \sin \varphi) + r \dot \varphi (-\sin \varphi ,\ \cos \varphi) = \dot r \hat {\mathbf r} + r \dot \varphi \hat {\boldsymbol{\varphi}} \ , </math>
| |
| | |
| :<math> \ddot {\mathbf r } = (\ddot x, \ \ddot y ) = \ddot r (\cos \varphi ,\ \sin \varphi) + 2\dot r \dot \varphi (-\sin \varphi ,\ \cos \varphi) + r\ddot \varphi (-\sin \varphi ,\ \cos \varphi) - r {\dot \varphi }^2 (\cos \varphi ,\ \sin \varphi)\ = </math>
| |
| ::<math> \left( \ddot r - r\dot\varphi^2 \right) \hat{\mathbf r} + \left( r\ddot\varphi + 2\dot r \dot\varphi \right) \hat{\boldsymbol{\varphi}} \ = (\ddot r - r\dot\varphi^2)\hat{\mathbf{r}} + \frac{1}{r}\; \frac{d}{dt} \left(r^2\dot\varphi\right) \hat{\boldsymbol{\varphi}}</math>
| |
| | |
| ====Centrifugal and Coriolis terms====
| |
| {{See also|Mechanics of planar particle motion|Centrifugal force (rotating reference frame)}}
| |
| The term <math>r\dot\varphi^2</math> is sometimes referred to as the ''centrifugal term'', and the term <math>2\dot r \dot\varphi</math> as the ''Coriolis term''. For example, see Shankar.<ref name=Shankar>{{Cite book|title=Principles of Quantum Mechanics|author=Ramamurti Shankar|edition=2nd|page=81|url=http://books.google.com/?id=2zypV5EbKuIC&pg=PA81&dq=Coriolis+%22polar+coordinates%22|year=1994|isbn=0-306-44790-8|publisher=Springer}}</ref> Although these equations bear some resemblance in form to the [[centrifugal force|centrifugal]] and [[Coriolis effect]]s found in rotating reference frames, nonetheless these are not the same things.<ref name=angular>In particular, the angular rate appearing in the polar coordinate expressions is that of the particle under observation, <math>\dot{\varphi}</math>, while that in classical Newtonian mechanics is the angular rate Ω of a rotating frame of reference.</ref> For example, the physical centrifugal and Coriolis forces appear only in [[non-inertial frame]]s of reference. In contrast, these terms that appear when acceleration is expressed in polar coordinates are a mathematical consequence of differentiation; these terms appear wherever polar coordinates are used. In particular, these terms appear even when polar coordinates are used in [[inertial frame]]s of reference, where the physical centrifugal and Coriolis forces never appear.
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| [[Image:Co-rotating frame.PNG|thumb|300px|Inertial frame of reference ''S'' and instantaneous non-inertial co-rotating frame of reference ''S′''. The co-rotating frame rotates at angular rate Ω equal to the rate of rotation of the particle about the origin of ''S′'' at the particular moment ''t''. Particle is located at vector position '''r'''(''t'') and unit vectors are shown in the radial direction to the particle from the origin, and also in the direction of increasing angle ''θ'' normal to the radial direction. These unit vectors need not be related to the tangent and normal to the path. Also, the radial distance ''r'' need not be related to the radius of curvature of the path.]]
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| =====Co-rotating frame=====
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| For a particle in planar motion, one approach to attaching physical significance to these terms is based on the concept of an instantaneous ''co-rotating frame of reference''.<ref name=Taylor>For the following discussion, see {{Cite book|author=John R Taylor|title=Classical Mechanics|page=§9.10, pp. 358–359|isbn=1-891389-22-X|publisher=University Science Books|year=2005}}</ref> To define a co-rotating frame, first an origin is selected from which the distance ''r''(''t'') to the particle is defined. An axis of rotation is set up that is perpendicular to the plane of motion of the particle, and passing through this origin. Then, at the selected moment ''t'', the rate of rotation of the co-rotating frame Ω is made to match the rate of rotation of the particle about this axis, ''dφ''/''dt''. Next, the terms in the acceleration in the inertial frame are related to those in the co-rotating frame. Let the location of the particle in the inertial frame be (''r(''t''), ''φ''(''t'')), and in the co-rotating frame be (''r(t), ''φ''′(t)''). Because the co-rotating frame rotates at the same rate as the particle, ''dφ''′/''dt'' = 0. The fictitious centrifugal force in the co-rotating frame is ''mrΩ<sup>2</sup>, radially outward. The velocity of the particle in the co-rotating frame also is radially outward, because ''dφ''′/''dt'' = 0. The ''fictitious Coriolis force'' therefore has a value −2''m''(''dr''/''dt'')Ω, pointed in the direction of increasing ''φ'' only. Thus, using these forces in Newton's second law we find:
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| :<math>\boldsymbol{F} + \boldsymbol{F_{cf}} + \boldsymbol{F_{Cor}} = m \ddot{\boldsymbol{r}} \ , </math>
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| where over dots represent time differentiations, and '''F''' is the net real force (as opposed to the fictitious forces). In terms of components, this vector equation becomes:
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| :<math>F_r + mr\Omega^2 = m\ddot r</math>
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| :<math>F_{\varphi}-2m\dot r \Omega = mr \ddot {\varphi} \ , </math>
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| which can be compared to the equations for the inertial frame:
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| :<math>F_r = m \ddot r -mr \dot {\varphi}^2 \ </math>
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| :<math>F_{\varphi} = mr \ddot \varphi +2m \dot r \dot {\varphi} \ . </math>
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| This comparison, plus the recognition that by the definition of the co-rotating frame at time ''t'' it has a rate of rotation Ω = ''dφ''/''dt'', shows that we can interpret the terms in the acceleration (multiplied by the mass of the particle) as found in the inertial frame as the negative of the centrifugal and Coriolis forces that would be seen in the instantaneous, non-inertial co-rotating frame.
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| For general motion of a particle (as opposed to simple circular motion), the centrifugal and Coriolis forces in a particle's frame of reference commonly are referred to the instantaneous [[osculating circle]] of its motion, not to a fixed center of polar coordinates. For more detail, see [[Centripetal force#Local coordinates|centripetal force]].
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| ==Connection to spherical and cylindrical coordinates==
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| The polar coordinate system is extended into three dimensions with two different coordinate systems, the [[cylindrical coordinate system|cylindrical]] and [[spherical coordinate system]].
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| ==Applications==
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| Polar coordinates are two-dimensional and thus they can be used only where point positions lie on a single two-dimensional plane. They are most appropriate in any context where the phenomenon being considered is inherently tied to direction and length from a center point. For instance, the examples above show how elementary polar equations suffice to define curves—such as the Archimedean spiral—whose equation in the Cartesian coordinate system would be much more intricate. Moreover, many physical systems—such as those concerned with bodies moving around a central point or with phenomena originating from a central point—are simpler and more intuitive to model using polar coordinates. The initial motivation for the introduction of the polar system was the study of [[circular motion|circular]] and [[orbital motion]].
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| ===Position and navigation===
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| Polar coordinates are used often in [[navigation]], as the destination or direction of travel can be given as an angle and distance from the object being considered. For instance, [[aircraft]] use a slightly modified version of the polar coordinates for navigation. In this system, the one generally used for any sort of navigation, the 0° ray is generally called heading 360, and the angles continue in a [[clockwise]] direction, rather than counterclockwise, as in the mathematical system. Heading 360 corresponds to [[magnetic north]], while headings 90, 180, and 270 correspond to magnetic east, south, and west, respectively.<ref>{{Cite web|url=http://www.thaitechnics.com/nav/adf.html|title=Aircraft Navigation System|accessdate=2006-11-26|first=Sumrit|last=Santhi}}</ref> Thus, an aircraft traveling 5 nautical miles due east will be traveling 5 units at heading 90 (read [[ICAO spelling alphabet|zero-niner-zero]] by [[air traffic control]]).<ref>{{Cite web|url=http://www.faa.gov/library/manuals/aircraft/airplane_handbook/media/faa-h-8083-3a-7of7.pdf|title=Emergency Procedures|format=PDF|accessdate=2007-01-15}}</ref>
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| ===Modeling===
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| Systems displaying [[radial symmetry]] provide natural settings for the polar coordinate system, with the central point acting as the pole. A prime example of this usage is the [[groundwater flow equation]] when applied to radially symmetric wells. Systems with a [[central force|radial force]] are also good candidates for the use of the polar coordinate system. These systems include [[gravitation|gravitational fields]], which obey the [[inverse-square law]], as well as systems with [[point source]]s, such as [[antenna (radio)|radio antennas]].
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| Radially asymmetric systems may also be modeled with polar coordinates. For example, a [[microphone]]'s [[Microphone#Microphone polar patterns|pickup pattern]] illustrates its proportional response to an incoming sound from a given direction, and these patterns can be represented as polar curves. The curve for a standard cardioid microphone, the most common unidirectional microphone, can be represented as {{nowrap|''r'' {{=}} 0.5 + 0.5sin(''φ'')}} at its target design frequency.<ref>{{Cite book|last=Eargle|first=John|authorlink=John M. Eargle|title=Handbook of Recording Engineering|year=2005|edition=Fourth|publisher=Springer|isbn = 0-387-28470-2}}</ref> The pattern shifts toward omnidirectionality at lower frequencies.
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| ==See also==
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| *[[Curvilinear coordinates]]
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| *[[List of canonical coordinate transformations]]
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| *[[Log-polar coordinates]]
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| ==References==
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| <div class="references-small">
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| ;General
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| *{{Cite book|last=Adams|first=Robert|coauthors=Christopher Essex|title=Calculus: a complete course|edition=Eighth|year=2013|publisher=Pearson Canada Inc.|isbn=978-0-321-78107-9}}
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| *{{Cite book|last=Anton|first=Howard|coauthors=Irl Bivens, Stephen Davis|title=Calculus|edition=Seventh|year=2002|publisher=Anton Textbooks, Inc.|isbn=0-471-38157-8}}
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| *{{Cite book|last=Finney|first=Ross|coauthors=George Thomas, Franklin Demana, Bert Waits|title=Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic|edition=Single Variable Version|date=June 1994|publisher=Addison-Wesley Publishing Co.|isbn=0-201-55478-X}}
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| ;Specific
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| </div> | |
| {{Reflist|2}}
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| ==External links==
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| {{wikibooks|Calculus|Polar Integration}}
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| * {{springer|title=Polar coordinates|id=p/p073410}}
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| *{{dmoz|Science/Math/Software/Graphing/|Graphing Software}}
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| *[http://www.random-science-tools.com/maths/coordinate-converter.htm Coordinate Converter — converts between polar, Cartesian and spherical coordinates]
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| *[http://scratch.mit.edu/projects/nevit/691690 Polar Coordinate System Dynamic Demo]
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| {{Orthogonal coordinate systems}}
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| {{DEFAULTSORT:Polar Coordinate System}}
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| [[Category:Coordinate systems]]
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| {{Link GA|es}}
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| {{Link GA|fr}}
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| {{Link GA|uk}}
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| {{Link FA|af}}
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| {{Link GA|ro}}
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