Complete lattice: Difference between revisions

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en>Leonard Huang
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In [[mathematics]], the '''limit inferior''' (also called '''infimum limit''', '''liminf''', '''inferior limit''', '''lower limit''', or '''inner limit''') and '''limit superior''' (also called '''supremum limit''', '''limit supremum''', '''limsup''', '''superior limit''', '''upper limit''', or '''outer limit''') of a [[sequence]] can be thought of as limiting (i.e., eventual and extreme) bounds on the sequence. The limit inferior and limit superior of a [[function (mathematics)|function]] can be thought of in a similar fashion (see [[limit of a function]]). The limit inferior and limit superior of a set are the [[infimum]] and [[supremum]] of the set's [[limit point]]s, respectively. In general, when there are multiple objects around which a sequence, function, or set accumulates, the inferior and superior limits extract the smallest and largest of them; the type of object and the measure of size is context-dependent, but the notion of extreme limits is invariant.
== Abercrombie Hollister Portugal  copinhos ==


[[Image:Lim sup example 5.png|right|thumb|300px|An illustration of limit superior and limit inferior. The sequence ''x''<sub>''n''</sub> is shown in blue. The two red curves approach the limit superior and limit inferior of ''x''<sub>''n''</sub>, shown as dashed black lines. In this case, the sequence ''accumulates'' around the two limits. The superior limit is the larger of the two, and the inferior limit is the smaller of the two. The inferior and superior limits agree if and only if the sequence is convergent (i.e., when there is a single limit).]]
Se você usar cartas de papel, que você pode usar os rótulos de avaliação de saúde bucal imprimíveis. No caso de você ter um assento até agora dentro da opinião suas figuras são geralmente 'devido', no futuro, para cima, você pode estar pronto 500.000 anos como os regulamentos a respeito oportunidade que eles saibam de super lotto números califórnia loteria premiado. <br><br>Determinados os tweets agora será incluído entre as manchetes agregados, embora ainda não esteja claro como eles serão selecionados. Então, se você tomar uma batida de oxigênio puro e mergulho para baixo para cerca de 20 pés há uma chance de que você vai ter a toxicidade do oxigênio que tem os seguintes sintomas. <br><br>Ele não age como uma sequela em tudo, e isso ocorre principalmente na década de 1980. Muitos mais. Congratulamo-nos com todas as contribuições para o wiki. Isso não diminui o entusiasmo de vermelho, ou mesmo o sedateness de preto, marrom e ouro, mas possuem um lugar especial dentro do armário de uma mulher. <br><br>Isto vai certamente [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=210-Abercrombie-Hollister-Portugal Abercrombie Hollister Portugal] colocar a responsabilidade em todas as suas pilares para aqueles momentos em que o contra suas terras pele onthe camadas Exemplo tendo a ver com top intensidade aeróbia seu objetivo será o de fato leapping direito, como, nesse caso, como para o chão não realizar nunca antes de exercer se no entanto fazer praticamente qualquer atividade. <br><br>Tudo isso é porque está doente e cansado de a ácidos do mundo real é rastrear de especial olhando para os ganhos. Sabemos que há uma demanda global na história da família para o tipo de dados precisos, pesquisa inovador e foco no cliente que [http://www.uninformatica.pt/img/file/breve.asp?k=100-Óculos-Oakley-Holbrook-Ducati Óculos Oakley Holbrook Ducati] somos conhecidos por fornecer. <br><br>Em poucas palavras, uma troca de visitantes do site é como qualquer simples troca de benefícios. Possui escritórios administrativos totais, e um grande ginásio desde que a capacidade para atividades maiores e mais complexas. Se estrena en televisin latinoamericana cabo POR en Cartoon [http://www.algarveclassiccars.com/backoffice/includes/juicy.asp?ad=1-Lojas-Ugg-Em-Miami Lojas Ugg Em Miami] Network Latinoamrica, el 5 de Marzo del 2009. <br><br>Plaque2 mineralizado. Simples primeiro passo é tomar medidas para proteger os bebês e as crianças mais vulneráveis ​​e se este produto químico de mamadeiras, copinhos, latas de fórmulas infantis e recipientes de comida para bebé, Feinstein escreve. Esses links fornecer as informações durante todo o expediente um pouco feio e lowtech de surgir um alerta JavaScript caixa (), mas a informação em que alerta de caixa () é útil e [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=132-Nike-Pt-Shop Nike Pt Shop] prestativo. <br><br>Deixe-me começar as coisas dizendo isto: nos últimos dois dias têm sido muito agitado. Agradecimentos muito lento, mas foi bom fgsdsdasfvgbgfnhmjhmhj bgn fhm hjmhn nfgbhmhm me moviesand mães orasm encanta la Cara de Inocente Que da pones, ESTAS muy sabrosa Chocolatito, estás muy rica..<ul>
 
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==Definition for sequences==
== Nike Cortez Online  ainda agitado ==
The limit inferior of a sequence (''x''<sub>''n''</sub>) is defined by


:<math>\liminf_{n\to\infty}x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\inf_{m\geq n}x_m\Big)</math>
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</ul>


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== Oakley Holbrook  diz Tony Stefani ==


:<math>\liminf_{n\to\infty}x_n := \sup_{n\geq 0}\,\inf_{m\geq n}x_m=\sup\{\,\inf\{\,x_m:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.</math>
Talvez ela se cansou do frame'scolouror descobriu que seus belos cílios longos não são visíveis por trás dos óculos? Acho desenvolvimento desta filha isastageinmy quando sua personagem difícil começa a revealitself. Estes passeios virtuais incluídos com galerias de imagem e vídeo e mapas interativos destacando áreas de interesse locais, viajar de informação e de ônibus escolar pontos de coleta. <br><br>Ao contrário do WordPress quadro do blog apresenta conteúdos e esperar pessoas comentários. [http://www.uninformatica.pt/img/file/breve.asp?k=85-Oakley-Holbrook Oakley Holbrook] Convencido ainda? Leia nosso guia para trancar seu histórico da web.. Para aqueles de vocês que querem assistir a um jogo de Texas Hold em linha, cuidado associado deve ser sempre testemunhado. <br><br>O quarto e último cenário local importante é a caverna. Para quase todas as novas tecnologias ou grande mudança social, é uma história de ficção científica ou livro ou série. Eu não posso explicar isso, mas eu nunca me senti assim na civilização. Escrever com confiança O dicionário Works inovador é integrado à direita para o processador de texto. <br><br>Walter Veith, da Bethlehem Steel, reúne-se Pete andKen Cosgrove para afterhours bebidas. A resposta de Newmark estamos a chamá-lo de que não manualize esta tarefa assustadora. Obtendo o melhor de novos talentos em uma organização significa identificar especialistas em redes sociais, interagindo [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=226-Camisas-Hollister-Polo Camisas Hollister Polo] com eles [http://www.algarveclassiccars.com/backoffice/includes/juicy.asp?ad=122-Uggs-Comprar-Online Uggs Comprar Online] e posicionar sua empresa com eles. <br><br>Senadores para defender a sua saúde e para votar a Lei de Segurança Química ", diz Tony Stefani, um capitão aposentado fogo que está depondo na loja hearing.can de amanhã a nossa saída da exposição a produtos químicos tóxicos retardadores de chama.. <br><br>Seios pequenos. Por exemplo, há TotalBiscuit que começou sua carreira como comentarista de jogos no youtube. Para peças de software que pode fazer proxy reverso vêm à mente: HAProxy e Nginx.. A maioria das pessoas pensam que pesquisas on-line um post_class ()>. <br><br>Tenho a certeza de isso desde que eu realmente nunca testei). A Wikipedia é um dos recursos mais grandiosos de informações sobre o planeta, criados pelas pessoas para as pessoas ao redor do mundo (ele está disponível em pelo menos 10 idiomas). Ao fazer uso de qualquer cura da acne para o seu encontro, certifique-se de não esfregar o local, bem perto. <br><br>Passo 2: Limpe com segurança. Jesus não era judeu, era um gentio. Ok assim que eu sou corajoso o suficiente para deixar os comentários desagradáveis ​​no meu blog, eu ter errado algumas vezes e ter que enfrentar que todos doesent trazer [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=48-Ray-Ban-Óculos-De-Grau Ray Ban Óculos De Grau] para fora o melhor de mim.<ul>
 
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</ul>


Similarly, the limit superior of (''x''<sub>''n''</sub>) is defined by
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:<math>\limsup_{n\to\infty}x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\sup_{m\geq n}x_m\Big)</math>
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:<math>\limsup_{n\to\infty}x_n := \inf_{n\geq 0}\,\sup_{m\geq n}x_m=\inf\{\,\sup\{\,x_m:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.</math>
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Alternatively, the notations <math>\varliminf_{n\to\infty}x_n:=\liminf_{n\to\infty}x_n</math> and <math>\varlimsup_{n\to\infty}x_n:=\limsup_{n\to\infty}x_n</math> are sometimes used.
  <li>[http://www.xuelianmeng.net/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=499435&fromuid=205625 http://www.xuelianmeng.net/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=499435&fromuid=205625]</li>
 
 
If the terms in the sequence are real numbers, the limit superior and limit inferior always exist, as real numbers or ±∞ (i.e., on the [[extended real number line]]). More generally, these definitions make sense in any [[partially ordered set]], provided the [[supremum|suprema]] and [[infimum|infima]] exist, such as in a [[complete lattice]].
  <li>[http://bbs.skg.com/home.php?mod=space&uid=28240 http://bbs.skg.com/home.php?mod=space&uid=28240]</li>
 
 
Whenever the ordinary limit exists, the limit inferior and limit superior are both equal to it; therefore, each can be considered a generalization of the ordinary limit which is primarily interesting in cases where the limit does ''not'' exist. Whenever lim inf ''x''<sub>''n''</sub> and lim sup ''x''<sub>''n''</sub> both exist, we have
  <li>[http://elgranbazar.com.mx/index.php?page=item&id=36403 http://elgranbazar.com.mx/index.php?page=item&id=36403]</li>
 
 
:<math>\liminf_{n\to\infty}x_n\leq\limsup_{n\to\infty}x_n.</math>
  <li>[http://yuesuoping.faceplusplus.com/forum.php?mod=viewthread&tid=166982&fromuid=53942 http://yuesuoping.faceplusplus.com/forum.php?mod=viewthread&tid=166982&fromuid=53942]</li>
 
 
Limits inferior/superior are related to [[big-O notation]] in that they bound a sequence only "in the limit"; the sequence may exceed the bound. However, with big-O notation the sequence can only exceed the bound in a finite prefix of the sequence, whereas the limit superior of a sequence like e<sup>-''n''</sup> may actually be less than all elements of the sequence. The only promise made is that some tail of the sequence can be bounded by the limit superior (inferior) plus (minus) an arbitrarily small positive constant.
  <li>[http://www.babalex.org/spip.php?article532/ http://www.babalex.org/spip.php?article532/]</li>
 
 
The limit superior and limit inferior of a sequence are a special case of those of a function (see below).
</ul>
 
== The case of sequences of real numbers ==
 
In [[mathematical analysis]], limit superior and limit inferior are important tools for studying sequences of [[real number]]s. Since the supremum and infimum of an unbounded set of real numbers may not exist (the reals are not a complete lattice), it is convenient to consider sequences in the [[affinely extended real number system]]: we add the positive and negative infinities to the real line to give the complete [[totally ordered set]] [-∞,∞], which is a complete lattice.
 
=== Interpretation ===
 
Consider a sequence <math>(x_n)</math> consisting of real numbers. Assume that the limit superior and limit inferior are real numbers (so, not infinite).
* The limit superior of <math>x_n</math> is the smallest real number <math>b</math> such that, for any positive real number <math>\varepsilon</math>, there exists a [[natural number]] <math>N</math> such that <math>x_n<b+\varepsilon</math> for all <math>n>N</math>. In other words, any number larger than the limit superior is an eventual upper bound for the sequence. Only a finite number of elements of the sequence are greater than <math>b+\varepsilon</math>.
* The limit inferior of <math>x_n</math> is the largest real number <math>b</math> that, for any positive real number <math>\varepsilon</math>, there exists a natural number <math>N</math> such that <math>x_n>b-\varepsilon</math> for all <math>n>N</math>. In other words, any number below the limit inferior is an eventual lower bound for the sequence. Only a finite number of elements of the sequence are less than <math>b-\varepsilon</math>.
 
=== Properties ===
 
The relationship of limit inferior and limit superior for sequences of real numbers is as follows
 
:<math>-\liminf_{n\to\infty} x_n = \limsup_{n\to\infty} (-x_n).</math>
 
As mentioned earlier, it is convenient to extend <math>\mathbb{R}</math> to [−∞,∞]. Then, (''x''<sub>''n''</sub>) in [−∞,∞] [[limit of a sequence|converges]] [[if and only if]]
 
:<math>\liminf_{n\to\infty} x_n = \limsup_{n\to\infty} x_n,</math>
 
in which case <math>\lim_{n\to\infty} x_n</math> is equal to their common value. (Note that when working just in <math>\mathbb{R}</math>, convergence to −∞ or ∞ would not be considered as convergence.) Since the limit inferior is at most the limit superior, the condition
 
:<math>\liminf_{n\to\infty} x_n = \infty</math>
 
implies that
 
:<math>\lim_{n\to\infty} x_n = \infty,</math>
 
and the condition
 
:<math>\limsup_{n\to\infty} x_n = - \infty</math>
 
implies that
 
:<math>\lim_{n\to\infty} x_n = - \infty.</math>
 
If
 
:<math>I = \liminf_{n\to\infty} x_n</math>
 
and
 
:<math>S = \limsup_{n\to\infty} x_n,</math>
 
then the interval [''I'', ''S''] need not contain any of the numbers ''x''<sub>''n''</sub>, but every slight enlargement [''I''&nbsp;&minus;&nbsp;ε, ''S''&nbsp;+&nbsp;ε] (for arbitrarily small ε > 0) will contain ''x''<sub>''n''</sub> for all but finitely many indices ''n''. In fact, the interval [''I'', ''S''] is the smallest closed interval with this property. We can formalize this property like this. If there exists a <math>\Lambda\in\mathbb{R}</math> so that
 
:<math>\Lambda<\limsup_{n\to\infty}x_n</math>
 
then there exists a [[subsequence]] <math>x_{k_n}</math> of <math>x_n</math> for which we have that
 
:<math>x_{k_n}>\Lambda\quad \forall n.</math>
 
In the same way, an analogous property holds for the limit inferior: if
 
:<math>\liminf_{n\to\infty}x_n<\lambda</math>
 
then there exists a subsequence <math>x_{k_n}</math> of <math>x_n</math> for which we have that
 
:<math>x_{k_n}<\lambda\quad\forall n.</math>
 
On the other hand we have that if
 
:<math>\limsup_{n\to\infty}x_n<\Lambda</math>
 
there exists a <math>n_0\in\mathbb{N}</math> so that
 
:<math>x_n<\Lambda\quad\forall n\geq n_0.</math>
 
Similarly, if there exists a <math>\lambda\in \mathbb{R}</math> so that
 
:<math>\lambda<\liminf_{n\to\infty}x_n</math>
 
there exists a <math>n_0\in\mathbb{N}</math> so that
 
:<math>x_n>\lambda\quad\forall n\geq n_0.</math>
 
To recapitulate:
 
* If <math>\Lambda</math> is greater than the limit superior, there are at most finitely many <math>x_n</math> greater than <math>\Lambda</math>; if it is less, there are infinitely many.
* If <math>\lambda</math> is less than the limit inferior, there are at most finitely many <math>x_n</math> less than <math>\lambda</math>; if it is greater, there are infinitely many.
 
In general we have that
 
:<math>\inf_n x_n \leq \liminf_{n \to \infty} x_n \leq \limsup_{n \to \infty} x_n \leq \sup_n x_n</math>
 
The liminf and limsup of a sequence are respectively the smallest and greatest [[Limit point|cluster points]].
 
* For any two sequences of real numbers <math>\{a_n\}, \{b_n\}</math>, the limit superior satisfies [[subadditivity]] whenever the right side of the inequality is defined (i.e., not <math>\infty - \infty</math> or <math>-\infty + \infty</math>):
:<math>\limsup_{n \to \infty} (a_n + b_n) \leq \limsup_{n \to \infty}(a_n) + \limsup_{n \to \infty}(b_n).</math>.
 
Analogously, the limit inferior satisfies [[superadditivity]]:
:<math>\liminf_{n \to \infty} (a_n + b_n) \geq \liminf_{n \to \infty}(a_n) + \liminf_{n \to \infty}(b_n).</math>
 
In the particular case that one of the sequences actually converges, say <math>a_n \to a </math>, then the inequalities above become equalities (with <math>\limsup_{n \to \infty}a_n</math> or <math>\liminf_{n \to \infty}a_n</math> being replaced by <math>a</math>).
 
==== Examples ====
 
* As an example, consider the sequence given by ''x''<sub>''n''</sub> = [[trigonometric function|sin]](''n''). Using the fact that [[pi]] is [[irrational number|irrational]], one can show that
:<math>\liminf_{n\to\infty} x_n = -1</math>
 
and
 
:<math>\limsup_{n\to\infty} x_n = +1.</math>
 
(This is because the sequence {1,2,3,...} is [[Equidistributed mod 1|equidistributed mod 2&pi;]], a consequence of the [[Equidistribution theorem]].)
 
* An example from [[number theory]] is
 
:<math>\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n),</math>
 
where ''p''<sub>''n''</sub> is the ''n''-th [[prime number]].
The value of this limit inferior is conjectured to be 2 - this is the [[twin prime conjecture]] - but has so far only been proven less than 70 million.<ref>{{cite web|last=Zhang|first=Yitang|title=Bounded gaps between primes|url=http://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/YitangZhang.pdf|work=Annals of Mathematics|publisher=Princeton University|accessdate=28 May 2013}}</ref> The corresponding limit superior is <math>+\infty</math>, because there are arbitrary [[Gaps between prime numbers|gaps between consecutive primes]].
 
== Real-valued functions ==
 
Assume that a function is defined from a subset of the real numbers to the real numbers. As in the case for sequences, the limit inferior and limit superior are always well-defined if we allow the values +∞ and -∞; in fact, if both agree then the limit exists and is equal to their common value (again possibly including the infinities). For example, given ''f''(''x'') = sin(1/''x''), we have lim sup<sub>''x''→''0''</sub> ''f''(''x'') = 1 and lim inf<sub>''x''→''0''</sub> ''f''(''x'') = -1. The difference between the two is a rough measure of how "wildly" the function oscillates, and in observation of this fact, it is called the [[Oscillation (mathematics)|oscillation]] of ''f'' at ''a''. This idea of oscillation is sufficient to, for example, characterize [[Riemann integral|Riemann-integrable]] functions as  continuous except on a set of [[measure zero]] [http://tt.lamf.uwindsor.ca/314folder/analbookfiles/RintexistLebesgue.pdf].  Note that points of nonzero oscillation (i.e., points at which ''f'' is "[[pathological (mathematics)|badly behaved]]") are discontinuities which, unless they make up a set of zero, are confined to a negligible set.
 
== Functions from metric spaces to metric spaces ==
 
There is a notion of lim sup and lim inf for functions defined on a [[metric space]] whose relationship to limits of real-valued functions mirrors that of the relation between the lim sup, lim inf, and the limit of a real sequence. Take metric spaces ''X'' and ''Y'', a subspace ''E'' contained in ''X'', and a function ''f''&nbsp;:&nbsp;''E''&nbsp;→&nbsp;''Y''.  The space ''Y'' should also be an [[Totally ordered set|ordered set]], so that the notions of supremum and infimum make sense.  Define, for any [[limit point]] ''a'' of ''E'',
 
:<math>\limsup_{x \to a} f(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} ( \sup \{ f(x) : x \in E \cap B(a;\varepsilon) - \{a\} \} ) </math>
and
 
:<math>\liminf_{x \to a} f(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} ( \inf \{ f(x) : x \in E \cap B(a;\varepsilon) - \{a\} \} ) </math>
 
where ''B''(''a'';ε) denotes the [[Ball (mathematics)|metric ball]] of radius ε about ''a''.
 
Note that as ε shrinks, the supremum of the function over the ball is monotone decreasing, so we have
 
:<math>\limsup_{x\to a} f(x)  = \inf_{\varepsilon > 0} (\sup \{ f(x) : x \in E \cap B(a;\varepsilon) - \{a\} \}) </math>
and similarly
:<math>\liminf_{x\to a} f(x) = \sup_{\varepsilon > 0}(\inf \{ f(x) : x \in E \cap B(a;\varepsilon) - \{a\} \}).</math>
 
This finally motivates the definitions for general topological spaces. Take ''X'', ''Y'', ''E'' and ''a'' as before, but now let ''X'' and ''Y'' both be topological spaces. In this case, we replace metric balls with neighborhoods:
 
:<math>\limsup_{x\to a} f(x) = \inf \{ \sup \{ f(x) : x \in E \cap U - \{a\} \} :  U\ \mathrm{open}, a \in U, E \cap U - \{a\} \neq \emptyset  \}</math>
:<math>\liminf_{x\to a} f(x) = \sup \{ \inf \{ f(x) : x \in E \cap U - \{a\} \} :  U\ \mathrm{open}, a \in U, E \cap U - \{a\} \neq \emptyset  \}</math>
 
(there is a way to write the formula using a ''lim'' using nets and the neighborhood filter). This version is often useful in discussions of [[semi-continuity]] which crop up in analysis quite often. An interesting note is that this version subsumes the sequential version by considering sequences as functions from the natural numbers as a topological subspace of the extended real line, into the space (the closure of '''N''' in [-∞, ∞] is '''N''' ∪ {∞}.)
 
== Sequences of sets ==
 
The [[power set]] ℘(''X'') of a [[Set (mathematics)|set]] ''X'' is a [[complete lattice]] that is ordered by [[inclusion (set theory)|set inclusion]], and so the supremum and infimum of any set of subsets (in terms of set inclusion) always exist. In particular, every subset ''Y'' of ''X'' is bounded above by ''X'' and below by the empty set ∅ because ∅ ⊆ ''Y'' ⊆ ''X''. Hence, it is possible (and sometimes useful) to consider superior and inferior limits of sequences in ℘(''X'') (i.e., sequences of subsets of ''X'').
 
There are two common ways to define the limit of sequences of sets. In both cases:
* The sequence ''accumulates'' around sets of points rather than single points themselves. That is, because each element of the sequence is itself a set, there exist accumulation ''sets'' that are somehow nearby to infinitely many elements of the sequence.
* The supremum/superior/outer limit is a set that [[join (mathematics)|join]]s these accumulation sets together. That is, it is the union of all of the accumulation sets. When ordering by set inclusion, the supremum limit is the least upper bound on the set of accumulation points because it ''contains'' each of them. Hence, it is the supremum of the limit points.
* The infimum/inferior/inner limit is a set where all of these accumulation sets [[meet (mathematics)|meet]]. That is, it is the intersection of all of the accumulation sets. When ordering by set inclusion, the infimum limit is the greatest lower bound on the set of accumulation points because it is ''contained in'' each of them. Hence, it is the infimum of the limit points.
* Because ordering is by set inclusion, then the outer limit will always contain the inner limit (i.e., lim&nbsp;inf&nbsp;''X''<sub>''n''</sub> ⊆ lim&nbsp;sup&nbsp;''X''<sub>''n''</sub>). Hence, when considering the convergence of a sequence of sets, it generally suffices to consider the convergence of the outer limit of that sequence.
The difference between the two definitions involves the [[topology]] (i.e., how to quantify separation) is defined. In fact, the second definition is identical to the first when the [[discrete metric]] is used to induce the topology on ''X''.
 
===General set convergence===
 
In this case, a sequence of sets approaches a limiting set when the elements of each member of the sequence approach the elements of the limiting set. In particular, if {''X''<sub>''n''</sub>} is a sequence of subsets of ''X'', then:
* lim&nbsp;sup&nbsp;''X''<sub>''n''</sub>, which is also called the '''outer limit''', consists of those elements which are limits of points in ''X''<sub>''n''</sub> taken from [[countably infinite|(countably) infinite]]ly many ''n''. That is, ''x'' ∈ lim&nbsp;sup&nbsp;''X''<sub>''n''</sub> if and only if there exists a sequence of points ''x''<sub>''k''</sub> and a ''subsequence'' {''X''<sub>''n''<sub>''k''</sub></sub>} of {''X''<sub>''n''</sub>} such that ''x''<sub>''k''</sub> ∈ ''X''<sub>''n''<sub>''k''</sub></sub> and ''x''<sub>''k''</sub> → ''x'' as ''k'' → ∞.
* lim&nbsp;inf&nbsp;''X''<sub>''n''</sub>, which is also called the '''inner limit''', consists of those elements which are limits of points in ''X''<sub>''n''</sub> for all but finitely many ''n'' (i.e., [[cofinitely]] many ''n''). That is, ''x'' ∈ lim&nbsp;inf&nbsp;''X''<sub>''n''</sub> if and only if there exists a ''sequence'' of points {''x''<sub>''k''</sub>} such that ''x''<sub>''k''</sub> ∈ ''X''<sub>''k''</sub> and ''x''<sub>''k''</sub> → ''x'' as ''k'' → ∞.
The limit lim&nbsp;''X''<sub>''n''</sub> exists if and only if lim&nbsp;inf ''X''<sub>''n''</sub> and lim&nbsp;sup ''X''<sub>''n''</sub> agree, in which case lim&nbsp;''X''<sub>''n''</sub> = lim&nbsp;sup ''X''<sub>''n''</sub> = lim&nbsp;inf ''X''<sub>''n''</sub>.<ref name="GSTeel09">{{Cite journal
    |last1=Goebel
    |first1=Rafal
    |last2=Sanfelice
    |first2=Ricardo G.
    |last3=Teel
    |first3=Andrew R.
    |title=Hybrid dynamical systems
    |journal=IEEE Control Systems Magazine
    |year=2009
    |volume=29
    |issue=2
    |pages=28&ndash;93
    |doi=10.1109/MCS.2008.931718}}</ref>
 
===Special case: discrete metric===
 
In this case, which is frequently used in [[measure theory]], a sequence of sets approaches a limiting set when the limiting set includes elements from each of the members of the sequence. That is, this case specializes the first case when the topology on set ''X'' is induced from the [[discrete metric]]. For points ''x'' ∈ ''X'' and ''y'' ∈ ''X'', the discrete metric is defined by
:<math>d(x,y) := \begin{cases} 0 &\text{if } x = y,\\ 1 &\text{if } x \neq y. \end{cases}</math>
So a sequence of points {''x''<sub>''k''</sub>} converges to point ''x'' ∈ ''X'' if and only if ''x''<sub>''k''</sub> = ''x'' for all but finitely many ''k''. The following definition is the result of applying this metric to the general definition above.
 
If {''X''<sub>''n''</sub>} is a sequence of subsets of ''X'', then:
* lim&nbsp;sup&nbsp;''X''<sub>''n''</sub> consists of elements of ''X'' which belong to ''X''<sub>''n''</sub> for '''infinitely many''' ''n'' (see [[countably infinite]]). That is, ''x'' ∈ lim&nbsp;sup&nbsp;''X''<sub>''n''</sub> if and only if there exists a subsequence {''X''<sub>''n''<sub>''k''</sub></sub>} of {''X''<sub>''n''</sub>} such that ''x'' ∈ ''X''<sub>''n''<sub>''k''</sub></sub> for all ''k''.
* lim&nbsp;inf&nbsp;''X''<sub>''n''</sub> consists of elements of ''X'' which belong to ''X''<sub>''n''</sub> for '''all but finitely many''' ''n'' (i.e., for [[cofinitely]] many ''n''). That is, ''x'' ∈ lim&nbsp;inf&nbsp;''X''<sub>''n''</sub> if and only if there exists some ''m''>0 such that ''x'' ∈ ''X''<sub>''n''</sub> for all ''n''>''m''.
The limit lim&nbsp;''X'' exists if and only if lim&nbsp;inf ''X'' and lim&nbsp;sup ''X'' agree, in which case lim&nbsp;''X'' = lim&nbsp;sup ''X'' = lim&nbsp;inf ''X''.<ref name="Halmos50">{{Cite book
|title=Measure Theory
|last=Halmos
|first=Paul R.
|year=1950
|location=Princeton, NJ
|publisher=D. Van Nostrand Company, Inc.}}</ref> This definition of the inferior and superior limits is relatively strong because it requires that the elements of the extreme limits also be elements of each of the sets of the sequence.
 
Using the standard parlance of set theory, consider the infimum of a sequence of sets. The infimum is a greatest lower ''bound'' or [[meet (mathematics)|meet]] of a set. In the case of a sequence of sets, the sequence constituents meet at a set that is somehow smaller than each constituent set. [[inclusion (set theory)|Set inclusion]] provides an ordering that allows set intersection to generate a greatest lower bound ∩''X''<sub>''n''</sub> of sets in the sequence {''X''<sub>''n''</sub>}. Similarly, the supremum, which is the least upper bound or [[join (mathematics)|join]], of a sequence of sets is the union ∪''X''<sub>''n''</sub> of sets in sequence {''X''<sub>''n''</sub>}.
In this context, the inner limit lim&nbsp;inf&nbsp;''X''<sub>''n''</sub> is the largest meeting of tails of the sequence, and the outer limit lim&nbsp;sup&nbsp;''X''<sub>''n''</sub> is the smallest joining of tails of the sequence.
 
*Let ''I''<sub>''n''</sub> be the meet of the ''n''<sup>th</sup> tail of the sequence. That is,
::<math>I_n := \inf \{ X_m : m \in \{n, n+1, n+2, \ldots\}\} = \bigcap_{m=n}^{\infty} X_m = X_n \cap X_{n+1} \cap X_{n+2} \cap \cdots.</math>
:Then ''I''<sub>''k''</sub> &sube; ''I''<sub>''k''+1</sub> &sube; ''I''<sub>''k''+2</sub> because ''I''<sub>''k''+1</sub> is the intersection of fewer sets than ''I''<sub>''k''</sub>. In particular, the sequence {''I''<sub>''k''</sub>} is non-decreasing. So the inner/inferior limit is the least upper bound on this sequence of '''meets of tails'''. In particular,
::<math>\begin{align}
\liminf_{n\to\infty}X_n &:= \lim_{n\to\infty} \inf\{X_m: m \in \{n, n+1, \ldots\}\}\\
&= \sup\{\inf\{X_m: m \in \{n, n+1, \ldots\}\}: n \in \{1,2,\dots\}\}\\
&= {\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}X_m\right).
\end{align}</math>
:So the inferior limit acts like a version of the standard infimum that is unaffected by the set of elements that occur only finitely many times. That is, the infimum limit is a subset (i.e., a lower bound) for all but finitely many elements.
 
*Similarly, let ''J''<sub>''m''</sub> be the join of the ''m''<sup>th</sup> tail of the sequence. That is,
::<math>J_m := \sup \{ X_m : m \in \{n, n+1, n+2, \ldots\}\} = \bigcup_{m=n}^{\infty} X_m = X_n \cup X_{n+1} \cup X_{n+2} \cup \cdots.</math>
:Then ''J''<sub>''k''</sub> &supe; ''J''<sub>''k''+1</sub> &supe; ''J''<sub>''k''+2</sub> because ''J''<sub>''k''+1</sub> is the union of fewer sets than ''J''<sub>''k''</sub>. In particular, the sequence {''J''<sub>''k''</sub>} is non-increasing. So the outer/superior limit is the greatest lower bound on this sequence of '''joins of tails'''. In particular,
::<math>\begin{align}
\limsup_{n\to\infty}X_n &:= \lim_{n\to\infty} \sup\{X_m: m \in \{n, n+1, \ldots\}\}\\
&= \inf\{\sup\{X_m: m \in \{n, n+1, \ldots\}\}: n \in \{1,2,\dots\}\}\\
&= {\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}X_m\right).
\end{align}</math>
:So the superior limit acts like a version of the standard supremum that is unaffected by the set of elements that occur only finitely many times. That is, the supremum limit is a superset (i.e., an upper bound) for all but finitely many elements.
 
The limit lim&nbsp;''X''<sub>''n''</sub> exists if and only if lim&nbsp;sup&nbsp;''X''<sub>''n''</sub>=lim&nbsp;inf&nbsp;''X''<sub>''n''</sub>, and in that case, lim&nbsp;''X''<sub>''n''</sub>=lim&nbsp;inf&nbsp;''X''<sub>''n''</sub>=lim&nbsp;sup&nbsp;''X''<sub>''n''</sub>. In this sense, the sequence has a limit so long as all but finitely many of its elements are equal to the limit.
 
===Examples===
 
The following are several set convergence examples. They have been broken into sections with respect to the metric used to induce the topology on set ''X''.
 
; Using the [[discrete metric]]
 
* The [[Borel–Cantelli lemma]] is an example application of these constructs.
 
; Using either the discrete metric or the [[Euclidean metric]]
 
* Consider the set ''X'' = {0,1} and the sequence of subsets:
::<math>\{X_n\} = \{ \{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots \}.</math>
:The "odd" and "even" elements of this sequence form two subsequences, <nowiki>{{</nowiki>0},{0},{0},...} and <nowiki>{{</nowiki>1},{1},{1},...}, which have limit points 0 and 1, respectively, and so the outer or superior limit is the set {0,1} of these two points. However, there are no limit points that can be taken from the {''X''<sub>''n''</sub>} sequence as a whole, and so the interior or inferior limit is the empty set {}. That is,
:* lim&nbsp;sup&nbsp;''X''<sub>''n''</sub> = {0,1}
:* lim&nbsp;inf&nbsp;''X''<sub>''n''</sub> = {}
:However, for {''Y''<sub>''n''</sub>} = <nowiki>{{</nowiki>0},{0},{0},...} and {''Z''<sub>''n''</sub>} = <nowiki>{{</nowiki>1},{1},{1},...}:
:* lim&nbsp;sup&nbsp;''Y''<sub>''n''</sub> = lim&nbsp;inf&nbsp;''Y''<sub>''n''</sub> = lim&nbsp;''Y''<sub>''n''</sub> = {0}
:* lim&nbsp;sup&nbsp;''Z''<sub>''n''</sub> = lim&nbsp;inf&nbsp;''Z''<sub>''n''</sub> = lim&nbsp;''Z''<sub>''n''</sub> = {1}
 
* Consider the set ''X'' = {50, 20, -100, -25, 0, 1} and the sequence of subsets:
::<math>\{X_n\} = \{ \{50\}, \{20\}, \{-100\}, \{-25\}, \{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots \}.</math>
:As in the previous two examples,
:* lim&nbsp;sup&nbsp;''X''<sub>''n''</sub> = {0,1}
:* lim&nbsp;inf&nbsp;''X''<sub>''n''</sub> = {}
:That is, the four elements that do not match the pattern do not affect the lim&nbsp;inf and lim&nbsp;sup because there are only finitely many of them. In fact, these elements could be placed anywhere in the sequence (e.g., at positions 100, 150, 275, and 55000). So long as the ''tails'' of the sequence are maintained, the outer and inner limits will be unchanged. The related concepts of ''essential'' inner and outer limits, which use the [[essential supremum]] and [[essential infimum]], provide an important modification that "squashes" countably many (rather than just finitely many) interstitial additions.
 
; Using the Euclidean metric
 
* Consider the sequence of subsets of [[rational number]]s:
::<math>\{X_n\} = \{ \{0\},\{1\},\{1/2\},\{1/2\},\{2/3\},\{1/3\}, \{3/4\}, \{1/4\}, \dots \}.</math>
:The "odd" and "even" elements of this sequence form two subsequences, <nowiki>{{</nowiki>0},{1/2},{2/3},{3/4},...} and <nowiki>{{</nowiki>1},{1/2},{1/3},{1/4},...}, which have limit points 1 and 0, respectively, and so the outer or superior limit is the set {0,1} of these two points. However, there are no limit points that can be taken from the {''X''<sub>''n''</sub>} sequence as a whole, and so the interior or inferior limit is the empty set {}. So, as in the previous example,
:* lim&nbsp;sup&nbsp;''X''<sub>''n''</sub> = {0,1}
:* lim&nbsp;inf&nbsp;''X''<sub>''n''</sub> = {}
:However, for {''Y''<sub>''n''</sub>} = <nowiki>{{</nowiki>0},{1/2},{2/3},{3/4},...} and {''Z''<sub>''n''</sub>} = <nowiki>{{</nowiki>1},{1/2},{1/3},{1/4},...}:
:* lim&nbsp;sup&nbsp;''Y''<sub>''n''</sub> = lim&nbsp;inf&nbsp;''Y''<sub>''n''</sub> = lim&nbsp;''Y''<sub>''n''</sub> = {1}
:* lim&nbsp;sup&nbsp;''Z''<sub>''n''</sub> = lim&nbsp;inf&nbsp;''Z''<sub>''n''</sub> = lim&nbsp;''Z''<sub>''n''</sub> = {0}
:In each of these four cases, the elements of the limiting sets are not elements of any of the sets from the original sequence.
 
* The Ω limit (i.e., [[limit set]]) of a solution to a [[dynamic system]] is the outer limit of solution trajectories of the system.<ref name="GSTeel09"/>{{rp|50&ndash;51}} Because trajectories become closer and closer to this limit set, the tails of these trajectories ''converge'' to the limit set.
:* For example, an LTI system that is the [[cascade connection]] of several [[stability theory|stable]] systems with an undamped second-order [[LTI system]] (i.e., zero [[damping ratio]]) will oscillate endlessly after being perturbed (e.g., an ideal bell after being struck). Hence, if the position and velocity of this system are plotted against each other, trajectories will approach a circle in the [[state space (controls)|state space]]. This circle, which is the &Omega; limit set of the system, is the outer limit of solution trajectories of the system. The circle represents the locus of a trajectory corresponding to a pure sinusoidal tone output; that is, the system output approaches/approximates a pure tone.
 
==Generalized definitions==
 
The above definitions are inadequate for many technical applications. In fact, the definitions above are specializations of the following definitions.
 
===Definition for a set===
 
The limit inferior of a set ''X'' ⊆ ''Y'' is the [[infimum]] of all of the [[limit point]]s of the set. That is,
:<math>\liminf X := \inf \{ x \in Y : x \text{ is a limit point of } X \}\,</math>
Similarly, the limit superior of a set ''X'' is the [[supremum]] of all of the limit points of the set. That is,
:<math>\limsup X := \sup \{ x \in Y : x \text{ is a limit point of } X \}\,</math>
Note that the set ''X'' needs to be defined as a subset of a [[partially ordered set]] ''Y'' that is also a [[topological space]] in order for these definitions to make sense. Moreover, it has to be a [[complete lattice]] so that the suprema and infima always exist. In that case every set has a limit superior and a limit inferior. Also note that the limit inferior and the limit superior of a set do not have to be elements of the set.
 
===Definition for filter bases===
 
Take a [[topological space]] ''X'' and a [[filter base]] ''B'' in that space. The set of all [[cluster point]]s for that filter base is given by
:<math>\bigcap \{ \overline{B}_0 : B_0 \in B \}</math>
where <math>\overline{B}_0</math> is the [[closure (topology)|closure]] of <math>B_0</math>. This is clearly a [[closed set]] and is similar to the set of limit points of a set. Assume that ''X'' is also a [[partially ordered set]]. The limit superior of the filter base ''B'' is defined as
:<math>\limsup B := \sup \bigcap \{ \overline{B}_0 : B_0 \in B \}</math>
when that supremum exists. When ''X'' has a [[total order]], is a [[complete lattice]] and has the [[order topology]],
:<math>\limsup B = \inf\{ \sup B_0 : B_0 \in B \}</math>
Proof:
Similarly, the limit inferior of the filter base ''B'' is defined as
:<math>\liminf B := \inf \bigcap \{ \overline{B}_0 : B_0 \in B \}</math>
when that infimum exists; if ''X'' is totally ordered, is a complete lattice, and has the order topology, then
:<math>\liminf B = \sup\{ \inf B_0 : B_0 \in B \}</math>
 
If the limit inferior and limit superior agree, then there must be exactly one cluster point and the limit of the filter base is equal to this unique cluster point.
 
====Specialization for sequences and nets====
Note that filter bases are generalizations of [[net (mathematics)|nets]], which are generalizations of [[sequence]]s. Therefore, these definitions give the limit inferior and [[Net_(mathematics)#Limit_superior|limit superior]] of any net (and thus any sequence) as well. For example, take topological space <math>X</math> and the net <math>(x_\alpha)_{\alpha \in A}</math>, where <math>(A,{\leq})</math> is a [[directed set]] and <math>x_\alpha \in X</math> for all <math>\alpha \in A</math>. The filter base ("of tails") generated by this net is <math>B</math> defined by
:<math>B := \{ \{ x_\alpha : \alpha_0 \leq \alpha \} : \alpha_0 \in A \}.\,</math>
Therefore, the limit inferior and limit superior of the net are equal to the limit superior and limit inferior of <math>B</math> respectively. Similarly, for topological space <math>X</math>, take the sequence <math>(x_n)</math> where <math>x_n \in X</math> for any <math>n \in \mathbb{N}</math> with <math>\mathbb{N}</math> being the set of [[natural number]]s. The filter base ("of tails") generated by this sequence is <math>C</math> defined by
:<math>C := \{ \{ x_n : n_0 \leq n \} : n_0 \in \mathbb{N} \}.\,</math>
Therefore, the limit inferior and limit superior of the sequence are equal to the limit superior and limit inferior of <math>C</math> respectively.
 
==See also==
* [[Essential supremum and essential infimum]]
* [[Envelope (waves)]]
 
==References==
; In-line references
{{reflist}}
 
; General references
{{refbegin}}
*{{cite book
| last      = Amann
| first      = H.
| coauthors  = Escher, Joachim
| title      = Analysis
| publisher  = Basel; Boston: Birkhäuser
| year      = 2005
| pages      =
| isbn      = 0-8176-7153-6
}}
 
*{{cite book
| last      = González
| first      = Mario O
| title      = Classical complex analysis
| publisher  = New York: M. Dekker
| year      = 1991
| pages      =
| isbn      = 0-8247-8415-4
}}
{{refend}}
 
==External links==
* {{springer|title=Upper and lower limits|id=p/u095830}}
 
[[Category:Limits (mathematics)]]

Latest revision as of 17:46, 25 December 2014

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