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{{about|cubic equations in one variable|cubic equations in ''two'' variables|cubic plane curve}}
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[[Image:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|210px|Graph of a cubic function with 3 [[real number|real]] [[root of a function|roots]] (where the curve crosses the horizontal axis&mdash;where ''y'' = 0). It has 2 [[critical point (mathematics)|critical points]]. Here the function is ''&fnof;''(''x'')&nbsp;=&nbsp;(''x''<sup>3</sup>&nbsp;+&nbsp;3''x''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;6''x''&nbsp;&minus;&nbsp;8)&nbsp;/&nbsp;4.]]
Leider ist es progressiv. Bei DHS ist Innovation Kronjuwel unserer Small Business Innovative Research-Programm. Zufällige Kommentar über Essen, Wein, und Restaurants in und um die Richmond, Virginia Bereich und darüber hinaus. 'benötigt: Briefe veranschaulicht, extreme Härten unter I 601', dachte ich, die Schaffung eines neuen Thread wäre leichter zu lesen Das folgende Schreiben Ehe paar Referenz Brief für AOS Interview in Adjustment of Status Urteile gepostet Einreichung und.. <br><br>Das sind die Situationen, die uns nachts wach halten. Wählen Sie die hohen Lebensmittelgüter, die dehydriert sind sie leicht und kompakt sind. Dies ist, wo ich mich an einem bestimmten Stand gegen Gunner-Mate First Class Carl Shipley. Heiligen Quellen (dänisch: Kilder) waren einfach zu einem der lokalen Heiligen mit der Feder und dem Leben verbunden ging viel, wie es zuvor geweiht. <br><br>Um Studenten Empfehlungsschreiben Proben, die Einwanderung für Studenten reisen zeigen abraod Statt der Entsendung diese unter. Gründer der lemurischen Licht Heilung und Quantenheilung Energetics, Pamela hat 14 Jahre Erfahrung als spiritueller Heiler, Berater und Lehrer. <br><br>Es muss die Plattform, die uns durch die [http://www.hafnersrad.ch/shop/getmenu.asp?a=32-Abercrombie-Outlet Abercrombie Outlet] nächsten halben Jahrzehnt sein wird. Wir fühlen uns ein gewisses Maß an Intimität mit Brad Pitt, dass wir niemals entwickeln mit, sagen wir, Larry Singer (eine Co-Gründer der Wikipedia). Insgesamt ist die Sturm-Scout ist eine Freude zu bewerten. <br><br>Wir wissen noch nicht. Beide Sprecher und Hörer im Gleichgewicht sind und die Beziehung stärkt. Die Hoffnung ist dann, dass die Menschen sich um sie. 18 auf dem allgemeinen regionalen Hochschulliste für den Süden. Wir alle haben eine andere Agenda zu nehmen und auf das Leben, und was die Kabbala tut, ist, bekommen wir Blick auf alle diese verschiedenen [http://www.job-passerelle.ch/mailform/templates/mailform.asp?n=8-Air-Jordan-11-Gamma-Blue Air Jordan 11 Gamma Blue] Aspekte in uns selbst und zu verstehen, wo wir Anpassungen vornehmen müssen, um zu verbessern und Glück zu finden als ein Weg des Lebens. <br><br>An die Szene, [http://www.flugladen.ch/reisevorbereitungen/Newsletter.asp?top10ID=78-Timberland-Outlet-Fort-Myers Timberland Outlet Fort Myers] wo ein Autofahrer verlor die Kontrolle über ein Fahrzeug und schlug ein Fahrzeug vor dem Drücken einer Fußgänger in das Gebäude auf dem Kai, nach einer Erklärung vom Büro des Knox County Sheriff. Erfahrene, professionelle Audio-visuelle Berater und Installateure wissen, wie [http://www.hafnersrad.ch/shop/getmenu.asp?a=18-Abercrombie-Verkauf-Luzern Abercrombie Verkauf Luzern] kritisch hinter den PA-Sound-Systemen und AV-Installation. <br><br>'Es ist wie, 'Meine Güte, warum sie zu uns durch diese wieder gestellt haben? Warum können wir nicht eine normale Team, das nicht diese Geschichte haben muss sein?' Als Fan kann ich es nicht vermeiden, auch nicht. Neben ihnen sind die Cosmosexual Designer noch faszinierender wegen ihrer üppigen Unklarheiten und verlockende Unsicherheiten.<ul>
 
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In [[mathematics]], a '''cubic function''' is a [[function (mathematics)|function]] of the form
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:<math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\,</math>
Ich hoffe, es ist klar zu sehen, dass die Gedanken, wie sie unweigerlich gewinnen die gleichen negativen Situationen in Ihr Leben. Fragen Sie, warum Sie aufgehört sie zu tun. Studenten sind ständig fragen sich: 'Was ist drin für mich?' Da sie zu diesem Radiosender eingestellt, WII FM, ein wenig Zeit zu Beginn über das, was die Lehre hat es für sie zu sprechen, die beide lange und / oder kurze Reichweite. <br><br>Kinder oft so zu tun, jemand stärker und widerstandsfähiger, die ihnen hilft, das Gefühl, mehr Kontrolle zu sein.. Besucher die Hexe von Tag und ein schöner Prinz der Nacht musste abseilen ihr langes goldenes Haar. Die isotropen Natur der Expansion war direkten Beweis, dass es der Raum (der Stoff der Existenz) selbst, die Erweiterung wurde, nicht die Körper im Raum, die einfach bewegt wurden weiter nach außen und auseinander in einer unendlich größeren vorbestehenden leer nichtig war. <br><br>Aber diese Kandidaten weiterhin diese Keywords zu dem anderen Mann immer und immer wieder, bis zum Ende der Debatte. Um ein großer Führer [http://www.gammaprint.ch/Download/Datentransfer.asp?page=65-Air-Force-One-Schuhe-Schweiz Air Force One Schuhe Schweiz] ein, in einer Gruppe zu arbeiten und Konsens zu Themen aufweist. [http://www.job-passerelle.ch/mailform/templates/mailform.asp?n=96-Nike-Online-Bestellen-Schweiz Nike Online Bestellen Schweiz] Oktober geplanten Start der Online-Marktplätze oder den Austausch oder die Zuschüsse, die Personen mit niedrigen bis mittleren Einkommen Kauf Abdeckung oder helfen Verzögerung der Voraussetzung, dass die meisten Menschen kaufen Abdeckung oder eine Geldstrafe zahlen.. <br><br>'Wir müssen Autogrammstunden gelegentlich zu tun und in der Regel jeder ist so nett und aufgeregt, aber manchmal sind sie nur zu Fuß durch und wenn ihre Äußerungen sprach sie würden sagen:' Wir sind nicht hier für Sie, wir sind für Rob. Aber dies nur gehalten werden, wenn die Frau war deutlich attraktiver als der Mann. <br><br>Reiben Sie niemals das Gebiet als der Fleck kann zu verbreiten. Andere können der Versuchung nachgeben und bleiben weg, in der Hoffnung es wird alles verschwinden. Mit diesen Dienstleistungen sparsam und nur, wenn Sie unbedingt, wie bei einem der oben genannten Gründe, wenn Sie den Handy-Firma direkt erfolglos geblieben ist. <br><br>Wir können auf diese emotionale Spannung für sehr lange Zeit zu halten.. Zu der Zeit [http://www.avd.ch/latavola/includes/asp/seite.asp?id=30-Abercrombie-Fitch-Luxemburg Abercrombie Fitch Luxemburg] war es nicht mehr als eine schrullige Nebenerwerb. Einige Beispiele sind Seilspringen, Hebe eine Zwei-Pfund-Gewicht, mit dem Fahrrad, Hula-Hoop, Wandern etc. 3 Organisieren Sie Ihr Leben, ziehen sie leben Gefahr, einen Plan für Ihr Leben, einen Plan, Sie werden folgen, um Wahrscheinlichkeiten für das Erreichen Ihrer Ziel erhöhen. <br><br>Verwenden Sie Schlüsselwörter, neue Leser zu gewinnen und identifizieren Sie Ihre Namen mit diesem Thema wird. Diese Bemühungen um einen ununterbrochenen Dienst für unsere Kunden [http://www.avd.ch/latavola/includes/asp/seite.asp?id=10-Hollister-Lyon Hollister Lyon] wurden durch zahlreiche Publikationen, darunter All Things D, BetaBeat, Computerworld, Fast Company, TechCrunch, The New York Times, Pando Daily, The Verge und aufgezeichnet..<ul>
 
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where ''a'' is nonzero; or in other words, a function defined by a [[polynomial]] of [[Degree of a polynomial|degree]] three. The [[derivative]] of a cubic function is a [[quadratic function]].  The [[integral]] of a cubic function is a [[quartic function]].
== Tiffany And Co Online Shop KSU ==


Setting ''ƒ''(''x'')&nbsp;=&nbsp;0 produces a cubic [[equation]] of the form:
Slowakei sofern das Projekt coordination.Following dieses Pilotstudie, die im September 2006 eine neue EU-finanzierten Projekt SAPIERR (Strategische Aktionsplan für die Umsetzung der europäischen Regional Repositories), um die Machbarkeit der europäischen Regional Endlager beurteilen begonnen wurde, was auf eine Anerkennung in der EU, Umsetzung der 25 nationalen Repositories ist nicht optimal wirtschaftlich oder für Schutz und Sicherheit. Das Projekt wurde im Einklang mit den Vorschlägen der International Atomic Energy Agency (IAEA), Russland und den USA (mit GNEP, jetzt IFNEC) für die multilaterale Zusammenarbeit im Brennstoffkreislauf, um die globale Sicherheit zu verbessern. Gemeinschafts-Repositories für [http://www.pulpo.biz/alt/css/style.asp?language=24-Tiffany-And-Co-Online-Shop Tiffany And Co Online Shop] hohe Atomabfälle sind ein wichtiges Element der this.The SAPIERR Projekt hielt ihre Abschluss-Symposium Januar 2009 in Brüssel.. <br><br>Wählen Sie die [http://www.distanze.ch/bilder/content.asp?lang=51-Polo-Ralph-Lauren-Schuhe-Weiß Polo Ralph Lauren Schuhe Weiß] Option "Anpassen Theme" auf der rechten Seite der Seite, die Sie zu einem Auswahlbildschirm zeigt eine Vielzahl von pre gemacht Tumblr [http://www.avd.ch/latavola/includes/asp/seite.asp?id=15-Abercrombie-Online-Sale Abercrombie Online Sale] Themen lenken sollte. Die meisten davon sind kostenlos, wenn einige der aufwendigeren diejenigen, können gegen eine Gebühr erworben werden. Sobald Sie Ihr Thema ausgewählt haben, können Sie die Farbpalette und andere Funktionen anpassen, um Ihre Seite anmelden.. <br><br>Die Khasi Students 'Union (KSU), 1978 gegründet, hat einen Slogan. "Wir sind Khasi von Blut, indischen durch Zufall" Die KSU Widerstand gegen Uranabbau stammt teilweise von seiner Geschichte der [http://www.gammaprint.ch/Download/Datentransfer.asp?page=11-Nike-Air-Max-90-Essential Nike Air Max 90 Essential] fremdenfeindlichen Aktivitäten. Angebliche KSU Mitglieder eine Bus-Belastung von Nichtstammesangehörigen getötet im Jahr 1979. <br><br>"Aber ich habe einen dedizierten Server", so what? Dieser Server verwendet eine IP von jemandem, der Allokation. Wenn jemand auf diesem Block von IPs eine schwarze Liste pisst sie entscheiden können, um den gesamten Bereich von einer Klasse C den ganzen Weg bis zu blockieren. Das ist genau das, warum ein selbst gehosteten Lösung auf einem dedizierten Server erhalten immer gleiche oder bessere Zustellbarkeit als gehostete Lösung.. <br><br>Dont schwören im Haus. Zum Messe auf einer regulären Basis. Und fair sein. Diese Ressourcen werden durch zukunftsorientierte Unternehmen und Web-Entwickler, die offene Standards und Best Practices für die Web-Entwicklung angenommen haben, erstellt. Wenn Sie denken, wir haben eine große Ressource weggelassen wird, bitte sagen Sie uns es. Wir wollen diese Ressourcen mit unseren internationalen Gemeinschaft teilen, so bevorzugen wir diejenigen, die vorsehen oder zulassen Übersetzungen, durch eine Open-Content-Lizenz wie Creative Commons ...<ul>
 
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:<math>ax^3+bx^2+cx+d=0.\,</math>
== Timberland Usa  und die Neuheiten für 22. Also ==


Usually, the [[coefficients]] ''a'', ''b'',''c'', ''d'' are real numbers. However, most of the theory is also valid if they belong to any [[field (mathematics)|field]] of [[characteristic (field)|characteristic]] other than 2 or&nbsp;3.
Siehe auch. Sind zwei Anti-Viren-Apps besser als einer? Blockieren Sie Spam aus Google-Ergebnisse, und die Neuheiten für 22. Also, sind Sie Getriebe der Ausgaben für diskretionäre?.. Direkt in der Nähe des Flatiron Gebäude, in dem sich unser Büro befindet, gibt es Hunderte von Start-ups und Online-Unternehmen, alle innerhalb von 20 Blöcke voneinander. <br><br>Betrachten Sie Ihr Kind Aufwachen, bevor Sie zu Bett gehen. Bewohner behaupteten, sie nicht über die Ursache zu hören, bis es auf Houston Fernsehstationen eine halbe Stunde nach der Explosion angekündigt.. Fahren Sie den Redaktionsprozess für die PC Magazine Digital Network. <br><br>Die meisten Dokumentationen zu drehen wie 200 Stunden. Anders als Polizeibeamte gibt es keine feste Trainingsverfahren für PCSOs so die Ausbildung gegeben hat variieren von Kraft zu Kraft. 1.) Achten Sie darauf, um den Titel aller Seiten ändern. In unserer modernen Zeit haben wir noch nicht unsere Rechts Instinkte über Moral zu stützen.. <br><br>Rippln können Sie Ihre eigenen Meister zu wählen. "". Also, zuerst, öffnen Sie Ihr FTP-Programm und eine Verbindung zum Host-Server. Beträchtliche Ringe sind neben unerhört, aber es doesn verdunsten wahrscheinlich erscheinen Höhe und Breite von Diamant-Schmuck zu Ihnen passt.. <br><br>Wenn Sie ein Interesse an Online-Spiel Besuche unsere pua Produkte haben wir empfehlen. Für Schulen, die nicht über die für eine tatsächliche Dissektion benötigten Materialien können die Online-Ressourcen von entscheidender Bedeutung, um die Ziele, die die tatsächlichen Biologie-Labor erfüllen würde, gerecht zu werden. <br><br>Mir wurde gesagt, dass meine Abteilung nicht mehr benötigt werden würde, so dass sie reichte mir ein Abfindungs-Check und ich war auf dem Weg. Vor allem, [http://www.flugladen.ch/reisevorbereitungen/Newsletter.asp?top10ID=34-Timberland-Usa Timberland Usa] da der junge Hund bläst seine Welpenfell und bekommen seine erwachsene Hardtop Mantel. Bis jetzt wurde Ihr [http://www.pulpo.biz/alt/css/style.asp?language=14-Tiffany-Co-Outlet-Schweiz Tiffany Co Outlet Schweiz] Google-Webprotokoll (Ihr Google-Suchanfragen und besuchten Seiten) aus dem Google-off andere Produkte abgesperrt. <br><br>O Martin begleitenden Gefolge der Außenpolitik Mandarinen waren alle trid ein cheile agus Ruille ein buille in Beklommenheit über gute Belichtung der Minister zum "rechten Flügel"-Kanal.. Das eigentliche Problem ist, dass Stadtverwaltung hatte einen internationalen Design-Wettbewerb, der plötzlich und unerwartet von Lansdowne Live-beendet wurde eingeleitet. <br><br>Und dann, nachdem es, wie es war immer gescheitert, landeten wir mit Sequester ... Doch ganz abgesehen von den Vergleich mit BA, würden die Washington Ergebnisse scheinen zu vielen [http://www.arcobaleno-maler.ch/statique/order.asp?Category_id=13-Günstige-Ugg-Australia Günstige Ugg Australia] früheren Studien, die gezeigt haben CT als ebenso wirksam wie [http://www.job-passerelle.ch/mailform/templates/mailform.asp?n=101-Nike-Outlet-Zürich Nike Outlet Zürich] Pharmakotherapie zur Behandlung von mittelschweren Depressionen und schweren Depressionen zu widersprechen..<ul>
To solve a cubic equation is to find the roots (zeros) of a cubic function.  
 
There are various ways to solve a cubic equation. The roots of a cubic function, like those of a quadratic or quartic (fourth degree) function but no higher degree function (by the [[Abel–Ruffini theorem]]), can always be found [[Algebraic function|algebraically]] (as a formula involving simple functions like the [[square root]] and [[cube root]] functions). The roots can also be found [[Trigonometry|trigonometrically]].  Alternatively, one can find a [[numerical approximation]] of the roots in the [[Field (mathematics)|field]] of the [[real number|real]] or [[complex numbers]]. This may be obtained by any [[root-finding algorithm]], like [[Newton's method]].
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  <li>[http://www.nfbjp.com/news/html/?113672.html http://www.nfbjp.com/news/html/?113672.html]</li>
 
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  <li>[http://www.jmhongzao.com/news/html/?133815.html http://www.jmhongzao.com/news/html/?133815.html]</li>
 
  <li>[http://www.mxw1688.com/news/html/?139708.html http://www.mxw1688.com/news/html/?139708.html]</li>
 
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Solving cubic equations is a necessary part of solving the general quartic equation, since solving the latter requires solving its [[resolvent cubic]] equation.
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==History==
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Cubic equations were known to [[Greek mathematics|ancient Greek]] mathematician [[Diophantus]];<ref>Van de Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich  1983 ISBN 0-387-12159-5</ref> even earlier to [[Babylonian mathematics|ancient Babylonians]] who were able to solve certain cubic equations;<ref>British Museum BM 85200</ref> and also to the [[Egyptian mathematics|ancient Egyptians]]. [[Doubling the cube]] is the simplest and oldest studied cubic equation, and one which the ancient Egyptians considered to be impossible.<ref>{{Harvtxt|Guilbeau|1930|p=8}} states, "The Egyptians considered the solution impossible, but the Greeks came nearer to a solution."</ref> [[Hippocrates]] reduced this problem to that of finding two mean proportionals between one line and another of twice its length, but could not solve this with a [[compass and straightedge construction]],<ref name=Guilbeau>{{Harvtxt|Guilbeau|1930|pp=8–9}}</ref> a task which is now known to be impossible. [[Hippocrates]], [[Menaechmus]] and [[Archimedes]] are believed to have come close to solving the problem of doubling the cube using intersecting [[conic sections]],<ref name=Guilbeau/> though historians such as Reviel Netz dispute whether the Greeks were thinking about cubic equations or just problems that can lead to cubic equations. Some others like [[T. L. Heath]], who translated all [[Archimedes|Archimedes']] works, disagree, putting forward evidence that Archimedes really solved cubic equations using intersections of two [[Cone (geometry)|cones]], but also discussed the conditions where the [[root]]s are 0, 1 or 2.<ref>The works of Archimedes, translation by T. L. Heath</ref>
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[[Image:Graph of cubic polynomial.svg|255px|left|thumb|[[Two-dimensional graph]] of a cubic, the [[polynomial]] ''&fnof;''(''x'') = 2''x''<sup>3</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;3''x''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;3''x''&nbsp;+&nbsp;2.]]
Aber die Sasquatch immer ihren Abstand zu halten, extreme stealth hat ihnen erlaubt, zu überleben, neben den Menschen, für Hunderttausende von Jahren.. Wir wollen hören, was Sie zu sagen haben. Doch das Gericht hat sich geweigert, diese Fälle zu hören, 1leaving unteren Gerichtsentscheidungen die Wahrung der Gesetze intakt und halten starke Waffe Gesetze über die Bücher. <br><br>Bei der Verkündigung der beste Santana im Baseball, es fühlt sich mehr wie Juni 2004, nicht Juni 2012. Das Internet-Projekt Bewegung ist auf jeden Fall ein Schritt in die richtige Richtung, aber für einige Schüler ist es nicht genug. Man kann die Geschäftsprozesse direkt aus Grunderwerb zu Technik zu automatisieren, vom Einkauf bis Vertrieb und Vermietung von zum Property Management ... <br><br>Sobald es installiert ist, doppelklicken Sie auf die Anwendung, und es wird sofort greifen die Farben in Hex. Es ist aus [http://www.arcobaleno-maler.ch/statique/order.asp?Category_id=56-Ugg-Günstig-Online-Kaufen Ugg Günstig Online Kaufen] diesem Wort geben und nehmen unsere persönlichen und [http://www.distanze.ch/bilder/content.asp?lang=122-Lacoste-Schweiz-Outlet Lacoste Schweiz Outlet] kulturellen mündliche Tradition, die wir reflektieren und zu wachsen und erweitern das Spektrum unserer [http://www.harmoniemusikbuchs.ch/content/verein/sympathisanten/goenner.asp?inc=31-Barbour-Jacken-Basel Barbour Jacken Basel] Grenzen.. <br><br>Mein Mann war auf Medikamente für Arthritis und er aufhören es zu nehmen. Beispiele für Vertriebsführungspositionen sind Pharma-rep-, Versicherungs-Verkäufer und Hypothekendarlehen Urhebers. Wir alle wissen das, und es gibt keinen Sinn, außer dass es indwellingon sehen unsere Situation durch jemand anderen Augen könnte uns helfen, motiviert zu bleiben, um unsere Ziele zu erreichen. <br><br>Aber das Wichtigste ist, dass das Laufen ist eine Art von Vergnügen Übung. Zog ich auch meine Quads in Fußball-Praxis-und Doppelüberprüft (im Netz) sicher sein, dass Zuckerguss und Höhe waren die Dinge, die zu tun. Um mehr über die Partnerschaft mit Olivia Ms.believe zu lernen, ist ein wichtiger Schritt bei der Verwirklichung unserer Vision für die Heilung Quest-Markenplattform wie der Führer, um die Verbraucher zu navigieren ihre wachsende integrativen Gesundheits-und Wellness-Optionen, sagte Roy Walkenhorst, Light Co-Gründer und CEO. <br><br>Ich bin derzeit der Bewertung eines Handels Verstärker für das Audiomagazin für die ich schreibe. Es ist, natürlich, die tägliche Scrum-Meeting, von dem das Verfahren seinen Namen, zu einem fest choreographierte maximal 15 Minuten statt. Aber es ist gut, sich in allen möglichen Bedingungen zu testen, wissen Sie? Auch wenn meine Finger auf den ersten wurden aus der Saiten Gleit-und Schweiß in meinem linken Auge tropfen. <br><br>Ich schaue zurück auf Schriften die ich [http://www.antennengenossenschaft.ch/includes/mailer.asp?b=41-Beats-By-Dre-Executive Beats By Dre Executive] in der Vergangenheit gemacht, und kann nicht glauben, wie weit ich "kommen" in meiner Denkweise. Dies bedeutet nicht die Vorteile der hohen Bandbreiten, die wir heute haben. Ich beschrieb ihr so ​​detailliert, wie ich die Schläge ertrug ich immer wieder erinnern..<ul>
 
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In the 7th century, the [[Tang dynasty]] astronomer mathematician [[Wang Xiaotong]] in his mathematical treatise titled [[Jigu Suanjing]] systematically established and solved 25 cubic equations of the form <math>x^3+px^2+qx=N</math>, 23 of them with <math>p,q \ne 0</math>, and two of them with <math>q = 0</math>.<ref>{{Citation
== New Balance 420 Zürich scheint der Name apt. Ja ==
|first= Yoshio
|last= Mikami
|author-link= Yoshio Mikami
|title= The Development of Mathematics in China and Japan
  |chapter= Chapter 8  Wang Hsiao-Tung and Cubic Equations
|pages= 53&ndash;56
|publisher= Chelsea Publishing Co.
|location= New York
|year= 1974
|edition= 2nd
|origyear= 1913
|isbn= 978-0-8284-0149-4
|doi=}}</ref>


In the 11th century, the [[Persian literature|Persian poet]]-mathematician, [[Omar Khayyám]] (1048–1131), made significant progress in the theory of cubic equations. In an early paper he wrote regarding cubic equations, he discovered that a cubic equation can have more than one solution and stated that it cannot be solved using compass and straightedge constructions. He also found a [[#Omar Khayyám's solution|geometric solution]].<ref>A paper of Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), pages 323–337</ref><ref>In {{MacTutor|id=Khayyam|title=Omar Khayyam}} one may read ''This problem in turn led Khayyam to solve the cubic equation'' ''x''<sup>3</sup> + 200''x'' = 20''x''<sup>2</sup> + 2000 ''and he found a positive root of this cubic by considering the intersection of a rectangular hyperbola and a circle. An approximate numerical solution was then found by interpolation in trigonometric tables''. The ''then'' in the last assertion is erroneous and should, at least, be replaced by ''also''. The geometric construction was perfectly suitable for Omar Khayyam, as it occurs for solving a problem of geometric construction. At the end of his article he says only that, for this geometrical problem, if approximations are sufficient, then a simpler solution may be obtained by consulting [[Generating trigonometric tables|trigonometric tables]]. Textually: ''If the seeker is satisfied with an estimate, it is up to him to look into the table of chords of Almagest, or the table of sines and versed sines of Mothmed Observatory.'' This is followed by a short description of this alternate method (seven lines).</ref> In his later work, the ''Treatise on Demonstration of Problems of Algebra'', he wrote a complete classification of cubic equations with general geometric solutions found by means of intersecting [[conic section]]s.<ref>J. J. O'Connor and E. F. Robertson (1999), [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Khayyam.html Omar Khayyam], [[MacTutor History of Mathematics archive]], states, "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations."<!-- quotation is in MacTutor--></ref><ref>{{Harvtxt|Guilbeau|1930|p=9}} states, "Omar Al Hay of Chorassan, about 1079 AD did most to elevate to a method the solution of the algebraic equations by intersecting conics."</ref>
Also schreiben, was [http://www.chaefernaescht.ch/text/links.asp?n=41-New-Balance-420-Zürich New Balance 420 Zürich] Sie wissen. Sie [http://www.job-passerelle.ch/mailform/templates/mailform.asp?n=98-Nike-Air-Jordan-Kaufen Nike Air Jordan Kaufen] sollten nie wählen Sie diese Option, wenn Sie mit einem öffentlich zugänglichen Computer, oder wenn Sie einen Computer gemeinsam mit anderen. Dies ist abhängig von der Festlegung von Zielen und die Bestimmung der Grenzen eines Einzugs das Thema des zweiten Berichts. <br><br>Cheat für k750. (Kirby, J. Manchmal sind diese gesunde Lebensmittel sind teuer. Wir haben gerade am Ende der Sitzung verlassen .. Auf diese Weise werden Sie nicht haben, um die gleichen Tags auf verschiedenen Seiten wieder und wieder einfügen rufen Sie einfach die CSS und anzuwenden, die bestimmten Klasse. <br><br>Um damit zu beginnen, sollten Sie eine komplette medizinische Check up haben, um die Gesundheit des Körpers zu untersuchen. [http://www.distanze.ch/bilder/content.asp?lang=64-Ralph-Lauren-Poloshirt-Herren-Slim-Fit Ralph Lauren Poloshirt Herren Slim Fit] GTA IV ist zu wirklich verrückt mit [http://www.arcobaleno-maler.ch/statique/order.asp?Category_id=178-Ugg-Schweiz-Outlet Ugg Schweiz Outlet] seiner Leistung. Nach drei Jahren der Verhandlungen Vintcent und Tata hat einen Vertrag, um die Mail im April 1932 tragen und im Juli 1932 wurde die Luftfahrtabteilung von Tata Sons gegründet wurde. <br><br>Sie haben 60 Tage ab dem Datum, das Sie von der Verweigerung die Agentur zu kontaktieren und bitten um eine Kopie Ihrer Kredit-Bericht zu lernen ... Es ist nicht gut genug, um in Suchmaschinen, die Sie angezeigt werden soll, wenn ein potenzieller Kundentypen in einem Ihrer Keywords. <br><br>Als Aussenseiter kann ich mit diesen Leuten, die die Technologie zu sehen, wie nicht nur ein Mittel zum Zweck, sondern der Zweck an sich einzufühlen. Aber wie Sie jeden downloaden, es umbenennen, damit Sie wissen, was was ist ... Bayer ist nicht das einzige Unternehmen in den Top fünf der Toxic 100 Verschmutzer mit Einrichtungen in Baytown, jedoch. <br><br>Es verwaltet werden können, wenn die [Braut oder den Bräutigam] ergibt sich genügend Zeit und schafft es gut, aber nicht jeder kann das tun. Ihr Kind kann sich Roboter und besessen von Homosexuell Porno. Ein Wort zu den Weisen: Test im IE 6, wie Sie bauen Ihr Thema, nicht, wenn Sie fertig sind. <br><br>Die effektivste Methode, ziehen Kunden in Ihre Website zu SEO nutzen. Wget das, und du hast eine exakte Kopie dessen, was gestreamt wird bekam. Louisiana Verein für das Blinden trägt eine dreißig (30) Tage Zufriedenheitsgarantie. "Das okay?" Ich fragte Dean, mein Handler. <br><br>Ich lasse es für ca. Verkleinerungs THML bezieht sich auf unnötige Bytes, wie zusätzliche Leerzeichen, Zeilenumbrüche und Einzüge. Unter dem Titel, aus dem Herzen, scheint der Name apt. Ja, Sie können kurzfristige Ergebnisse zu sehen, aber im großen und ganzen sind diese Dienste nicht für langfristiges Wachstum.<ul>
 
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In the 12th century, the Indian mathematician Bhaskara II attempted the solution of cubic equations without general success. However, he gave one example of a cubic equation:<ref>Datta and Singh, History of Hindu Mathematics, p. 76,Equation of Higher Degree; Bharattya Kala Prakashan, Delhi, India 2004 ISBN 81-86050-86-8</ref>
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<math>x^3+12x=6x^2+35</math>
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In the 12th century, another [[Mathematics in medieval Islam|Persian]] mathematician, [[Sharaf al-Dīn al-Tūsī]] (1135–1213), wrote the ''Al-Mu'adalat'' (''Treatise on Equations''), which dealt with eight types of cubic equations with positive solutions and five types of cubic equations which may not have positive solutions. He used what would later be known as the "[[Ruffini's rule|Ruffini]]-[[Horner scheme|Horner]] method" to [[Numerical analysis|numerically]] approximate the [[root of a function|root]] of a cubic equation. He also developed the concepts of a [[derivative]] function and the [[maxima and minima]] of curves in order to solve cubic equations which may not have positive solutions.<ref>{{MacTutor|id=Al-Tusi_Sharaf|title=Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi}}</ref> He understood the importance of the [[discriminant]] of the cubic equation to find algebraic solutions to certain types of cubic equations.<ref>{{Citation |first=J. L. |last=Berggren |year=1990 |title=Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat |journal=Journal of the American Oriental Society |volume=110 |issue=2 |pages=304–309 |doi= 10.2307/604533}}</ref>
== Abercrombie Switzerland Office  ihre Sorgen ==


Leonardo de Pisa, also known as [[Fibonacci]] (1170–1250), was able to find the positive solution to the cubic equation ''x''<sup>3</sup>&nbsp;+&nbsp;2''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;10''x''&nbsp;=&nbsp;20, using the [[Babylonian numerals]]. He gave the result as 1,22,7,42,33,4,40 (equivalent to 1&nbsp;+&nbsp;22/60&nbsp;+&nbsp;7/60<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;42/60<sup>3</sup>&nbsp;+&nbsp;33/60<sup>4</sup>&nbsp;+&nbsp;4/60<sup>5</sup>&nbsp;+&nbsp;40/60<sup>6</sup>),<ref>"The life and numbers of Fibonacci" [http://pass.maths.org.uk/issue3/fibonacci/index.html], ''Plus Magazine''</ref> which differs from the correct value by only about three trillionths.
Nie aufhören zu versuchen, ihr zu zeigen, wie viel sie Ihnen bedeutet, auch nachdem Sie bekam ihr okay? und zu erinnern. Ich der glücklichste sein, wenn du sie richtig zu behandeln :) es kann lange dauern, bis ich die Schmerzen verursacht haben Sie mich zu heilen. <br><br>Zack ist David. Dreadlocks, jedoch nicht eines dieser Dinge. Angst, dass ich es gewonnen und ich Angst, dass es wird. Ich glaube, [http://www.hafnersrad.ch/shop/getmenu.asp?a=10-Abercrombie-Switzerland-Office Abercrombie Switzerland Office] dass, wenn es um bedeutende Unternehmen geht, wenn man nicht zumindest ein wenig erschrocken, dann sind Sie nicht hart genug versucht.. <br><br>Unten haben wir einige wichtige Privatsphäre Gefahren untersucht sollten Sie sich bewusst sein, und was Sie tun können, um zu nehmen action.Google wurde energisch für ihre Cloud-Computing-Software-Paket, Google Apps, um verschiedene Unternehmen und Schulen in der Hoffnung, dass sie dann sein angenommen. Im Jahr 2010 jedoch der University of California Davis machte Schlagzeilen, als sie auf den Übergang über Google Mail wegen Datenschutzbedenken bestanden.. <br><br>Die Person, die die Frage stellen, kann seine Wahl für die beste Antwort geben, und die Gemeinde können Antworten sowie bewerten. Punkte und Ebenen sind für die Beantwortung von Fragen und Empfangen Bestnoten gegeben. Geben, ihre Sorgen, ihre Partner ist ein Weg, sich selbst zu beruhigen, dass die Verbindung für die Unterstützung ist da. Sie finden, dass weniger schwierig zu finden. <br><br>Heidegger schreibt in einem Vortrag mit dem Titel 1938 Das Zeitalter des Weltbildes dieser Kampf [http://www.antennengenossenschaft.ch/includes/mailer.asp?b=59-Beats-Dre-Tour Beats Dre Tour] der Weltanschauungen der Moderne tritt zunächst in die entscheidende Periode seiner Geschichte und wahrscheinlich die, die am meisten in der Lage, nachhaltig. Ein Zeichen für diese Veranstaltung ist der Auftritt überall, und in den verschiedensten Formen und Verkleidungen, der gigantisch. <br><br>Sie evakuierten drei Hotels direkt entlang des Streifens gibt. Und Benson wurden bei einem Boylston Street Hotel wohnen, etwa einen Kilometer von der Unglücksstelle. Der erste hat mit dem Bau der Gemeinschaftsmarke [http://www.distanze.ch/bilder/content.asp?lang=134-Ralph-Lauren-Jacke Ralph Lauren Jacke] gewesen. Wir arbeiteten mit professionellen Grafik-Designer, einen starken Blick zu entwickeln und das Gefühl für den Ort, und wir sind in großer Fotografie investieren, um Geschichten auf der Seite zu veranschaulichen.. <br><br>Nachfolgend finden Sie einen Ausschnitt aus einer Rede, die Sie [http://www.arcobaleno-maler.ch/statique/order.asp?Category_id=178-Ugg-Schweiz-Outlet Ugg Schweiz Outlet] im Haus of Lords. Vielleicht möchten Sie zu erklären, warum Imiela war nicht auf der DNA-Datenbank. Hindu Business Line: Letzte S koreanischen Arbeiter Kaesong-Komplex verlassen 2013 04 29 PTI: Südkorea war auf seiner letzten Arbeiter aus einer gemeinsamen Fabrik Zone in Nordkorea ein seltenes Symbol der grenzüberschreitenden Zusammenarbeit nun durch eine angespannte militärische verkrüppelt Stand off ziehen . Südkoreanischen Unternehmen mit Fabriken am Standort haben Schock über den plötzlichen Evakuierung, die 126 Arbeiter zurückkehren sah am Samstag in Dutzenden von Fahrzeugen mit montierten Waren und anderen Materialien geladen ausgedrückt.<ul>
 
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</ul>


In the early 16th century, the Italian mathematician [[Scipione del Ferro]] (1465–1526) found a method for solving a class of cubic equations, namely those of the form ''x''<sup>3</sup>&nbsp;+&nbsp;''mx'' = ''n''. In fact, all cubic equations can be reduced to this form if we allow ''m'' and ''n'' to be negative, but [[negative number]]s were not known to him at that time. Del Ferro kept his achievement secret until just before his death, when he told his student [[Antonio Fiore]] about it.
== Oakley  dass ==
[[Image:Niccolò Tartaglia.jpg|thumb|160px|Niccolò Fontana Tartaglia]]
In 1530, [[Niccolò Tartaglia]] (1500–1557) received two problems in cubic equations from [[Zuanne da Coi]] and announced that he could solve them. He was soon challenged by Fiore, which led to a famous contest between the two. Each contestant had to put up a certain amount of money and to propose a number of problems for his rival to solve. Whoever solved more problems within 30 days would get all the money. Tartaglia received questions in the form ''x''<sup>3</sup> + ''mx'' = ''n'', for which he had worked out a general method. Fiore received questions in the form ''x''<sup>3</sup> + ''mx''<sup>2</sup> = ''n'', which proved to be too difficult for him to solve, and Tartaglia won the contest.


Later, Tartaglia was persuaded by [[Gerolamo Cardano]] (1501–1576) to reveal his secret for solving cubic equations. In 1539, Tartaglia did so only on the condition that Cardano would never reveal it and that if he did reveal a book about cubics, that he would give Tartaglia time to publish. Some years later, Cardano learned about Ferro's prior work and published Ferro's method in his book ''[[Ars Magna (Gerolamo Cardano)|Ars Magna]]'' in 1545, meaning Cardano gave Tartaglia 6 years to publish his results (with credit given to Tartaglia for an independent solution). Cardano's promise with Tartaglia stated that he not publish Tartaglia's work, and Cardano felt he was publishing del Ferro's, so as to get around the promise. Nevertheless, this led to a challenge to Cardano by Tartaglia, which Cardano denied. The challenge was eventually accepted by Cardano's student [[Lodovico Ferrari]] (1522–1565). Ferrari did better than Tartaglia in the competition, and Tartaglia lost both his prestige and income.<ref>{{Citation |last=Katz |first=Victor |title=A History of Mathematics |page=220 |location=Boston |publisher=Addison Wesley |year=2004 |isbn= }}</ref>
Das heißt, es muss viel besser Patenschaften für diese Ereignisse auf der ganzen Linie, Oakley um Auszahlungen zu erhöhen. MLG ist nicht gonna schneiden. Mit anderen Worten, Claire Danes, die Glamour gesagt: "Ich bin eine Feministin. Und ich bin so froh, dass Lena Dunham existiert, denn sie ist einer zu, und sie ist ziemlich lautstark darüber." Abercrombie Online Bestellen Deutschland Beyoncé fiel auch das F-Wort in einem Interview erklärt, dass, während sie ist nicht ein großer Fan des Labels, sie hat sich selbst prüfen, eine moderne Feministin.. <br><br>Was ich auch wirklich über Spoonyis genießen, dass, wenn er etwas, er gibt eine detaillierte explanationas, warum er oder doesn wie es zeigt nur, er bringt eine Menge Gedanken in jeder Überprüfung macht er, wenn auch manchmal und ich nicht mit ihm einverstanden, es ist schwer zu notbe von seiner Meinung schwankte. Seine vlogsare wirklich interessant zu beobachten, weil er er selbst, anstatt sich selbst in versionof hisreviewvideos theplayed. <br><br>Ihr Kind braucht, um das genaue Verhalten von ihm / ihr erwartet kennen. Oder sogar Nächstenliebe für kids.In diesem Fall Corey tatsächlich versucht, Deltona lächerliche Vorschriften zu folgen. Wie können Sie ihn für Ihre Nummer fragen? . Wie kann man sagen, wenn er rufen Sie zurück. <br><br>Aber meine Abercrombie & Fitch London wichtigste Qualität ist Charakter.". Ich denke nur, es ist eine Schande, dass es so wenige Menschen unter dreißig gibt und niemand aus der aktuellen Ernte oder Stationen schien. Das Gerät verwendet eine benutzerdefinierte 7400 ALU basiert auf dem berühmten MOS-6502-Prozessor. Anstatt Abercrombie Fitch Luxemburg die Berechnungen auf einem Siliziumchip, treibt die ALU mechanischen Relais. <br><br>Lesen Sie Ihre Papiere in nur wenigen Minuten und wenigen Klicks. Überall in der Welt! Inhalte umfassen. Sich zu einem professionellen, bedeutet nicht, dass Ihre Beziehung ist in Schwierigkeiten nur, dass Sie möchten, dass Ihre Beziehung besser zu sein. Indem Sie auf eine professionelle und Lernen über Sie und Ihr Ehepartner "emotionalen und kognitiven Prozesse, die Sie und Ihr Ehepartner könnten lernen, wie Ihre Bedürfnisse zueinander auszudrücken und lassen Sie Ihren Ehepartner die Möglichkeit, die Bedürfnisse Sie wirklich wollen, trafen sich zu erfüllen.. <br><br>Diese Undercover-Agenten haben Ebenen der Verschlagenheit, die den MI6-Netzwerk zu transzendieren. Als solche müssen Versicherung eindecken verärgert, dass Fotos und Zuschreibungen präsentieren kann, sowie Schäden, die auf dem Weg zugefügt ... Wir haben auch dieses Herrn, der seinen Lebensgefährten, seine Berghütte nach einem Nachmittag auf der Piste hat gehört, erhellte den Kamin, und dann als seiner Geliebten wurde ihr Hände reiben über dem Feuer, als er plötzlich vor ihr kniete und schloss seine Hände, als ob im Gebet und bat sie, ihn zu heiraten. Ihr Knie artige Reaktion war eine Angst, weil sie dachte, dass er mit einem Herzinfarkt nach einem anstrengenden Nachmittag auf der Piste.<ul>
 
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Cardano noticed that Tartaglia's method sometimes required him to extract the square root of a negative number. He even included a calculation with these [[complex number]]s in ''Ars Magna'', but he did not really understand it. [[Rafael Bombelli]] studied this issue in detail and is therefore often considered as the discoverer of complex numbers.
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[[François Viète]] (1540–1603) independently derived the trigonometric solution for the cubic with three real roots, and [[René Descartes]] (1596–1650) extended the work of Viète.<ref name=Nickalls/>
Vicky Beats By Dr Dre Zürich nicht nehmen Abercrombie Berlin keine persönlichen Gegenstände mit auf ihre Wanderung. Ihre Handtasche, Geld und Identifikation waren alle zu Hause gelassen. Für Peterman und beendete das Rennen stellte sich heraus, mehr von Priorität sein, anstatt zu versuchen, an erster Stelle. "Wenn es regnete, ich war wie" wir einfach leben, um an einem anderen Tag fahren lassen '", sagte Peterman.. <br><br>Fokus, Zielsetzung, Planung. Sie nicht, und sie haben keine Verteidigung für dieses haben. Wir ": Ein kleiner Vogel hat die Spiegel Online gesagt, dass es eine starke Chance, einige Termine, die bereits angekündigt, im nächsten week.Keyboardist / Pianist und Stones Mitarbeiter Chuck Leavell sagte der Atlanta Music Scene Blog letzten Monat, dass die Stones haben geübt hatten unsere erste Probe im Mai. Es war das erste Mal, dass wir im selben Raum zusammen in fünf Jahren.. <br><br>Lassen Sie es weg schwimmen und beobachten neue entstehen .. Wie Herr Martin, General Manager Reddit ist, setzt sich für ein Interview in einer Ecke des Loft-Stil Büro, unter einem Regal beladen mit Kaffeetassen und Schnickschnack wie Reddit lächelndes alien Maskottchen förmig, springt Mog auf der Ledercouch neben dem Reporter und prompt fällt asleep.Mog 's freundlich und sanfte Natur ist ein Sinnbild der Innenstadt von San Francisco Büro Reddit, einem luftigen, entspannten und einladenden Raum, der Heimat von etwa ein Dutzend Mitarbeiter spielt. <br><br>I don wollen auf Alex Jones holen, aber mit den verschiedenen ghish galoppierenden beiseite, das Scheitern, das Problem der Massenerschießungen konfrontieren vertritt er die Irrationalität der Pistole Interessenvertretung, oder zumindest. Er impliziert, dass Massentötungen durch Verfügbarkeit von Medikamenten sind. <br><br>Wählen Sie ein Thema für Ihren Blog, das Sie begeistert sind. Wenn Sie über Dinge, die Sie wirklich interessieren zu schreiben, Abercrombie Online Gutschein wird es in der Qualität und Kompetenz von Ihrem Blog zu zeigen. Es wird vermutet, dass es derzeit 13 Millionen Menschen in Großbritannien ohne ein Abo-TV-Service, so dass BSkyB zielt auf einen großen Markt hier. Allerdings kann ich nicht helfen, aber denke, es wird auch verlieren eine große Schneise der seine aktuelle Abonnenten, wenn Günstige Uggs Schweiz Sky Sports landet schließlich auf Jetzt-TV. <br><br>9. Montageressourcenknappheit weiterhin uns ins Gesicht starren. Es ist weniger wahrscheinlich, dass Staub und Schmutz zu sammeln, werden diese Produkte mit sehr großen V-Nuten hergestellt. In der Regel in den besten Böden, sie als Mikro Fase bezeichnet.<ul>
 
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==Derivative==
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{{Cubic_graph_special_points.svg}}
Through the [[quadratic formula]] the [[root of a function|roots]] of the [[derivative]] ''f''&nbsp;&prime;(''x'')&nbsp;= 3''ax''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;2''bx''&nbsp;+&nbsp;''c'' are given by
:<math style="vertical-align:-70%;">x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-3ac}}{3a}</math>  <!-- please do not change this into x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}. The expression is correct. -->
and provide the [[critical point (mathematics)|critical points]] where the slope of the cubic function is zero. If ''b''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;3''ac''&nbsp;&gt;&nbsp;0, then the cubic function has a [[Maxima and minima|local maximum]] and a [[Maxima and minima|local minimum]]. If ''b''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;3''ac''&nbsp;=&nbsp;0, then the cubic's [[inflection point]] is the only critical point. If ''b''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;3''ac''&nbsp;&lt;&nbsp;0, then there are no critical points. In the cases where ''b''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;3''ac''&nbsp;≤&nbsp;0, the cubic function is strictly [[monotonic]].


==Roots of a cubic function==
Nach einem Jahr ist Domenic noch in einer Pflegefamilie und die Teilnahme an einer staatlichen Schule. Neben Live-Kanäle, ermöglicht die App auch die Verbraucher, um Episoden von Shows letzten fünf Tagen zu sehen .. Ein Lehrer kann verschiedene Schreib Aufgabe zuweisen, so dass schnelle Überprüfung, wie gut die Schüler verstehen, ein bestimmtes Thema, das sie. <br><br>Bei einem Spaziergang entlang dem Dach eines Kastenwagen ein junger weißer Mann trat auf die Hand eines jungen Schwarzen, der hing an den side.Whether war zufällige oder vorsätzliche ist unklar, von Konten, sondern ein Kampf ausbrach, und die weißen Jugendlichen . <br><br>Betonsanierung, Fiberglasverstärkung und Spezialmembransysteme sind einige der anderen Rissfüllung Methoden, die verwendet werden können, obwohl diese Alternativen höhere Kosten .. Nach einem Jahr des Experimentierens, flog er nach China, und mit Hilfe von seinem Vetter, ein Tech-Unternehmer mit Kontakten in den Fernen Osten, befindet sich ein Hersteller .. <br><br>Also, wenn Sie am Ende sprang aus dem Bett, um Ihre Video-Spiel, ziemlich bald, dass gleiche Spiel werden halten Sie warm in der Nacht .. Die Zeit ist nicht ein Anliegen, um sie, denn egal, wie lange es dauert, bereit, Energie, Zeit und Geld bei der Verwirklichung ihrer Ideen zu opfern sie. <br><br>" . Hier war sie, etwas, was sie [http://www.job-passerelle.ch/mailform/templates/mailform.asp?n=83-Nike-Store-Schweiz Nike Store Schweiz] hasste tun! Es machte keinen Sinn. Zur gleichen Zeit langsam öffnen und schließen Sie Ihre [http://www.gammaprint.ch/Download/Datentransfer.asp?page=128-Nike-Air-Yeezy-2-Red Nike Air Yeezy 2 Red] Hand, und wie die Beschwerden verringert, beginnen, um einen Ball zu verwenden (ein Tennisball ist eine ideale Größe) und drücken Sie leicht und die Kugel einzuwerfen, während Ihr Arm ist erhoben. <br><br>Mama schläft; Chrissie hat sich mit der Kruppe gewesen. Es war, weil unser Fokus anderswo. Ich frage mich: "Bin ich der Meister der Computer? Wenn wir in unserem Verein gesprochen wurden Computer geht so einfach zu sein zu bedienen, dass jeder Begriff war, ein Meister zu sein und in der Lage zu schaffen, was auch immer sie wollten. <br><br>Daraus wird klar, dass die Herrlichkeit des Gayatri ist das Höchste. Dies wird helfen, die Schwellung in den Arm und wird auch helfen, Verkehr in der Arm und straffen Sie Ihre Muskeln. Sie brauchte nicht zu sein, dass in Playboy, oder Playboy steht für welche, die Mädchen oder die Mädchen nebenan lieben ... <br><br>Und sie könnte [http://www.arcobaleno-maler.ch/statique/order.asp?Category_id=71-Ugg-Zurich-Switzerland Ugg Zurich Switzerland] sehr gut Tea-Party-Organisationen. In der ersten Strophe, der Sprecher beschreibt seine Position. Erinnern Sie sich an das alte Sprichwort "Ein Apfel am Tag hält den Doktor fern?" Nun, [http://www.lennoxcf.ch/bilder/freunde/button.asp?id=4-Canada-Goose-Parka-Expedition Canada Goose Parka Expedition] das Sprichwort wird von den Fakten, die wir über Äpfel gesammelt unterstützt.<ul>
The general cubic equation has the form
 
:<math>ax^3+bx^2+cx+d=0 \qquad(1)</math>
  <li>[http://www.sz-jiazhou.com/news/html/?420706.html http://www.sz-jiazhou.com/news/html/?420706.html]</li>
with <math>a\neq 0\,.</math>
 
 
  <li>[http://www.ty2013.com/news/html/?98273.html http://www.ty2013.com/news/html/?98273.html]</li>
This section describes how the roots of such an equation may be computed. The coefficients ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' are generally assumed to be [[real number]]s, but most of the results apply when they belong to any [[Field (mathematics)|field]] of [[Characteristic (algebra)|characteristic]] not 2 or 3.
 
 
  <li>[http://yuvabharatshakti.info/Main_Page http://yuvabharatshakti.info/Main_Page]</li>
===The nature of the roots===
 
Every cubic equation (1) with [[real number|real]] coefficients has at least one solution ''x'' among the real numbers; this is a consequence of the [[intermediate value theorem]]. We can distinguish several possible cases using the [[discriminant]],
  <li>[http://www.sdzdty.com/news/html/?85301.html http://www.sdzdty.com/news/html/?85301.html]</li>
:: <math> \Delta = 18abcd -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2. \,</math>
 
The following cases need to be considered:
  <li>[http://www.xjvns.cn/news/html/?111521.html http://www.xjvns.cn/news/html/?111521.html]</li>
<ref>{{citation
 
|title=Integers, polynomials, and rings
  </ul>
|first1=Ronald S.
|last1=Irving
|publisher=Springer-Verlag New York, Inc.
|year=2004
|isbn=0-387-40397-3
|url=http://books.google.com/?id=B4k6ltaxm5YC}}, [http://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154 Chapter 10 ex 10.14.4 and 10.17.4, pp. 154–156]</ref>
 
* If Δ > 0, then the equation has three distinct real roots.
* If Δ = 0, then the equation has a [[multiple root]] and all its roots are real.
* If Δ < 0, then the equation has one real root and two nonreal complex conjugate roots.
 
''For information about the location in the [[complex plane]] of the roots of a polynomial of any degree, including degree three, see [[Properties of polynomial roots]] and [[Routh–Hurwitz stability criterion]]''
 
===General formula for roots===
For the general cubic equation
:<math>a x^3 + b x^2 + c x + d = 0</math>
the general formula for the roots, in terms of the coefficients, is as follows:<ref>{{cite book
|title=Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing
|first1=William H.
|last1=Press
|first2=William T.
|last2=Vetterling
|publisher=Cambridge University Press
|year=1992
|isbn=0-521-43064-X
|page=179
|url=http://books.google.com/books?id=gn_4mpdN9WkC}}, [http://books.google.com/books?id=gn_4mpdN9WkC&pg=PA179 Extract of page 179]
</ref><ref>Output of [[Maple (software)|Maple]]'s function "solve".</ref>
:<math>x_k = - \frac{1}{3a}\left(b\ +\ u_k C\ +\ \frac{\Delta_0}{u_kC}\right)\ , \qquad k \in \{1,2, 3\}</math>
where
:<math>u_1 = 1\ ,\qquad u_2 = {-1 + i\sqrt{3} \over 2}\ ,\qquad u_3 = {-1 - i\sqrt{3} \over 2}</math>
are the three [[root of unity|cube roots of unity]], and where
:<math>C = \sqrt[3]{\frac{\Delta_1 + \sqrt{\Delta_1^2 - 4 \Delta_0^3}}{2}} \qquad \qquad {\color{white}.}</math> (see [[#Special cases | below]] for special cases)
with
:<math>\Delta_0 = b^2-3 a c</math>
:<math>\Delta_1 = 2 b^3-9 a b c+27 a^2 d</math>
and
:<math>\Delta_1^2 - 4 \Delta_0^3 = -27\,a^2\,\Delta\ ,</math> where <math>\Delta</math> is the [[discriminant]] discussed above.
 
In these formulae, <math>\sqrt{~~}</math> and <math>\sqrt[3]{~~}</math> denote any choice for the square or cube roots. Changing of choice for the square root amounts to exchanging <math>x_2</math> and <math>x_3</math>. Changing of choice for the cube root amounts to [[cyclic permutation|circularly permute]] the roots. Thus the freeness of choosing a determination of the square or cube roots corresponds exactly to the freeness for numbering the roots of the equation.
 
Four centuries ago, [[Gerolamo Cardano]] proposed a similar formula (see [[#Cardano's_method | below]]), which still appears in many textbooks:
 
:<math>x_k = - \frac{1}{3a}(b\ +\ u_k C\ +\ \bar u_k \bar C)</math>
where
:<math>\bar C = \sqrt[3]{\frac{\Delta_1 - \sqrt{\Delta_1^2 - 4 \Delta_0^3}}{2}}</math>
and <math>\bar u_k</math> is the [[complex conjugate]] of <math>u_k</math> (note that <math>C\bar C=\Delta_0</math>).
 
However, this formula is applicable without further explanation ''only'' when ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' are [[real number]]s and the operand of the square root <math>\Delta_1^2 - 4 \Delta_0^3 \ge 0</math> is non-negative. When this operand is real and non-negative, the square root refers to the principal (positive) square root and the cube roots in the formula are to be interpreted as the real ones. Otherwise, there is no real square root and one can arbitrarily choose one of the imaginary square roots (the same one everywhere in the solution). For extracting the complex cube roots of the resulting complex expression, we have also to choose among three cube roots in each part of each solution, giving nine possible combinations of one of three cube roots for the first part of the expression and one of three for the second. The correct combination is such that the two cube roots chosen for the two terms in a given solution expression are complex conjugates of each other (whereby the two imaginary terms in each solution cancel out).
 
The next sections describe how these formulas may be obtained.
 
====Special cases====
If <math>\Delta \neq 0</math> and <math>\Delta_0 = 0,</math> the sign of <math>\sqrt{\Delta_1^2 - 4 \Delta_0^3}=\sqrt{\Delta_1^2} </math>  has to be chosen to have <math>C \neq 0,</math> that is one should define <math>\sqrt{\Delta_1^2} =\Delta_1,</math> whichever is the sign of <math>\Delta_1.</math>
 
If <math>\Delta = 0</math> and <math>\ \Delta_0 = 0,</math> the three roots are equal:
 
:<math>x_1=x_2=x_3=-\frac{b}{3a}.</math>
 
If <math>\Delta=0</math> and <math> \Delta_0 \neq 0,</math> the above expression for the roots is correct but misleading, hiding the fact that no radical is needed to represent the roots. In fact, in this case, there is a double root,
:<math> x_1=x_2=\frac{9ad-bc}{2\Delta_0},</math>
and a simple root
:<math> x_3=\frac{4abc-9a^2d-b^3}{a\Delta_0}.</math>
 
===Reduction to a depressed cubic===
Dividing Equation (1) by <math>a</math> and substituting <math>x</math> by <math> t-\frac{b}{3a}</math> (the [[Tschirnhaus transformation]]) we get the equation
:<math>t^3+pt+q=0 \qquad(2)</math>
where
:<math> \begin{align}
p=&\frac{3ac-b^2}{3a^2}\\
q=&\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}.
\end{align}
</math>
 
The left hand side of equation (2) is a [[monic polynomial|monic]] [[trinomial]] called a '''depressed cubic'''.
 
Any formula for the roots of a depressed cubic may be transformed into a formula for the roots of Equation (1) by substituting the above values for <math>p</math> and <math>q</math> and using the relation  <math> x=t-\frac{b}{3a}</math>.
 
Therefore, only Equation (2) is considered in the following.
 
===Cardano's method===
The solutions can be found with the following method due to [[Scipione del Ferro]] and [[Niccolò Fontana Tartaglia|Tartaglia]], published by [[Gerolamo Cardano]] in 1545.<ref>{{Harvnb|Jacobson|2009|p=210}}</ref>
 
This method applies to the depressed cubic
:<math> t^3 + pt + q = 0\,. \qquad (2)</math>
 
We introduce two variables ''u'' and ''v'' linked by the condition
:<math>u+v=t\,</math>
and substitute this in the depressed cubic (2), giving
:<math> u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 \qquad (3)\,</math>.
 
At this point Cardano imposed a second condition for the variables ''u'' and ''v'':
:<math> 3uv+p=0\,</math>.
As the first parenthesis vanishes in (3), we get <math> u^3+v^3=-q</math> and <math> u^3v^3=-p^3/27</math>. Thus <math> u^3</math> and <math> v^3</math> are the two roots of the equation
:<math> z^2 + qz - {p^3\over 27} = 0\,.</math>
 
At this point, Cardano, who did not know [[complex numbers]], supposed that the roots of this equation were real, that is that <math> \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27} >0\,. </math>
 
Solving this equation and using the fact that <math> u</math> and <math> v</math> may be exchanged, we find
:<math> u^{3}=-{q\over 2} + \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}</math> and <math>v^{3}=-{q\over 2} - \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}</math>.
As these expressions are real, their cube roots are well defined and, like Cardano, we get
:<math> t_1=u+v=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} +\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}</math>
The two complex roots are obtained by considering the complex cube roots; the fact <math> uv</math> is real implies that they are obtained by multiplying one of the above cube roots by <math>\,\tfrac{-1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,</math> and the other by <math>\,\tfrac{-1}{2} - i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,</math>.
 
If <math> \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\, </math> is not necessarily positive, we have to choose a cube root of <math>u^3</math>. As there is no direct way to choose the corresponding cube root of <math>v^3</math>, one has to use the relation <math>v=-\frac{p}{3u}</math>, which gives
:<math> u=\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} \qquad (4) </math>
and
:<math>t=u-\frac{p}{3u}\,.</math>
 
Note that the sign of the square root does not affect the resulting <math>t</math>, because changing it amounts to exchanging <math>u</math> and <math>v</math>. We have chosen the minus sign to have <math>u\ne 0</math> when <math>p = 0</math> and <math>q\ne 0</math>, in order to avoid a division by zero. With this choice, the above expression for <math>t</math> always works, except when <math>p = q=0</math>, where the second term becomes 0/0. In this case there is a triple root <math> t=0</math>.
 
Note also that in several cases the solutions are expressed with fewer square or cube roots
 
:If <math>p=q=0</math> then we have the triple real root
::<math>t=0.\,</math>
:If <math>p=0</math> and <math>q\ne 0</math> then
::<math>u=-\sqrt[3]{q} \text{ and } v = 0</math>
:and the three roots are the three cube roots of <math>-q</math>.
:If <math>p\ne 0</math> and <math>q=0</math> then
::<math>u=\sqrt{{p\over 3}} \qquad \text{and} \qquad v=-\sqrt{{p\over 3}},</math>
:in which case the three roots are
::<math>t=u+v=0 , \qquad t=\omega_1u-{p\over 3\omega_1u}=\sqrt{-p} , \qquad t={u\over \omega_1}-{\omega_1p\over 3u}=-\sqrt{-p} ,</math>
:where
::<math>\omega_1=e^{i\frac{2\pi}{3}}=-\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}i.</math>
:Finally if <math>4p^3+27q^2=0 \text{ and } p\ne 0</math>, there is a double root and a simple root which may be expressed rationally in term of <math>p \text{ and } q </math>, but this expression may not be immediately deduced from the general expression of the roots:
::<math> t_1=t_2= -\frac{3q}{2p}\quad \text{and} \quad t_3=\frac{3q}{p}\,.</math>
 
To pass from these roots of <math>t</math> in Equation (2) to the general formulas for roots of <math>x</math> in Equation (1), subtract <math>\frac{b}{3a}</math> and replace <math> p</math> and <math> q</math> by their expressions in terms of <math>a,b,c,d</math>.
 
=== Vieta's substitution ===
Starting from the depressed cubic
:<math>t^3 + pt + q = 0,</math>
we make the following substitution, known as Vieta's substitution:
:<math>t = w - \frac{p}{3w}</math>
 
This results in the equation
:<math>w^3 + q - \frac{p^3}{27w^3} = 0.</math>
 
Multiplying by ''w''<sup>3</sup>, it becomes a [[sextic equation]] in ''w'', which is in fact a quadratic equation in ''w''<sup>3</sup>:
:<math>w^6 + qw^3 - \frac{p^3}{27} = 0</math>
 
The [[quadratic formula]] allows to solve it in ''w''<sup>3</sup>. If ''w''<sub>1</sub>, ''w''<sub>2</sub> and ''w''<sub>3</sub> are the three [[cube root]]s of one of the solutions in ''w''<sup>3</sup>, then the roots of the original depressed cubic are
:<math>t_1 = w_1 - \frac{p}{3w_1}, \quad t_2 = w_2 - \frac{p}{3w_2}\quad\text{and} \quad t_3 = w_3 - \frac{p}{3w_3}.</math>
 
===Lagrange's method===<!--This section is linked from [[Lagrange resolvents]] and [[Lagrange resolvent]] (singular) -->
 
In his paper ''[[Réflexions sur la résolution algébrique des équations]]'' ("Thoughts on the algebraic solving of equations"), [[Joseph Louis Lagrange]] introduced a new method to solve equations of low degree.  
 
This method works well for cubic and [[quartic equations]], but Lagrange did not succeed in applying it to a [[quintic equation]], because it requires solving a resolvent polynomial of degree at least six.<ref name="efei">{{citation
|title=Elliptic functions and elliptic integrals
|first1=Viktor
|last1=Prasolov
|first2=Yuri
|last2=Solovyev
|publisher=AMS Bookstore
|year=1997
|isbn=978-0-8218-0587-9
|url=http://books.google.com/?id=fcp9IiZd3tQC
}}, [http://books.google.com/books?id=fcp9IiZd3tQC&pg=PA134#PPA134,M1 §6.2, p. 134]</ref><ref>{{citation
|first=Morris
|last=Kline
|title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times
|publisher=Oxford University Press US
|year=1990
|isbn=978-0-19-506136-9
|url=http://books.google.com/?id=aO-v3gvY-I8C
}}, [http://books.google.com/books?id=aO-v3gvY-I8C&printsec=frontcover#PPA597,M1 Algebra in the Eighteenth Century: The Theory of Equations]</ref><ref name="laz">Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", in [[Olav Arnfinn Laudal]], [[Ragni Piene]], ''The Legacy of Niels Henrik Abel'', pp.&nbsp;207–225, Berlin, 2004,. ISBN 3-540-43826-2</ref> This is explained by the [[Abel–Ruffini theorem]], which proves that such polynomials cannot be solved by radicals. Nevertheless the modern methods for solving solvable quintic equations are mainly based on Lagrange's method.<ref name="laz" />
 
In the case of cubic equations, Lagrange's method gives the same solution as Cardano's, where the latter may seem almost magical to the modern reader. But Cardano explains in his book ''Ars Magna'' how he arrived at the idea of considering the unknown of the cubic equation as a sum of two other quantities, by drawing attention to a geometrical problem that involves two cubes of different size. Lagrange's method may also be applied directly to the general cubic equation (1) without using the reduction to the depressed cubic equation (2). Nevertheless the computation is much easier with this reduced equation.
 
Suppose that ''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub> and ''x''<sub>2</sub> are the roots of equation (1) or (2), and define <math>\zeta = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}i</math> (a complex cube root of 1, i.e. a [[root of unity|primitive third root of unity]]) which satisfies the relation <math>\zeta^2+\zeta+1=0</math>. We now set
:<math>s_0 = x_0 + x_1 + x_2,\,</math>
:<math>s_1 = x_0 + \zeta x_1 + \zeta^2 x_2,\,</math>
:<math>s_2 = x_0 + \zeta^2 x_1 + \zeta x_2.\,</math>
This is the discrete Fourier transform of the roots: observe that while the coefficients of the polynomial are symmetric in the roots, in this formula an ''order'' has been chosen on the roots, so these are not symmetric in the roots.
The roots may then be recovered from the three ''s''<sub>''i''</sub> by inverting the above linear transformation via the inverse discrete Fourier transform, giving
:<math>x_0 = \tfrac13(s_0 + s_1 + s_2),\,</math>
:<math>x_1 = \tfrac13(s_0 + \zeta^2 s_1 + \zeta s_2),\,</math>
:<math>x_2 = \tfrac13(s_0 + \zeta s_1 + \zeta^2 s_2).\,</math>
 
The polynomial <math>s_0</math> is an [[elementary symmetric polynomial]] and is thus equal to <math>-b/a</math> in case of Equation (1) and to zero in case of Equation (2), so we only need to seek values for the other two.
 
The polynomials <math>s_1</math> and <math>s_2</math> are not [[symmetric polynomial|symmetric functions]] of the roots: <math>s_0</math> is invariant, while the two non-trivial [[cyclic permutation]]s of the roots send <math>s_1</math> to <math>\zeta s_1</math> and <math>s_2</math> to <math>\zeta^2 s_2</math>, or <math>s_1</math> to <math>\zeta^2 s_1</math> and <math>s_2</math> to <math>\zeta s_2</math> (depending on which permutation), while transposing <math>x_1</math> and <math>x_2</math> switches <math>s_1</math> and <math>s_2</math>; other transpositions switch these roots and multiply them by a power of <math>\zeta.</math>
 
Thus, <math>s_1^3</math>, <math>s_2^3</math> and <math>s_1 s_2</math> are left invariant by the cyclic permutations of the roots, which multiply them by <math>\zeta^3=1</math>. Also <math>s_1 s_2</math> and <math>s_1^3+s_2^3</math> are left invariant by the transposition of <math>x_1</math> and <math>x_2</math> which exchanges <math>s_1</math> and <math>s_2</math>. As the [[permutation group]] <math>S_3</math> of the roots is generated by these permutations, it follows that <math>s_1^3+s_2^3</math> and <math>s_1 s_2</math> are [[symmetric polynomial|symmetric functions]] of the roots and may thus be written as polynomials in the [[elementary symmetric polynomial]]s and thus as [[rational function]]s of the coefficients of the equation. Let <math>s_1^3+s_2^3=A</math> and <math>s_1 s_2=B</math> in these expressions, which will be explicitly computed below.
 
We have that <math>s_1^3</math> and <math>s_2^3</math> are the two roots of the quadratic equation
:<math>z^2-Az+B^3 = 0 \,.</math>
Thus the resolution of the equation may be finished exactly as described for Cardano's method, with <math>s_1</math> and <math>s_2</math> in place of <math>u</math> and <math>v</math>.
 
====Computation of ''A'' and ''B''====
 
Setting <math>E_1=x_0+x_1+x_2</math>, <math>E_2=x_0x_1+x_1x_2+x_2x_0</math> and <math>E_3=x_0x_1x_2</math>, the elementary symmetric polynomials, we have, using that <math>\zeta^3=1</math>:
:<math>s_1^3=x_0^3+x_1^3+x_2^3+3\zeta (x_0^2x_1+x_1^2x_2+x_2^2x_0) +3\zeta^2 (x_0x_1^2+x_1x_2^2+x_2x_0^2) +6x_0x_1x_2\,. </math>
The expression for <math>s_2^3</math> is the same with <math>\zeta</math> and <math>\zeta^2</math> exchanged. Thus, using <math>\zeta^2+\zeta=-1</math> we get
:<math>
A=s_1^3+s_2^3=2(x_0^3+x_1^3+x_2^3)-3(x_0^2x_1+x_1^2x_2+x_2^2x_0+x_0x_1^2+x_1x_2^2+x_2x_0^2)+12x_0x_1x_2\,,
</math>
and a straightforward computation gives
:<math>
A=s_1^3+s_2^3=2E_1^3-9E_1E_2+27E_3\,.
</math>
 
Similarly we have
:<math>
B=s_1s_2=x_0^2+x_1^2+x_2^2+(\zeta+\zeta^2)(x_0x_1+x_1x_2+x_2x_0)=E_1^2-3E_2\,.
</math>
 
When solving Equation (1) we have
:<math>E_1=-b/a</math>, <math>E_2=c/a</math> and <math>E_3=-d/a</math>
With Equation (2), we have <math>E_1=0</math>, <math>E_2=p</math> and <math>E_3=-q</math> and thus:
:<math>A=-27q</math> and <math>B=-3p</math>.
 
Note that with Equation (2), we have <math>x_0 = \tfrac13(s_1 + s_2)</math> and <math>s_1s_2=-3p</math>, while in Cardano's method we have set <math>x_0 = u+v</math> and <math>uv=-\frac13p\,.</math>
Thus we have, up to the exchange of <math>u</math> and <math>v</math>:
:<math>s_1=3u</math> and <math> s_2=3v</math>.
In other words, in this case, Cardano's and Lagrange's method compute exactly the same things, up to a factor of three in the auxiliary variables, the main difference being that Lagrange's method explains why these auxiliary variables appear in the problem.
 
===Trigonometric (and hyperbolic) method===<!-- linked from redirect [[Chebyshev cube root]] -->
 
When a cubic equation has three real roots, the formulas expressing these roots in terms of radicals involve complex numbers. It has been proved that when none of the three real roots is rational—the ''[[casus irreducibilis]]''— one cannot express the roots in terms of '''real radicals'''. Nevertheless, purely real expressions of the solutions may be obtained using [[hypergeometric function]]s,<ref>Zucker, I. J., "The cubic equation — a new look at the irreducible case", ''Mathematical Gazette'' 92, July 2008, 264–268.</ref> or more elementarily in terms of [[trigonometry|trigonometric functions]], specifically in terms of the [[cosine]] and [[arccosine]] functions.
 
The formulas which follow, due to [[François Viète]],<ref name=Nickalls>{{Citation |last=Nickalls |first=R. W. D. |title=Viète, Descartes and the cubic equation |url=http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/descartes2006.pdf |journal=[[Mathematical Gazette]] |volume=90 |date=July 2006 |pages=203–208 |doi= }}</ref> are true in general (except when ''p''&nbsp;=&nbsp;0), are purely real when the equation has three real roots, but involve complex cosines and arccosines when there is only one real root.
 
Starting from Equation (2), <math>t^3+pt+q=0</math>, let us set <math>t=u\cos\theta\,.</math> The idea is to choose <math>u</math> to make Equation (2) coincide with the identity
:<math>4\cos^3\theta-3\cos\theta-\cos(3\theta)=0\,.</math>
In fact, choosing <math>u=2\sqrt{-\frac{p}{3}}</math> and dividing Equation (2) by <math>\frac{u^3}{4}</math> we get
:<math>4\cos^3\theta-3\cos\theta-\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}=0\,.</math>
Combining with the above identity, we get
:<math>\cos(3\theta)=\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}</math>
and thus the roots are<ref name="crc">{{citation
|title=CRC Standard Mathematical Tables
|first=Samuel
|last=Shelbey
|publisher=CRC Press
|year=1975
|isbn=0-87819-622-6
}}</ref>
:<math>t_k=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)-k\frac{2\pi}{3}\right) \quad \text{for} \quad k=0,1,2 \,.</math>
 
This formula involves only real terms if <math>p<0</math> and the argument of the arccosine is between &minus;1 and 1. The last condition is equivalent to <math> 4p^3+27q^2\leq 0\,,</math> which implies also <math>p<0</math>. Thus the above formula for the roots involves only real terms if and only if the three roots are real.
 
Denoting by <math>C(p,q)</math> the above value of ''t''<sub>0</sub>, and using the inequality <math>-\pi\le \arccos(u) \le \pi</math> for a real number ''u'' such that <math>-1\le u\le 1\,,</math> the three roots may also be expressed as
:<math>t_0=C(p,q),\qquad t_2=-C(p,-q), \qquad t_1=-t_0-t_2\,.</math>
If the three roots are real, we have
:<math>t_0\ge t_1\ge t_2\,.</math>
 
All these formulas may be straightforwardly transformed into formulas for the roots of the general cubic equation (1), using the back substitution described in Section [[#Reduction to a depressed cubic|Reduction to a depressed cubic]].
 
When there is only one real root (and ''p''&nbsp;≠&nbsp;0), it may be similarly represented using [[hyperbolic function]]s, as<ref>These are Formulas (80) and (83) of Weisstein, Eric W. 'Cubic Formula'. From MathWorld&mdash;A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html, rewritten for having a coherent notation.</ref><ref>Holmes, G. C., "The use of hyperbolic cosines in solving cubic polynomials", ''[[Mathematical Gazette]]'' 86. November 2002, 473–477.</ref>  
:<math>t_0=-2\frac{|q|}{q}\sqrt{-\frac{p}{3}}\cosh\left(\frac{1}{3}\operatorname{arcosh}\left(\frac{-3|q|}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)\right) \quad \text{if } \quad 4p^3+27q^2>0 \text{ and } p<0\,,</math>
:<math>t_0=-2\sqrt{\frac{p}{3}}\sinh\left(\frac{1}{3}\operatorname{arsinh}\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{3}{p}}\right)\right) \quad \text{if } \quad p>0\,.</math>
If ''p''&nbsp;≠&nbsp;0 and the inequalities on the right are not satisfied the formulas remain valid but involve complex quantities.
 
When <math> p=\pm 3</math>, the above values of <math>t_0</math> are sometimes called the '''Chebyshev cube root.'''<ref>Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'', Dover (1965), chap. 22 p. 773</ref> More precisely, the values involving cosines and hyperbolic cosines define, when <math> p=-3</math>,  the same [[analytic function]] denoted <math>C_{\frac13}(q)</math>, which is the proper Chebyshev cube root. The value involving hyperbolic sines is similarly denoted <math>S_{\frac13}(q),</math>  when <math> p=3</math>.
 
===Factorization===
 
If the cubic equation <math>ax^3 + bx^2 + cx +d=0</math> with integer coefficients has a rational real root, it can be found using the [[rational root test]]: If the root is ''r'' = ''m'' / ''n'' fully reduced, then ''m'' is a factor of ''d'' and ''n'' is a factor of ''a'', so all possible combinations of values for ''m'' and ''n'' can be checked for whether they satisfy the cubic equation.  
 
The rational root test may also be used for a cubic equation with rational coefficients: by multiplication by the [[lowest common denominator]]) of the coefficients, one gets an equation with integer coefficients which has exactly the same roots.
 
The rational root test is particularly useful when there are three real roots because the algebraic solution unhelpfully expresses the real roots in terms of complex entities. The rational root test is also helpful in the presence of one real and two complex roots because it allows all of the roots to be written without the use of cube roots.
 
If ''r'' is any root of the cubic, then we may factor out (''x''–''r'' ) using [[polynomial long division]] to obtain
:<math>\left (x-r\right )\left (ax^2+(b+ar)x+c+br+ar^2 \right ) = ax^3+bx^2+cx+d\,.</math>
Hence if we know one root we can find the other two by using the [[quadratic formula]] to solve the quadratic <math>ax^2+(b+ar)x+c+br+ar^2 </math>, giving
:<math> \frac{-b-ra \pm \sqrt{b^2-4ac-2abr-3a^2r^2}}{2a} </math>
for the other two roots.
 
===Geometric interpretation of the roots===
 
====Three real roots====
[[File:Trigonometric interpretation of a cubic equation with three real roots.svg|thumb|right|150px|For the cubic <math>\scriptstyle x^3+bx^2+cx+d=0</math> with three real roots, the roots form an equilateral triangle with vertices A, B, and C in the circle.]]
 
Viète's trigonometric expression of the roots in the three-real-roots case lends itself to a geometric interpretation in terms of a circle.<ref name=Nickalls/><ref>{{Citation
|first= R. W. D.
|last= Nickalls
|date= November 1993
|title= A new approach to solving the cubic: Cardan's solution revealed
|url= http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/cubic1993.pdf
|journal= The Mathematical Gazette
|volume= 77
|issue= 480
|pages= 354&ndash;359
|issn= 0025-5572
|doi=10.2307/3619777
|jstor= 3619777 }} See esp. Fig. 2.</ref> When the cubic is written in depressed form as above as <math>t^3+pt+q=0</math>, as shown above the solution can be expressed as
 
:<math>t_k=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)-k\frac{2\pi}{3}\right) \quad \text{for} \quad k=0,1,2 \,.</math>
 
Here <math>\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)</math> is an angle in the unit circle; taking <math>\tfrac{1}{3}</math> of that angle corresponds to taking a cube root of a complex number; adding <math>-k\frac{2\pi}{3}</math> for ''k'' = 1, 2 finds the other cube roots; and multiplying the cosines of these resulting angles by <math>2\sqrt{-\frac{p}{3}}</math> corrects for scale.
 
For the non-depressed case <math>x^3+bx^2+cx+d=0</math> (shown in the accompanying graph), the depressed case as indicated previously is obtained by defining ''t'' such that <math>x=t-\tfrac{b}{3}</math> so <math>t=x+\tfrac{b}{3}</math>. Graphically this corresponds to simply shifting the graph horizontally when changing between the variables ''t'' and ''x'', without changing the angle relationships.
 
====One real and two complex roots====
 
=====In the Cartesian plane=====
[[File:Graphical interpretation of the complex roots of cubic equation.svg|thumb|right|300px|The slope of line RA is twice that of RH. Denoting the complex roots of the cubic as  ''g''±''hi'', ''g'' = <math>\scriptstyle\overline{OM}</math> (negative here) and ''h'' = <math>\scriptstyle\sqrt{\tan ORH}</math> = <math>\scriptstyle\sqrt{\text{slope of line RH}}</math> = <math>\scriptstyle\overline{BE}</math> = <math>\scriptstyle\overline{DA}</math>.]]
 
If a cubic is plotted in the Cartesian plane, the real root can be seen graphically as the horizontal intercept of the curve. But further,<ref>{{Citation |last=Henriquez |first=Garcia |title=The graphical interpretation of the complex roots of cubic equations |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=42 |issue=6 |pages=383–384 |date=June–July 1935 |doi=10.2307/2301359 }}</ref><ref>{{Citation |last=Barr |first=C. F. |title= |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=25 |issue= |page=268 |year=1918 |doi= }}</ref><ref>{{Citation |last=Barr |first=C. F. |journal=Annals of Mathematics |volume=19 |issue= |page=157 |year=1917 |doi= }}</ref> if the complex conjugate roots are written as ''g''+''hi'', then ''g'' is the abscissa (the positive or negative horizontal distance from the origin) of the tangency point of a line that is tangent to the cubic curve and intersects the horizontal axis at the same place as does the cubic curve; and |''h''| is the square root of the tangent of the angle between this line and the horizontal axis.
 
=====In the complex plane=====
 
With one real and two complex roots, the three roots can be represented as points in the complex plane, as can the two roots of the cubic's derivative. There is an interesting geometrical relationship among all these roots.
 
The points in the complex plane representing the three roots serve as the vertices of an isosceles triangle. (The triangle is isosceles because one root is on the horizontal (real) axis and the other two roots, being complex conjugates, appear symmetrically above and below the real axis.) [[Marden's Theorem]] says that the points representing the roots of the derivative of the cubic are the foci of the [[Steiner inellipse]] of the triangle—the unique ellipse that is tangent to the triangle at the midpoints of its sides. If the angle at the vertex on the real axis  is less than <math>\tfrac{\pi}{3}</math> then the major axis of the ellipse lies on the real axis, as do its foci and hence the roots of the derivative. If that angle is greater than <math>\tfrac{\pi}{3}</math>, the major axis is vertical and its foci, the roots of the derivative, are complex. And if that angle is <math>\tfrac{\pi}{3}</math>, the triangle is equilateral, the Steiner inellipse is simply the triangle's incircle, its foci coincide with each other at the incenter, which lies on the real axis, and hence the derivative has duplicate real roots.
 
{{clear}}
 
==== Omar Khayyám's solution ====
[[File:Omar Kayyám - Geometric solution to cubic equation.svg|thumb|right|200px|Omar Khayyám's geometric solution of a cubic equation.]] As shown in this graph, to solve the third-degree equation <math>x^3 + a^2x = b</math> where <math>b>0,</math> [[Omar Khayyám]] constructed the parabola <math>y=x^2/a,</math> the circle with diameter <math>b/a^2</math> having its center on the positive x-axis and intersecting the origin, and a vertical line through the point above the x-axis where the circle and parabola intersect. The solution is given by the length of the horizontal line segment from the origin to the intersection of the vertical line and the x-axis.
 
==See also==
*[[Algebraic equation]]
*[[Linear equation]]
*[[Newton's method]]
*[[Polynomial]]
*[[Quadratic equation]]
*[[Quartic equation]]
*[[Quintic equation]]
*[[Spline (mathematics)]]
 
==Notes==
{{Reflist|30em}}
 
==References==
* {{Citation
|first= W. S.
|last= Anglin
|first2= Joachim
|last2= Lambek
|title= The Heritage of Thales
|year= 1995
|chapter= Mathematics in the Renaissance
|pages= 125&ndash;131
|publisher= Springers
|url=http://books.google.com/?id=mZfXHRgJpmQC&pg=PA125&lpg=PA125&dq=%22mathematics+in+the+renaissance%22+heritage+thales&q
|isbn= 978-0-387-94544-6
}} Ch. 24.
* {{Citation |last=Dence |first=T. |title=Cubics, chaos and Newton's method |journal=Mathematical Gazette |volume=81 |issue= |date=November 1997 |pages=403–408 |publisher=[[Mathematical Association]] |issn=0025-5572 |doi= }}
* {{Citation |last=Dunnett |first=R. |title=Newton–Raphson and the cubic |journal=Mathematical Gazette |volume=78 |issue= |date=November 1994 |pages=347–348 |publisher=[[Mathematical Association]] |issn=0025-5572 |doi=}}
* {{Citation
|first= Lucye
|last= Guilbeau
|year= 1930
|title= The History of the Solution of the Cubic Equation
|journal= Mathematics News Letter
|volume= 5
|issue= 4
|pages= 8&ndash;12
|doi=10.2307/3027812
|jstor= 3027812}}
* {{Citation| last=Jacobson| first=Nathan| author-link=Nathan Jacobson| year=2009| title=Basic algebra| edition=2nd| volume = 1 | series= | publisher=Dover| isbn = 978-0-486-47189-1}}
* {{Citation |last=Mitchell |first=D. W. |title=Solving cubics by solving triangles |journal=Mathematical Gazette |volume=91 |issue= |date=November 2007 |pages=514–516 |publisher=[[Mathematical Association]] |issn=0025-5572 |doi= }}
* {{Citation |last=Mitchell |first=D. W. |title=Powers of &phi; as roots of cubics |journal=Mathematical Gazette |volume=93 |issue= |date=November 2009 |pages=??? |publisher=[[Mathematical Association]] |issn=0025-5572 |doi= }}
* {{Citation | last1=Press | first1=WH | last2=Teukolsky | first2=SA | last3=Vetterling | first3=WT | last4=Flannery | first4=BP | year=2007 | title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing | edition=3rd | publisher=Cambridge University Press |  publication-place=New York | isbn=978-0-521-88068-8 | chapter=Section 5.6 Quadratic and Cubic Equations | chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=227}}
* {{Citation |last=Rechtschaffen |first=Edgar |title=Real roots of cubics: Explicit formula for quasi-solutions |journal=Mathematical Gazette |volume=92 |issue= |date=July 2008 |pages=268–276 |publisher=[[Mathematical Association]] |issn=0025-5572 |doi= }}
* {{Citation |last=Zucker |first=I. J. |title=The cubic equation – a new look at the irreducible case |journal=Mathematical Gazette |volume=92 |issue= |date=July 2008 |pages=264–268 |publisher=[[Mathematical Association]] |issn=0025-5572 |doi= }}
 
==External links==
{{commons category|Cubic polynomials}}
*{{springer|title=Cardano formula|id=p/c020350}}
*[http://home.pipeline.com/~hbaker1/sigplannotices/sigcol07.pdf Solving a Cubic by means of Moebius transforms]
*[http://home.pipeline.com/~hbaker1/cubic3realroots.htm Interesting derivation of trigonometric cubic solution with 3 real roots]
*[http://www.freewebs.com/brianjs/ultimateequationsolver.htm Calculator for solving Cubics (also solves Quartics and Quadratics)]
*[http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1345&bodyId=1491 Tartaglia's work (and poetry) on the solution of the Cubic Equation] at [http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Convergence]
*[http://www.akiti.ca/Quad3Deg.html Cubic Equation Solver].
*[http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Quadratic_etc_equations.html Quadratic, cubic and quartic equations] on [[MacTutor archive]].
*{{planetmath reference|id=1407|title=Cubic Formula}}
*[http://www25.brinkster.com/denshade/cardano.html Cardano solution calculator as java applet] at some local site. Only takes natural coefficients.
*[http://www.mathopenref.com/cubicexplorer.html Graphic explorer for cubic functions] With interactive animation, slider controls for coefficients
*[http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/gen/03nle/mws_gen_nle_bck_exactcubic.pdf On Solution of Cubic Equations] at Holistic Numerical Methods Institute
*[http://arxiv.org/abs/math.HO/0310449 Dave Auckly, Solving the quartic with a pencil] American Math Monthly 114:1 (2007) 29—39
* [http://demonstrations.wolfram.com/CubicEquation/ "Cubic Equation"] by [[Eric W. Weisstein]], [[The Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
 
{{Polynomials}}
 
{{DEFAULTSORT:Cubic Function}}
[[Category:Elementary algebra]]
[[Category:Equations]]
[[Category:Polynomials]]

Revision as of 18:43, 4 March 2014

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