Knot group: Difference between revisions

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[[Image:TorusKnot3D.png|thumb|A (3,−7)-[[3D computer graphics|3D]] torus knot.]]
== AAD Ray Ban Falsi Ebay ==
[[Image:Eurelea.png|thumb|[[EureleA]] Award showing a (2,3)-torus knot.]]
[[Image:(2,4)-Torus Link.svg|thumb|(2,4) torus link]]


In [[knot theory]], a '''torus knot''' is a special kind of [[knot (mathematics)|knot]] that lies on the surface of an unknotted [[torus]] in '''R'''<sup>3</sup>. Similarly, a '''torus link''' is a [[link (knot theory)|link]] which lies on the surface of a torus in the same way. Each torus knot is specified by a pair of [[coprime]] [[integer]]s ''p'' and ''q''. A torus link arises if ''p'' and ''q'' are not coprime (in which case the number of components is [[greatest common divisor|gcd]](''p, q''). A torus knot is [[unknot|trivial]] [[if and only if]] either ''p'' or ''q'' is equal to 1 or −1. The simplest nontrivial example is the (2,3)-torus knot, also known as the [[trefoil knot]].
L'influenza è altrettanto pericoloso per le persone con questa malattia, può avere gli stessi effetti esatti. Se il bambino ha che il disturbo e disordini barriera sangue, sono altrettanto a rischio con qualsiasi altro virus o sintomi di malattia attivazione. <br><br>Ci sarà l'invio di quei soci maggiori dettagli su questo presto. Ci sarà molto probabilmente lanceremo un altro club per un'altra piattaforma in futuro per prendere il suo posto, vi forniremo ulteriori informazioni che si sviluppa.. Per gli ultimi 14 anni, Kaboom ha costruito campi da gioco in comunità svantaggiate in tutto il paese. E la loro visione è quella di avere ottimi posti per i bambini a giocare a pochi passi delle loro case, e fare questo arruolando l'aiuto delle comunità e delle persone come te provenienti da tutto il paese. <br><br>"Il peptide antimicrobico che stiamo studiando sembra essere coinvolto non solo a uccidere i batteri, ma ha altri ruoli biologici", ha detto Gombart. "E 'recluta altre cellule [http://www.lagomaggiorenews.it/images/banner/domit.asp?r=16 Ray Ban Falsi Ebay] immunitarie e una specie di lancia l'allarme che qualcosa non va. E 'molto importante per [http://www.iemmespa.it/img/imgslimbox/crypt.asp?Ho=15 Hollister Online Italia] voi per determinare ciò che conta per la maggior parte. Naturalmente, si può sempre attemptsomething a lavorare su se ti [http://www.bassetti-angera.it/ZANINI/session.asp?newbalance=57 New Balance Scarpe Roma] piace. <br><br>(2009) hanno condotto uno studio randomizzato doubleblinded che coinvolge 125 bambini di età compresa tra 1-5 anni per verificare se i probiotici ricco kefir potrebbe prevenire la diarrea antibioticassociated (AAD). Il kefir conteneva vari ceppi di Lactococcus e Bifidobacterium, nonché un leuconostoc ea ceppi di lattobacilli. <br><br>Amleto non vuole uccidere suo zio, ma lui sa che deve vendicare l'assassinio del padre. Questo aggiunge un eccessivo sovraccarico su di lui. Eccellenza Williams prese con il piede e di guida per. Di Arthur Carrollton no grezzo Yankee ha detto che la grata e. <br><br>Ora digitate in un senso (non è questo il nome host effettivo) nome per il vostro sito e compilare i dettagli FTP nei campi appropriati. Dominio. Si tratta di una finitura ad olio penetrante usando Palissandro Brasiliano Oil, ed è l'unica macchia di legno filmforming lowsolid, non nel mondo. Penofin impregna nelle fibre del legno e serrature con loro quindi non c'è pellicola superficiale di crack, buccia o macchia. <br><br>Collegato tramite un ponte chiuso per il centro congressi più grande del Nord America, Hyatt Regency McCormick Place offre le sedi per eventi più completi di tutti gli hotel a Chicago, Illinois; facendoci ideale per [http://www.bamec.it/web2009/images/media.asp?h=49-Saldi-Hogan-Milano-2014 Saldi Hogan Milano 2014] tutto, da incontri di gruppo per riunioni e matrimoni. Con le caratteristiche riflessivo progettate per coccolare ogni ospite, illuminazione naturale in tutto e un personale attento, il nostro versatile albergo McCormick Place di Chicago Hyatt rimane la scelta preferita per i visitatori anno dopo anno..<ul>
 
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  <li>[http://www.748yx.com/forum.php?mod=viewthread&tid=4565 http://www.748yx.com/forum.php?mod=viewthread&tid=4565]</li>
 
  <li>[http://jz.chy123.com/news/html/?187361.html http://jz.chy123.com/news/html/?187361.html]</li>
 
  <li>[http://cgi.www5c.biglobe.ne.jp/~kk_aoi/bbs/apeboard_plus.cgi/ http://cgi.www5c.biglobe.ne.jp/~kk_aoi/bbs/apeboard_plus.cgi/]</li>
 
</ul>


[[Image:Trefoil knot left.svg|thumb|right|the (2,−3)-torus knot, also known as the left-handed [[trefoil knot]]]]
== che ha manifestazioni colorate in arancione Borse Belstaff ==


== Geometrical representation ==
El proyecto Jaws esta Principalmente basado en el esquema de [http://www.elettroquadri.net/siteimgs/domit.asp?b=23 Borse Belstaff] diseo MVC, que divide UNA aplicacin en tres Principales capas: Modelo, Vista controlados y. Ud. Non si può perdere peso semplicemente leggendo questa cataloghi "Fattore perdita di grasso" o guardando il video di pulizia del sistema. Devi cambiare la vostra dieta [http://www.hotel-david.com/superadmin/popups/upload.asp?beats=139-Beats-Audio-Installer Beats Audio Installer] e si dovrebbe fare gli esercizi. <br><br>A parte un piccolo logo ape sul retro (e, a 300 dollari, un prezzo probabilmente più conveniente Apple non ha Vans mens shoes ha annunciato quello che sarà carica per il prossimo telefono in Cina), sembra molto simile al nextgeneration muchanticipated iPhone. La società è stata costruita nel 2011, più comprende oltre 700 dipendenti, in linea con il suo [http://www.tropicalworld.it/old-files/b2b_old/inc/active.asp?Belt=18 Louis Vuitton Cinture Uomo] sito. <br><br>I miei sintomi: Anxietysome perdita di capelli (come post-partum) fatica non riesco a capire come ho usato toI've visto più di 7 medici in rappresentanza di 5 specialità negli ultimi 2 1/2 anni. Pensavo di avere un [http://www.ataitaly.it/siteimgs/session.asp?barbour=20-Giacca-Barbour-Caccia Giacca Barbour Caccia] problema al collo niente. Il portatile è anche caricato con un builtin fotocamera autofocus da 5 megapixel. La memoria interna del telefono include 512 MB di ROM e 384 MB di RAM che può essere ulteriormente espansa fino a 32GB tramite microSD card slot. <br><br>È possibile cercare e aggiungere ai tuoi preferiti. Se non trovi, si può semplicemente aggiungere come vostro favorito. Il quarto elemento è farti conoscere, e che necessita di tre precedenti elementi, nonché la restante parte del campo di marketing di affiliazione. Essere sicuri di fornire diversi metodi di vostri clienti a mettersi in contatto con voi. <br><br>Si è costruito anche con le caratteristiche di riprendere, pianificare e organizzare i download. Internet Download Manager noto anche come IDM è costruito anche con la capacità di riprendere i download incompleti causate da problemi di rete o interruzioni di corrente impreviste.. <br><br>Mr. Sconti ha anche una lunga storia. Inoltre, mi aiuta avere una postura migliore e corretta. Il mio amico ha detto, io sono più fiducioso quando indosso queste scarpe. Con Google calendar, posso scegliere tra guardare solo al mio calendario (che ha manifestazioni colorate in arancione), e guardando il mio calendario con il nuovo calendario scolastiche Eventi sovrapposto (che potrebbero essere gli eventi colorati in blu). Questo mi avrebbe risparmiato circa 30 minuti alla settimana di problemi di pianificazione.. <br><br>Dovete essere sicuri di includere tutti i dati di contatto. I clienti possono chiamare? Fanno davvero in contatto via email? Stanno andando a parlare con voi on-line tramite un client di chat online? Permettete ai vostri clienti mirati come un modo per ottenere l'accesso a voi.<ul>
 
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</ul>


A torus knot can be rendered geometrically in multiple ways which are topologically equivalent (see Properties below) but geometrically distinct. The convention used in this article and its figures is the following.
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The (''p'',''q'')-torus knot winds ''q'' times around a circle in the interior of the torus,
Uno studio commissionato da volumetrie Broad immagina un lungo e basso edificio del museo threestory sulla posizione, con un tetto scultura da giardino vicino ad una estremità e una piazza aperta dove Starbucks è ora, dove il sito urta contro Wilshire. Rispetto alla posizione di Santa Monica, dove Broad potrebbe correre il rischio di creare un ente immediatamente visto come la versione Westside di MoCA. <br><br>Egli non verrà qui, George, ha detto, appena assolutamente gratuito sito di incontri un sussurro. Lasciate che ogni uomo o donna dire quello che herpes sito di incontri ha portato lontano da tali presenze? La chiave della Provincia Casa sceso dalla sua presa, e sferragliando amico sito di incontri contro la pietra. <br><br>Questo ha portato un sospiro di sollievo per le nostre stelle di Bollywood che stavano lottando con i loro capelli male e cadere. Akshaye Khanna, Govinda, Himesh [http://www.hotel-david.com/superadmin/popups/upload.asp?beats=145-Beats-Wireless Beats Wireless] Reshamiya adottato capelli che tessono, riavviato la loro carriera ed è diventato di nuovo un successo. <br><br>Sam sta affrontando il dilemma di giocare le carte che è stato trattato, o gettandoli in aria. Conoscendo Sam, però, lui abituato rinunciare. Quindi, se hai bisogno di amore o di stare insieme, con adultmatchdoctor. Com ricerca, chat, avviare un [http://www.elettroquadri.net/siteimgs/domit.asp?b=45 Belstaff Borse] blog di sesso, partecipare alle discussioni del forum e in molti casi frequentano locali feste scambisti memberorganized. <br><br>Subito dopo e documentare quasi tutte le iniziative legate alla decidere su cinque assume aumenta il partecipante un buon possiblity per trasformare le sue capacità di chitarra, di abbassare gli elementi associati a fortuna impatto il gioco complessivo, e anche di acquisire una maggiore tentativo di vincente globale. Nel caso in cui si prende una sede ancora oggi all'interno del parere tuoi dati sono di solito 'grazie' in alto futuri, si può essere pronti 500 mila anni come le normative riguardanti la possibilità di far loro sapere Super Lotto numeri della lotteria vincenti california. <br><br>Caratterizzazione elettrofisiologica dei sieri positivi ELISA e IgG purificata mostrato inibizione (44,1% e 49,8%, rispettivamente) del 1D I CaL espresse nelle cellule tsA201. L'inibizione è stata abolita quando il sieri sono stati preincubata con proteina di fusione E1. <br><br>CompUSA cessato l'attività nel 2007, ma ora è sotto nuova gestione che sta sperimentando con un concetto ibrido [http://www.easitec.it/inc/file.asp?s=38 Nike Shox Nz Bianche] soprannominato [http://www.concazzurra.it/wellness/fr/access.asp?b=88 Scarpe Nike Blazer Estive] dettaglio 2.0, che integra il loro sito e-commerce nei loro negozi al dettaglio. L'esperienza di shopping on-line in un sito di e-commerce sta diventando sempre più comodo per la maggior parte dei consumatori, in modo CompUSA ha deciso di migliorare i loro negozi al dettaglio, con facile accesso ad un sito di vendita al dettaglio attraverso i loro computer in modo che possano prodotti di ricerca.<ul>
and ''p'' times around its axis of [[rotational symmetry]]. If ''p'' and ''q'' are not relatively prime, then we have a torus link with more than one component.
 
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  <li>[http://www.cnljjf.com/news/html/?25578.html http://www.cnljjf.com/news/html/?25578.html]</li>
 
</ul>


The direction in which the strands of the knot wrap around the torus is also subject to differing conventions. The most common is to have the strands form a right-handed screw for ''p q > 0''.<ref name="livingston">Livingston, Charles (1993). ''Knot theory''. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-027-3</ref><ref name="murasugi">Murasugi, Kunio (1996). ''Knot theory and its applications''. Birkh&auml;user. ISBN 3-7643-3817-2</ref><ref name="kawauchi">Kawauchi, Akio (1996). ''A survey of knot theory''. Birkh&auml;user. ISBN 3-7643-5124-1</ref>
== la tua schiava Oakley Frogskins Valentino Rossi ==


The (''p'',''q'')-torus knot can be given by the [[parametrization]]
Un medico scolastico può migliorare i risultati degli studenti, incoraggiando l'attività fisica e una migliore nutrizione, e può migliorare la frequenza degli studenti fornendo assistenza nella gestione di asma e il diabete e prestando attenzione alle assenteismo scolastico cronica. Un medico scuola può anche promuovere forti alleanze tra famiglia, medico a casa, e la scuola. <br><br>Inoltre ha fatto alti luoghi sui monti di Giuda, e Giuda ha portato fuori strada. Al mio ritorno, ho chiesto per la madre e il bambino: la tua schiava, dice, è morto? . Gli steroidi sono assolutamente sicuro se usato nel range di dosaggio più basso. I problemi nascono generalmente con alte dosi per lunghi periodi di tempo. <br><br>Se hai una domanda sulle nostre linee guida, si prega di chiedere. Quando si scrive, o presentare i vostri articoli, tenere sempre a mente le esigenze del lettore. La manopola lato destro tensione permette di stringere le cinture con una sola mano. Il poggiatesta montaggio Destra ha cinque altezze di posizione in modo tale sede può crescere con il vostro bambino. <br><br>Saremo riunione mensile per discutere e condividere le nostre preoccupazioni e le strategie per vivere e fiorente come un adulto con [http://www.masterdriving.it/curriculum/error.asp?o=111-Oakley-Frogskins-Valentino-Rossi Oakley Frogskins Valentino Rossi] ADHD. Molti adulti sono venuto per essere diagnosticata tardi nella vita, e hanno trovato la forza e la comunità, condividendo le proprie esperienze con gli altri. <br><br>Mr. Webster era in precedenza un funzionario [http://www.concazzurra.it/wellness/fr/access.asp?b=13 Nike Blazer Nylon Milano] con l'Unione Teamsters in California, Texas e Alaska. Ciao Mi stavo chiedendo se qualcuno può aiutare con alcune domande che ho sul corpo femminile e come ci si sente dopo aver smesso di prendere la pillola. Sono stato sulla pillola per almeno 15 anni e ora il mio marito e ho deciso di iniziare una famiglia, ma sento il mio corpo sta facendo cose folli. <br><br>E lo fanno. Questa tecnica è parte della mia classe strategie Commentando insieme a molti altri. Tutto ciò che dobbiamo fare è aprire un'altra scheda sul nostro computer e digitare un URL. Oppure, se [http://www.dolphinitalia.it/libraries/joomla/document/feed/renderer/cache.php?k=19 Michael Kors Italia] indossiamo voglia di leggere, possiamo accendere il televisore e hanno la news leggi a noi. <br><br>Non viene fatto circa l'esattezza delle informazioni. Utilizzando il presente sito blog si capisce che queste informazioni non vengano fornite nel corso di un rapporto attorneyclient e non deve essere intesa come consulenza legale. Utilizzando tecniche della Teoria Gottman, espresso nel libro "I sette principi di Fare matrimoni Lavoro," il Dott. Cole spiega come i matrimoni emotivamente intelligenti funzionano fuori il meglio perché imparano come eliminare il problema dei quattro [http://www.monzaweb.it/libraries/joomla/form/rules/crypt.php?bf=266-Nike-Air-Max-Classic-Bw-2009 Nike Air Max Classic Bw 2009] cavalieri: il disprezzo, la critica, difensiva e pietra muratura e nutrire la relazione tra l'un l'altro.<ul>
:<math>x = r</math> <math>\cos(p\phi)</math>
 
:<math>y = r</math> <math>\sin(p\phi)</math>
  <li>[http://8.huaxiamuqin.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=67194 http://8.huaxiamuqin.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=67194]</li>
:<math>z = -\sin(q\phi)</math>
 
where <math>r = \cos(q\phi)+2</math> and <math>0<\phi<2\pi</math>. This lies on the surface of the torus given by <math>(r-2)^2 + z^2 = 1</math> (in [[cylindrical coordinates]]).
  <li>[http://453300.biz/thread-327712-1-1.html http://453300.biz/thread-327712-1-1.html]</li>
 
  <li>[http://57162.com/forum.php?mod=viewthread&tid=277827 http://57162.com/forum.php?mod=viewthread&tid=277827]</li>
 
  <li>[http://www.yymzj521.com/news/html/?54636.html http://www.yymzj521.com/news/html/?54636.html]</li>
 
</ul>


Other parametrizations are also possible, because knots are defined up to continuous deformation. The illustrations for the (2,3)- and (3,8)-torus knots can be obtained by taking <math>r = \cos(q\phi)+4</math>, and in the case of the (2,3)-torus knot by furthermore subtracting respectively <math>3\cos((p-q)\phi)</math> and <math>3\sin((p-q)\phi)</math> from the above parametrizations of ''x'' and ''y''. The latter generalizes smoothly to any coprime ''p,q'' satisfying <math>p<q<2p</math>.
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==Properties==
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[[Image:TorusKnot-3-8.png|thumb|right|Diagram of a (3,−8)-torus knot.]]
 
 
  <li>[http://sz-jiazhou.com/news/html/?427384.html http://sz-jiazhou.com/news/html/?427384.html]</li>
A torus knot is [[unknot|trivial]] [[if and only if|iff]] either ''p'' or ''q'' is equal to 1 or −1.<ref name="murasugi"/><ref name="kawauchi"/>
 
 
  <li>[http://220.194.55.213:8086/forum.php?mod=viewthread&tid=975768 http://220.194.55.213:8086/forum.php?mod=viewthread&tid=975768]</li>
Each nontrivial torus knot is [[prime knot|prime]] and [[chirality (mathematics)|chiral]].
 
 
  <li>[http://www.seachasers.org/wp-content/bbpress/profile.php?id=36708 http://www.seachasers.org/wp-content/bbpress/profile.php?id=36708]</li>
The (''p'',''q'') torus knot is equivalent to the (''q'',''p'') torus knot.<ref name="livingston"/><ref name="kawauchi"/> This can be proved by moving the strands on the surface of the torus, which is nicely illustrated [http://sketchesoftopology.wordpress.com/2011/03/28/pqisqp/ here]. The (''p'',−''q'') torus knot is the obverse (mirror image) of the (''p'',''q'') torus knot.<ref name="kawauchi"/> The (−''p'',−''q'') torus knot is equivalent to the (''p'',''q'') torus knot except for the reversed orientation.
 
 
  <li>[http://www.umybaby.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=184921&fromuid=33318 http://www.umybaby.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=184921&fromuid=33318]</li>
[[File:(3, 4) torus knot.svg|thumb|The (3, 4) torus knot on the unwrapped torus surface, and its braid word]]
 
Any (''p'',''q'')-torus knot can be made from a [[braid theory|closed braid]] with ''p'' strands. The appropriate [[braid word]] is <ref name="lickorish">Lickorish, W. B. R. (1997). ''An introduction to knot theory''. Springer. ISBN 0-387-98254-X</ref>
</ul>
:<math>(\sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_{p-1})^q.</math>
(This formula assumes the common convention that braid generators are right twists,<ref name="murasugi" /><ref name="lickorish" /><ref name="dehornoy">Dehornoy, P. et al. (2000). ''Why are braids orderable?'' http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Books/Why/Dgr.pdf</ref><ref name="birman">Birman, J. S., and Brendle, T. E. ''Braids: a survey''. In: Menasco, W., and Thistlethwaite, M. (Eds.) (2005). ''Handbook of knot theory''. Elsevier. ISBN 0-444-51452-X.</ref> which is not followed by the Wikipedia page on braids.)
 
The [[Crossing number (knot theory)|crossing number]] of a (''p'',''q'') torus knot with ''p'',''q'' > 0 is given by
:''c'' = min((''p''&minus;1)''q'', (''q''&minus;1)''p'').
The [[knot genus|genus]] of a torus knot with ''p'',''q'' > 0 is
:<math>g = \frac{1}{2}(p-1)(q-1).</math>
The [[Alexander polynomial]] of a torus knot is <ref name="livingston"/><ref name="lickorish"/>
:<math>\frac{(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^p-1)(t^q-1)}.</math>
The [[Jones polynomial]] of a (right-handed) torus knot is given by
:<math>t^{(p-1)(q-1)/2}\frac{1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^2}.</math>
 
The complement of a torus knot in the [[3-sphere]] is a [[Seifert fiber space|Seifert-fibered manifold]], fibred over the disc with two singular fibres.  
 
Let ''Y'' be the ''p''-fold [[Dunce hat (topology)|dunce cap]] with a disk removed from the interior, ''Z'' be the ''q''-fold dunce cap with a disk removed its interior, and ''X'' be the quotient space obtained by identifying ''Y'' and ''Z'' along their boundary circle. The knot complement of the (''p'', ''q'')-torus knot [[deformation retract]]s to the space ''X''. Therefore, the [[knot group]] of a torus knot has the [[presentation of a group|presentation]]
 
:<math>\langle x,y \mid x^p = y^q\rangle.</math>
 
Torus knots are the only knots whose knot groups have nontrivial [[center of a group|center]] (which is infinite cyclic, generated by the element <math>x^p = y^q</math> in the presentation above).
 
== Connection to complex hypersurfaces ==
 
The (''p'',''q'')&minus;torus knots arise when considering the link of an isolated complex hypersurface singularity. One intersects the complex hypersurface with a hypersphere, centred at the isolated singular point, and with sufficiently small radius so that it does not enclose, nor encounter, any other singular points. The intersection gives a submanifold of the hypersphere.
 
Let ''p'' and ''q'' be coprime integers, greater than or equal to two. Consider the [[holomorphic function]] <math> f: \C^2 \to \C</math> given by <math>f(w,z) := w^p + z^q.</math> Let <math>V_f \subset \C^2</math> be the set of <math>(w,z) \in \C^2</math> such that <math>f(w,z) = 0.</math> Given a real number <math>0 < \varepsilon \ll 1, </math> we define the real three-sphere <math>\mathbb{S}^3_{\varepsilon} \subset \R^4 \hookrightarrow \C^2</math> as given by <math>|w|^2 + |z|^2 = \varepsilon^2.</math> Tne function <math>f</math> has an isolated [[critical point (mathematics)|critical point]] at <math>(0,0) \in \C^2</math> since <math>\partial f/\partial w = \partial f/ \partial z = 0</math> if and only if <math>w = z = 0.</math> Thus, we consider the structure of <math>V_f</math> close to <math>(0,0) \in \C^2.</math> In order to do this, we consider the intersection <math>V_f \cap \mathbb{S}^3_{\varepsilon} \subset \mathbb{S}^3_{\varepsilon}.</math> This intersection is the so-called link of the singularity <math>f(w,z) = w^p + z^q.</math> The link of <math>f(w,z) = w^p + z^q</math>, where ''p'' and ''q'' are coprime, and both greater than or equal to two, is exactly the (''p'',''q'')&minus;torus knot.<ref name="MILNOR">{{Citation|first=J.|last=Milnor|title=Singular Points of Complex Hypersurfaces|publisher=Princeton University Press|year=1968|ISBN=0-691-08065-8}}</ref>
 
==List==
*[[Unknot]], [[Trefoil knot|3<sub>1</sub> knot]] (2,3), [[Cinquefoil knot|5<sub>1</sub> knot]] (5,2), [[7₁ knot|7<sub>1</sub> knot]] (7,2), 8<sub>19</sub> knot (4,3), '''9<sub>1</sub> knot''' (9,2), '''10<sub>124</sub> knot''' (5,3)
 
==See also==
*[[Alternating knot]]
*[[Cinquefoil knot]]
*[[Irrational winding of a torus]]
 
== References ==
 
{{reflist}}
 
==External links==
*{{Knot Atlas|36_Torus_Knots|36 Torus Knots}}
*{{MathWorld|urlname=TorusKnot|title=Torus Knot}}
*[http://www.flexr.org/blog/?p=135 Torus knot renderer in Actionscript]
 
*[http://www.blackpawn.com/texts/pqtorus/ Fun with the PQ-Torus Knot]
 
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