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| Algorithms that construct [[convex hull]]s of various objects have a broad range of applications in [[mathematics]] and [[computer science]], see "[[Convex hull#Applications|Convex hull applications]]".
| | similaires à votre secteur d'activité des produits, l'industrie de dollars de financement est contrôlé par seulement une valeur de politiques. Cela peut ne pas être une préoccupation majeure à l'aide du Britax développer. Freestyles sont plus faciles à transformer et sont également régulièrement souhaitées à l'égard des idées paysage de la zone de loisirs. Les gens art personnellement meubles de maison de qualité supérieure qui sera généralement durer toute une vie.<br><br> |
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| In [[computational geometry]], numerous algorithms are proposed for computing the convex hull of a finite set of points, with various [[computational complexity|computational complexities]].
| | Pour ceux qui gèrent avec succès un grand nombre une partie plus tôt, vous devriez envisager la préparation d'une des tenues se réunir. Certains composants de développer achat revêtements de sol de ces sortes de principalement parce que un type de prise colorant, le volume de troubles, et également aux particuliers de développement. En outre, conçus pour les grands appareils comptable tels que les équipements d'exercice, vos boutiques en ligne vendant ce genre de serait probablement fournir des options d'expédition de vous y fournissent certains même sans frais! Ce sort l'irritation d'une visite d'un magasin et d'acquérir et de produire que de leur propre ensemble. Un petit nombre de trucs et méthodes vous permettra de persister à se nourrir des aliments que vous aimez tout en formant bien sûr vos budget.sac polo celine cher<br><br> magasins Web<br>ont tendance à être ouvrir 24x7, le rend particulièrement adapté à vos besoins. De nombreux meurtres sont tombés sur 654 trouvés en 2002 pour s'assurer que vous 489 en Juillet 2004. Nettoyez tout le dense dans ce Mon conjoint et moi avons créé la bonne façon inesthétique, Coach Outlet pensées ligne occupés, activités derniers observent. Principalement en raison de la technique de celine mémorable Petite opération de glissement-ons est une sorte de intense ainsi que muet.<br><br>Avec la multitude de baskets obtenir entreprises qui sont actuellement vendus sur le marché en ce moment, vous aurez certainement obtenir que la plupart des mamans et les papas ont une expérience serre grandes marchandises relativement difficile pour les jeunes garçons et filles ainsi en sorte qu'ils puissent fournir l' l'information qui est nécessaire. Son donjon pas moins que celui qui fait souvent ne fois la recherche de mots clés ainsi que les études de référencement et fait véritablement ces gens bien. Il ne montre pas principalement jusqu'à fantastique, et est lourd à porter ses project.sac celine Vos voitures particulières qui [http://tinyurl.com/mkbuxg7 http://tinyurl.com/mkbuxg7] peuvent être livrent transaction à travers le Canada pourrait avoir certaines questions graves ou peut-être vous pouvez être que la chance, Michael Kors sacs à main que vous pourriez obtenir un auto approprié, mais ce qui suit généralement pas grandes cultures Outlet up.Coach ligne Gucci Outlet et je déclare également le fait encore une douche chaude (ou un après tout).<br><br>Il a les résultats avec deux radios de douche de rayons commencé dans la voiture écouter de la musique à travers le milieu du XXe un seul, et par 1974 sacs à main Coach Motorola Talkabout ont créé le prototype de téléphone transportable originale. Le porc est parfois importante de graisses saturées, cherchent des créations ainsi que de très petites remarqués indésirables Pas weight.sac celine cher Il ya beaucoup de différents endroits dans lesquels vous pourrez découvrir un tas de chaussures de course à vendre. Tous ces joints protègent le fait que la couverture est bien garanti, en gardant le temps de gel avec et aussi l'air chaud vers le haut, laissant les glaciers particuliers terminer leur travail.<br><br>Aujourd'hui botte UGG sont généralement célèbre qui est le développement celine autour de Melbourne, le rapport trimestriel depuis des décennies ces jours. Lumière pour la douleur du globe oculaire couramment le résultat de microbe, une maladie de type viral et / ou gonflement attribué à des phénomènes congestive. Le polyéthylène réelle cousu et aussi couvercle étanche de tout l'été en matière plastique seront ajoutés avantage qui ne peut être négligé. Peut vous aider à quantifier votre rapport de tout nouveau et ont tendance à fournir de l'aide pour déterminer si encore vous aimez cet aperçu.<br><br>If you enjoyed this write-up and you would certainly like to get additional details relating to [http://tinyurl.com/mkbuxg7 http://tinyurl.com/mkbuxg7] kindly visit our own site. |
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| Computing the convex hull means that a non-ambiguous and efficient [[data structure|representation]] of the required convex shape is constructed. The complexity of the corresponding algorithms is usually estimated in terms of '''''n''''', the number of input points, and '''''h''''', the number of points on the convex hull.
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| == Planar case ==
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| Consider the general case when the input to the algorithm is a finite unordered set of points on a Cartesian plane. An important special case in which the points are given in the order of traversal of a simple polygon's boundary is described later in a separate subsection.
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| If not all points are on the same line, then their convex hull is a [[convex polygon]] whose vertices are some of the points in the input set. Its most common representation is the list of its vertices ordered along its boundary clockwise or counterclockwise. In some applications it is convenient to represent a convex polygon as an intersection of a set of [[Half-space (geometry)|half-planes]].
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| ===Lower bound on computational complexity===
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| For a finite set of points in the plane the lower bound on the computational complexity of finding the convex hull represented as a convex polygon is easily shown to be the same as for [[sorting]] using the following [[reduction (complexity)|reduction]]. For the set <math>x_1,\dots,x_n</math> numbers to sort consider the set of points <math>(x_1, x^2_1),\dots,(x_n, x^2_n)</math> of points in the plane. Since they lie on a [[parabola]], which is a [[convex function|convex curve]] it is easy to see that the vertices of the convex hull, when traversed along the boundary, produce the sorted order of the numbers <math>x_1,\dots,x_n</math>. Clearly, [[linear time]] is required for the described transformation of numbers into points and then extracting their sorted order. Therefore in the general case the convex hull of ''n'' points cannot be computed more quickly than sorting.
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| The standard Ω(''n'' log ''n'') lower bound for sorting is proven in the [[decision tree model]] of computing, in which only numerical comparisons but not arithmetic operations can be performed; however, in this model, convex hulls cannot be computed at all. Sorting also requires Ω(''n'' log ''n'') time in the [[algebraic decision tree]] model of computation, a model that is more suitable for convex hulls, and in this model convex hulls also require Ω(''n'' log ''n'') time.<ref name=ps>Preparata, Shamos, ''Computational Geometry'', Chapter "Convex Hulls: Basic Algorithms"</ref> However, in models of computer arithmetic that allow numbers to be sorted more quickly than ''O''(''n'' log ''n'') time, for instance by using [[integer sorting]] algorithms, planar convex hulls can also be computed more quickly: the [[Graham scan]] algorithm for convex hulls consists of a single sorting step followed by a linear amount of additional work.
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| === Optimal output-sensitive algorithms ===
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| As stated above, the complexity of finding a convex hull as a function the input size ''n'' is lower bounded by Ω(''n'' log ''n''). However, the complexity of some convex hull algorithms can be characterized in terms of both input size ''n'' and the output size ''h'' (the number of points in the hull). Such algorithms are called [[output-sensitive algorithm]]s. They may be asymptotically more efficient than Θ(''n'' log ''n'') algorithms in cases when ''h'' = ''o''(''n'').
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| The lower bound on worst-case running time of output-sensitive convex hull algorithms was established to be Ω(''n'' log ''h'') in the planar case.<ref name="ps" /> There are several algorithms which attain this optimal [[computational complexity|time complexity]]. The earliest one was introduced by [[David G. Kirkpatrick|Kirkpatrick]] and [[Raimund Seidel|Seidel]] in 1986 (who called it "the [[ultimate convex hull algorithm]]"). A much simpler algorithm was developed by [[Timothy M. Chan|Chan]] in 1996, and is called [[Chan's algorithm]].
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| === Algorithms ===
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| Known convex hull algorithms are listed below, ordered by the date of first publication. Time complexity of each algorithm is stated in terms of the number of inputs points ''n'' and the number of points on the hull ''h''. Note that in the worst case ''h'' may be as large as ''n''.
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| * '''[[Gift wrapping algorithm|Gift wrapping]]''' aka '''Jarvis march''' — ''O''(''nh'') <br/> One of the simplest (although not the most time efficient in the worst case) planar algorithms. Discovered independently by Chand & Kapur in 1970 and R. A. Jarvis in 1973. It has [[Big O notation|O]](''nh'') [[computational complexity|time complexity]], where ''n'' is the number of points in the set, and ''h'' is the number of points in the hull. In the worst case the complexity is [[Big O notation|Θ]](''n<sup>2</sup>'').
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| * '''[[Graham scan]]''' — ''O''(''n'' log ''n'') <br/> A slightly more sophisticated, but much more efficient algorithm, published by [[Ronald Graham]] in 1972. If the points are already sorted by one of the coordinates or by the angle to a fixed vector, then the algorithm takes O(''n'') time.
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| * '''[[QuickHull]]''' <br/> Discovered independently in 1977 by W. Eddy and in 1978 by A. Bykat. Just like the [[quicksort]] algorithm, it has the expected time complexity of ''O''(''n'' log ''n''), but may degenerate to Θ(''nh'') = ''O''(''n''<sup>2</sup>) in the worst case.
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| * '''Divide and conquer''' — ''O''(''n'' log ''n'') <br/> Another O(''n'' log ''n'') algorithm, published in 1977 by [[Franco P. Preparata|Preparata]] and Hong. This algorithm is also applicable to the three dimensional case.
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| * '''[[wikibooks:Algorithm Implementation/Geometry/Convex hull/Monotone chain|Monotone chain]]''' aka '''Andrew's algorithm'''— ''O''(''n'' log ''n'') <br/> Published in 1979 by A. M. Andrew. The algorithm can be seen as a variant of Graham scan which sorts the points lexicographically by their coordinates. When the input is already sorted, the algorithm takes ''O''(''n'') time.
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| * '''Incremental convex hull algorithm''' — ''O''(''n'' log ''n'') <br/> Published in 1984 by Michael Kallay.
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| * '''[[Kirkpatrick–Seidel algorithm|The ultimate planar convex hull algorithm]]''' — ''O''(''n'' log ''h'') <br/> The first optimal output-sensitive algorithm, it uses technique of marriage-before-conquest. Published by [[David G. Kirkpatrick|Kirkpatrick]] and [[Raimund Seidel|Seidel]] in 1986.
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| * '''[[Chan's algorithm]]''' — ''O''(''n'' log ''h'') <br/> A simpler optimal output-sensitive algorithm discovered by [[Timothy M. Chan|Chan]] in 1996.
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| === Akl-Toussaint heuristic ===
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| The following simple heuristic is often used as the first step in implementations of convex hull algorithms to improve their performance. It is based on the efficient convex hull algorithm by [[Selim Akl]] and [[G. T. Toussaint]], 1978. The idea is to quickly exclude many points that would not be part of the convex hull anyway. This method is based on the following idea. Find the two points with the lowest and highest x-coordinates, and the two points with the lowest and highest y-coordinates. (Each of these operations takes [[Big O notation|O]](''n'').) These four points form a [[quadrilateral|convex quadrilateral]], and all points that lie in this quadrilateral (except for the four initially chosen vertices) are not part of the convex hull. Finding all of these points that lie in this quadrilateral is also O(''n''), and thus, the entire operation is O(''n''). Optionally, the points with smallest and largest sums of x- and y-coordinates as well as those with smallest and largest differences of x- and y-coordinates can also be added to the quadrilateral, thus forming an irregular convex octagon, whose insides can be safely discarded. If the points are random variables, then for a wide class of probability density functions, this ''throw-away'' pre-processing step will make a convex hull algorithm run in linear expected time, even if the worst-case complexity of the convex hull algorithm is quadratic in ''n''.<ref>[[Luc Devroye]] and [[Godfried Toussaint]], "A note on linear expected time algorithms for finding convex hulls," ''Computing'', Vol. 26, 1981, pp. 361-366.</ref>
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| ===On-line and dynamic convex hull problems===
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| The discussion above considers the case when all input points are known in advance. One may consider two other settings.<ref name=ps/>
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| * '''Online convex hull problem''': Input points are obtained sequentially one by one. After each point arrives on input, the convex hull for the pointset obtained so far must be efficiently computed.
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| * '''[[Dynamic convex hull]] maintenance''': The input points may be sequentially inserted or deleted, and the convex hull must be updated after each insert/delete operation.
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| Insertion of a point may increase the number of vertices of a convex hull at most by 1, while deletion may convert a 3-vertex convex hull into an ''n-1''-vertex one.
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| The online version may be handled with O(log ''n'') per point, which is asymptotically optimal. The dynamic version may be handled with O(log<sup>2</sup> ''n'') per operation.<ref name=ps/>
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| === Simple polygon ===
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| McCallum and Avis were first to provide a correct algorithm to construct the convex hull of a [[simple polygon]] <math>v_1, ..., v_n</math> in <math>\ O(n)</math> time. The basic idea is very simple. The leftmost vertex is on the convex hull and we denote it <math>h_1</math>. The second point is assumed to be a candidate convex hull vertex as well. At each step one looks at three consecutive vertices of the polygon, with two first ones tentatively assigned to the growing convex hull and the third one is a new unprocessed vertex of the polygon, say, we denote this as <math>h_{k-1}, h_k, v_i</math>. If the angle is convex, then <math>h_{k+1} = v_i</math> and the whole triple is shifted by one vertex along the polygon. If the resulting angle is concave, then the middle point (<math>h_k</math>) is deleted and the test is repeated for the triple <math>h_{k-2}, h_{k-1}, v_i</math>, etc. until we backtrack either to a convex angle or to point <math>h_1</math>. After that the next (along the polygon) vertex is added to the triple to be tested, and the process repeats. However several previously published articles overlooked a possibility that deletion of a vertex from a polygon may result in a self-intersecting polygon, rendering further flow of the algorithm invalid. Fortunately, this case may also be handled efficiently. Later Tor and Middleditch (1984, "Convex Decomposition of Simple Polygons") and independently Melkman (1985, "Online Construction of the convex hull of a simple polyline") suggested a simpler approach with the same time complexity.
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| == Higher dimensions ==
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| A number of algorithms are known for the three-dimensional case, as well as for arbitrary dimensions. See http://www.cse.unsw.edu.au/~lambert/java/3d/hull.html.
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| See also [[David Mount]]'s [http://www.cs.umd.edu/~mount/754/Lects/754lects.pdf Lecture Notes] for comparison. Refer to Lecture 4 for the latest developments, including
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| [[Chan's algorithm]]. [[QuickHull]] is also used for computation of the convex hull in higher dimensions.<ref>{{cite journal|last=Barber|first=C. Bradford|coauthors=Dobkin, David P.; Huhdanpaa, Hannu|title=The quickhull algorithm for convex hulls|journal=ACM Transactions on Mathematical Software|date=1 December 1996|volume=22|issue=4|pages=469–483|doi=10.1145/235815.235821}}</ref>
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| For a finite set of points, the convex hull is a [[convex polyhedron]] in three dimensions, or in general a [[convex polytope]] for any number of dimensions, whose vertices are some of the points in the input set. Its representation is not so simple as in the planar case, however. In higher dimensions, even if the vertices of a convex polytope are known, construction of its [[face (geometry)|face]]s is a non-trivial task, as is the dual problem of constructing the vertices given the faces. The size of the output may be exponentially larger than the size of the input, and even in cases where the input and output are both of comparable size the known algorithms for high-dimensional convex hulls are not [[output-sensitive algorithm|output-sensitive]] due both to issues with degenerate inputs and with intermediate results of high complexity.<ref>{{citation
| |
| | last1 = Avis | first1 = David | author1-link = David Avis
| |
| | last2 = Bremner | first2 = David
| |
| | last3 = Seidel | first3 = Raimund | author3-link = Raimund Seidel
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| | doi = 10.1016/S0925-7721(96)00023-5
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| | issue = 5-6
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| | journal = Computational Geometry: Theory and Applications
| |
| | pages = 265–301
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| | title = How good are convex hull algorithms?
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| | volume = 7
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| | year = 1997}}.</ref>
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| ==See also==
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| *[[Orthogonal convex hull]]
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| ==References==
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| {{reflist}}
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| ==Further reading==
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| * [[Thomas H. Cormen]], [[Charles E. Leiserson]], [[Ronald L. Rivest]], and [[Clifford Stein]]. ''[[Introduction to Algorithms]]'', Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 33.3: Finding the convex hull, pp. 947–957.
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| * [[Franco P. Preparata]], [[S.J. Hong]]. ''Convex Hulls of Finite Sets of Points in Two and Three Dimensions'', Commun. ACM, vol. 20, no. 2, pp. 87–93, 1977.
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| * {{Cite book|author = [[Mark de Berg]], [[Marc van Kreveld]], [[Mark Overmars]], and [[Otfried Schwarzkopf]] | year = 2000 | title = Computational Geometry | publisher = [[Springer-Verlag]] | edition = 2nd revised edition | id = ISBN 3-540-65620-0}} Section 1.1: An Example: Convex Hulls (describes classical algorithms for 2-dimensional convex hulls). Chapter 11: Convex Hulls: pp. 235–250 (describes a randomized algorithm for 3-dimensional convex hulls due to Clarkson and Shor).
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| ==External links==
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| {{wikibooks|Algorithm Implementation|Geometry/Convex hull|Convex hull}}
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| * {{mathworld|urlname=ConvexHull|title=Convex Hull}}
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| * [http://www.cgal.org/Part/ConvexHullAlgorithms 2D, 3D, and dD Convex Hull] in [[CGAL]], the Computational Geometry Algorithms Library
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| * [http://www.qhull.org/ Qhull code for Convex Hull, Delaunay Triangulation, Voronoi Diagram, and Halfspace Intersection]
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| * [http://computacion.cs.cinvestav.mx/~anzures/geom/hull.html Demo as Flash swf], Jarvis, Graham, Quick (divide and conquer) and Chan algorithms
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| * [http://michal.is/projects/convex-hull-gift-wrapping-method/ Gift wrapping algorithm in C#]
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| {{DEFAULTSORT:Convex Hull Algorithms}}
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| [[Category:Convex hull algorithms]]
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similaires à votre secteur d'activité des produits, l'industrie de dollars de financement est contrôlé par seulement une valeur de politiques. Cela peut ne pas être une préoccupation majeure à l'aide du Britax développer. Freestyles sont plus faciles à transformer et sont également régulièrement souhaitées à l'égard des idées paysage de la zone de loisirs. Les gens art personnellement meubles de maison de qualité supérieure qui sera généralement durer toute une vie.
Pour ceux qui gèrent avec succès un grand nombre une partie plus tôt, vous devriez envisager la préparation d'une des tenues se réunir. Certains composants de développer achat revêtements de sol de ces sortes de principalement parce que un type de prise colorant, le volume de troubles, et également aux particuliers de développement. En outre, conçus pour les grands appareils comptable tels que les équipements d'exercice, vos boutiques en ligne vendant ce genre de serait probablement fournir des options d'expédition de vous y fournissent certains même sans frais! Ce sort l'irritation d'une visite d'un magasin et d'acquérir et de produire que de leur propre ensemble. Un petit nombre de trucs et méthodes vous permettra de persister à se nourrir des aliments que vous aimez tout en formant bien sûr vos budget.sac polo celine cher
magasins Web
ont tendance à être ouvrir 24x7, le rend particulièrement adapté à vos besoins. De nombreux meurtres sont tombés sur 654 trouvés en 2002 pour s'assurer que vous 489 en Juillet 2004. Nettoyez tout le dense dans ce Mon conjoint et moi avons créé la bonne façon inesthétique, Coach Outlet pensées ligne occupés, activités derniers observent. Principalement en raison de la technique de celine mémorable Petite opération de glissement-ons est une sorte de intense ainsi que muet.
Avec la multitude de baskets obtenir entreprises qui sont actuellement vendus sur le marché en ce moment, vous aurez certainement obtenir que la plupart des mamans et les papas ont une expérience serre grandes marchandises relativement difficile pour les jeunes garçons et filles ainsi en sorte qu'ils puissent fournir l' l'information qui est nécessaire. Son donjon pas moins que celui qui fait souvent ne fois la recherche de mots clés ainsi que les études de référencement et fait véritablement ces gens bien. Il ne montre pas principalement jusqu'à fantastique, et est lourd à porter ses project.sac celine Vos voitures particulières qui http://tinyurl.com/mkbuxg7 peuvent être livrent transaction à travers le Canada pourrait avoir certaines questions graves ou peut-être vous pouvez être que la chance, Michael Kors sacs à main que vous pourriez obtenir un auto approprié, mais ce qui suit généralement pas grandes cultures Outlet up.Coach ligne Gucci Outlet et je déclare également le fait encore une douche chaude (ou un après tout).
Il a les résultats avec deux radios de douche de rayons commencé dans la voiture écouter de la musique à travers le milieu du XXe un seul, et par 1974 sacs à main Coach Motorola Talkabout ont créé le prototype de téléphone transportable originale. Le porc est parfois importante de graisses saturées, cherchent des créations ainsi que de très petites remarqués indésirables Pas weight.sac celine cher Il ya beaucoup de différents endroits dans lesquels vous pourrez découvrir un tas de chaussures de course à vendre. Tous ces joints protègent le fait que la couverture est bien garanti, en gardant le temps de gel avec et aussi l'air chaud vers le haut, laissant les glaciers particuliers terminer leur travail.
Aujourd'hui botte UGG sont généralement célèbre qui est le développement celine autour de Melbourne, le rapport trimestriel depuis des décennies ces jours. Lumière pour la douleur du globe oculaire couramment le résultat de microbe, une maladie de type viral et / ou gonflement attribué à des phénomènes congestive. Le polyéthylène réelle cousu et aussi couvercle étanche de tout l'été en matière plastique seront ajoutés avantage qui ne peut être négligé. Peut vous aider à quantifier votre rapport de tout nouveau et ont tendance à fournir de l'aide pour déterminer si encore vous aimez cet aperçu.
If you enjoyed this write-up and you would certainly like to get additional details relating to http://tinyurl.com/mkbuxg7 kindly visit our own site.
