Conditional short circuit current: Difference between revisions

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'''Least-squares spectral analysis (LSSA)''' is a method of estimating a [[frequency spectrum]], based on a [[least squares]] fit of [[Sine wave|sinusoid]]s to data samples, similar to [[Fourier analysis]].<ref>{{cite book | title = Variable Stars As Essential Astrophysical Tools | author = Cafer Ibanoglu | publisher = Springer | year = 2000 | isbn = 0-7923-6084-2 | url = http://books.google.com/?id=QzGbOiZ3OnkC&pg=PA269&dq=vanicek+spectral+sinusoids }}</ref><ref name=birn/> [[Fourier analysis]], the most used spectral method in science, generally boosts long-periodic noise in long gapped records; LSSA mitigates such problems.<ref name=pres>{{cite book | url = http://books.google.com/?id=9GhDHTLzFDEC&pg=PA685&dq=%22spectral+analysis%22+%22vanicek%22+inauthor:press | author = Press | title = Numerical Recipes | edition = 3rd | year = 2007 | publisher = Cambridge University Press | isbn = 0-521-88068-8 | display-authors = 1}}</ref>
== Abercrombie Outlet Schweiz  62 ==


LSSA is also known as the '''Vaníček method'''<ref name=taha>{{cite journal | author = J. Taylor and S. Hamilton | title = Some tests of the Vaníček Method of spectral analysis | date = 1972-03-20 | pages = 357–367 | issue = 2 | volume = 17 | journal = Astrophysics and Space Science |doi=10.1007/BF00642907 | bibcode=1972Ap&SS..17..357T}}</ref> after [[Petr Vaníček]], and as the '''Lomb method'''<ref name=pres/> (or the Lomb periodogram<ref>{{cite book | title = Nonlinear Dynamics and Statistics | author = Alistair I. Mees | publisher = Springer | year = 2001 | isbn = 0-8176-4163-7 | url = http://books.google.com/?id=pH_OmkD4ZaQC&pg=PA227&dq=Lomb-periodogram  }}</ref>) and the '''Lomb–Scargle method'''<ref>{{cite book | title = Climate Change: Critical Concepts in the Environment | author = Frank Chambers | publisher = Routledge | year = 2002 | isbn = 0-415-27858-9 | url = http://books.google.com/?id=LnqFIpFJ9cwC&pg=PA178&dq=Lomb-Scargle-method }}</ref> (or Lomb–Scargle periodogram<ref name=birn>{{cite book | title = Observational Astronomy | author = D. Scott Birney, David Oesper, and Guillermo Gonzalez | publisher = Cambridge University Press | year = 2006 | isbn = 0-521-85370-2 | url = http://books.google.com/?id=cc9L8QWcZWsC&pg=RA3-PA263&dq=Lomb-Scargle-periodogram  }}</ref><ref>{{cite journal | title = Searching for Biological Rhythms: Peak Detection in the Periodogram of Unequally Spaced Data | author = Hans P. A. Van Dongen | journal = Journal of Biological Rhythms | volume = 14 | issue = 6 | year = 1999 | pages = 617–620 | doi = 10.1177/074873099129000984 | pmid = 10643760 | author-separator = , | display-authors = 1 }}</ref>), based on the contributions of Nicholas R. Lomb<ref name=lomb/> and, independently, Jeffrey D. Scargle.<ref name=scar/>  Closely related methods have been developed by Michael Korenberg and by Scott Chen and [[David Donoho]].
Großes Werkzeug, dieser Beitrag hat sich für ein ruhiges gewesen, während jetzt, damit ich mich, ob einer dieser drei Dienste hat diese Server-IP für das Senden zu viele Pings Greylist? Ich weiß, dass viele der Websites, die Pings von einigen der größeren Pinger akzeptieren wie Pingoat Pingler bekommen, dass auch wenn es vielleicht noch geben sie die für die Ping-Antwort. Ive erhielt eine Website, die auf dem gleichen Konzept wie die beiden eben [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Outlet Schweiz] genannten i genannt PingNinja verbessern versucht. Um zu umgehen, dass ich schon mit ihm zu drehen zwischen einem Pool von IP-Adressen auf dem Server. So weit, so gut. Ich war auch in der Lage zu beschleunigen den gesamten Prozess, wenn mehrere Dienste Pingen wenn ich don haben die Fähigkeit, mehrere URLs anpingen wie du (Es wird nur Ping eine URL zu einem Zeitpunkt) zu tun. Sorry für die Mini-selfpromotion, fühlen Sie sich frei, diesen Teil aus / nofollow es geschnitten, aber ich neugierig, ob Sie eine Änderung in der Art, wie die Server reagieren auf Pings auf dieser Seite gesendet bemerkt. <br><br>Parteien mit Menüs rund um Tee gebaut waren anscheinend der letzte Schrei in der New York kulturellen Klima, in dem Beitrag schrieb, und war so unter den Prominenten auf beiden Seiten des Teiches seit der Herrschaft von Königin Victoria gewesen. Obwohl Tee-Partys nicht mehr Routine Einträge auf den meisten unserer sozialen Kalender, sie als Neuheit weiter, in der Regel mit einem Nicken auf die historische Periode, in der der Brauch gediehen und oft als eine Spendenaktion für einen guten Zweck. <br><br>Natürlich ist die aktuelle Iteration Romney vermutlich findet diese Offensive. Immerhin glaubt Präsident Obama erfolgreiche Unternehmen sind das Ergebnis von Eigeninitiative und öffentliche Institutionen, und Romney verbrachte fast die gesamte letzte Woche argumentiert, dass ein solcher Glaube ist "fremd", ein Angriff auf Erfolg, Nachweis des Radikalismus, [http://www.guggizunft.ch/content/member/style.asp Nike Store Zürich] und ein Versuch, zu verunglimpfen <br><br>Der Verkäufer, Alan Maultiere, 62, kaufte das Grundstück mit seinen exwife im Jahr 2000 für rund $ 400.000. Seitdem eines der Bäder renoviert wurde, ein drittes Badezimmer legen, ein walkinwardrobe [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Tasche] im Schlafzimmer installiert, ein Regenwasserablauf in gesetzt und [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free Run] die Außenseite des Hauses gemalt. "Wir sind wirklich mit der Reaktion des Marktes begeistert, das ist sicher", sagte Maultiere. <br><br>Als Konsumsteuer die GST ist, dass es trifft die Armen überproportional, aber das kann durch Kredite wie GST Rabatte bundes und Rabatte provinziell zu Hause Heizung ausgeglichen werden. Diese Flexibilität sollte attraktiv Fürsprecher für die Armen sein. Umweltschützer sollten hardpressed werden, um gegen eine Steuer auf den Verbrauch argumentieren als das Niveau der Produktion von Waren ist im Zusammenhang mit Umweltbelastungen.<ul>
 
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  <li>[http://bbs.leheer.com/forum.php?mod=viewthread&tid=43871&fromuid=59849 http://bbs.leheer.com/forum.php?mod=viewthread&tid=43871&fromuid=59849]</li>
 
  <li>[http://www.metransparent.com/spip.php?article21662&lang=ar&id_forum=37102/ http://www.metransparent.com/spip.php?article21662&lang=ar&id_forum=37102/]</li>
 
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==Historical background==
== Nike Schuhe Daily Beast ==


The close connections between [[Fourier analysis]], the [[periodogram]], and [[least-squares]] fitting of [[sinusoids]] have long been known.<ref>{{cite book | title = The Combination of Observations | author = David Brunt | publisher = Cambridge University Press | year = 1931 | edition = 2nd }}</ref> Most developments, however, are restricted to complete data sets of equally spaced samples. In 1963, J. F. M. Barning of [[Centrum Wiskunde & Informatica|Mathematisch Centrum]], Amsterdam, handled unequally spaced data by similar techniques,<ref>{{cite journal |author1=Barning, F. J. M. |title=The numerical analysis of the light-curve of 12 Lacertae |bibcode=1963BAN....17...22B |year=1963 |pages=22 |volume=17 |journal=Bulletin of the Astronomical Institutes of the Netherlands}}</ref> including both a periodogram analysis equivalent to what is now referred to the Lomb method, and least-squares fitting of selected frequencies of sinusoids determined from such periodograms, connected by a procedure that is now known as [[matching pursuit]] with post-backfitting<ref name=kmp>{{cite journal | title = Kernel Matching Pursuit | author = Pascal Vincent and Yoshua Bengio | journal = Machine Learning | volume=48 | pages=165–187 |year=2002 | url = http://www.iro.umontreal.ca/~vincentp/Publications/kmp_mlj.pdf | doi = 10.1023/A:1013955821559 }}</ref> or orthogonal matching pursuit.<ref>Y. C. Pati, R. Rezaiifar, and P. S. Krishnaprasad, "Orthogonal matching pursuit: Recursive function approximation with applications to wavelet decomposition," in ''Proc. 27th Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers,'' A. Singh, ed., Los Alamitos, CA, USA, IEEE Computer Society Press, 1993.</ref>
Jeder Tag, den wir leben unser Leben ist so mit einer "analytischen Art der Aufmerksamkeit" (Daily Beast) sind wir immer betont darüber Tests, die Arbeit und die Entscheidungen, die wir konfrontiert mit dem Alltag konzentriert. Dies kann so ermüdend und macht unser Bedürfnis nach Natur sogar noch größer. Der Artikel besagt, dass "Umgang mit der Natur verschiebt den Geist zu einer entspannten und passiven Modus, so dass die mehr analytische Kräfte, um sich wieder herzustellen." (Daily Beast).<br><br>Herr Bleijie die diese geschaffen Kosten und Formalitäten für die Ereignisse, die er als "im Wesentlichen eine Gruppe von Müttern und Vätern immer [http://www.guggizunft.ch/content/member/style.asp Nike Schuhe] zusammen versuchen, Geld für ihre Schule zu erhöhen P ist wichtig, um die Verantwortlichkeit im Interesse der Gemeinschaft zu erhalten, aber ich denke es ist auch wichtig, beschrieben <br><br>Wenn Sie gerade erst anfangen, in Ihrem Unternehmen, können Sie nicht über ein großes Budget, um auf Dinge wie Marketing und Werbung ausgeben. Dies bedeutet, dass, wenn Sie für den besten Blog-Site für kleine Unternehmen, die Sie benötigen, um Ihre Aufmerksamkeit auf diejenigen, die keine oder nur [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free Run Schweiz] minimale Gebühren Gebühren an allen aufladen konzentrieren zu suchen. <br><br>Pferd Cumshot Anal Verschraubungen Dick in einer Box-Video Wie man eine Strickleiter zu machen Las Vegas Strip-Clubs Kirche inuyasha Zitrone asiatischen catfights Lecken Erotische Massage atlanta Amatur Partnersuche, Dating-Websites Online-Dating Lucy Pinder oben ohne asiatische Homosexuell Sex Dolly Parton Nackt Harley babes Männer im Schlüpfer Latina anal Karate Hose Babes täglich Pferd hing Jocks Intime Teen Chat Channel 69 News Creampie Frauen Mädchen pinkeln im Stehen Hot schwangere Mädchen Papa tragen Täglich Domina Adult-Video-Sites Titten Video Genitalwarzen-Entferner Preiswert Dessous Certified rechtliche Krankenschwester Berater Feminisierung Demütigung Ficken [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Salzburg] Dungeon Boyz zu Männern Homosexuell männlich mpegs Girls Gone Wild unzensierte Daddy Yankee Amateur Stripper lateinischen [http://www.guggizunft.ch/content/chat/chat_mail.asp Nike Air Max Schweiz] Könige Calvin Klein männliche Models Erwachsene anime inuyasha Zeichnungen von Dick Film Galerien zusammen Porno Britany spears sex tape Flirt Chat Gothic Teen Schlampen Debella Freunden hot mom Gebildete Pussy Erotische Dienstleistungen Gezeichnet<br><br>In der Zwischenzeit eine Gruppe von Konkurrenten haben sich auf König Elizabello II gekuppelt, während Bluegilly verspottet ihn sagen, dass er jetzt ungeschützt dem der König erwidert zurück zu Bluegilly mit einer Drohung von seiner eigenen. Das Publikum ist jetzt sehr neugierig, was als nächstes passieren wird, da sie über die Macht der Elizabello Schläge gehört haben, und sie beschließen, wegzulaufen, wenn er beginnt, bereitet sich auf Schlag.<ul>
 
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  <li>[http://www.sunyo1688.cn/news/html/?550160.html http://www.sunyo1688.cn/news/html/?550160.html]</li>
 
  <li>[http://pcbbbs.net/read.php?tid=468/read.php?tid=468 http://pcbbbs.net/read.php?tid=468/read.php?tid=468]</li>
 
  <li>[http://414300.net/news/html/?453829.html http://414300.net/news/html/?453829.html]</li>
 
</ul>


[[Petr Vaníček]], a Canadian [[geodesy|geodesist]] of the [[University of New Brunswick]], also proposed the matching-pursuit approach, which he called "successive spectral analysis" and the result a "least-squares periodogram", with equally and unequally spaced data, in 1969.<ref name=vana>{{cite doi|10.1007/BF00651344}}</ref> He generalized this method to account for systematic components beyond a simple mean, such as a "predicted linear (quadratic, exponential, ...) secular trend of unknown magnitude", and applied it to a variety of samples, in 1971.<ref name=vanb>{{cite doi|10.1007/BF00656134}}</ref>
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The Vaníček method was then simplified in 1976 by Nicholas R. Lomb of the [[University of Sydney]], who pointed out its close connection to [[periodogram]] analysis.<ref  name=lomb>{{cite doi|10.1007/BF00648343}}</ref> The definition of a periodogram of unequally spaced data was subsequently further modified and analyzed by Jeffrey D. Scargle of [[NASA Ames Research Center]],<ref name=scar>{{cite journal |author1=Scargle, J. D. |bibcode=1982ApJ...263..835S |title=Studies in astronomical time series analysis. II - Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data |doi=10.1086/160554 |year=1982 |pages=835 |volume=263 |journal=Astrophysical Journal}}</ref> who showed that with minor changes it could be made identical to Lomb's least-squares formula for fitting individual sinusoid frequencies.
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</ul>


Scargle states that his paper "does not introduce a new detection technique, but instead studies the reliability and efficiency of detection with the most commonly used technique, the periodogram, in the case where the observation times are unevenly spaced," and further points out in reference to least-squares fitting of sinusoids compared to periodogram analysis, that his paper "establishes, apparently for the first time, that (with the proposed modifications) these two methods are exactly equivalent."<ref name=scar/>
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Press<ref name=pres/> summarizes the development this way:
Gleichzeitig anderswo auf dem Schiff beginnt die guten Captain Kirk, Anzeichen von Schwäche zu zeigen, seiner Fähigkeit, Aufträge und Befehle, die so genannte geben offenbar zu verlieren 'Macht der Entscheidung.' Mit Hilfe von Mr.. Es kann schwierig sein, sich vorzustellen, dass ein Buch [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Salzburg] so reich in der Wissenschaft kann auch ein page turner, aber dies ein schwer zu abgesetzt ist. <br><br>Und dann kam die Broschüre aus Oregon (wo das Ding versucht), die Broschüre mit dem Titel 'Warum sollte Salz leiden?' und es gab mehr Mühe .. Sie sind nicht wieder aufgeladen. Kette in Kalifornien (im Gegensatz zu 300 neue in Texas). Ich mag die Single. <br><br>Anrufe auf 070-Nummern kosten bis zu 77p/min [http://www.guggizunft.ch/content/chat/chat_mail.asp Nike Air Max Schweiz] und 09 Nummern kosten bis zu 255p/min. Schalheit ist eine psychische Ermüdung durch oft Sorgen zu machen oder zu nahe Aufmerksamkeit auf Tennis, und nicht genug Vielfalt des Denkens.. Wir würden immer übereinander auf der Straße laufen hier und da. <br><br>Nachdem ich ihn in einer geschlossenen psychiatrischen Abteilung tatsächlichen Holz retraint als 'Utica Krippe' bekannt ist, durch Vater war wieder aus. Entfernt einige Fälle von Schutt in bestimmten Rennen, einschließlich der aus dem Karton the Drain-Rennen. <br><br>Rosen nicht im Fall angeklagt, aber der Vorschlag, in einem Regierungsdokument, das ein Reporter könnte der Spionage für einen Eingriff in sein Routinemeldungen ist beispiellos und hat viele Journalisten und Bürgerrechtler alarmiert ... Denn so lange es nicht zu einem Fall zu machen, ihre Hierarchie einfach das Gesetz festgelegt .. <br><br>Wenn Schmerzsignale können durch die winzige elektrische Schocks aus dem TENS Gerät blockiert werden kann, dann wird das Gehirn weniger Signale von der Quelle erhalten der Schmerz ... Lefkove und [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free Günstig] Curtin sind Dreharbeiten für eine Ende Februar / Anfang März Öffnung .. <br><br>In einem Bett in der Ecke des Raumes, ihr kleiner Junge liegt krank. Unsere aktuellen nationalen Kampagne ist zu 100% übernehmen Respekt, wo die Studenten in Australien arbeiten, um eine Welt, die auf der Achtung erstellen.. Und bevor ich dich verlassen, du wirst feststellen, dass mir und Uncle Sam sind ein in der gleichen .. <br><br>'Obwohl die Quanten von Anfällen erhöht hat, unserer Meinung nach nur 1 bis 2 Prozent des [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Schweiz] Gesamt Schmuggel widerspiegelt', sagte ein Geheimdienstoffizier Umsatz in Mumbai, der nicht genannt werden wollte.. CJ öffnet ein Auge und sagt: 'Du bist gefeuert!'. <br><br>The Buzz Punktzahl war 19 am Montag, was einem Rückgang von 45 Punkten. TORONTO Ach, es der festlichen Jahreszeit, und das bedeutet, Beisammensein mit Familie und Freunden Händeschütteln, Umarmungen und Küsse auszutauschen, Vorbereitung und gemeinsame Mahlzeiten.<ul>
 
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  <li>[http://recit.cscapitale.qc.ca/~clj/prof/spip.php?article22 http://recit.cscapitale.qc.ca/~clj/prof/spip.php?article22]</li>
 
  <li>[http://loonf.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1650342 http://loonf.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1650342]</li>
 
  <li>[http://www.mimispeed.com/news/html/?83039.html http://www.mimispeed.com/news/html/?83039.html]</li>
 
  <li>[http://pppppirn.com/news/html/?268828.html http://pppppirn.com/news/html/?268828.html]</li>
 
</ul>


{{quote|A completely different method of spectral analysis for unevenly sampled data, one that mitigates these difficulties and has some other very desirable properties, was developed by Lomb, based in part on earlier work by Barning and Vanicek, and additionally elaborated by Scargle.}}
== Nike Shoes  bekam ich diese überwältigende dachte mir ==


Michael Korenberg of Queen's University in 1989 developed the "fast orthogonal search" method of more quickly finding a near-optimal decomposition of spectra or other problems,<ref name=k89/> similar to the technique that later became known as orthogonal matching pursuit. In 1994, Scott Chen and David Donoho of Stanford University have developed the "basis pursuit" method using minimization of the [[L1 norm]] of coefficients to cast the problem as a [[linear programming]] problem, for which efficient solutions are available.<ref name=chen/>
Taranga. [26] Andere Nationen, darunter Kenia, Australien, Neuseeland, Indien, Seychellen, Sri Lanka, und mehrere Karibikstaaten, nahm an der Bake Beleuchtung. Sie sind nirgendwo. So möchten Sie Ihre Soldaten am Leben halten wollen. 7 TWEETSTop Georgia Demokrat kämpft To Prove Obamacare Kann Deep South Widerstand 240 TWEETSview Überwindung mehr. <br><br>Wann beginnen die Menschen ins Gefängnis zu gehen, werden die Leute aufhören, es zu tun,? . [49] Die [http://www.guggizunft.ch/content/member/style.asp Nike Shoes] Schwierigkeiten mit dem Steinbruch-Prozess, verbunden mit komplizierten Transportlogistik, verzögerte Lieferung der Stein, der damit verzögerten Bau des Denkmals. <br><br>Unmittelbar nach der Eingabe des Ortes, bekam ich diese überwältigende dachte mir: "Oh nein, das ist entweder zu der beste Essen überhaupt ODER schlimmsten überhaupt. Ich habe mehrere Websites, so weit ausgelegt. Dezember Bühne erklärt. Citizenship and Immigration [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Schweiz] Canada, die kanadische Regierung Immigration Department, ermöglicht auch die Provinz Quebec, um Einwanderer zu wählen. <br><br>Er lud eine Pistole, feuerte einen Schuss in den Boden und dann erschossen Studenten, die vor ihm standen. Was mich jetzt inspirieren: Weit entfernte Ziele (träumen von einer Reise nach Bhutan und [http://www.guggizunft.ch/content/chat/chat_mail.asp Nike Air Max] Bangladesch), Lern ​​Espaol, und [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Wien] die Farbe orange (Ich habe vor kurzem entdeckte ich es tragen kann, und bin jetzt offiziell besessen).. <br><br>Klicken Sie hier um unsere Menüs für York Restaurants oder Lancaster Restaurants anzeigen. Wir haben eine Reise für Januar geplant, Kolumbien, und als Teil unserer Reiseroute werden wir von Kaffee Land reisen nach Cartagena. Shoppers Drug Mart Corp (OTCPK: SHDMF), 42%. <br><br>Gesamt-Phosphor, Chlorophyll a und Secchi Scheibe Tiefe (. Es gab ales in den Kauf billige zithromax Studien, aber das war quinidinesee Polydaktylie kristallinen jede Kakerlake über workare Wirkung auf Selbstmord entgegenzuwirken. Wir verwenden MobileMe für uns und andere Familienmitglieder. <br><br>Cobro inmediato Gefangenen el inicio de cialis online mexico agosto a la (s) 1626Loran Unterscheiden procesos cialis online mexico envejecimiento.Programa Nacional de Inmunizaciones, 1988. Facing entwickelt tödlicher Feinde und die brutalen Elemente können Isaac wählen, um ein Team, nicht nur für sein eigenes Überleben, sondern auch für die von der Menschheit. <br><br>Der Titel dieses Artikels meine Aufmerksamkeit erregte. Sobald Sie experimentieren mit der Befugnis, Waffen und Umwelt-Elemente zu starten, Dishonored erstaunliche Flexibilität zeigt seine Sachen. Einige Forscher warnen auch davor, das Telefon in Bereichen mit schwachem Signal, da Telefone emittieren elektromagnetische Strahlung während dieser Zeit.<ul>
 
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  <li>[http://www.shaffaf.net/spip.php?article929&lang=ar&id_forum=27372/ http://www.shaffaf.net/spip.php?article929&lang=ar&id_forum=27372/]</li>
 
  <li>[http://www.emil86.fr/spip.php?article1/ http://www.emil86.fr/spip.php?article1/]</li>
 
  <li>[http://bbs.gzpca.org/forum.php?mod=viewthread&tid=59760&fromuid=12120 http://bbs.gzpca.org/forum.php?mod=viewthread&tid=59760&fromuid=12120]</li>
 
  <li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article303/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article303/]</li>
 
</ul>


==The Vaníček method==
== Nike Free Run  nicht auf die Vorschau ==


In the Vaníček method, a discrete data set is approximated by a weighted sum of sinusoids of progressively determined frequencies, using a standard [[linear regression]], or [[least-squares]] fit.<ref name=UNB85>Wells, D.E., P. Vaníček, S. Pagiatakis, 1985. Least-squares spectral analysis revisited. Department of Surveying Engineering Technical Report 84, University of New Brunswick, Fredericton, 68 pages, Available at [http://www2.unb.ca/gge/Pubs/TR84.pdf].</ref> The frequencies are chosen using a method similar to Barning's, but going further in optimizing the choice of each successive new frequency by picking the frequency that minimizes the residual after least-squares fitting (equivalent to the fitting technique now known as [[matching pursuit]] with pre-backfitting<ref name=kmp/>). The number of sinusoids must be less than or equal to the number of data samples (counting sines and cosines of the same frequency as separate sinusoids).
Seit seiner unberechenbaren ob es ein [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free Run] Dreibett-oder Einzelfeuerball, immer tauchen, um den rathians links. Ich denke, [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Wien] das ist Teil des Vereins. Es billig. So vergessen die Diäten, die großartige Arbeit. 5, wahren Chancen . Ich bin sicher, GoogleDrive und iCloud und Dropbox haben ähnliche Regeln. <br><br>Nach Wachter Abkehr von der Band im Jahr 2006, die Leto-Brüder und Milievi weiter als Trio mit zusätzlichen Touren Mitglieder, [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free 5.0] darunter Tim Kelleher am Bass .. 3. Als Sorten werden auf mehr Hektar in der kommerziellen Produktion gewachsen ist, wird ein besseres Verständnis der Winterhärte folgen .. <br><br>Ich persönlich war einer der Mitarbeiter Botschafter Rice bekannt. Ich habe alle Arten von Blistex versucht, ich mag es nicht. [/ Quote]. Auf der Internet-Appl. Ist ein Eigentümer berechtigt, die hinter einem Angebot auf eine Ausschreibung und bestimmen, ob es kompatibel mit [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free Run Schweiz] den Bedingungen der Ausschreibung ist, eingereicht aussehen, auch wenn auf der stellen das Angebot ist kompatibel? Und wenn der Eigentümer dies tut, und bestimmt, dass das Angebot ist nicht kompatibel ist, kann der Besitzer dann disqualifizieren das Angebot? . <br><br>Hurrikane Katrina und Rita, [10] und die menschenfreundliche Antwort auf 9/11 Angriffe [11] AIP-Ratings haben großen Belichtungs aus dem Kongress und den Medien erhalten, besonders AIP Auftritt auf der Titelseite der Washington Post, [12] . Mit Englisch ist meine Muttersprache habe ich studiert und sprechen kann, Koreanisch und Japanisch, und ich bin derzeit die Bekämpfung Russian so (hoffentlich dieses Bit in der russischen zeigt sich, nicht auf die Vorschau) Psn princejericho 50/50 Kampf-Manipulator "Build . <br><br>Dies ist eine großartige Gelegenheit, um den Administrator zu zeigen, warum Sie der beste Kandidat für Stipendien sind. Die vorgeschlagene Regelung, die auf über 600 Gemeinden der First Nations, definiert als "Indian Bands" unter dem Indian Act, 2 gilt eine gesetzliche Grundlage für die Erstellung und Veröffentlichung von First Nations "geprüften Konzernabschluss und der Vergütung, einschließlich der Gehälter und Kosten . <br><br>Sie erzählte, wo sie suchen, die do und Don und wie viel Sie erwarten können, zu machen. Werden Ashish InfraCON Pvt Ltd Handhabung des gesamten Arbeits. Das Personal war sehr angenehm und beherbergte uns im Grunde auf einer täglichen Basis, wie wir waren nicht sicher, wie lange die Reparatur dauern würde .. <br><br>Sie werden auch warnen vor Wechselwirkungen mit anderen Medikamenten, wie zB die verminderte Wirksamkeit von Cisplatin .. Ohne eine offensive proc die manakette werden sich weit weniger Schaden an Gegnern, nicht um die Heilung Vorteil der Sol erwähnen wird nicht so groß, da a) es wird nicht sehr oft auszulösen (manakette die haben nur selten die Geschwindigkeit, um einen Gegner zu verdoppeln) und b) wird es nicht geben, viel Heilung, da der manakette nicht zu tun haben sehr viel Schaden..<ul>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum24674002 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum24674002]</li>
 
  <li>[http://pcbbbs.net/read.php?tid=468/read.php?tid=468 http://pcbbbs.net/read.php?tid=468/read.php?tid=468]</li>
 
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  <li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article303/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article303/]</li>
 
  <li>[http://www.mariettakaramanli.fr/spip.php?article647/ http://www.mariettakaramanli.fr/spip.php?article647/]</li>
 
</ul>


A data vector ''Φ'' is represented as a weighted sum of sinusoidal basis functions, tabulated in a matrix '''A''' by evaluating each function at the sample times, with weight vector ''x'':
== Nike Air Max  dass er in Wochen gewesen ==


:<math>\phi \approx \textbf{A}x</math>
Ich schreibe ein Stipendium für ein Studienprojekt, von denen ein Teil Bereichs die Entwicklung einer kleinen Website. 1. Ihr Schreiben ist wirklich überzeugend, und das ist vielleicht, warum ich die Mühe gemacht, um meinen,. Die Suche nach der [http://www.guggizunft.ch/content/chat/chat_mail.asp Nike Air Max] wahren Liebe kann für viele Menschen ziemlich hart sein, aber ein weibliches Management Supervisor aus einer ziemlich bekannten Werbeagentur in San Francisco scheint zu denken, Geld hilft.. <br><br>Sie hatten keinen Grund, die US-Regierung vor Ort in Benghazi, die maßgeblich an der Verzinkung der islamistischen Aufstand, um die Gaddafi-Regierung zu stürzen, beginnend zumindest ab März 2011 und unter der Aufsicht des verstorbenen Christopher Stevens gewesen war anzugreifen.. <br><br>Und wieder folgte er, dass bis heute Abend." Die Leafs Sieg war [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Outlet] umso beeindruckender durch die Tatsache, ihre jungen Formation war [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free 5.0] unten ein paar gute Männer, mit einem Top- vier Verteidiger (Mark Fraser) und Zentrum (Tyler Bozak) mit Verletzungen erlitten (oder verstärkt) in diesem series.Bozak war die größte Überraschung, als trotz Eingabe der Playoffs Pflege ein Verdacht auf Schulterverletzung, er fast 22 Minuten im Freitag-Spiel angemeldet hatte 5-Sieg in Boston und tatsächlich führte Toronto nach vorne in Eis Zeit in der series.He nahm sich sogar die pregame Skate am Sonntag, konnte aber den Puck, die nicht gut für seine Verfügbarkeit für Montag Game 7.Without ihm verheißt, Griff der Minuten fiel vor allem auf die Schlange gebissen Duo von Mikhail Grabovski und Kadri, der für keine Tore und zwei Assists in den ersten fünf Spiele-Serie nach Abschluss der regulären Saison Eis cold.Both in bewunderns Umdrehungen setzen in Spiel 6 jedoch Zentrierung Trainer kombiniert hatte Randy Carlyle provisorischen Linien, die von der Zeit in den letzten paar games.Kadri ändern schien, war auf dem Eis [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Outlet] für beide Leafs Ziele und in der Offensive in der Regel mehr beteiligt, dass er in Wochen gewesen, und Grabowski hatte eine Hand in Herunterfahren Krejci entlang mit Phaneuf.But, über die fehlenden Spieler, die Leafs wurden ebenfalls mit viel Körper knallte mit Phaneuf Chef unter denen, auch wenn er nicht gar zu einer injury.After Anmeldung einige der größten und härtesten Minuten in die zugeben, Liga während der Saison, hat seine Eiszeit unten gewesen und sein Spiel manchmal ungewohnt aus dieser Serie, auch abgesehen von diesem katastrophalen Prise in Spiel 4.But Phaneuf hat den Job getan Gesamt vor allem in diesen letzten zwei entscheidenden Spiele bekommen, zu binden, die .<ul>
 
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</ul>


where the weight vector ''x'' is chosen to minimize the sum of squared errors in approximating ''Φ''. The solution for ''x'' is closed-form, using standard [[linear regression]]:<ref name=craymer/>
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:<math>x = (\textbf{A}^{\mathrm{T}}\textbf{A})^{-1}\textbf{A}^{\mathrm{T}}\phi</math>.
Sie lieben es, soziale Medien nutzen, um in Kontakt mit uns auf. Während der Flick Presseveranstaltung am Montag, wurde Yahoo CEO Marissa Mayer über die eingeschränkte Inhalte auf Tumblr gefragt und sie ohne zu zögern geantwortet, dass das Unternehmen keine . <br><br>Meine Väter Zwillingsschwestern, wo beide an der Sternenstaub, die Nacht und danke Gott, [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Salzburg] beide stiegen aus reletivley unversehrt.. Sijbom erklärt: "Wir haben drei verschiedene Seiten für einen unserer Versicherungsprodukte, die jeweils mit unterschiedlichen Einzelheiten, einschließlich einer anderen Standard Zitat Wir zufällig ausgewählt, welche Seite für jeden Kunden zu präsentieren, wie sie angekommen, und maßen die Wechselwirkungen mit den Seiten durch SpeedTrap. <br><br>Es braucht die richtige Landschaftsbau. Sie müssen bis zu Informationen für Ihre Website zu datieren. Körpergewebe in der Regel bekommen in Verletzungen beschädigt, und im Falle von schweren Verkehrstoten diese Gewebe nicht leicht Neuausrichtung verursacht starke Schmerzen und die Einschränkung Körper [http://www.martinaleuenberg.ch/arbeiten/project.html Nike Free Günstig] Moment. <br><br>Geschäfts Adcptiun. Die meisten Eltern (71%), ergab die Umfrage, glauben Handys helfen, den Überblick über ihre Kinder. Eine rechte Schläger, die einen Ruf, ein mürrischer, verstockt Schlagmann in der Lage, die Falte für längere Zeit zu besetzen entwickelt, machte Goud seiner erstklassigen Debüt in der Saison 199.495 für seinen Heimatstaat Karnataka aber verschoben Treue zu Eisenbahnen, die er für ein vertreten . <br><br>Los trastornos musculoesquelticos debido al trabajo (WMSD, por sus SIGLAS ingls en) Sohn causados ​​por actividades y condiciones relacionadas con trabajos propios de la construccin, como levantar objetos, realizar movimientos repetitivos y trabajar en espacios muy reducidos. <br><br>Nette Love Poems Geben Sie mir einen Hinweis. Geben Sie einfach einfachen Zugriff auf Ihre täglichen Beiträge und Ihre Kunden leicht in [http://www.guggizunft.ch/content/chat/chat_mail.asp Nike Air Max Schweiz] der Lage, immer auf dem Laufenden über Ihre Produkte und Geschäfts sein ... Feiere ich 25 Jahre in der professionellen Beauty-Branche. <br><br>Er hat von Kopiermaterialien aus dem Internet und paraphrasiert in seine Bücher und Vorträge vorgeworfen. Baby-Bay ähnlich wie eBay ist eine Website, wo Mitglieder können unerwünschte Baby-Kleidung und Waren zu handeln.. ADSL-chan 2 =? TV3 Irland war das erste unabhängige Fernsehsender in Irland, vollständig durch Einnahmen aus der Werbung finanziert. <br><br>Treten Sie sorgfältig, liebe Eltern. Ich will meine beste Freundin, aber nicht wir alle. BTW auch, wenn es diffamierende (und ich habe keine Ahnung, ob es oder nicht) durch Entsendung es hier oben offen selbst zu öffnen, um auch von Gallagher verklagt, und Gallagher eher [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Zürich] trigger happy, wenn es um die Gerichte kommt, angeblich.<ul>
 
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</ul>


Here the matrix A can be based on any set of functions that are mutually independent (not necessarily orthogonal) when evaluated at the sample times; for spectral analysis, the functions used are typically sines and cosines evenly distributed over the frequency range of interest. If too many frequencies are chosen in a too-narrow frequency range, the functions will not be sufficiently independent, the matrix will be badly conditioned, and the resulting spectrum will not be meaningful.<ref name=craymer/>
== Abercrombie Schweiz wo es gesünderen Lebensmitteln ==


When the basis functions in '''A''' are orthogonal (that is, not correlated, meaning the columns have zero pair-wise [[dot product]]s), the matrix '''A<sup>T</sup>A''' is a diagonal matrix; when the columns all have the same power (sum of squares of elements), then that matrix is an [[identity matrix]] times a constant, so the inversion is trivial.  The latter is the case when the sample times are equally spaced and the sinusoids are chosen to be sines and cosines equally spaced in pairs on the frequency interval 0 to a half cycle per sample (spaced by 1/N cycle per sample, omitting the sine phases at 0 and maximum frequency where they are identically zero).  This particular case is known as the [[discrete Fourier transform]], slightly rewritten in terms of real data and coefficients.<ref name=craymer/>
So können Patienten ihre Eisenmangel durch die Einnahme von eisenhaltigen Lebensmitteln wie Fleisch anzugehen und grünes Blattgemüse. Dieser allmähliche Übergang kann zunächst auf Widerstand stieß vor allem, wenn sie zu dem Einschlafen verwendet, während das Saugen sondern setzen ihr zurück in den Schlaf in der Krippe, wenn sie schläfrig, aber noch wach wird ihr helfen, lernen, schlief auf ihre eigene in der Zukunft fallen.<br><br>Mit zwei etablierten und drei Herausforderer, gibt es ein echtes Rennen und Kandidaten haben die Straße getroffen, Cafés, Bibliotheken, Schulen Vorstandssitzungen und Fahrgemeinschaft Linien bekommen ihre Nachrichten über .. In beiden die Führung bis zum Interview und in der Zeit zwischen hat die Stiftung auf dem vorderen Fuß mit Nachrichten die sich auf die guten Werke der Livestrong in seinem eigenen [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Schweiz] Recht gewesen ..<br><br>Vergangenen Monat, Italien und Deutschland warf die Idee der Eröffnung 'Aufnahmezentren' innerhalb Libyen Asylanträge zu bearbeiten und zu fliegen abgelehnte Asylbewerber zurück in ihr Herkunftsland und anderen afrikanischen Ländern des Nahen Ostens. Im Jahr 2013 gibt es bereits mehrere Implementierungen Frau, aber fast alle sind [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Outlet] in CeeLanguage geschrieben, und die meisten sind ziemlich haarig.<br><br>Wie gut es braucht, um aus der Kälte isoliert werden, hängt von Ihrem Klima. Ryschkow fügt. Für die ersten 10 Wochen Training, führen zwei bis drei Sätze von acht bis 12 Wiederholungen pro Übung; Danach können Sie auf der Grundlage Ihrer Fortschritt anzupassen. Sie kann auch nicht mit den Referenten viel tun, wenn Sie Lautsprecher regelmäßig verwenden wie ich.<br><br>Zweitens, jedes Mal eine Mannschaft hat guten Ruf haben oder mehr [http://www.frauenhaus-steyr.at/htm/Grossansichten/header.htm Louis Vuitton Wien] Tore in den letzten Spielen erzeugt dann gibt es Chancen, es wird wieder den Erfolg zu wiederholen. Dies, weil es regelmäßig Zucker. Der Agent kehrte am Nachmittag in seinen Stiefeln schütteln. Machen Sie Pausen an [http://www.duschbad.ch/fabrikladen/client.html Abercrombie Zürich] Raststätten, wo es gesünderen Lebensmitteln, oder bringen Sie eine gesunde Mahlzeit mit Ihnen.<br><br>Schließlich, bevor Sie eine Anwendung für ein Darlehen zu machen, sollten Sie zufrieden damit, wie und wann Sie die Fähigkeit, sie zurückzuzahlen sind. Sie (nachdem auch zuvor eine Affäre mit ihm) versucht das Kennwort auf seine E-Mail-Konto und siehe da gab es etwa fünf Frauen, die er auf seine Freundin mit Betrug.<br><br>Hinzufügen von Gewicht und Flexibilität Ausbildung nach den Wechseljahren kann zur Stärkung der Knochen und die Gesamt Körper Ton .. Die genauesten Werkzeuge zur Verfügung, um die Körperzusammensetzung zu beurteilen sind DEXA-Technologie, gefolgt von Unterwasser-Wiegen. Administrative Registrierungsdateninformationen auf altersspezifische Mortalität und Todesursachen von Todesbescheinigungen durch das Ministerium für Gesundheit und dem Instituto Nacional de Estadstica y Geografa zusammengestellt.<ul>
 
 
:<math>x = \textbf{A}^{\mathrm{T}}\phi</math> &nbsp; &nbsp; (DFT case for ''N'' equally spaced samples and frequencies, within a scalar factor)
  <li>[http://www.juegosetnicos.com.ar/spip.php?article86&lang=zh/ http://www.juegosetnicos.com.ar/spip.php?article86&lang=zh/]</li>
 
 
Lomb proposed using this simplification in general, except for pair-wise correlations between sine and cosine bases of the same frequency, since the correlations between pairs of sinusoids are often small, at least when they are not too closely spaced. This is essentially the traditional [[periodogram]] formulation, but now adopted for use with unevenly spaced samples. The vector ''x'' is a good estimate of an underlying spectrum, but since correlations are ignored, '''A'''''x'' is no longer a good approximation to the signal, and the method is no longer a least-squares method – yet it has continued to be referred to as such.
  <li>[http://elec.newroomschat.com/spip.php?article30/ http://elec.newroomschat.com/spip.php?article30/]</li>
 
 
==The Lomb–Scargle periodogram==
  <li>[http://uuzazuk9.egloos.com/905877/ http://uuzazuk9.egloos.com/905877/]</li>
 
 
Rather than just taking dot products of the data with sine and cosine waveforms directly, Scargle modified the standard periodogram formula to first find a time delay τ such that this pair of sinusoids would be mutually orthogonal at sample times ''t<sub>j</sub>'', and also adjusted for the potentially unequal powers of these two basis functions, to obtain a better estimate of the power at a frequency,<ref name=pres/><ref name=scar/> which made his modified periodogram method exactly equivalent to Lomb's least-squares method. The time delay τ is defined by the formula
  <li>[http://yaoxm.net/forum.php?mod=viewthread&tid=2131327 http://yaoxm.net/forum.php?mod=viewthread&tid=2131327]</li>
 
 
:<math>\tan{2 \omega \tau} = \frac{\sum_j \sin 2 \omega t_j}{\sum_j \cos 2 \omega t_j}.
  <li>[http://rklin.com/forum.php?mod=viewthread&tid=362698 http://rklin.com/forum.php?mod=viewthread&tid=362698]</li>
</math>
 
 
</ul>
The periodogram at frequency ω is then estimated as:
 
:<math>P_x(\omega) = \frac{1}{2}
\left(
  \frac { \left[ \sum_j X_j \cos \omega ( t_j - \tau ) \right] ^ 2}
        { \sum_j \cos^2 \omega ( t_j - \tau ) }
+
\frac {\left[ \sum_j X_j \sin \omega ( t_j - \tau ) \right] ^ 2}
        { \sum_j \sin^2 \omega ( t_j - \tau ) }
\right) </math>
 
which Scargle reports then has the same statistical distribution as the periodogram in the evenly-sampled case.<ref name=scar/>
 
At any individual frequency ω, this method gives the same power as does a least-squares fit to sinusoids of that frequency, of the form
 
:<math>\phi(t) \approx A \sin \omega t + B \cos \omega t</math>.<ref>{{cite book | title = Data Analysis Methods in Physical Oceanography | author = William J. Emery, Richard E. Thomson | publisher = Elsevier | year = 2001 | isbn = 0-444-50756-6 | url = http://books.google.com/?id=gYc4fp_ixmwC&pg=PA458&dq=vanicek+least-squares+spectral-analysis+lomb }}</ref>
 
==Korenberg's "fast orthogonal search" method==
 
Michael Korenberg of [[Queens University]] in [[Kingston, Ontario]], developed a method for choosing a sparse set of components from an over-complete set, such as sinusoidal components for spectral analysis, called fast orthogonal search (FOS). Mathematically, FOS uses a slightly modified [[Cholesky decomposition]] in a mean-square error reduction (MSER) process, implemented as a [[sparse matrix]] inversion.<ref name=k89>{{cite journal | author = Korenberg, M. J. | title = A robust orthogonal algorithm for system identification and time-series analysis | journal = Biological Cybernetics | volume = 60 | pages = 267–276 | year = 1989 | doi = 10.1007/BF00204124 | pmid = 2706281 | issue = 4}}</ref><ref>{{cite journal | title = Raman Spectral Estimation via Fast Orthogonal Search | journal = The Analyst | year = 1997 | volume = 122 | issue = 9 | pages = 879–882 | doi = 10.1039/a700902j | author = Korenberg, Michael J. | last2 = Brenan | first2 = Colin J. H. | last3 = Hunter | first3 = Ian W.|bibcode = 1997Ana...122..879K }}</ref>  As with the other LSSA methods, FOS avoids the major shortcoming of discrete Fourier analysis, and can achieve highly accurate identifications of embedded periodicities and excels with unequally-spaced data; the fast orthogonal search method has also been applied to other problems such as nonlinear system identification.
 
==Chen and Donoho's "basis pursuit" method==
 
Chen and Donoho have developed a procedure called [[basis pursuit]] for fitting a sparse set of sinusoids or other functions from an over-complete set.  The method defines an optimal solution as the one that minimizes the [[L1 norm]] of the coefficients, so that the problem can be cast as a [[linear programming]] problem, for which efficient solution methods are available.<ref name=chen>S. Chen and [[David Donoho|D.L. Donoho]] (1994), "Basis Pursuit." Technical Report, Department of Statistics, Stanford University, Available at [http://statweb.stanford.edu/~donoho/Reports/1994/asilomar.pdf]</ref>
 
==Palmer's Chi-squared method==
 
Palmer has developed a method for finding the best-fit function to any chosen number of harmonics, allowing more freedom to find non-sinusoidal harmonic functions.<ref name="fastchi2">{{cite arXiv
| last=Palmer
| first=David M.
| title = A Fast Chi-squared Technique For Period Search of Irregularly Sampled Data
| arxiv=0901.1913
}}</ref>
This method is a fast technique ([[Fast Fourier transform|FFT]]-based) for doing [[Least-squares_analysis#Weighted_least_squares|weighted least-squares analysis]] on arbitrarily-spaced data with non-uniform standard errors.  Source code that implements this technique is available.<ref>
{{cite web
| url = http://public.lanl.gov/palmer/fastchi.html
| title = David Palmer: The Fast Chi-squared Period Search
}}</ref>
Because data are often not sampled at uniformly spaced discrete times, this method "grids" the data by sparsely filling a time series array at the sample times.  All intervening grid points receive zero statistical weight, equivalent to having infinite error bars at times between samples.
 
==Applications==
 
The most useful feature of the LSSA method is enabling incomplete records to be [[frequency spectrum|spectrally]] analyzed, without the need to [[Data manipulation|manipulate]] the record or to invent otherwise non-existent data.
 
[[magnitude (mathematics)|Magnitude]]s in the LSSA [[frequency spectrum|spectrum]] depict the contribution of a frequency or period to the [[variance]] of the [[time series]].<ref name=vana/> Generally, spectral magnitudes defined in the above manner enable the output's straightforward [[significance level]] regime.<ref name=bwmm>Beard, A.G., Williams, P.J.S., Mitchell, N.J. & Muller, H.G.  A special climatology of planetary waves and tidal variability, J Atm. Solar-Ter. Phys. 63 (09), p.801–811 (2001).</ref> Alternatively, magnitudes in the Vanícek spectrum can also be expressed in [[decibel|dB]].<ref name=pagi>Pagiatakis, S. Stochastic significance of peaks in the least-squares spectrum, J of Geodesy 73, p.67-78 (1999).</ref>  Note that magnitudes in the Vaníček spectrum follow [[beta distribution|β-distribution]].<ref>Steeves, R.R. A statistical test for significance of peaks in the least squares spectrum, Collected Papers of the Geodetic Survey, Department of Energy, Mines and Resources, Surveys and Mapping, Ottawa, Canada, p.149-166 (1981)</ref>
 
[[Inverse (mathematics)|Inverse]] [[Transformation (geometry)|transformation]] of Vaníček's LSSA is possible, as is most easily seen by writing the forward transform as a matrix; the matrix inverse (when the matrix is not singular) or pseudo-inverse will then be an inverse transformation; the inverse will exactly match the original data if the chosen sinusoids are mutually independent at the sample points and their number is equal to the number of data points.<ref name=craymer>Craymer, M.R., [ftp://ftp.geod.nrcan.gc.ca/pub/GSD/craymer/pubs/thesis1998.pdf ''The Least Squares Spectrum, Its Inverse Transform and Autocorrelation Function: Theory and Some Applications in Geodesy''], Ph.D. Dissertation, University of Toronto, Canada (1998).</ref> No such inverse procedure is known for the periodogram method.
 
==Implementation==
 
The LSSA can be implemented in less than a page of [[MATLAB]] code.<ref>{{cite book | title = Ice Ages and Astronomical Causes: Data, Spectral Analysis, and Mechanisms | author = Richard A. Muller and Gordon J. MacDonald | publisher = Springer | year = 2000 | isbn = 3-540-43779-7 | url = http://books.google.com/?id=P8ideTkMQisC&pg=PA289&dq=spectral+lomb+scargle }}</ref> In essence:<ref name=UNB85/>
<blockquote>
"to compute the least-squares spectrum we must compute ''m'' spectral values ... which involves performing the least-squares approximation ''m'' times, each time to get [the spectral power] for a different frequency"
</blockquote>
I.e., for each frequency in a desired set of frequencies, [[sine]] and [[cosine]] functions are evaluated at the times corresponding to the data samples, and [[dot product]]s of the data [[coordinate vector|vector]] with the sinusoid vectors are taken and appropriately normalized; following the method known as Lomb/Scargle periodogram, a time shift is calculated for each frequency to orthogonalize the sine and cosine components before the dot product, as described by Craymer;<ref name=craymer/> finally, a power is computed from those two [[amplitude]] components.  This same process implements a [[discrete Fourier transform]] when the data are uniformly spaced in time and the frequencies chosen correspond to integer numbers of cycles over the finite data record.
 
This method treats each sinusoidal component independently, or out of context, even though they may not be orthogonal on the data points; it is Vaníček's original method. In contrast, as Craymer explains, it is also possible to perform a full simultaneous or in-context least-squares fit by solving a matrix equation, partitioning the total data variance between the specified sinusoid frequencies.<ref name=craymer/> Such a matrix least-squares solution is natively available in MATLAB as the [[backslash]] operator.<ref>{{cite book | title = MATLAB Primer | author = Timothy A. Davis and Kermit Sigmon | publisher = CRC Press | year = 2005 | isbn = 1-58488-523-8 | url = http://books.google.com/?id=MXWypqcHECkC&pg=PA12&dq=matlab+least-squares+backslash }}</ref>
 
Craymer explains that the simultanous or in-context method, as opposed to the independent or out-of-context version (as well as the periodogram version due to Lomb), cannot fit more components (sines and cosines) than there are data samples, and further that:<ref name=craymer/>
 
{{quote|"...serious repercussions can also arise if the selected frequencies result in some of the Fourier components (trig functions) becoming nearly linearly dependent with each other, thereby producing an ill-conditioned or near singular N.  To avoid such ill conditioning it becomes necessary to either select a different set of frequencies to be estimated (e.g., equally spaced frequencies) or simply neglect the correlations in N (i.e., the off-diagonal blocks) and estimate the inverse least squares transform separately for the individual frequencies..."}}
 
Lomb's periodogram method, on the other hand, can use an arbitrarily high number of, or density of, frequency components, as in a standard [[periodogram]]; that is, the frequency domain can be over-sampled by an arbitrary factor.<ref name=pres/>
 
In Fourier analysis, such as the [[Fourier transform]] or the [[discrete Fourier transform]], the sinusoids being fitted to the data are all mutually orthogonal, so there is no distinction between the simple out-of-context dot-product-based projection onto basis functions versus an in-context simultaneous least-squares fit; that is, no matrix inversion is required to least-squares partition the variance between orthogonal sinusoids of different frequencies.<ref>{{cite book | title = Discrete-Time Signal Processing: An Algebraic Approach | author = Darrell Williamson | publisher = Springer | year = 1999 | isbn = 1-85233-161-5 | url = http://books.google.com/?id=JCKAirWQdqkC&pg=PA314&dq=fourier-transform+orthogonal+least-squares }}</ref> This method is usually preferred for its efficient [[fast Fourier transform]] implementation, when complete data records with equally spaced samples are available.
 
==See also==
 
* [[Orthogonal functions]]
* [[Sinusoidal model]]
* [[Spectral density]]
* [[Spectral density estimation]], for competing alternatives
 
==References==
 
{{reflist}}
 
==External links==
* [ftp://ftp.geod.nrcan.gc.ca/pub/GSD/craymer/software/lssa/ LSSA software freeware download] (via ftp), FORTRAN, Vaníček's method, from the [[Natural Resources Canada]].
 
[[Category:Digital signal processing]]
[[Category:Frequency domain analysis]]

Latest revision as of 16:51, 9 September 2014

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