Calculation of glass properties: Difference between revisions

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In [[mathematics]], the '''packing dimension''' is one of a number of concepts that can be used to define the [[dimension]] of a [[subset]] of a [[metric space]].  Packing dimension is in some sense [[duality (mathematics)|dual]] to [[Hausdorff dimension]], since packing dimension is constructed by "packing" small [[open ball]]s inside the given subset, whereas Hausdorff dimension is constructed by covering the given subset by such small open balls. The '''packing dimension''' was introduced by C. Tricot Jr. in 1982.
== Per James Abercrombie Barato ==


==Definitions==
Isn intelligente per dire cose sgradevoli su / per billionares se aren vero. Non è bello dire cose su chi è sopravvissuto nazista Se si didn andare in un campo di sterminio hai fatta attraverso la guerra erano ebrei eri un sopravvissuto. (Il loro sito è in francese vedi Frommers Review) Il Bistro ha una storia affascinante che comprende Erenest Hemingway, James Joyce e bagni che sono un monumento storico. Potete vedere perché ho sentito le ricette tenuto una grande promessa.. <br><br>Portato l'. Che cosa è l'opposto di un puma? che si è difeso con un bastone. Eravamo tutti esseri umani. Letti piattaforma Woodenmake può dare alla vostra stanza un aura terroso, e offre una vasta gamma di disegni a tema, che si prevede di incorporare nella vostra stanza. <br><br>ArticleBiz, GoArticles e articledashboard sono solo alcuni di quelli buoni. Un Harrumph acustico segue, seguito da un sidestep elegante. Se da ovest, sono [http://www.grupxativa.com/beta/_old/noticias/simple.php Abercrombie Barato] abbastanza sicuro che si ha familiarità con esso. R. "Smettere di aspettare che qualcuno ci dica cosa fare". Anche i miei activies agricole sono leggermente ostacolati dai siti reali, ma non troppo. <br><br>Avevano tre figlie Ellen 1860, Bridget febbraio 1861, e Maria 1862. Neil e Mary (Margherita) è venuto a Boston qualche tempo prima del 1878, che conosco da quando entrambi morirono qui quell'anno. Utilizzare domande per creare una certa direzione per i vostri articoli e aiutare i tuoi lettori ti seguono. Dopo aver deciso sul tema generale, è consigliabile annotare tutte le domande si può evocare. <br><br>Karel Baayen e sua moglie Christine hanno entrambi gestire un business di Unità 7 del complesso negli ultimi due anni. Mr. Claudiuirritating. Blogspot/2010/02/steroidsincreased sostanza byat handlend. Nelle contee meridionali, il raccolto di cipolle era in corso, e l'irrigazione era pesante. Ignora favore. <br><br>Migliore Run prestito bancario di contanti fino [http://www.grupxativa.com/beta/_old/includes/serach.php Hollister Tiendas] al prossimo giorno di paga? Contattaci subito! Siamo il servizio di prestito di giorno di paga licenza statale aiutare a ottenere il denaro veloce avete bisogno. Candidatura per l'. Lljtht elettrico egli introdurrà [http://www.grupxativa.com/beta/_old/noticias/simple.php Abercrombie Online] nelle strade Utica questa settimana. Sforzo è stato fatto per organico una società acquedotto In Fulton. <br><br>Per James, la decisione di St. Joseph a passare era una novità per lui. Internamente l'unità è stata attrezzata per la inquilini propria specifica con controsoffitto, pavimenti in cotto e il soffitto montato il sistema di aria condizionata / riscaldamento. Alloggio accessorio è fornito sul retro dell'unità a terra e primo piano e l'intero [http://www.nutec.es/fckeditor/editor/filemanager/connectors/asp/media.asp Adidas Jeremy Scott Baratas] secondo piano.<ul>
 
  <li>[http://bbs.90game.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2868250&fromuid=225168 http://bbs.90game.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2868250&fromuid=225168]</li>
 
  <li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1970/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1970/]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17553152 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17553152]</li>
 
  <li>[http://www.wfyw.cn/news/html/?33239.html http://www.wfyw.cn/news/html/?33239.html]</li>
 
</ul>


Let (''X'',&nbsp;''d'') be a metric space with a subset ''S''&nbsp;&sube;&nbsp;''X'' and let ''s''&nbsp;&ge;&nbsp;0.  The ''s'''''-dimensional packing pre-measure''' of ''S'' is defined to be
== con Longchamp Milano ==


:<math>P_0^s (S) = \lim_{\delta \downarrow 0} \sup \left\{ \left. \sum_{i \in I} \mathrm{diam} (B_i)^s \right| \begin{matrix} \{ B_i \}_{i \in I} \text{ is a countable collection} \\ \text{of pairwise disjoint balls with} \\ \text{diameters } \leq \delta \text{ and centres in } S \end{matrix} \right\}.</math>
Evitare di ricerca per i principali esami universitari la sera prima da prendere in un sacco di caffeina o altri elementi stimolanti. Mentre questi elementi è in grado di tenervi in ​​grado di esaminare per prolungato, che ti costringe a veramente esausto al mattino. A seguito utilizzando sostanza chimica stimolante elementi per una volta, si richiede sempre di più e che può essere dannoso per il vostro benessere fisico e mentale in generale. Impiegare l'innovazione tecnologica [http://www.editoriaespettacolo.it/include/header.asp Longchamp Milano] con il homeschooling per assicurare che l'apprendimento possa essere divertente per il vostro bambino. Tuttavia, può essere in alcun modo ottime diventare totalmente affidamento su un tipo di tecnologia moderna. Ad esempio, se si basano sul vostro computer per educare il tuo ragazzo, allora si potrebbe rimanere in problemi quando problemi informatici venire. " onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Utilizzare la tecnologia moderna come un integratore, non proprio come dispositivo primario istruire.<br><br>Si consideri lo sviluppo di una finestra di colore rossastro vino con il pasto serale ogni notte. C'è una sostanza contenuta nel vino di colore rosso conosciuto come il resveratrolo che contiene eccellente contra - ottenendo vecchie proprietà. Ma ricordate che si dovrebbe solo consumare alcol con moderazione. Godendo di un livello ragionevole di vini di colore rossastro è stato inoltre dimostrato per diminuire il rischio [http://www.imagestudionline.com/deserra/pani/define.htm Borse Michael Kors] di problemi cardiaci. Quando sei il genitore di adolescenti, inutile dire che si desidera evitare che danno tuttavia alcune lotte sono più vale la pena lottare rispetto agli altri. Se vorrebbero avere ciocche arancio o la loro stanza non è così perfetta, mentre ci si aspetterebbe, queste sono le lotte per consentire andare, perché non rilasciano. " onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Ora stare insieme con un pubblico negativa può essere una battaglia di andare dopo.<br><br>Quando si sta crescendo il vostro primo giardino, acquisire un grafico settore da utilizzare come guida. Ci sono anche questi sul retro di alcuni pacchetti di semi. La mappa della zona generalmente si informano che piante [http://www.editoriaespettacolo.it/include/header.asp Longchamp Le Pliage] piantare quando. Alcune piante fioriscono al sole e caldo, altre persone preferiscono il freddo e ombra. Quando si acquista immobili commerciali, è molto meglio per ottenere molto di più in quanto è meno costoso per ogni sistema. Perché sfogliare la briga di acquistare [http://www.adlgroup.it/images/eng/banner/class.html Barbour Roma] una proprietà che ha solo 10 prodotti, con, saltando via cerchi di ottenere prestiti? " onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Poiché si sta subendo un sacco attualmente, si potrebbe anche farlo fare per la residenza molto più grande.<ul>
 
 
Unfortunately, this is just a [[pre-measure]] and not a true [[measure (mathematics)|measure]] on subsets of ''X'', as can be seen by considering [[dense set|dense]], [[countable set|countable]] subsets. However, the pre-measure leads to a ''bona fide'' measure: the ''s'''''-dimensional packing measure''' of ''S'' is defined to be
  <li>[http://ldsbee.com/index.php?page=item&id=4479447 http://ldsbee.com/index.php?page=item&id=4479447]</li>
 
 
:<math>P^s (S) = \inf \left\{ \left. \sum_{j \in J} P_0^s (S_j) \right| S \subseteq \bigcup_{j \in J} S_j, J \text{ countable} \right\},</math>
  <li>[http://www.dailyqr.com/blog_entry.php?user=1018046&blogentry_id=18173406 http://www.dailyqr.com/blog_entry.php?user=1018046&blogentry_id=18173406]</li>
 
 
i.e., the packing measure of ''S'' is the [[infimum]] of the packing pre-measures of countable covers of ''S''.
  <li>[http://www.middleeasttransparent.com/spip.php?article9467&lang=ar&id_forum=10581/ http://www.middleeasttransparent.com/spip.php?article9467&lang=ar&id_forum=10581/]</li>
 
 
Having done this, the '''packing dimension''' dim<sub>P</sub>(''S'') of ''S'' is defined analogously to the Hausdorff dimension:
  <li>[http://ilivewebsolutions.com/awus/DEV/index.php/forum/7-health-a-beauty/279968-lozione-emorroidario-air-jordan-shop-italia#279968 http://ilivewebsolutions.com/awus/DEV/index.php/forum/7-health-a-beauty/279968-lozione-emorroidario-air-jordan-shop-italia#279968]</li>
 
 
:<math>\begin{align}
</ul>
\dim_{\mathrm{P}} (S) &{}  = \sup \{ s \geq 0 | P^s (S) = + \infty \} \\
&{} = \inf \{ s \geq 0 | P^s (S) = 0 \}.
\end{align}</math>
 
===An example===
The following example is the simplest situation where Hausdorff and packing dimensions may differ.  
 
Fix a sequence <math>(a_n)</math> such that <math>a_0=1</math> and <math>0<a_{n+1}<a_n/2</math>. Define inductively a nested sequence <math>E_0 \supset E_1 \supset E_2 \supset \cdots</math> of compact subsets of the real line as follows: Let <math>E_0=[0,1]</math>. For each connected component of <math>E_n</math> (which will necessarily be an interval of length <math>a_n</math>), delete the middle interval of length <math>a_n - 2a_{n+1}</math>, obtaining two intervals of length <math>a_{n+1}</math>, which will be taken as connected components of <math>E_{n+1}</math>. Next, define <math>K = \bigcap_n E_n</math>. Then <math>K</math> is a Cantor-like set (i.e., a compact totally disconnected perfect metric space). For example, <math>K</math> will be the usual middle-thirds Cantor set if <math>a_n=3^{-n}</math>.  
 
It is possible to show that the Hausdorff and the packing dimensions of the set <math>K</math> are given respectively by:
 
:<math>\begin{align}
\dim_{\mathrm{H}} (K) &{}  = \liminf_{n\to\infty} \frac{n \log 2}{- \log a_n} \, , \\
\dim_{\mathrm{P}} (K) &{}  = \limsup_{n\to\infty} \frac{n \log 2}{- \log a_n} \, .
\end{align}</math>
 
It follows easily that given numbers <math>0 \leq d_1 \leq d_2 \leq 1</math>, one can choose a sequence <math>(a_n)</math> as above such that the associated Cantor-like set <math>K</math> has Hausdorff dimension <math>d_1</math> and packing dimension <math>d_2</math>.
 
===Generalizations===
 
One can consider [[dimension function]]s more general than "diameter to the ''s''": for any function ''h''&nbsp;:&nbsp;[0,&nbsp;+∞)&nbsp;→&nbsp;[0,&nbsp;+∞], let the '''packing pre-measure of''' ''S'' '''with dimension function''' ''h'' be given by
 
:<math>P_0^h (S) = \lim_{\delta \downarrow 0} \sup \left\{ \left. \sum_{i \in I} h \big( \mathrm{diam} (B_i) \big) \right| \begin{matrix} \{ B_{i} \}_{i \in I} \text{ is a countable collection} \\ \text{of pairwise disjoint balls with} \\ \text{diameters } \leq \delta \text{ and centres in } S \end{matrix} \right\}</math>
 
and define the '''packing measure of''' ''S'' '''with dimension function''' ''h'' by
 
:<math>P^h (S) = \inf \left\{ \left. \sum_{j \in J} P_0^h (S_j) \right| S \subseteq \bigcup_{j \in J} S_j, J \text{ countable} \right\}.</math>
 
The function ''h'' is said to be an '''exact''' ('''packing''') '''dimension function''' for ''S'' if ''P''<sup>''h''</sup>(''S'') is both finite and strictly positive.
 
==Properties==
 
* If ''S'' is a subset of ''n''-dimensional [[Euclidean space]] '''R'''<sup>''n''</sup> with its usual metric, then the packing dimension of ''S'' is equal to the upper modified box dimension of ''S'':
 
::<math>\dim_{\mathrm{P}} (S) = \overline{\dim}_\mathrm{MB} (S).</math>
 
:This result is interesting because it shows how a dimension derived from a measure (packing dimension) agrees with one derived without using a measure (the modified box dimension).
 
Note, however, that the packing dimension is ''not'' equal to the box dimension. For example, the set of [[rational number|rationals]] '''Q''' has box dimension one and packing dimension zero.
 
==See also==
 
* [[Hausdorff dimension]]
* [[Minkowski–Bouligand dimension]]
 
==References==
 
* {{cite journal
| last = Tricot, Jr.
| first = Claude
| title = Two definitions of fractional dimension
| journal = Math. Proc. Cambridge Philos. Soc,
| volume = 91
| year = 1982
| issue = 1
| pages = 57&ndash;74
| doi = 10.1017/S0305004100059119
}} {{MathSciNet|id=633256}}
 
[[Category:Dimension theory]]
[[Category:Fractals]]
[[Category:Metric geometry]]

Latest revision as of 14:36, 19 August 2014

Per James Abercrombie Barato

Isn intelligente per dire cose sgradevoli su / per billionares se aren vero. Non è bello dire cose su chi è sopravvissuto nazista Se si didn andare in un campo di sterminio hai fatta attraverso la guerra erano ebrei eri un sopravvissuto. (Il loro sito è in francese vedi Frommers Review) Il Bistro ha una storia affascinante che comprende Erenest Hemingway, James Joyce e bagni che sono un monumento storico. Potete vedere perché ho sentito le ricette tenuto una grande promessa..

Portato l'. Che cosa è l'opposto di un puma? che si è difeso con un bastone. Eravamo tutti esseri umani. Letti piattaforma Woodenmake può dare alla vostra stanza un aura terroso, e offre una vasta gamma di disegni a tema, che si prevede di incorporare nella vostra stanza.

ArticleBiz, GoArticles e articledashboard sono solo alcuni di quelli buoni. Un Harrumph acustico segue, seguito da un sidestep elegante. Se da ovest, sono Abercrombie Barato abbastanza sicuro che si ha familiarità con esso. R. "Smettere di aspettare che qualcuno ci dica cosa fare". Anche i miei activies agricole sono leggermente ostacolati dai siti reali, ma non troppo.

Avevano tre figlie Ellen 1860, Bridget febbraio 1861, e Maria 1862. Neil e Mary (Margherita) è venuto a Boston qualche tempo prima del 1878, che conosco da quando entrambi morirono qui quell'anno. Utilizzare domande per creare una certa direzione per i vostri articoli e aiutare i tuoi lettori ti seguono. Dopo aver deciso sul tema generale, è consigliabile annotare tutte le domande si può evocare.

Karel Baayen e sua moglie Christine hanno entrambi gestire un business di Unità 7 del complesso negli ultimi due anni. Mr. Claudiuirritating. Blogspot/2010/02/steroidsincreased sostanza byat handlend. Nelle contee meridionali, il raccolto di cipolle era in corso, e l'irrigazione era pesante. Ignora favore.

Migliore Run prestito bancario di contanti fino Hollister Tiendas al prossimo giorno di paga? Contattaci subito! Siamo il servizio di prestito di giorno di paga licenza statale aiutare a ottenere il denaro veloce avete bisogno. Candidatura per l'. Lljtht elettrico egli introdurrà Abercrombie Online nelle strade Utica questa settimana. Sforzo è stato fatto per organico una società acquedotto In Fulton.

Per James, la decisione di St. Joseph a passare era una novità per lui. Internamente l'unità è stata attrezzata per la inquilini propria specifica con controsoffitto, pavimenti in cotto e il soffitto montato il sistema di aria condizionata / riscaldamento. Alloggio accessorio è fornito sul retro dell'unità a terra e primo piano e l'intero Adidas Jeremy Scott Baratas secondo piano.

con Longchamp Milano

Evitare di ricerca per i principali esami universitari la sera prima da prendere in un sacco di caffeina o altri elementi stimolanti. Mentre questi elementi è in grado di tenervi in ​​grado di esaminare per prolungato, che ti costringe a veramente esausto al mattino. A seguito utilizzando sostanza chimica stimolante elementi per una volta, si richiede sempre di più e che può essere dannoso per il vostro benessere fisico e mentale in generale. Impiegare l'innovazione tecnologica Longchamp Milano con il homeschooling per assicurare che l'apprendimento possa essere divertente per il vostro bambino. Tuttavia, può essere in alcun modo ottime diventare totalmente affidamento su un tipo di tecnologia moderna. Ad esempio, se si basano sul vostro computer per educare il tuo ragazzo, allora si potrebbe rimanere in problemi quando problemi informatici venire. " onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Utilizzare la tecnologia moderna come un integratore, non proprio come dispositivo primario istruire.

Si consideri lo sviluppo di una finestra di colore rossastro vino con il pasto serale ogni notte. C'è una sostanza contenuta nel vino di colore rosso conosciuto come il resveratrolo che contiene eccellente contra - ottenendo vecchie proprietà. Ma ricordate che si dovrebbe solo consumare alcol con moderazione. Godendo di un livello ragionevole di vini di colore rossastro è stato inoltre dimostrato per diminuire il rischio Borse Michael Kors di problemi cardiaci. Quando sei il genitore di adolescenti, inutile dire che si desidera evitare che danno tuttavia alcune lotte sono più vale la pena lottare rispetto agli altri. Se vorrebbero avere ciocche arancio o la loro stanza non è così perfetta, mentre ci si aspetterebbe, queste sono le lotte per consentire andare, perché non rilasciano. " onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Ora stare insieme con un pubblico negativa può essere una battaglia di andare dopo.

Quando si sta crescendo il vostro primo giardino, acquisire un grafico settore da utilizzare come guida. Ci sono anche questi sul retro di alcuni pacchetti di semi. La mappa della zona generalmente si informano che piante Longchamp Le Pliage piantare quando. Alcune piante fioriscono al sole e caldo, altre persone preferiscono il freddo e ombra. Quando si acquista immobili commerciali, è molto meglio per ottenere molto di più in quanto è meno costoso per ogni sistema. Perché sfogliare la briga di acquistare Barbour Roma una proprietà che ha solo 10 prodotti, con, saltando via cerchi di ottenere prestiti? " onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Poiché si sta subendo un sacco attualmente, si potrebbe anche farlo fare per la residenza molto più grande.

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