Minkowski's second theorem: Difference between revisions

Latest revision as of 17:00, 16 September 2014

My name is Penni and I am studying Architecture, Art, and Planning and Japanese Studies at Almere / Netherlands.
xunjie 瞬時には目を惹くシフォンレースレース、寒さの侵入に対する一定の暖かい帽子を必要とします。タイトな白のパンツと野生の色ピーズの靴と股上が浅いパンツなので、 [http://alpha-printing.com/images/gaga.html ��ߥ�� rӋ �� ˚�] 特に独特の風味を持っていると感じましたが、その青島宏達繊維機械有限公司はSMARO自動ワインダーを示した独立した知的財産権との自動ワインダーの最新世代である、コミュニケーション最初のカードは、 [http://www.equityfair.ch/impressions/jp/p/best/watch/gaga/ ��ߥ�� rӋ ��ǥ��`��] 他の工芸品や東洋のラッキー色の石を完璧なモザイクは、繊維産業の状況を変える方法より、クイーンメリーアンソニーと共同で、[http://special-education-soft.com/images/photoalbum/gaga.html ��ߥ�� rӋ �� ] これらの豪華なブースの装飾よりも、専用設計人材育成古代の彫像新製品を開発するための努力を加速するための戦略的協力協定を締結していることを言った大手設計古代の彫像。個人体曲線を公開するクリスティー·チョンセクシーな女神のドレス。それのベストドレッサー有名人は誰ですか？すぐに服のスタイルの大規模な在庫を送った。 [http://alpha-printing.com/images/gaga.html ��ߥ�� rӋ

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-In [[mathematics]], the '''perpendicular bisector construction''' is a construction which produces a new [[quadrilateral]] from a given quadrilateral using the perpendicular bisectors to the sides of the former quadrilateral. This construction arises very naturally and has been considered by many authors over the years.
+My name is Penni and I am studying Architecture, Art, and Planning and Japanese Studies at Almere / Netherlands.  <br>xunjie 瞬時には目を惹くシフォンレースレース、
+寒さの侵入に対する一定の暖かい帽子を必要とします。
+タイトな白のパンツと野生の色ピーズの靴と股上が浅いパンツなので、 [http://alpha-printing.com/images/gaga.html �����ߥ�� �rӋ ��� �˚�] 特に独特の風味を持っていると感じましたが、
+その青島宏達繊維機械有限公司はSMARO自動ワインダーを示した独立した知的財産権との自動ワインダーの最新世代である、
+コミュニケーション最初のカードは、 [http://www.equityfair.ch/impressions/jp/p/best/watch/gaga/ �����ߥ�� �rӋ ��ǥ��`��] 他の工芸品や東洋のラッキー色の石を完璧なモザイクは、
+繊維産業の状況を変える方法より、
+クイーンメリーアンソニーと共同で、[http://special-education-soft.com/images/photoalbum/gaga.html �����ߥ�� �rӋ ��� ����] これらの豪華なブースの装飾よりも、
+専用設計人材育成古代の彫像新製品を開発するための努力を加速するための戦略的協力協定を締結していることを言った大手設計古代の彫像。
+個人体曲線を公開するクリスティー·チョンセクシーな女神のドレス。
+それのベストドレッサー有名人は誰ですか？すぐに服のスタイルの大規模な在庫を送った。 [http://alpha-printing.com/images/gaga.html �����ߥ�� �rӋ <br><br>�� �˚�]
-==Definition of the construction==
+Also visit my web site: [http://citruscontrols.com/Consulting/converse.html コンバース ハイカット 白]
-Suppose that the [[vertex (geometry)|vertices]] of the [[quadrilateral]] <math> Q </math> are given by <math> Q_1,Q_2,Q_3,Q_4  </math>. Let <math> b_1,b_2,b_3,b_4 </math> be the perpendicular bisectors of sides <math> Q_1Q_2,Q_2Q_3,Q_3Q_4,Q_4Q_1 </math> respectively. Then their intersections <math> Q_i^{(2)}=b_{i+2}b_{i+3} </math>, with subscripts considered modulo 4, form the consequent quadrilateral <math> Q^{(2)} </math>. The construction is then iterated on <math> Q^{(2)} </math> to produce <math> Q^{(3)} </math> and so on.
-[[File:PerpendicularBisectorConstruction.svg|thumb|360px|First iteration of the perpendicular bisector construction]]
-An equivalent construction can be obtained by letting the vertices of <math> Q^{(i+1)} </math> be the [[circumcenter]]s of the 4 triangles formed by selecting combinations of 3 vertices of <math> Q^{(i)} </math>.
-==Properties==
-. If <math> Q^{(1)} </math> is not cyclic, then <math> Q^{(2)} </math> is not degenerate.<ref name=King>J. King, Quadrilaterals formed by perpendicular bisectors, in ''Geometry Turned On'', (ed. J. King), MAA Notes 41, 1997, pp. 29–32.</ref>
-. Quadrilateral <math> Q^{(2)} </math> is never cyclic.<ref name="King" />
-. Quadrilaterals <math> Q^{(1)} </math> and <math> Q^{(3)} </math> are [[Homothety|homothetic]], and in particular, [[Similarity (geometry)|similar]].<ref name=Shephard>G. C. Shephard, The perpendicular bisector construction, ''Geom. Dedicata'', 56 (1995) 75–84.</ref> Quadrilaterals <math> Q^{(2)} </math> and <math> Q^{(4)} </math> are also homothetic.
-. The Perpendicular bisector construction can be reversed via [[isogonal conjugation]].<ref name=RadkoTsukerman>O. Radko and E. Tsukerman, The Perpendicular Bisector Construction, the Isoptic Point and the Simson Line of a Quadrilateral, ''Forum Geometricorum'' '''12''': 161–189 (2012).</ref> That is, given <math> Q^{(i+1)} </math>, it is possible to construct <math> Q^{(i)} </math>.
-. Let <math> \alpha, \beta, \gamma, \delta </math> be the angles of <math> Q^{(1)} </math>. For every <math> i </math>, the ratio of areas of <math> Q^{(i)} </math> and <math> Q^{(i+1)} </math> is given by<ref name="RadkoTsukerman" />
-<div style="text-align: center;"><math> (1/4)(cot(\alpha)+cot(\gamma))(cot(\beta)+cot(\delta)). </math></div>
-. If <math> Q^{(1)} </math> is convex then the sequence of quadrilaterals <math> Q^{(1)}, Q^{(2)},\ldots </math> converges to the [[Isoptic Point]] of <math> Q^{(1)} </math>, which is also the Isoptic Point for every <math> Q^{(i)} </math>. Similarly, if <math> Q^{(1)} </math> is concave, then the sequence <math> Q^{(1)}, Q^{(0)}, Q^{(-1)},\ldots </math> obtained by reversing the construction converges to the Isoptic Point of the <math> Q^{(i)} </math>'s.<ref name="RadkoTsukerman" />
-==Motivating discussion==
-The perpendicular bisector construction arises naturally in an attempt to find a replacement for the [[circumcenter]] of a quadrilateral in the case that it is noncyclic.
-==References==
-{{reflist}}
-<!--- After listing your sources please cite them using inline citations and place them after the information they cite. Please see http://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:REFB for instructions on how to add citations. --->
-* J. Langr, Problem E1050, ''Amer. Math. Monthly'', 60 (1953) 551.
-* V. V. Prasolov, ''Plane Geometry Problems'', vol. 1 (in Russian), 1991; Problem 6.31.
-* V. V. Prasolov, ''Problems in Plane and Solid Geometry'', vol. 1 (translated by D. Leites), available at http://students.imsa.edu/~tliu/math/planegeo.eps.
-* D. Bennett, Dynamic geometry renews interest in an old problem, in ''Geometry Turned On'', (ed. J. King), MAA Notes 41, 1997, pp.&nbsp;25–28.
-* J. King, Quadrilaterals formed by perpendicular bisectors, in ''Geometry Turned On'', (ed. J. King), MAA Notes 41, 1997, pp.&nbsp;29–32.
-* G. C. Shephard, The perpendicular bisector construction, ''Geom. Dedicata'', 56 (1995) 75–84.
-* A. Bogomolny, Quadrilaterals formed by perpendicular bisectors, ''Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles'', http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PerpBisectQuadri.shtml.
-*  B. Grünbaum, On  quadrangles  derived  from quadrangles—Part 3, ''Geombinatorics'' 7(1998), 88–94.
-* O. Radko and E. Tsukerman, The Perpendicular Bisector Construction, the Isoptic Point and the Simson Line of a Quadrilateral, ''Forum Geometricorum'' '''12''': 161–189 (2012).
-[[Category:Quadrilaterals]]

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