Arthur Cayley: Difference between revisions

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{{See also|Huygens-Fresnel principle|geometrical optics}}
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'''Fourier optics''' is the study of classical [[optics]] using [[Fourier transform]]s and can be seen as the dual of the [[Huygens-Fresnel principle]].  In the latter case, the wave is regarded as a superposition of expanding spherical waves which radiate outward from actual (physically identifiable) current sources via a [[Green's function]] relationship (see [[Double-slit experiment]]).  In Fourier optics, by contrast, the wave is regarded as a superposition of plane waves which are not related to ''any'' identifiable sources; instead they are the natural modes of the propagation medium itself.  A curved phasefront may be synthesized from an infinite number of these "natural modes" i.e., from plane wave phasefronts oriented in different directions in space.  Far from its sources, an expanding spherical wave is locally tangent to a planar phase front (a single plane wave out of the infinite spectrum), which is transverse to the radial direction of propagation.  In this case, a [[Fraunhofer diffraction]] pattern is created, which emanates from a single spherical wave phase center.  In the near field, no single well-defined spherical wave phase center exists, so the wavefront isn't locally tangent to a spherical ball.  In this case, a [[Fresnel diffraction]] pattern would be created, which emanates from an ''extended'' source, consisting of a distribution of (physically identifiable) spherical wave sources in space.  In the near field, a full spectrum of plane waves is necessary to represent the Fresnel near-field wave, ''even locally''.  A "wide" [[wave]] moving forward (like an expanding ocean wave coming toward the shore) can be regarded as an infinite number of "[[Wave function|plane wave modes]]", all of which could (when they collide with something in the way) scatter independently of one other. These mathematical simplifications and calculations are the realm of [[Fourier analysis|Fourier analysis and synthesis]] &ndash; together, they can describe what happens when light passes through various slits, lenses or mirrors curved one way or the other, or is fully or partially reflected. Fourier optics forms much of the theory behind [[image processing|image processing techniques]], as well as finding applications where information needs to be extracted from optical sources such as in [[quantum optics]]. To put it in a slightly more complex way, similar to the concept of ''[[frequency]]'' and ''[[Time in physics|time]]'' used in traditional [[Fourier transform| Fourier transform theory]], Fourier optics makes use of the [[spatial frequency]] domain (''k<sub>x</sub>'', ''k<sub>y</sub>'') as the conjugate of the spatial (''x'',''y'') domain. Terms and concepts such as transform theory, spectrum, bandwidth, window functions and sampling from one dimensional [[signal processing]] are commonly used.
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Light can be described as a waveform propagating through free space (vacuum) or a material medium (such as air or glass). Mathematically, the (real valued) amplitude of one wave component is represented by a scalar wave function ''u'' that depends on both space and time:
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:<math> \mathbf{r} = (x,y,z) </math>
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represents position in three dimensional space, and ''t'' represents time.
Warten Sie, bis sich freuen, wir sitzen und sich zu bestellen. Lightning_Hunter schreibt: Sie können die Platzierung von Kreaturen mit Hilfe von 2 Methoden (die zweite Methode ist nicht so bekannt) zufällig. Er würde gehen, um die Goldmedaille zu gewinnen .. <br><br>Sie ernähren sich von Gras und Flechten, aber auch eine Vorliebe für den Fliegenpilz, Fliegenpilz, wegen seiner berauschenden und euphorisierende Wirkung. Ich liebe wirklich die erweiterten Funktionen und nahtlose Integration dieser bietet. Social ist sozial. <br><br>Trauen Sie sich und sehen Sie den Unterschied macht auf den Blog .. Erhöhte activityNeed weniger Schlaf ausgeruht und energeticExcessively hoch, um zu fühlen, übermäßig euphorisch moodRacing thoughtsTalking sehr schnell oder sprechen mehr als üblich; Rede ist unter Druck, laut und oft schwer zu interpretInflated Selbstwertgefühl oder Größenwahn unrealistischen Glauben an die Fähigkeit, Intelligenz und Befugnisse, kann delusionalIncreased rücksichtslose Verhaltensweisen (wie verschwenderischen Ausgaben Orgien, impulsive sexuelle Indiskretionen, Missbrauch von Alkohol oder Drogen, schlechte Geschäftsentscheidungen oder rücksichtsloses Fahren) [http://www.steinmuseum.ch/kontakt/layout.asp?p=160-Nike-Free-Powerlines+-Ii Nike Free Powerlines+ Ii] DistractibilityIf Sie vier oder mehr Episoden von Manie und Depression in einem Jahr haben, ist es als "rapid cycling bekannt. ". <br><br>Für weitere Informationen über Darlehen zu nehmen einen kurzen Blick auf unsere Website heute .. Das bedeutet, es ist die stat, die Sie verwenden, um in andere Statistiken neu zu schmieden, um verschiedene Kappen treffen werden. Abbildungen (Grafiken und visuelle netto) einreichen. <br><br>Bildung muss respektiert werden. Willkommen auf der Wien Prag Countdown Blog! Achten Sie darauf, uns am 2. Juni kommen, wie wir auf die Tour [http://www.steinegg.ch/content/FrameCorner.asp?id=28-Nike-Jordan-1 Nike Jordan 1] 2012 beginnt unsere 30-Tage-Countdown. Stellen Sie sicher, dass die Anlage sauber und scheint, dass sie über die entsprechenden Lieferungen für die Pflege für seine Bewohner. Er war 60 Meter von der Amokläufer. Diese ökologischen Ungleichgewichte ein viel größeres Problem als die [http://www.gammaprint.ch/Download/Datentransfer.asp?page=60-Nike-Air-Max-90-Günstig Nike Air Max 90 Günstig] meisten Leute erwarten, [http://www.job-passerelle.ch/mailform/templates/mailform.asp?n=38-Nike-Cortez-Online-Kaufen Nike Cortez Online Kaufen] dass dies sein werden. <br><br>Nun, wenn Ihr ein Demokrat oder Republikaner die Frank Dodd Gesetz sollte Ihnen pausieren. Vernon und ich (Melynda) einander Sinne sind wir 14 Jahre alt waren bekannt. Ziel ist es, Bewegung Spaß machen, so dass die Kinder auch in Zukunft aktiv bleiben .. <br><br>Norbert kann seine Rechte und Pflichten aus diesem Vertrag an eine Partei jederzeit und ohne Mitteilung an Sie .. Die dargestellten Informationen sind allgemeiner Natur nur für Bildungs-und Informationszwecken. Früher war es wert, um $ 22m des Papiers zu zahlen sich aus ersten Investoren, sondern nur durch den Verkauf der Restposten angehoben etwa 6 Millionen..<ul>
 
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</ul>


===The Wave Equation in the Time Domain===
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Fourier optics begins with the homogeneous, scalar [[wave equation]] (valid in source-free regions):
Selv om du tilbringer en av myriade pris, konsentrere seg om 2 r er virkelig en feil. Mange Volks ikke refinansiere nr de har tenkt markedsfre et hus inne i et par r. I dag er det isn t noen Formular für Scenen. Der neue Präsident wird von einem Wahlgremium, bestehend aus den gewählten Mitgliedern der beiden Kammern des Parlaments gewählt, die gewählten Mitglieder des Vidhan Sabhas und der gewählten Mitglieder der gesetzgebenden Versammlungen der Unionsterritorien von Delhi und Pondicherry. [8] Die Nominierung von ein Kandidat für die Wahl in das Amt des Präsidenten müssen von mindestens 50 Wahlberechtigten als Antragsteller und 50 Wähler [http://www.vorsorgeausgleich.ch/pages/fzg/asps/siteman.asp?p=30-Woolrich-Jacken-Sale Woolrich Jacken Sale] als Stützende abonniert werden. Die Wahl erfolgt nach dem Verhältniswahlsystem mit Hilfe von übertragbaren Einzelstimmen Verfahren statt. Die Abstimmung erfolgt in geheimer Abstimmung.<br><br>Unsere Mitarbeiter an der Rezeption sind hier, um Ihnen zu helfen und brauchen, um so viele Informationen wie möglich, um Sie auf die richtige medizinische Fach direkt zu nehmen. Sie arbeiten innerhalb der festgelegten Leitlinien und sind eine wertvolle Informationsquelle für Patienten und ihre Angehörigen. Im Folgenden sind einige der alternativen Zugriffsmöglichkeiten auf angemessene medizinische Versorgung oder für den Umgang mit allen Fragen die Sie haben können:.<br><br>DSTV-Decoder entwickelt, hergestellt und verkauft werden, um Multichoice Leistungen nur zu empfangen. Daher biete ich keine Garantie, dass alle Kanäle bin ich teilen möchte unbedingt auf Ihrem DSTV-Decoder arbeiten. Die DSTV-HD-Decoder zum Beispiel nicht bieten einen Blumenstrauß und auch für die Einzelansicht Decoder, die tun, ein nicht imstande, die unverschlüsselte Kanäle zu sehen, sobald Abonnement ist überfällig sein könnte.<br><br>Ich habe kein Eurosport oder ITV4, so kann ich die Tour nicht zu sehen, und ich habe nicht bekommen, es [http://www.vetjobs.ch/ps2/banner/stellen.asp?dbID=148-Nike-Air-Max-2014-Kaufen Nike Air Max 2014 Kaufen] folgen andere [http://www.rauber.ch/UserFiles/rauber/files/infofenster.asp?rubrik_aktuell=24-Nike-Air-Max-2014-Blau Nike Air Max 2014 Blau] Weise, so dass die Podcasts sind eine Lebensader. Es ist toll, in der Lage, alle Post Bühne Diskussion, Bewertung und Interviews zu bekommen. Aber ich habe ein paar Schreckgespenster aus den letzten Podcasts die Moderatoren reden wie sie davon ausgehen, jeder weiß schon, was passiert ist und einige von uns nicht! Es ist nicht groß Berichterstattung in den Zeitungen, und wir müssen die Schlagzeilen kennen, um ihre Diskussionen auf der Basis der es zu verstehen!.<br><br>Soziale Netzwerke werden in einem schnellen Tempo. Soziale [http://www.racketlonswissopen.ch/components/Contact/ContactForm_en.asp?ID=82-Ray-Ban-Sonnenbrillen-Zürich Ray Ban Sonnenbrillen Zürich] Netzwerke wie Facebook und Twitter hat über 800 und 200 Millionen. Sie können die Vorteile dieser Plattform, um Ihre Affiliate-Produkt zu fördern. Die Stadt hat Millionen von Dollar, um Aware Digital für Schläger offensichtlich auf Kameras, die alle unsere Privatsphäre eindringen installieren gegeben. Auch Sankt Petersburg hat Hunderttausende von Dollar für CCTV im RNC bezahlt, obwohl sie nicht die Hosting. Regierungen verwenden, Dinge wie diese als Vorwand, um die Spielsachen, die sie zuvor noch nie rechtfertigen könnten zu bekommen.<ul>
 
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</ul>


:<math>
== Hollister Co Österreich  a indiqué la police. D'abord ==
\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\right)u(\mathbf{r},t)=0.
</math>


where ''u''('''r''',''t'') is a [[real number|real valued]] Cartesian component of an electromagnetic wave propagating through free space.
La société compte environ 41 analystes de recherche, 40 ventes et service à la clientèle associés, et devrait chiffre d'affaires 2009 de 30 millions $.. Il semblait y avoir une couple d'autres problèmes avec les photos de réacteurs que je n'ai pas vu mentionné. <br><br>Il ya quelques différentes manières que les entrepreneurs remodelage de la cuisine [http://www.st-jakob-arena.ch/rss/blog/formular.asp?inc=86-Hollister-Co-Österreich Hollister Co Österreich] déterminent les coûts de main-d'œuvre de votre projet. Dans la plupart des cas, la meilleure façon d'augmenter le trafic web est de l'enregistrer avec les principaux moteurs de recherche. <br><br>Les anciens Grecs utilisaient l'origan sauvage pour la [http://www.vetjobs.ch/ps2/banner/stellen.asp?dbID=125-Nike-Air-Yeezy-3 Nike Air Yeezy 3] cicatrisation des plaies, infections détruire et renverser poumon et les troubles cardiaques.. Ikke minst Mener vi à innfres br det skattefritak pour arbeidsgiverbetalte behandlingsutgifter og forsikringer.. <br><br>Dès le début, Nagy dit, Bringuier apparu [http://www.job-passerelle.ch/mailform/templates/mailform.asp?n=59-Nike-Shop-Bern Nike Shop Bern] comme un talent particulier et non l'un des nombreux qui trouvent un moyen de se saboter. C'est ce que était sur. Ils sont, les comportements propices à l'apprentissage s'apprend. Desde 1997, il iniciado mi trabajo profesional de Apoyo a Organizaciones de Mujeres Rurales Kichwas capacitando fr Temas DE gro y derechos de las mujeres. <br><br>Wa a reconnu que le message de l'opposition a fait appel à de nombreux jeunes électeurs. Ma moyenne de la ville est d'environ 21mpg. Dans une vidéo diffusée par la police de Las Vegas, Harris flashé une poignée de billets de 100 $, comme il l'argent. <br><br>Vous avez juste à investir dans le bon produit. Le suspect a sorti une arme et a tiré Hall dans le torse, a indiqué la police. D'abord, votre linge évacuation ne peut être installé correctement, ou il a pu être endommagé au fil du temps. Le plus vite vous conduisez le plus de gaz que vous utilisez une vitesse lente constante est votre but. <br><br>Que vous faites de la randonnée de la forêt tropicale ou les Rocheuses canadiennes, vous aurez besoin d'un zoom grand-angle. Habituellement, cela est quelque chose comme un 1855mm, et il couvre d'un grand angle modéré à une vue en téléobjectif court. <br><br>Il ya beaucoup de prêteurs qui cherchent à avoir tous les droits et privilèges payés de retour par le prochain acheteur. Siegel a été avec The Times [http://www.harmoniemusikbuchs.ch/content/verein/sympathisanten/goenner.asp?inc=69-Barbour-Damen-Jacke-Blau Barbour Damen Jacke Blau] depuis 1976. 5. Pourquoi ce camp a été autorisé à rester le long de la rivière avec des orages dans les prévisions, cela me dépasse. <br><br>Lancer votre application Aujourd'hui Entrez votre code postal et adresse e-mail ci-dessous, puis cliquez sur Terminer. C'était quelques jours très excitant pour certains de nos nageurs MAC et les familles qui ont rejoint notre entraîneur et ancien olympien Mike McWha aux essais olympiques tenus à Montréal ce week-end passé.<ul>
 
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===The Helmholtz Equation in the Frequency Domain===
== Nike Free Run 7.0 Damen  à des séances de la conférence ==


If light of a fixed [[frequency]]/[[wavelength]]/[[color]] (as from a laser) is assumed, then the time-[[harmonic]] (frequency-domain) form of the optical field is given as:
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</ul>


:<math>\psi(\mathbf{r}) = a(\mathbf{r}) e^{j \phi (\mathbf{r}) }  </math>
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where <math> \psi </math> is in general a complex quantity, with separate amplitude and phase.
100% bambou, l'un des plus beaux du monde, bois durables et respectueux de l'environnement, cet ensemble-cadeau de 28piece est une torsion intelligente sur le jeu classique de dominos. Une société est aussi efficace que ses outils. Zack mourir était tout simplement horrible (mais étonnamment agi!).. <br><br>Ce site Web est un officiel, l'effort privé, en ligne pour fournir un endroit pour découvrir l'histoire et le patrimoine de la maison du président des États-Unis d'Amérique. Gar Knutson devient Secrétaire ofFaculty: Gar W. Nulle part ailleurs vous ne trouverez le nom du premier contrôleur [http://www.steinegg.ch/content/FrameCorner.asp?id=37-Nike-Schuhe Nike Schuhe] (Selah Strong) et du quartier historique le plus récemment désigné de Staten Island (Notre-Dame du Mont Carmel grotte) à côté de bestattended institution culturelle de la ville (Le Metropolitan Museum of Art de la ville, avec cinq millions de visiteurs par an) et sa plus basse température enregistrée (15 degrés en dessous de zéro en Février 1934). <br><br>Les corrélations entre les points d'accès détectés et plusieurs caractéristiques génomiques ont été examinés.. Si il n'y avait pas du tout. Voir ici aussi que vous compreniez complètement, veulent le bit trouvé ici sur chaque fiche de jeu, [http://www.distanze.ch/bilder/content.asp?lang=90-Poloshirt Poloshirt] petite description du produit, la raison en est que je veux que les gens à commenter jeux plutôt que d'avoir trop d'informations à ce sujet déjà, veulent aussi faire ressembler im non seulement saisir les informations d'Amazon, mise en page propre et bien rangé est indispensable, facile à naviguer. <br><br>Pratiquement inconnu il ya quelques années, les baies d'açai sont devenus les stars du rock du monde antioxydant. Pourtant, il est resté le visage le plus puissant du terrorisme dans l'Empire, et certains de ceux qui a minimisé son rôle au cours des dernières années néanmoins célébré sa mort ... <br><br>Origine de verdure à l'intérieur). [http://www.chaefernaescht.ch/text/links.asp?n=88-New-Balance-Laufschuhe-Test New Balance Laufschuhe Test] J'ai joint un témoignage de ma PA Joan actuel, dans lequel elle décrit ce qu'elle pense que c'est que de travailler avec moi. La cause la plus probable est ici nestedSortable et / ou JQuery puisque ce sont les composants génériques qui gèrent l'entrée de l'utilisateur dans [http://www.sonderschule-walde.ch/inhaltsbilder_grafiken/Bilder/Bild.asp?m=6-Mbt-Stiefeletten Mbt Stiefeletten] ce cas. <br><br>Michael Crichton exploité la théorie dans sa série Jurassic Park. Cependant, nobodyseemsto fait épeler «réel marketing'in pure et simple Anglais whatthis'real stuff'isand comment d'autres personnes canundertake leur propre« realmarketing.. Systèmes SLI fournit fullservice recherche de site, la navigation, le merchandising, et SEO usergenerated, et est le site SaaSbased fournisseur de recherche en haut à IR 500 et IR 1000 détaillants.<ul>
 
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The time-domain field is related to the frequency domain field via the equation,
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:<math>u(\mathbf{r},t) = \mathrm{Re} \left\{  \psi(\mathbf{r}) e^{j\omega t} \right\} </math>.
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Substituting this expression into the wave equation yields the time-independent form of the wave equation, also known as the [[Helmholtz equation]]:
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:<math>\left(\nabla^2+ k^2 \right) \psi (\mathbf{r})=0</math>
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:<math>k = { \omega \over c} = { 2 \pi \over \lambda }</math>


is the wave number, ''j'' is the [[imaginary unit]], and ψ('''r''') is the time-independent, [[complex number|complex-valued]] component of the propagating wave. Note that the propagation constant, k, and the frequency, <math> \omega </math>, are linearly related to one another, a typical characteristic of transverse electromagnetic (TEM) waves in homogeneous media.
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===Paraxial plane waves (Optic axis is assumed z-directed)===
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:<math>\psi(\mathbf{r}) = A(\mathbf{k}) e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}</math>
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:<math>\mathbf{k} = k_x \mathbf{x} + k_y \mathbf{y} + k_z\mathbf{z} </math>
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:<math> k = \|\mathbf{k}\| = \sqrt{k_x^2 + k_y^2 + k_z^2} = {\omega \over c}</math>
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is the wave number. Next, using the [[paraxial approximation]], it is assumed that
Zum Beispiel mit der Standortplanung, zu wissen, die Geschichte einer Brandbereich kann helfen, informieren, das Bewusstsein für Brandrisiko einer Gemeinschaft in diesem Bereich. Typisch für Brände in den gleichen Bereichen liegen. Standortwahl spielt auch eine Rolle, mit großen Landschaft bietet die Platzierung von Utility Dienstbarkeiten, Straßen und Wasserspielen kann eine gute Sache sein, durch Anlegen von Brandschneisen, natürliche Wasserspielen kann auch während der Reaktion und Unterdrückung stellen Ressourcen für die Brandbekämpfung. <br><br>Habits in der populären Phantasie sind am engsten mit entweder tugendhaft oder bösartig Aktivitäten verbunden. Auf der Teufels Seite, denken wir an schädlichen Verhaltensweisen wie übermäßiger Alkoholkonsum, Rauchen und Krapfen essen. Auf der tugendhaften Ende des Hauptbuches [http://www.rauber.ch/UserFiles/rauber/files/infofenster.asp?rubrik_aktuell=265-Air-Max-Thea-Bestellen Air Max Thea Bestellen] finden wir vorteilhaft Routinen wie regelmäßige Bewegung, Spenden und tägliche Meditation. <br><br>Da, wie wettbewerbsfähig AMD ist mit der Preisgestaltung jetzt die 8350 ist sehr nah mit dem i5 3570K. Die 8350 in Richtung Multithread-Anwendungen lehnte aber. Stromverbrauch für die 8350 ist geringfügig höher als der 3570K. Wassermann Horoskop 2013 ist für Menschen aus [http://www.vetjobs.ch/ps2/banner/stellen.asp?dbID=100-Nike-Air-Max-Damen-Kaufen Nike Air Max Damen Kaufen] Wassermann Sternzeichen. Die Sonnenzeichen [http://www.vivacitas.ch/public/gallerie/gallerie.asp?topic=35-Jeremy-Scott-Adidas-Leopard Jeremy Scott Adidas Leopard] geben ein Gesamt Vorhersage über die Geschehnisse. Die Sonne Zeichen wurden zuerst von Chinesen gegründet und später in andere Teile der Welt zu verbreiten. <br><br>Konnte ich kopieren und einfügen Meine Informationen, aber die meisten von ihnen nicht auf den heutigen mich zutreffen. Warum? habe ich viel verändert? Ich glaube, ich bin immer klüger als meine gestern. Ich gelernt, was ich weiß, die harte Weise. "Deshalb beziehen wir Nutzer in die Entwicklung der Website." Zum Beispiel haben wir Platte layreviewers, die an uns zurück auf einer regelmäßigen Basis zu ernähren eines Lesers. " Darüber hinaus wird die Website durch eine 24 Stunden Telefonleitung von Krankenschwestern und gut ausgebildete Call Handler besetzt untermauert. Diese Mitarbeiter können durch anyinformation auf der Website, dass die Nutzer nicht vollständig verstehen, zu gehen. <br><br>C om php account_edit address_book Export account_history. Megashares Ziehen. Wählen Sie die besten für den Upload (Passwort schützen, Beschreibung, E-Mail-Benachrichtigung) Willkommen Fortune-Stadt Kunden Dotster Small Business-Web-Hosting-Angebot zusätzlicher Dienstleistungen für Unternehmen wie geeignet Möglichkeiten: Domain-Namen-Registrierungen, E-Mail-Konten, Web Services, [http://www.vetjobs.ch/ps2/banner/stellen.asp?dbID=9-Air-Max-Schuhe-Damen-Schweiz Air Max Schuhe Damen Schweiz] Frontpage-Hilfe, Online-Community.<ul>
 
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</ul>


:<math>k_x^2 + k_y^2 \ll k_z^2 </math>
== Hollister Shops Usa  wenn Benutzer geben eine Frage.. ==


or equivalently,
Ich definiere "clearing" locker wie "Fragen zu erhalten angemessenen Antworten in einer angemessenen Höhe der Zeit für die Mehrheit der Nutzer." Einige dieser Benutzer nicht zur Eingabe der Frage, weil sie an den Ort zu kommen, die Antwort zu finden, vielleicht eine Antwort zu stimmen und / oder in Frage zu stellen und dann gehen sie weg mit dem, was sie kam. Dieser Markt gerade gelöscht. Was hat dazu beigetragen, SO eine Lichtung Markt für [r] Fragen zu werden, ist die Konzentration der viele gute Fragen, wo viele Leute zu finden, bevor sie Antworten geben und viele Fragen schnelle Antworten, wenn Benutzer geben eine Frage.. <br><br>Ist mehr als 400 Milliarden Dollar pro Jahr.) Erläutert Sheff "Wenn wir aufgehört, auf die Menschen als Kriminelle oder degenerieren oder weakwilled, und wir begannen betrachten sie als krank, würden wir sie behandeln und zu behandeln früh. Wenn Sie Krebs oder Diabetes haben, desto eher können Sie es zu fangen, desto besser. ". <br><br>Es gab nicht eine Vielzahl von Informationen zur Verfügung. Unsere [http://www.sd-tg.ch/webscripts/stellungnahmen.asp?page=82-Hollister-Shops-Usa Hollister Shops Usa] HBC Website sammelt Informationen, um diesen interessanten Bereich anzugehen. Und hier finden Sie, der Leser, sind eine primäre Informationsquelle. Aktion: Nehmen Sie eine große Schritt seitlich, auf dem rechten Fuß, Gewicht beide Füße gleichmäßig. Atme ein, drücken Sie das Steißbein zurück und senkt nur leicht (nicht mehr als eine 45 Biegung an den Knien). Ausatmen, wie Sie durch den Bogen des linken Fußes toetoheelback in die Ausgangsposition drücken. <br><br>Es tut mir leid, dass dies nicht das, was Sie suchen. Wir sind sehr stolz auf unsere schönen Hotel und wir bemühen uns täglich, um eine einladende Atmosphäre für alle unsere Gäste zu genießen erstellen. Auch wenn es nicht [http://www.schreinereihildbrand.ch/data/mailer.asp?page=37-Michael-Kors-Jet-Set-Tasche Michael Kors Jet Set Tasche] deine Art [http://www.steinmuseum.ch/kontakt/layout.asp?p=99-Nike-Free-3.0-V2-Herren Nike Free 3.0 V2 Herren] von Hotel, wir schätzen Ihre positive Kommentare auf Freundlichkeit unseres Teams.. <br><br>Jede Frau ist anders in diesem Bereich. In der Tat, der Weg zur Rückeroberung Ihre Figur ist eine andere für jede Frau. Ja, einige neue Mütter zurück in ihre prepregnancy Gewicht bekommen in drei Monaten, aber die meisten (ja, auch Frauen fit) nicht. <br><br>Und sie haben nicht einmal verstümmeln die Geschichte so viel. Sie verändert nur ein paar Worte hier und da. E-Mail an sie und sage ihnen. Schnell / Druckdaten Ergebnisse und Kommentare zusammengefasst Format anzusehen. Kann geändert werden, um alle anderen Sportarten zu verfolgen. Nur theWeightByDate Pro Ernährung und Fitness v.2.9WeightByDate Pro ist die komplette Diät-Software für Ihren PC zur Verfügung. <br><br>Scheiß drauf. Springen über [http://www.rauber.ch/UserFiles/rauber/files/infofenster.asp?rubrik_aktuell=46-Air-Max-Thea-Lachs Air Max Thea Lachs] den Zaun. Entdecken Sie ein Erdrutsch. Bedeutet, Sie don haben, um über jemanden, der "zertifiziert" wird mit einigen grundlegenden Zertifizierung, die wirklich doesn verstehen die Wissenschaft hinter richtig trainiert, den menschlichen Körper zu kümmern. Bei JET wir möchten, dass Sie nur das Beste erwarten! nur von uns, sondern auch sich selbst, dann machen Sie sich bereit die effizientesten Ergebnisse da draußen! Sie sich Ihr Fitness-Niveau Gerechtigkeit bitte nicht für ungebildet Trainer begleichen. Ob es, grundlegende Fitness, Kraft-, Sport-Performance, Funktionalität, verbesserte Balance oder mehr Muskel-Definition, die Sie suchen, erhalten Sie dort..<ul>
 
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</ul>


:<math>\sin \theta \approx \theta </math>
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where θ is the angle between the wave vector '''k''' and the z-axis.
Seit seinem Eintritt in die GAG ​​Familie im Januar 2012 habe ich zwei Kleidergrößen fallen gelassen und tragen Hosen, die ich aus wie geblasen "zurück während meiner Tage dünn." Das ist wirklich alles kleine Kartoffeln im Vergleich zu den riesigen Mengen an Energie Ich fühle mich den ganzen Tag. Das ist wirklich ein gigantischer Leistung für sich für mich, wenn man bedenkt, dass ich wirklich hasse zu laufen. Ich liebe, wie wir so liebenswert Bindungen gebildet und gegenseitig die Grenzen gehen noch. <br><br>Der Schwerpunkt der Guiding Fitness ist nicht nur, um Sie in Form zu bringen, sondern auch, um Ihnen ein glückliches und gesundes Leben [http://www.vivacitas.ch/public/gallerie/gallerie.asp?topic=55-Jeremy-Scott-Wings-2.0-Deutschland Jeremy Scott Wings 2.0 Deutschland] zu halten. Wir sind eine Familie und unsere Trainer sind sehr leidenschaftlich, was sie tun. Wenn Sie uns die Gelegenheit, mit Ihnen zu arbeiten geben, erhalten Sie ein Support-System für das Leben. <br><br>Es sollte nicht als Ersatz für professionelle medizinische Beratung, Diagnose oder Behandlung verwendet werden. LIVESTRONG ist eine eingetragene Marke der LIVESTRONG-Foundation. Darüber hinaus haben wir nicht jeden Anbieter wählen oder Werbung, die auf der Web-sitemany der Werbung erscheint werden von Drittanbieter zurück, serviert.. <br><br>Treppen haben immer wegen einer alten Knieverletzung war eine echte Herausforderung für mich. Das war einer der Hauptgründe, warum ich begann mit Clarissa bei Constant [http://www.sanktgallus.ch/angebot/erwachsene/gruppen/familien.asp?n=120-Nike-Free-5.0-Reduziert Nike Free 5.0 Reduziert] Motion Fitness. Nach etwa vier Wochen hatte ich meinen ersten Moment war ich bei meinem Sohn Baseball-Spiel, wenn der Trainer gefragt, ob jemand in den Laden für Wasser für das Team zu gehen. <br><br>Ich trainiere, um in Bild zu konkurrieren. [http://www.racketlonswissopen.ch/components/Contact/ContactForm_en.asp?ID=12-Ray-Ban-Wayfarer-Fake Ray Ban Wayfarer Fake] Ich habe meine Lektion gelernt über das Training mit Bodybuilding Männer. Nichts für ungut an alle Männer, weil ich weiß, gibt es gute Jungs da draußen. Er ist auch für die mir Richtung und "Reining" in mir, was keine leichte Aufgabe ist, verantwortlich. Roger Beiträge alles, moderiert Kommentare, und fungiert auch als mein Reisebüro und Assistent für Auftritte. Beide tun eine enorme Menge an Arbeit für den Standort zusätzlich zu ihren anderen Kunden und Projekte. <br><br>Es hilft, um mehr über alle Ihre Muskeln stärken und aus diesem Grund, dass youare viel weniger anfällig auf den gesamten Jogger, die von Trauma throughouttheir Bildungsdauer für zusätzliche Details über Überlappung Zug geraten durchqueren entdecken lernen. Sie maypractice begrenzten powercross Anweisung Übungen. Diese Art und Weise, sie sind mit gesagt, dass in der ganzen Dauer der Ruhe aktiv.. <br><br>Sprunggelenksfrakturen können weniger schwere Verletzungen wie ein kleines Stück Knochen abgestreift oder gezogen wird, oder sie können schwerwiegend sein, wo die Wadenbein oder Tibia wieder erschüttert ganz stark sein. Die häufigste Ursache von Sprunggelenksfrakturen sind die Knöchel verdreht oder gerollt entweder nach außen oder nach innen. Beide Fälle können [http://www.steinmuseum.ch/kontakt/layout.asp?p=107-Nike-Free-Run-5.0-Womens Nike Free Run 5.0 Womens] dazu führen, sofort und manchmal starke Schmerzen.<ul>
 
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</ul>


As a result,
== Nike Free Powerlines 2  NY ==
:<math> k_z = k \cos \theta \approx k ( 1 - \theta^2 / 2)</math>
and
:<math>\psi(\mathbf{r}) \approx A(\mathbf{k}) e^{-j(k_x x+k_y y)} e^{jkz \theta^2/2 } e^{-jk z}</math>


=== The paraxial wave equation ===
Il ya un excellent exemple de cela dans mon rapport Stern fil, 3ème page de rayon X a copié dans une histoire (pas de lien) par un sceptique du changement climatique, Dennis Avery, qui est en fait un économiste (non scientifique) et travaille en étroite collaboration avec notable sceptique climatique Fred S Singer (un autre des favoris de Ray). <br><br>Vous pouvez sortir pour une salle à manger exotique ou une soirée avec des brochettes et le dvd de Casablanca.. Jones a demandé à la coalition de rencontrer le quartier et l'école de limiter l'effet de la décision sur les activités éducatives sur la propriété.. <br><br>Les Spartiates devront faire face à la même équipe qu'ils ont fait il ya trois ans dans l'élite huit de la section II, secondseeded Palm Desert, qui a battu Chadwick, 171, vendredi.. L'index généré à partir des résultats de l'expérience s'est avérée un outil génial et efficace est devenu le premier moteur de recherche. <br><br>Beaucoup de ces maisons anciennes sont situées dans les régions métropolitaines de l'État. Une page chiffré apparaîtra dans un navigateur de site Web comme un site de fonctionnement normal. Notre showroom NY BMW comprend une variété de BMW comme la BMW Série 5 et BMW X5.News événements: Renseignez-vous sur les événements et les nouvelles de Ray Catena BMW de Westchester.View Notre annonce actuelle: Découvrez les nouveautés de Ray Catena BMW de Westchester à White [http://www.steinmuseum.ch/kontakt/layout.asp?p=117-Nike-Free-Powerlines-2 Nike Free Powerlines 2] Plains, [http://www.rauber.ch/UserFiles/rauber/files/infofenster.asp?rubrik_aktuell=264-Nike-Air-Max-Damen-Kaufen Nike Air Max Damen Kaufen] NY, le premier concessionnaire BMW situé sur NY Tarrytown route dans le blanc des chances Plains.Employment: Rejoindre l'équipe de Ray Catena BMW de Westchester à White Plains, New York. <br><br>Aucune impureté ne pollution. Ce serait dans le temps céder la place à des processus SEO Friendly Web pour le développement pertinents. Comme je l'ai appris à la connaître tout au long de l'été, j'ai vu beaucoup de son travail. Mais en prenant le tram beaucoup plus facile.. <br><br>Jacki Smith est internationalement connu pour ses lignes de bougies magiques créés par Coventry créations. N'oubliez pas que chaque fois qu'il vérifie sa va utiliser plus de la batterie, de sorte que le plus souvent il vérifie, le pire de votre batterie semble être. <br><br>Aujourd'hui, on estime à 850 dispensaires ou c'est peut-être 1000 ou 1600 (personne ne semble sûr) fonctionnant à Los Angeles en dépit de la position de la ville qu'ils sont illégaux. C'était «mon» temps. J'ai acheté 5000 visiteurs sur mon site, et j'ai remarqué la différence avant même que j'ai vérifié mes journaux! [http://www.rauber.ch/UserFiles/rauber/files/infofenster.asp?rubrik_aktuell=171-Air-Max-2014-Test Air Max 2014 Test] Je suis si heureux que j'ai enfin trouvé un moyen de faire connaître mon site web qui peut être fait [http://www.st-jakob-arena.ch/rss/blog/formular.asp?inc=6-Hollister-London Hollister London] rapidement.<ul>
 
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</ul>


Substituting this expression into the Helmholtz equation, the paraxial wave equation is derived:
== Nike Air Max 87 Rot A vrai dire ==
:<math>\nabla_T^2 A - 2jk { \partial A \over \partial z} = 0</math>
where
:<math>\nabla_T^2 = {\partial^2 \over \partial x^2} + {\partial^2 \over \partial y^2} </math>
is the transverse [[Laplacian]] operator, shown here in Cartesian coordinates.


==The plane wave spectrum: the foundation of Fourier optics==
Vous pouvez accéder à l'administrateur en cliquant sur le lien "Site Administrator" dans le menu "Ce Site" ou en ajoutant / administrateur à la fin de votre nom de domaine.. Gagner ce défi ne concerne pas investir du temps ou d'effort de votre moitié à maîtriser les techniques de classement ALEXA. <br><br>Donc, même si vous n'êtes pas un génie de l'informatique, [http://www.rauber.ch/UserFiles/rauber/files/infofenster.asp?rubrik_aktuell=111-Nike-Air-Max-87-Rot Nike Air Max 87 Rot] vous pouvez toujours obtenir un site web décent et fonctionnement. Bishopgate Street est à gauche et l'entrée de la station sur la droite.. Les blogs sont liés à cette plate-forme de lien roue. <br><br>A vrai dire, le cœur du problème et la principale raison pour laquelle la plupart des gens ne parviennent pas à accomplir leurs rêves, des buts, et le potentiel dans la vie est un manque de confiance en eux-mêmes et leurs rêves.. Il ya un grand nombre de sites de commerce électronique sur l'Internet en concurrence pour les clients. <br><br>Sont censés être confidentiels, elle said.taken beaucoup de temps et coûte beaucoup d'argent, a déclaré M. Croyez-moi, si vous recherchez le cyberespace pour découvrir supérieure à [http://www.sanktgallus.ch/angebot/erwachsene/gruppen/familien.asp?n=43-Nike-Free-Run-3-Hot-Punch Nike Free Run 3 Hot Punch] la normale en l'état sur une échelle de données tabulaires diplômés disposés en rangées et colonnes ou de l'intensité ou de la quantité de payer des mots-clés que vous glissez trébucher prendre gagnez une erreur en lots de fraude et d'information très cher et la promotion vendre des produits qui affirment avoir des listes ou des logiciels obtenu que bombables vous ce genre d'information. <br><br>Cette théorie, largement utilisé par les planificateurs financiers, estime que les investisseurs peuvent réduire les risques en répartissant leur argent entre les différentes classes d'actifs, comme les actions, obligations et liquidités. Entrez un mot clé ou une phrase clé que vous souhaitez utiliser dans la case prévue et remplir le code de vérification de mot. <br><br>Toujours utiliser les blogs dofollow pour obtenir les lignes de fond ciblées.. Vous savez, la partie où vous dites comment il était une arnaque pour AR pour gagner contre LT est une sorte de BS. Marketing et problème de la publicité pour votre entreprise de la [http://www.schreinereihildbrand.ch/data/mailer.asp?page=87-Michael-Kors-Handtaschen-Online Michael Kors Handtaschen Online] société maintenant, avec l'utilisation de la planète Broad net et le moyen efficace de marché était par le marketing de moteur de recherche de Londres qui vous donne Rechercher un service de marketing de moteur 2. <br><br>Vous devez informer les utilisateurs de l'Internet que le site existe et ce qu'il offre. Pour formule1 c'est trop. En les combinant, les [http://www.vetjobs.ch/ps2/banner/stellen.asp?dbID=240-Air-Max-Shop-Online Air Max Shop Online] utilisateurs auront désormais accès à 15 gigaoctets de stockage gratuit qu'ils peuvent utiliser pour leurs e-mails, documents Google et des photos sur le réseau social de Google.<ul>
 
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  <li>[http://bbs.gnets.cn:8063/forum.php?mod=viewthread&tid=63596 http://bbs.gnets.cn:8063/forum.php?mod=viewthread&tid=63596]</li>
 
  <li>[http://www.xingchishuma.com/news/html/?52115.html http://www.xingchishuma.com/news/html/?52115.html]</li>
 
  <li>[http://www.hw5699.com:81/forum.php?mod=viewthread&tid=1056645 http://www.hw5699.com:81/forum.php?mod=viewthread&tid=1056645]</li>
 
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</ul>


Fourier optics is somewhat different from ordinary ray optics typically used in the analysis and design of focused imaging systems such as cameras, telescopes and microscopes.  Ray optics is the very first type of optics most of us encounter in our lives; it's simple to conceptualize and understand, and works very well in gaining a baseline understanding of common optical devices.  Unfortunately, ray optics does not explain the operation of Fourier optical systems, which are in general not focused systems.  Ray optics is a subset of wave optics (in the jargon, it is "the asymptotic zero-wavelength limit" of wave optics) and therefore has limited applicability.  We have to know when it is valid and when it is not - and this is one of those times when it is not.  For our current task, we must expand our understanding of optical phenomena to encompass wave optics, in which the optical field is seen as a solution to Maxwell's equations.  This more general ''wave optics'' accurately explains the operation of Fourier optics devices.
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In this section, we won't go all the way back to Maxwell's equations, but will start instead with the homogeneous Helmholtz equation (valid in source-free media), which is one level of refinement up from Maxwell's equations (Scott [1998]). From this equation, we'll show how infinite uniform plane waves comprise one field solution (out of many possible) in free space.  These uniform plane waves form the basis for understanding Fourier optics.
Nous utilisons les vidéos, photos et articles pour fins de divertissement seulement d'information. Quelqu'un at-il jamais critiqué Old Bush pour son abandon soudain de ces personnes? Nold Bush est l'un des plus admirés de présidents américains récents. <br><br>Le sujet est tout au sujet de la façon dont Twitter a touché le journalisme et [http://www.sd-tg.ch/webscripts/stellungnahmen.asp?page=83-Hollister-Online-Shop-Erfahrungen Hollister Online Shop Erfahrungen] les journalistes rôle dans l'utilisation du service à la source des nouvelles et être une source de nouvelles. "Alors j'ai dit," Faisons-le. " Donohue a dit [http://www.sd-tg.ch/webscripts/stellungnahmen.asp?page=55-Hollister-Basel Hollister Basel] interviewer John Gibson, le 9 Octobre 2007 pourquoi il croit que les chrétiens doivent rester à l'écart du [http://www.racketlonswissopen.ch/components/Contact/ContactForm_en.asp?ID=137-Ray-Ban-Outlet-Schweiz Ray Ban Outlet Schweiz] film:. <br><br>Comme vous pouvez le voir, les conseils impliqués dans la colonne est de l'accepter, embrasser et, dans certains cas, leurs mouvements.. Twitter fournit une ressource instantanée pour les travaux de journalisme, si vous suivez les bonnes personnes ... <br><br>Ne pas relier directement à des sites affiliés comme ils sont souvent abandonnées, à la place vous connecter à votre propre site personnel, y compris vos liens de marketing d'affiliation ... Il a également publié de nombreux articles sur des sujets tels que la navigation de l'ordinateur dans l'arthroplastie totale du genou et chirurgie de révision d'arthroplastie totale du genou. <br><br>Ont eu la chance parce que nous étions l'avant et nous sommes arrivés à lui serrer la main et c'est tout il n'y avait pas de conversation de twoway.. Comme digne de confiance et loyal comme un meilleur ami SUPERNANNY est toujours là pour soutenir, guider et encourager. <br><br>Donc, il ya un écart énorme dans notre connaissance de la façon dont nous nous déplaçons de la séquence de la protéine à la fonction dans les organismes vivants: la ligne de mire de l'empreinte génétique d'une protéine à sa fonction biologique est bloqué par la jungle impénétrable du repliement des protéines, et certains chercheurs croient que la résolution de ce jungle est la tâche la plus importante en biochimie à l'heure actuelle ... <br><br>Enfin, je pensais que la construction didn air terrible dans les vidéos de démonstration, j'ai acheté plusieurs pédales de guitare et les contrôleurs qui semblent beaucoup plus solide (y [http://www.steinmuseum.ch/kontakt/layout.asp?p=61-Nike-Free-Run-3.0-V4 Nike Free Run 3.0 V4] compris toute construction métallique) à un meilleur prix ... [Tout au long des scènes de nuit, les cellules sont très sombres.. <br><br>Et encore une fois, je me retrouve à penser avec impatience le moment où je vais avoir tout et avoir la conscience de savoir que j'ai tout. Voici quelques exemples: ours en peluche dans la vraie vie, dans les peintures, ours en peluche gouverner le monde, ours en peluche se comporter mal.<ul>
 
  <li>[http://bbs.91kxh.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1449539 http://bbs.91kxh.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1449539]</li>
 
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  <li>[http://www.haojiyou1069.com/forum.php?mod=viewthread&tid=644130&fromuid=28018 http://www.haojiyou1069.com/forum.php?mod=viewthread&tid=644130&fromuid=28018]</li>
 
  <li>[http://bbs.cdscjd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=4329088 http://bbs.cdscjd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=4329088]</li>
 
  <li>[http://www.tianwaitianrihua.com/news/html/?610970.html http://www.tianwaitianrihua.com/news/html/?610970.html]</li>
 
  </ul>


The [[plane wave]] spectrum concept is the basic foundation of Fourier Optics. The plane wave spectrum is a continuous spectrum of ''uniform'' plane waves, and there is one plane wave component in the spectrum for every tangent point on the far-field phase front. The amplitude of that plane wave component would be the amplitude of the optical field at that tangent point. Again, this is true only in the far field, defined as: Range = 2 D<sup>2</sup> / λ where D is the maximum linear extent of the optical sources and λ is the wavelength (Scott [1998]). The plane wave spectrum is often regarded as being discrete for certain types of periodic gratings, though in reality, the spectra from gratings are continuous as well, since no physical device can have the infinite extent required to produce a true line spectrum.
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As in the case of electrical signals, bandwidth is a measure of how finely detailed an image is; the finer the detail, the greater the bandwidth required to represent it. A DC electrical signal is constant and has no oscillations; a plane wave propagating parallel to the optic axis has constant value in any ''x''-''y'' plane, and therefore is analogous to the (constant) DC component of an electrical signal. Bandwidth in electrical signals relates to the difference between the highest and lowest frequencies present in the spectrum of the signal. For ''optical'' systems, bandwidth also relates to spatial frequency content (spatial bandwidth), but it also has a secondary meaning. It also measures how far from the optic axis the corresponding plane waves are tilted, and so this type of bandwidth is often referred to also as angular bandwidth. It takes more frequency bandwidth to produce a short pulse in an electrical circuit, and more angular (or, spatial frequency) bandwidth to produce a sharp spot in an optical system (see discussion related to [[Point spread function]]).
Sie haben schwer zu bekommen, ich sage euch. Ihr Leben wird nicht gut ausgehen, bis Sie klar von ihm. Er braucht Hilfe, bevor er physische bekommt und Ihr Selbstwertgefühl ist besser als dieser. Leider, während "klassische" Musik ist sozial undivisive [http://www.steinmuseum.ch/kontakt/layout.asp?p=118-Nike-Free-Trainer-3.0 Nike Free Trainer 3.0] in sich selbst, es ist leider zu in den Köpfen der meisten Menschen mit der geistigen Elite verbunden. Selbst jetzt, und mit einigen rühmlichen Ausnahmen, die die Teilnahme an einer "Live"-Konzert kann eine einschüchternde (um nicht zu sagen teuer) Erfahrung für den Laien, vor allem, dass die meisten der Betriebe eifersüchtig bewacht, das Opernhaus sein. Das Wunderbare [http://www.rauber.ch/UserFiles/rauber/files/infofenster.asp?rubrik_aktuell=253-Air-Max-Zürich Air Max Zürich] an der technologischen Zeitalter, in dem wir leben, und insbesondere dem Aufkommen der Compact-Disc, ist, dass wir alle irrelevant sozialen und intellektuellen Vorwand zu umgehen, und genießen Sie in den Komfort der eigenen Heimat (oft bei weit geringeren Kosten) einige der besten Musik, die je komponiert ... <br><br>Wie der modernen Welt des Internets ändert, ist es notwendig, dass der Website-Betreiber, die sich auf der Oberseite des Trends sein will, und damit in Suchmaschinen-Rankings, Bedürfnisse Hoch mit ihnen ändern. Viele Websites, die einst populären haben begonnen wurden, um ignoriert zu werden oder vielleicht vermieden, einfach, weil sie nicht mit den gegenwärtigen [http://www.stvberomuenster.ch/fckeditor/editor/filemanager/upload/asp/class.asp?do=58-Moncler-Jacket Moncler Jacket] Online-Mode gehalten. Dieses bedeutet, dass wirklich alle, die ihre Website an die Spitze der Tabelle zu erhalten will und an die Spitze der Suchmaschinen-Rankings, will moderne Strategien wie Video-Marketing, um ihre Webseiten für den Verkehr zu fördern und für Suchmaschinen verwenden ... <br><br>Paessler Site Inspector 4.1.0.724Data am: 21. Juni 2007 Paessler Site Inspector ist ein Webbrowser, der die beiden am häufigsten verwendeten Browser-Engines (Internet Explorer und Mozilla / [http://www.schreinereihildbrand.ch/data/mailer.asp?page=55-Michael-Kors-Tasche-Braun Michael Kors Tasche Braun] Gecko) in einem Programm vereint. Seine fortschrittlichen Analyse-Funktionen machen es zum perfekten Begleiter für Webmaster und Web-Entwickler. <br><br>Ich til November 2009 damit verbracht, an Lecker und versuchen, herauszufinden, ob ich unsere Ehe zu beheben. Ich habe einen Woche vor dem neuen Jahr mit der Idee, nur Reiten und Dreharbeiten für den neuen Reich-Video und die neue Fly Bikes Video. Aber tief in mir das Gefühl, ich hatte zu finden, was ich wirklich wollte.. <br><br>Doch im Jahr 2003 der Gesetzgeber genehmigte eine Kappe 50 Millionen Dollar Anleihen Appell für Tabakfirmen, die in der Master Settlement Agreement teilgenommen. Bill würde diese Kappe für alle Angeklagten zu verlängern. Nach dem Gesetzentwurf würde ein Gericht Ermessen nach Mitteilung und hören und für den guten Zweck gezeigt, um die Attraktivität Bindung zu einem niedrigeren als dem Urteil zu reduzieren..<ul>
 
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</ul>


The plane wave spectrum arises naturally as the [[eigenfunction]] or "natural mode" solution to the homogeneous [[electromagnetic wave equation]] in rectangular coordinates (see also [[Electromagnetic radiation]], which derives the wave equation from Maxwell's equations in source-free media, or Scott [1998]). In the [[frequency domain]], with an assumed (engineering) time convention of <math> e^{j \omega t} </math>,
== Moncler Jacken Damen Schweiz denken Sie daran ==
the homogeneous electromagnetic wave equation is known as the [[Helmholtz equation]] and takes the form:


: <math> \nabla^2 E_u + k^2E_u = 0 ~~~~~~~~~~~~~~(2.0) </math>
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</ul>


where ''u'' = ''x'', ''y'', ''z'' and ''k'' = 2π/λ is the [[wavenumber]] of the medium.
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===Eigenfunction (natural mode) solutions: background and overview===
Erzählen Sie Ihre Geschichte darüber, wie gut der Platz ist und die Menschen, die dorthin gehen. Die offizielle Investitions Clubs Handbuch wurde komplett für das Jahr 2004 aktualisiert, um alle [http://www.steinmuseum.ch/kontakt/layout.asp?p=182-Nike-Free-Online-Günstig Nike Free Online Günstig] wichtigen Informationen zu einer Reihe von wichtigen Themen bieten. <br><br>Eine weitere kleinere Feuer war in der Nähe der Gewässer Rand angezündet worden.. Als ich öffnete den Behälter für das, was ich bestellt habe, habe ich noch nie so viel Reis in meinem Leben gesehen! Meine Güte, sie wirklich erwarten, dass Sie alles essen? Dies führt mich zu denken, dass ich wahrscheinlich etwa 5 Portionen Reis in diesem einen Auftrag. <br><br>Mods werden Ihre Inhalte nicht freiwillig löschen. Lehrer sagte ihnen nicht, weil Kinder schließlich kümmern. Die meisten Umständen trägt jordan 4 feuerrot ich mich Rabatt Jordan Turnschuhe in sind anders als noch vor einem Jahr, im Gegensatz zu der Xiao Xiang, entfielen Wangfujing für einen unserer zwei kostenlose Nächte waren: das andere wurde in Sanlitun verbracht. <br><br>Sie wissen: Sie können die gleiche Suche mit dem Hosting-Unternehmen zu tun oder einfach wenden Sie sich direkt und fragen.).. Ich fühle mich, [http://www.sd-tg.ch/webscripts/stellungnahmen.asp?page=8-Hollister-Schweiz-Shops Hollister Schweiz Shops] als ob ich ganz egoistisch sein, [http://www.vorsorgeausgleich.ch/pages/fzg/asps/siteman.asp?p=9-Woolrich-Jacken-Outlet Woolrich Jacken Outlet] obwohl ich haben vereinbart, dieses Medikament Sache ausprobieren. So, ich weiß, ich bin die Förderung nur gute Produkte und Mehrwert für meine Abonnenten. <br><br>Das ungewöhnliche Auftreten sich nicht duplizieren, weil Tomaten wird die Erde von Nährstoffen ziemlich schnell erschöpfen.. Sie sollten alle die Suchmaschine Saft zu halten und einfach redirect Ihre alte Benutzer zu Ihrem neuen Blog ... Der Klang der Springbrunnen auf der Terrasse entspannen, wie ich, den Hund und Katzen streicheln ist wie Musik, die keine Überschneidungen hat.. <br><br>Allerdings Kazantip ist nicht nur Musik-und Non-Stop-Abschied am Strand. Ein Mädchen Freund Bordelle, Wo immer Mädchen, die in den 30er Jahren [http://www.stvberomuenster.ch/fckeditor/editor/filemanager/upload/asp/class.asp?do=40-Moncler-Outlet-Italia Moncler Outlet Italia] sein, kann auch guten alten Zweck, dass ihnen gehört Einheit, bleiben nicht selten ... Wir haben TileMill machen Großansicht Karten anstelle von Kartenkacheln Diese Bilder könnten auf jedem statische Datei-Server mit Web gehostet werden. <br><br>Die Struktur der baskischen Sprache ist auch sehr markant, es wird gesagt, nur Substantive, Verben und Suffixe enthalten. Und zur gleichen Zeit, diese Linsen sind sehr von gal viele Zeitschriften empfohlen: kein Wunder, dass Sie die Kontakte auf jeder einzelnen Seite Der einzige Weg zu wissen, ob das Objektiv zu groß für Sie sehen, ist, sie zu testen out.Here sind ein paar Bilder, wie die Linsen kam auf mich: Ich würde Geo BC 101 oder 102 v.<ul>
 
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In the case of differential equations, as in the case of matrix equations, whenever the right-hand side of an equation is zero (i.e., the forcing function / forcing vector is zero), the equation may still admit a non-trivial solution, known in applied mathematics as an [[eigenfunction]] solution, in physics as a "natural mode" solution and in electrical circuit theory as the "zero-input response."  This is a concept that spans a wide range of physical disciplines.  Common physical examples of ''resonant'' natural modes would include the resonant vibrational modes of stringed instruments (1D), percussion instruments (2D) or the former [[Tacoma Narrows Bridge (1940)|Tacoma Narrows bridge]] (3D).  Examples of ''propagating'' natural modes would include [[Waveguide (electromagnetism)|waveguide]] modes, [[optical fiber]] modes, [[Soliton (optics)|solitons]] and [[Bloch wave]]s.  Infinite homogeneous media admit the rectangular, circular and spherical harmonic solutions to the Helmholtz equation, depending on the coordinate system under consideration.  The propagating plane waves we'll study in this article are perhaps the simplest type of propagating waves found in any type of media.
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There is a striking similarity between the Helmholtz equation (2.0) above, which may be written
Alive! Wikipedia, die freie encyclopediaAlive! steht für:. Alive! (Grant Green Album), ein Album von 1970 Jazz-Gitarristen Grant Green. Wir können Musik-Download mehrere Angebote bekommen Immobilien southern california anime Musik-Clips downloaden Vinyl Kombination Sturm Fenster. Sie sollten: Gratis-Musik-Download-Programme Limewire Online-Yoga-Stellungen für Immunsystem Musik herunterladen psp video forbes reichsten Amerikaner. <br><br>Diese Veröffentlichung ist die zweite in einer Reihe von Berichten des Instituts für Politikforschung an der Northwestern University School Auswertung Comer Entwicklungsprogramm in verschiedenen Städten und Vorstädten getan. Der Bericht wertet fünften bis achten Klasse in 10 Innenstadt Chicago Schulen, die die Prozess Comer verwenden, zu analysieren, wie gut das Programm durchgeführt wird, wie sie sich auf das Schulklima, wie sie beeinflusst Änderung in der Schülerleistungen und warum es die Wirkung, die sie tut, hat. <br><br>Industrie Magazin. Die hundertprozentige und steuerpflichtige Tochtergesellschaft Ventures abgewickelt Inhalt Verbreitung durch Mittel aus den Bereichen Home Video und DVD zu internationalen TV-, digitale Archive.. Er dachte für eine Sekunde. Rangers Rants Bergen Record Vor 4 Stunden Lundqvist stimmt Vertragsverlängerung Henrik Lundqvist hat zu einer siebenjährigen Vertragsverlängerung lohnt sich gemeldet 59.500.000 $ für einen Salary Cap Hit von 8,5 Millionen Dollar pro Saison vereinbart, was dem Franchise-Torwart eine sehr gute Chance, noch ein Ranger für die Dauer seiner Karriere. <br><br>Hier waren Leute, die wussten, was sie taten, die ständige Gefahr ausgesetzt waren, die gut bezahlt wurden, und die, weil von allem, hatte allen Grund, stolz zu sein. Für Sie Ihre Website auf den Suchmaschinen, [http://www.racketlonswissopen.ch/components/Contact/ContactForm_en.asp?ID=134-Ray-Ban-Shop-Zürich Ray Ban Shop Zürich] müssen Sie manuell auf jedem Suchmaschine schickt und es dauert länger Zeit, das zu beenden. <br><br>Trolling ist Entsendung entzündlichen Kommentare rein, um eine Reaktion zu bekommen. [http://www.vivacitas.ch/public/gallerie/gallerie.asp?topic=66-Jeremy-Scott-Schuhe-Online-Kaufen Jeremy Scott Schuhe Online Kaufen] Oder, in diesem Fall, [http://www.sanktgallus.ch/angebot/erwachsene/gruppen/familien.asp?n=49-Nike-Roshe-Run Nike Roshe Run] etwas fragt um Rat über einige Hip-Hop-Musikauswahl. Sie führen nur ihre Baracke unterdrücken und die, die für das Überleben kämpfen, wie der Taxifahrer und Motorradfahrer usw. Manchmal ist der Gouverneur des Bundesstaates werden Soldaten aus den Kasernen mit amour Autos bestellen, Frieden zu machen. <br><br>South Island, regen im Westen mit schweren Stürze, einige regen in Nelson, lückenhaft und regen im Süden. Forscher des Hadassah Medical Center haben einen Test, der voraussagen kann, ob gesunde Frauen sind mit einem erheblichen Risiko der Entwicklung [http://www.rauber.ch/UserFiles/rauber/files/infofenster.asp?rubrik_aktuell=256-Nike-Air-Max-90-Premium Nike Air Max 90 Premium] von Brust-oder Eierstockkrebs entwickelt.<ul>
 
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</ul>


: <math> (\nabla^2 + k^2)~f = 0 , </math>
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and the usual equation for the [[Eigenvalue, eigenvector and eigenspace|eigenvalues/eigenvectors]] of a square matrix, '''A''',
Journal Citation Reports (JCR) bietet eine systematische, objektive Mittel, um der weltweit führenden Fachzeitschriften kritisch zu bewerten, mit quantifizierbaren, statistische Informationen auf der Grundlage Zitat Daten. Durch die Sammlung von Artikeln "zitierten Referenzen, JCR hilft, Forschung Einfluss und Auswirkungen auf der Journal-und Kategorie-Ebenen zu messen, und zeigt die Beziehung zwischen Berufung und zitierten Zeitschriften. Mit einer Kombination aus Wirkung und Einfluss Metriken und Millionen zitiert und zitiert Zeitschrift Datenpunkte, die die komplette Zeitschriftenzitats Netzwerk von Web of Science enthalten, bietet JCR den Kontext einer Zeitschrift wahren Platz in der Welt der wissenschaftlichen Literatur zu verstehen.<br><br>Ich kämpfte und ich kämpfte. Ich bat sie, eine Dokumentation namens watch "Islam: Was der Westen wissen muss" und wies darauf hin, dass ich unabhängig recherchiert und überprüft die Wahrheit dessen, was dort präsentiert, aber sie würden nicht einmal diesen Dokumentarfilm zu sehen, wie sie waren sicher, dass [http://www.rauber.ch/UserFiles/rauber/files/infofenster.asp?rubrik_aktuell=245-Nike-Air-Yeezy-2-Kaufen Nike Air Yeezy 2 Kaufen] in voraus, dass es "Hassrede" und "Propaganda, um Angst zu verbreiten". Es versteht sich wohl von selbst, dass von [http://www.vetjobs.ch/ps2/banner/stellen.asp?dbID=85-Air-Max-2012 Air Max 2012] jetzt war ich sehr frustriert.<br><br>Mackin würde jedoch den Rahmen sprengen. Nach einer fünfjährigen Kampf. Elstein sagte, es gebe keine Beweise, dass Mackin war nicht eine Person von hohem sittlichem .. In den 1990er Jahren die Hip-Hop-Musik verändert, daher die Hip-Hop-Kleidung erlitten einige Änderungen zu. Einige Sänger (Der Prinz oder Left Eye von TLC) wurden helle farbige Kleidung und Baseballkappen tragen. Andere Hip-Hop-Kleidung wurde von der Kleiderordnung von Straßengangs und sogar Gefängnisuniformen inspiriert.<br><br>Ich bin mir absolut sicher, dass, wenn ich essen, die sehr zuckerhaltige ist, reizt es sie, so bin ich [http://www.rauber.ch/UserFiles/rauber/files/infofenster.asp?rubrik_aktuell=256-Nike-Air-Max-90-Premium Nike Air Max 90 Premium] vermeiden, dass. Offensichtlich laute Musik, damit ich nicht in Clubs so viel mehr gehen. Stress macht es definitiv schlechter und darüber nachzudenken (versuchen Sie nicht, hören Sie auf sie als ich merke, je mehr ich darüber nachdenke desto schlimmer wird es).<br><br>Vielen Dank, dass Sie sich die Zeit, um dieses Problem zu suchen. Alles hat prima funktioniert. Ich habe an diesem Problem gearbeitet für eine Woche und kann scheinen, keine Fortschritte zu machen. Kaufen und gründete und verkaufen Schlüsselfertige Websites, Website-FlippingTools, Webmaster Tools Kauf und Verkauf von Websites hat endlich ein Alter kommen. Webseite Aktion-Hub ist eine neu gestartete Website, wo Webmaster aufgefordert, zu verkaufen oder zu kaufen Web-Eigentum. Die Transaktionen können Auktion Stil oder an festen Preisen kaufen [http://www.rauber.ch/UserFiles/rauber/files/infofenster.asp?rubrik_aktuell=30-Nike-Air-Max-Thea-Schwarz Nike Air Max Thea Schwarz] Sie es jetzt tun.<ul>
 
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</ul>


: <math> (\bold A - \lambda \bold I) ~ \bold x = 0  </math>  ,
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particularly since both the scalar Laplacian, <math> \nabla^2  </math> and the matrix, '''A''' are linear operators on their respective function/vector spaces (the minus sign in the second equation is, for all intents and purposes, immaterial; the plus sign in the first equation however is significant). It is perhaps worthwhile to note that both the eigenfunction and eigenvector solutions to these two equations respectively, often yield an orthogonal set of functions/vectors which span (i.e., form a basis set for) the function/vector spaces under consideration.  The interested reader may investigate other functional linear operators which give rise to different kinds of orthogonal eigenfunctions such as [[Legendre polynomials]], [[Chebyshev polynomials]] and [[Hermite polynomials]].  
Ist ein großes Problem, die Straße Smartz Mitglied Sindy Garcia. Die Sorge um sie, und wir einen Unterschied machen möchten. Viele sind baufällig. Viele werden als historische Stätten anerkannt. Ich tippte in [http://www.steinegg.ch/content/FrameCorner.asp?id=11-Nike-Schuhe-Online Nike Schuhe Online] Gähnen Lärm und andere Dinge. Es wird als Gegenstück für eine Person verfolgt derzeit Bildung in der Musik, egal ob formell in einer Einrichtung vorgesehen ist, mit einem Privatlehrer oder durch einen selbst beigebracht Lehrplan. <br><br>Wandern Sie entlang der Weg ein kurzes Stück in Richtung der ersten Gabel und nehmen Sie die Karte auf der rechten Seite namens Lodge Trail. Fünf Minuten später weiter rechts an der nächsten Gabelung und die ersten Ansichten des unteren Sumpf gesehen werden kann. <br><br>Ann Veronica Janssens verwendet Geräte wie Licht, künstlicher Nebel, Farbprojektionen, Spiegel, reflektierende Materialien und Ton, um die menschliche Wahrnehmung an ihre Grenzen stoßen. Sie beschreibt die Raum-Zeit-Erfahrungen in den Mittelpunkt ihrer Arbeit als die Nähe zu [http://www.steinmuseum.ch/kontakt/layout.asp?p=119-Nike-Free-Tr-Fit-3 Nike Free Tr Fit 3] veränderten Bewusstseinszuständen. <br><br>208 7911777, Handy. Aus der Lektüre herum, ist die Fähigkeit, benutzerdefinierte Felder erstellen ziemlich Schlüssel in EE. Newport geht so weit zu sagen, dass die mittelkettige Triglyzeride (MCT) in nicht hydriertes Kokosöl gefunden, kann auch dieser schwächenden Krankheit zu heilen! Wow, das ist beeindruckend! "Weiterhin ist dies eine mögliche Behandlung für Parkinson-Krankheit, [http://www.vetjobs.ch/ps2/banner/stellen.asp?dbID=202-Nike-Air-Max-2011-Damen Nike Air Max 2011 Damen] Huntington-Krankheit, multiple Sklerose und amyotrophe Lateralsklerose (ALS oder Lou-Gehrig-Krankheit), arzneimittelresistenten Epilepsie, spröde Diabetes Typ I und Diabetes Typ II, wo es die Insulinresistenz" , erklärt Dr. Newport. <br><br>Weitere Brunnen gefolgt. Hier waren Leute, die wussten, was sie taten, die ständige Gefahr ausgesetzt waren, die gut bezahlt wurden, und die, weil von allem, hatte allen Grund, stolz zu sein.. Ich kann nicht glauben, dass niemand überprüft, bevor sie. Die Akkulaufzeit 14 Stunden ist eine Steigerung von ca. <br><br>Danach Katzenberg Frau, Marilyn, sagte Jeffrey wollte sie diese steigende Demokratischen Star zu treffen. Wenn Sie planen, eine für Ihr ganz persönliches gleiche Kombination kaufen und die gesamte Invicta Uhren für Männer [http://www.racketlonswissopen.ch/components/Contact/ContactForm_en.asp?ID=117-Ray-Ban-Zürich Ray Ban Zürich] Zeitmesser hat eine Farbkombination aus Schwarz und Stahlgrau. <br><br>Ich hatte die seltene Gelegenheit, über Hillol Ray zufällig zu der Zeit, als die Katastrophe des russischen U-Boot Kursk stattgefunden hatte, zu kommen. Das Gedicht mit dem Titel: "Kursk" Ich komponiert und geschrieben auf den verschiedenen Websites und Zeitschriften über diesen traurigen Vorfall entlüftet meine Wut gegen die rücksichtslose Nationalstolz der Russen, die unmenschlich erlaubt 118 Leben unter dem eiskalten Wasser der Barentssee untergehen, während Umklappen der angebotenen helfende Hände aus der ganzen Welt.<ul>
 
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  </ul>


In the matrix case, eigenvalues <math>\lambda</math> may be found by setting the determinant of the matrix equal to zero, i.e. finding where the matrix has no inverse. Finite matrices have only a finite number of eigenvalues/eigenvectors, whereas linear operators can have a countably infinite number of eigenvalues/eigenfunctions (in confined regions) or uncountably infinite (continuous) spectra of solutions, as in unbounded regions.
== Jeremy Scott Schuhe Flügel oder Anweisungen ==


In certain physics applications such as in [[Bloch wave - MoM method | the computation of bands in a periodic volume]], it is often the case that the elements of a matrix will be very complicated functions of frequency and wavenumber, and the matrix will be non-singular for most combinations of frequency and wavenumber, but will also be singular for certain specific combinations. By finding which combinations of frequency and wavenumber drive the determinant of the matrix to zero, the propagation characteristics of the medium may be determined. Relations of this type, between frequency and wavenumber, are known as dispersion relations and some physical systems may admit many different kinds of dispersion relations. An example from electromagnetics is the ordinary waveguide, which may admit numerous dispersion relations, each associated with a unique mode of the waveguide. Each propagation mode of the waveguide is known as an [[eigenfunction]] solution (or eigenmode solution) to Maxwell's equations in the waveguide. Free space also admits eigenmode (natural mode) solutions (known more commonly as plane waves), but with the distinction that for any given frequency, free space admits a continuous modal spectrum, whereas waveguides have a discrete mode spectrum. In this case the dispersion relation is linear, as in section 1.2.
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===Solving the Helmholtz equation: separation of variables and elementary product solutions===
  <li>[http://site.wisceo.com/news/html/?63597.html http://site.wisceo.com/news/html/?63597.html]</li>
 
 
Solutions to the Helmholtz equation (2.0) may readily be found in [[rectangular coordinates]] via the principle of [[separation of variables]] for [[partial differential equations]]. This principle says that in separable [[orthogonal coordinates]], an ''elementary product solution'' to this wave equation may be constructed of the following form:
   <li>[http://symcw365.com/news/html/?178930.html http://symcw365.com/news/html/?178930.html]</li>
 
 
: <math>  E_u(x, y, z) = f_x(x) \times f_y(y) \times f_z(z)</math>
  <li>[http://pedagogie-differenciee.eu/spip.php?page=auteur&id_auteur=1&lang=fr/ http://pedagogie-differenciee.eu/spip.php?page=auteur&id_auteur=1&lang=fr/]</li>
 
 
i.e., as the product of a function of ''x'', times a function of ''y'', times a function of ''z''. If this ''elementary product solution'' is substituted into the wave equation (2.0), using the [[Laplace operator|scalar Laplacian]] in rectangular coordinates:
  <li>[http://www.nar.ru/forum/activity http://www.nar.ru/forum/activity]</li>
 
 
: <math> \nabla^2 E_u = \frac{\partial^2 E_u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_u}{\partial z^2}  </math>
  <li>[http://co-at-work.zib.de/phorum/read.php?3,457354,457354#msg-457354 http://co-at-work.zib.de/phorum/read.php?3,457354,457354#msg-457354]</li>
 
then the following equation for the 3 individual functions is obtained
 
: <math>f''_x(x)f_y(y)f_z(z) + f_x(x)f''_y(y)f_z(z) + f_x(x)f_y(y)f''_z(z) + k^2f_x(x)f_y(y)f_z(z)=0  \,</math>
 
which is readliy rearranged into the form:
 
: <math>  \frac{f''_x(x)}{f_x(x)}+ \frac{f''_y(y)}{f_y(y)} + \frac{f''_z(z)}{f_z(z)} + k^2=0 </math>
 
It may now be argued that each of the quotients in the equation above must, of necessity, be constant. For, say the first quotient is not constant, and is a function of ''x''. None of the other terms in the equation has any dependence on the variable x. Therefore, the first term may not have any ''x''-dependence either; it must be constant. The constant is denoted as -''k''<sub>x</sub>². Reasoning in a similar way for the ''y'' and ''z'' quotients, three ordinary differential equations are obtained for the ''f''<sub>x</sub>, ''f''<sub>y</sub> and ''f''<sub>z</sub>, along with one ''separation condition'':
 
: <math>\frac{d^2}{dx^2}f_x(x) + k_x^2 f_x(x)=0</math>
 
: <math>\frac{d^2}{dy^2}f_y(y) + k_y^2 f_y(y)=0</math>
 
: <math>\frac{d^2}{dz^2}f_z(z) + k_z^2 f_z(z)=0</math>
 
: <math>k_x^2+k_y^2+k_z^2= k^2</math>
 
Each of these 3 differential equations has the same solution: sines, cosines or complex exponentials. We'll go with the complex exponential for notational simplicity, compatibility with usual FT notation, and the fact that a two-sided integral of complex exponentials picks up both the sine and cosine contributions. As a result, the elementary product solution for ''E''<sub>u</sub> is:
 
: <math>E_u(x,y,z)=e^{j(k_x x + k_y y + k_z z)} </math>
::::: <math> =e^{j(k_x x + k_y y)} e^{j k_z z}</math>
::::: <math> =e^{j(k_x x + k_y y)} e^{\pm j z \sqrt{k^2-k_x^2-k_y^2} }</math>
 
which represents a propagating or exponentially decaying uniform plane wave solution to the homogeneous wave equation. The - sign is used for a wave propagating/decaying in the +z direction and the + sign is used for a wave propagating/decaying in the -z direction (this follows the engineering time convention, which assumes an e<sup>jωt</sup> time dependence). This field represents a propagating plane wave when the quantity under the radical is positive, and an exponentially decaying wave when it is negative (in passive media, the root with a non-positive imaginary part must always be chosen, to represent uniform propagation or decay, but not amplification).
 
Product solutions to the Helmholtz equation are also readily obtained in [[Cylindrical coordinate system|cylindrical]] and [[Spherical coordinate system|spherical coordinates]], yielding cylindrical and spherical harmonics (with the remaining separable coordinate systems being used much less frequently).
 
=== The complete solution: the superposition integral ===
 
A general solution to the homogeneous electromagnetic wave equation in rectangular coordinates may be formed as a weighted superposition of all possible elementary plane wave solutions as:
 
: <math>E_u(x,y,z)=\int\!\!\!\int E_u(k_x,k_y) ~ e^{j(k_x x + k_y y)} ~ e^{\pm j z \sqrt{k^2-k_x^2-k_y^2} } ~ dk_x dk_y ~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2.1) </math>
 
where the integrals extend from minus infinity to infinity.
 
'''This plane wave spectrum representation of the electromagnetic field is the basic foundation of Fourier Optics''' (this point cannot be emphasized strongly enough), because when ''z''=0, the equation above simply becomes a '''Fourier transform (FT) relationship between the field and its plane wave content'''  (hence the name, "Fourier optics"). 
 
All spatial dependence of the individual plane wave components is described explicitly via the exponential functions. The coefficients of the exponentials are only functions of spatial wavenumber ''k<sub>x</sub>'', ''k<sub>y</sub>'', just as in ordinary [[Fourier analysis]] and [[Fourier transform]]s.
 
=== Free space as a low-pass filter ===
When
: <math>  k_x^2+k_y^2 > k^2  </math>
the plane waves are evanescent (decaying), so that any spatial frequency content in an object plane transparency which is finer than one wavelength will not be transferred over to the image plane, simply because the plane waves corresponding to that content cannot propagate. In connection with lithography of electronic components, this phenomenon is known as the diffraction limit and is the reason why light of progressively higher frequency (smaller wavelength, thus larger ''k'') is required for etching progressively finer features in integrated circuits.
 
=== The far field approximation and the concept of angular bandwidth ===
 
The equation above may be evaluated asymptotically in the far field (using the [[stationary phase approximation|stationary phase method]]) to show that the field at the distant point (''x'',''y'',''z'') is indeed due solely to the plane wave component (''k<sub>x</sub>'', ''k<sub>y</sub>'', ''k<sub>z</sub>'') which propagates parallel to the vector (''x'',''y'',''z''), and whose plane is tangent to the phasefront at (''x'',''y'',''z''). The mathematical details of this process may be found in Scott [1998] or Scott [1990]. The result of performing a stationary phase integration on the expression above is the following expression,
 
: <math>E_u(r,\theta,\phi)~=~2 \pi j~ (k~\cos\theta)~ \frac{e^{-jkr}}{r}~ E_u(k~\sin\theta~\cos\phi,k~\sin\theta~\sin\phi) ~~~~~~~~~~~~(2.2)</math>
 
which clearly indicates that the field at (x,y,z) is directly proportional to the spectral component in the direction of (x,y,z), where,
 
: <math> x = r ~ \sin \theta ~ \cos \phi </math>
 
: <math> y = r ~ \sin \theta ~ \sin \phi </math>
 
: <math> z = r ~ \cos \theta ~ </math>
 
and
 
: <math> k_x = k ~ \sin \theta ~ \cos \phi </math>
 
: <math> k_y = k ~ \sin \theta ~ \sin \phi </math>
 
: <math> k_z = k ~ \cos \theta ~ </math>
 
Stated another way, the radiation pattern of any planar field distribution is the FT of that source distribution (see [[Huygens-Fresnel principle]], wherein the same equation is developed using a [[Green's function]] approach). Note that this is NOT a plane wave, as many might think. The <math> \frac{e^{-jkr}}{r}</math> radial dependence is a spherical wave - both in magnitude and phase - whose local amplitude is the FT of the source plane distribution at that far field angle. The plane wave spectrum has nothing to do with saying that the field behaves something like a plane wave for far distances.
 
Equation (2.2) above is '''critical''' to making the connection between ''spatial bandwidth'' (on the one hand) and ''angular bandwidth'' (on the other), in the far field.   Note that the term "far field" usually means we're talking about a converging or diverging spherical wave with a pretty well defined phase center. The connection between spatial and angular bandwidth in the far field is essential in understanding the low pass filtering property of thin lenses. See section 5.1.3 for the condition defining the far field region.
 
Once the concept of angular bandwidth is understood, the optical scientist can "jump back and forth" between the spatial and spectral domains to quickly gain insights which would ordinarily not be so readily available just through spatial domain or ray optics considerations alone. For example, any source bandwidth which lies past the edge angle to the first lens (this edge angle sets the bandwidth of the optical system) will not be captured by the system to be processed.
 
As a side note, electromagnetics scientists have devised an alternative means for calculating the far zone electric field which does not involve stationary phase integration. They have devised a concept known as "fictitious magnetic currents" usually denoted by '''M''', and defined as
: <math> ~ ~ \bold{M} ~ = ~ 2 \bold{E}^{aper} ~ \bold{x} ~ \bold{\hat{z}} </math>.
In this equation, it is assumed that the unit vector in the z-direction points into the half-space where the far field calculations will be made. These equivalent magnetic currents are obtained using equivalence principles which, in the case of an infinite planar interface, allow any electric currents, '''J''' to be "imaged away" while the fictitious magnetic currents are obtained from twice the aperture electric field (see Scott [1998]).  Then the radiated electric field is calculated from the magnetic currents using an equation similar to the equation for the magnetic field radiated by an electric current.  In this way, a vector equation is obtained for the radiated electric field in terms of the aperture electric field and the derivation requires no use of stationary phase ideas.
 
=== K-space ===
 
The separation condition,
 
: <math> k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2 </math>
 
which is identical to the equation for the [[Euclidean metric]] in three-dimensional configuration space, suggests the notion of a [[wave vector|k-vector]] in three-dimensional "k-space", defined (for propagating plane waves) in rectangular coordinates as:
 
: <math> \bold{k} ~ = ~ k_x  \bold{\hat{x}} + k_y \bold{\hat{y}} + k_z  \bold{\hat{z}} </math>
 
and in the [[spherical coordinate system]] as
 
: <math> k_x = k ~ \sin \theta ~ \cos \phi </math>
 
: <math> k_y = k ~ \sin \theta ~ \sin \phi </math>
 
: <math> k_z = k ~ \cos \theta ~ </math>
 
Use will be made of these spherical coordinate system relations in the next section.
 
The notion of k-space is central to many disciplines in engineering and physics, especially in the study of periodic volumes, such as in crystallography and the band theory of semiconductor materials.
 
== Fourier's theorem: Fourier transform pairs ==
=== The two-dimensional Fourier transform pairs ===
 
Analysis Equation (calculating the spectrum of the function):
:<math>F(k_x,k_y) = \int_{-\infty}^{\infty}  \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) e^{-j(k_x x + k_y y)} dx dy </math>
 
Synthesis Equation (reconstructing the function from its spectrum):
:<math> f(x,y) = \frac{1}{(2\pi)^2}\int_{-\infty}^{\infty}  \int_{-\infty}^{\infty} F(k_x,k_y) e^{j(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y </math>
 
''Note'': the normalizing factor of:<math>\frac{1}{(2\pi)^2} </math> is present whenever angular frequency (radians) is used, but not when ordinary frequency (cycles) is used.
 
==Optical systems: General overview and analogy with electrical signal processing systems==
 
An optical system consists of an input plane, and output plane, and a set of components that transforms the image ''f'' formed at the input into a different image ''g'' formed at the output. The output image is related to the input image by convolving the input image with the optical impulse response, ''h'' (known as the ''point-spread function'', for focused optical systems). The impulse response uniquely defines the input-output behavior of the optical system. By convention, the optic axis of the system is taken as the ''z''-axis. As a result, the two images and the impulse response are all functions of the transverse coordinates, ''x'' and ''y''.
 
The impulse response of an optical imaging system is the output plane field which is produced when an ideal mathematical point source of light is placed in the input plane (usually on-axis). In practice, it is not necessary to have an ideal point source in order to determine an exact impulse response. This is because any source bandwidth which lies outside the bandwidth of the system won't matter anyway (since it cannot even be captured by the optical system), so therefore it's not necessary in determining the impulse response. The source only needs to have at least as much (angular) bandwidth as the optical system.
 
Optical systems typically fall into one of two different categories. The first is the ordinary focused optical imaging system, wherein the input plane is called the object plane and the output plane is called the image plane. The field in the image plane is desired to be a high-quality reproduction of the field in the object plane. In this case, the impulse response of the optical system is desired to approximate a 2D delta function, at the same location (or a linearly scaled location) in the output plane corresponding to the location of the impulse in the input plane. The ''actual'' impulse response typically resembles an [[Airy disk|Airy function]], whose radius is on the order of the wavelength of the light used. In this case, the impulse response is typically referred to as a [[point spread function]], since the mathematical point of light in the object plane has been spread out into an Airy function in the image plane.
 
The second type is the optical image processing system, in which a significant feature in the input plane field is to be located and isolated. In this case, the impulse response of the system is desired to be a close replica (picture) of that feature which is being searched for in the input plane field, so that a convolution of the impulse response (an image of the desired feature) against the input plane field will produce a bright spot at the feature location in the output plane.  It is this latter type of optical ''image processing'' system that is the subject of this section.  Section 5.2 presents one hardware implementation of the optical image processing operations described in this section.
 
=== Input plane ===
 
The input plane is defined as the locus of all points such that ''z'' = 0. The input image ''f'' is therefore
 
:<math>f(x,y) = U(x,y,z)\big|_{z=0} </math>
 
=== Output plane ===
 
The output plane is defined as the locus of all points such that ''z'' = ''d''. The output image ''g'' is therefore
 
:<math>g(x,y) = U(x,y,z)\big|_{z=d} </math>
 
=== The 2D convolution of input function against the impulse response function ===
 
:<math> g(x,y) ~ = ~ h(x,y) * f(x,y) </math>
 
i.e.,
 
:<math> g(x,y)= \int_{-\infty}^{\infty}  \int_{-\infty}^{\infty}  h(x-x', y-y') ~ f(x',y') ~ dx' dy'  ~~~~~~(4.1)  ~</math>
 
The alert reader will note that the integral above tacitly assumes that the impulse response is NOT a function of the position (x',y') of the impulse of light in the input plane (if this were not the case, this type of convolution would not be possible). This property is known as ''shift invariance'' (Scott [1998]). No optical system is perfectly shift invariant: as the ideal, mathematical point of light is scanned away from the optic axis, aberrations will eventually degrade the impulse response (known as a [[coma (optics)|coma]] in focused imaging systems). However, high quality optical systems are often "shift invariant enough" over certain regions of the input plane that we may regard the impulse response as being a function of only the difference between input and output plane coordinates, and thereby use the equation above with impunity.
 
Also, this equation assumes unit magnification. If magnification is present, then eqn. (4.1) becomes
 
:<math> g(x,y)= \int_{-\infty}^{\infty}  \int_{-\infty}^{\infty}  h_M(x-Mx', y-My') ~ f(x',y') ~ dx' dy'  ~~~~~~(4.2)  ~</math>
 
which basically translates the impulse response function, h<sub>M</sub>(), from x' to x=Mx'. In (4.2), h<sub>M</sub>() will be a magnified version of the impulse response function h() of a similar, unmagnified system, so that h<sub>M</sub>(x,y) =h(x/M,y/M).
 
=== Derivation of the convolution equation ===
The extension to two dimensions is trivial, except for the difference that [[causality]] exists in the time domain, but not in the spatial domain. Causality means that the impulse response ''h''(''t'' - t') of an electrical system, due to an impulse applied at time t', must of necessity be zero for all times t such that t - t' < 0.
 
Obtaining the convolution representation of the system response requires representing the input signal as a weighted superposition over a train of impulse functions by using the ''sifting property'' of [[Dirac delta function]]s.
 
:<math>  f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}    \delta(t-t') f(t') dt'</math>
 
It is then presumed that the system under consideration is ''linear'', that is to say that the output of the system due to two different inputs (possibly at two different times) is the sum of the individual outputs of the system to the two inputs, when introduced individually. Thus the optical system may contain no nonlinear materials nor active devices (except possibly, extremely linear active devices). The output of the system, for a single delta function input is defined as the ''impulse response'' of the system, h(t - t').  And, by our linearity assumption (i.e., that the output of system to a pulse train input is the sum of the outputs due to each individual pulse), we can now say that the general input function ''f''(''t'') produces the output:
 
:<math>  Output(t) = \int_{-\infty}^{\infty}   h(t-t') f(t') dt'</math>
 
where ''h''(t - t') is the (impulse) response of the linear system to the delta function input δ(t - t'), applied at time t'. This is where the convolution equation above comes from. The convolution equation is useful because it is often much easier to find the response of a system to a delta function input - and then perform the convolution above to find the response to an arbitrary input - than it is to try to find the response to the arbitrary input directly. Also, the impulse response (in either time or frequency domains) usually yields insight to relevant figures of merit of the system. In the case of most lenses, the point spread function (PSF) is a pretty common figure of merit for evaluation purposes.
 
The same logic is used in connection with the [[Huygens-Fresnel principle]], or Stratton-Chu formulation, wherein the "impulse response" is referred to as the [[Green's function]] of the system. So the spatial domain operation of a linear optical system is analogous in this way to the Huygens-Fresnel principle.
 
=== System transfer function ===
If the last equation above is Fourier transformed, it becomes:
 
:<math>  Output(\omega) ~ = ~  H(\omega)~ F(\omega) </math>
 
where
 
:<math> Output(\omega) ~ </math> is the spectrum of the output signal
 
:<math> H(\omega) ~ </math> is the system transfer function
 
:<math> F(\omega) ~ </math> is the spectrum of the input signal
 
In like fashion, (4.1) may be Fourier transformed to yield:
 
:<math> G(k_x,k_y) ~ = ~ H(k_x,k_y) ~ F(k_x,k_y)</math>
 
The system transfer function, <math>H(\omega)</math>. In optical imaging this function is better known as the [[Optical transfer function|optical transfer function]] ''(Goodman)''.
 
Once again it may be noted from the discussion on the [[Abbe sine condition]], that this equation assumes unit magnification.
 
This equation takes on its real meaning when the Fourier transform, <math> ~G(k_x,k_y)</math> is associated with the coefficient of the plane wave whose transverse wavenumbers are <math>~ (k_x,k_y)</math>. Thus, the input-plane plane wave spectrum is transformed into the output-plane plane wave spectrum through the multiplicative action of the system transfer function.   It is at this stage of understanding that the previous background on the plane wave spectrum becomes invaluable to the conceptualization of Fourier optical systems.
 
==Applications of Fourier optics principles==
Fourier optics is used in the field of optical information processing, the staple of which is the classical 4F processor.  
 
The [[Fourier transform]] properties of a [[lens (optics)|lens]] provide numerous applications in [[optical signal processing]] such as [[spatial filtering]], [[optical correlation]] and [[computer generated holograms]].
 
Fourier optical theory is used in [[interferometry]], [[optical tweezers]], [[Magnetic trap (atoms)|atom traps]], and [[quantum computing]]. Concepts of Fourier optics are used to reconstruct the [[Phase (waves)|phase]] of light intensity in the spatial frequency plane (see [[adaptive-additive algorithm]]).
 
===Fourier transforming property of lenses===
 
If a transmissive object is placed one focal length in front of a [[lens (optics)|lens]], then its [[Fourier transform]] will be formed one focal length behind the lens. Consider the figure to the right (click to enlarge)
 
[[File:Lens FT.jpg|On the Fourier transforming property of lenses|right|thumb|500px]]
 
In this figure, a plane wave incident from the left is assumed. The transmittance function in the front focal plane (i.e., Plane 1) ''spatially modulates the incident plane wave'' in magnitude and phase, ''like on the left-hand side of eqn. (2.1)'' (specified to ''z''=0), and ''in so doing, produces a spectrum of plane waves'' corresponding to the FT of the transmittance function, ''like on the right-hand side of eqn. (2.1)'' (for ''z''>0). The various plane wave components propagate at different tilt angles with respect to the optic axis of the lens (i.e., the horizontal axis). The finer the features in the transparency, the broader the angular bandwidth of the plane wave spectrum. We'll consider one such plane wave component, propagating at angle θ with respect to the optic axis. It is assumed that θ is small ([[paraxial approximation]]), so that
 
: <math>\frac{k_x}{k} = \sin \theta \cong \theta</math>
 
and
 
: <math>\frac{k_z}{k} = \cos \theta \cong 1 - \frac{\theta^2}{2} </math>
 
and
 
: <math> \frac{1}{\cos \theta} \cong \frac{1}{1 - \frac{\theta^2}{2}} \cong 1 + \frac{\theta^2}{2} </math>
 
In the figure, the ''plane wave'' phase, moving horizontally from the front focal plane to the lens plane, is
 
: <math> e^{j k f \cos \theta} \,</math>
 
and the ''spherical wave'' phase from the lens to the spot in the back focal plane is:
 
: <math> e^{j k f / \cos \theta} \,</math>
 
and the sum of the two path lengths is ''f'' (1 + θ<sup>2</sup>/2 + 1 - θ<sup>2</sup>/2) = 2''f''  i.e., it is a constant value, independent of tilt angle, θ, for paraxial plane waves. Each paraxial plane wave component of the field in the front focal plane appears as a [[Point spread function]] spot in the back focal plane, with an intensity and phase equal to the intensity and phase of the original plane wave component in the front focal plane. In other words, the field in the back focal plane is the [[Fourier transform]] of the field in the front focal plane. 
 
All FT components are computed simultaneously - in parallel - at the speed of light. As an example, light travels at a speed of roughly {{convert|1|ft|m|abbr=on}}. / ns, so if a lens has a {{convert|1|ft|m|abbr=on}}. focal length, an entire 2D FT can be computed in about 2 ns (2 x 10<sup>−9</sup> seconds). If the focal length is 1 in., then the time is under 200 ps. No electronic computer can compete with these kinds of numbers or perhaps ever hope to, although new supercomputers such as the petaflop [[IBM Roadrunner]] may actually prove faster than optics, as improbable as that may seem. However, their speed is obtained by combining numerous computers which, individually, are still slower than optics. The disadvantage of the optical FT is that, as the derivation shows, the FT relationship only holds for paraxial plane waves, so this FT "computer" is inherently bandlimited. On the other hand, since the wavelength of visible light is so minute in relation to even the smallest visible feature dimensions in the image i.e.,
 
: <math> k^2 \gg  k_x ^2 + k_y ^2 </math>
 
(for all ''k<sub>x</sub>'', ''k<sub>y</sub>'' within the spatial bandwidth of the image, so that ''k<sub>z</sub>'' is nearly equal to ''k''), the paraxial approximation is not terribly limiting in practice. And, of course, this is an analog - not a digital - computer, so precision is limited. Also, phase can be challenging to extract; often it is inferred interferometrically.
 
Optical processing is especially useful in real time applications where rapid processing of massive amounts of 2D data is required, particularly in relation to pattern recognition.
 
====Object truncation and Gibbs phenomenon====
    
    
The spatially modulated electric field, shown on the left-hand side of eqn. (2.1), typically only occupies a finite (usually rectangular) aperture in the x,y plane. The rectangular aperture function acts like a 2D square-top filter, where the field is assumed to be zero outside this 2D rectangle. The spatial domain integrals for calculating the FT coefficients on the right-hand side of eqn. (2.1) are truncated at the boundary of this aperture. This step truncation can introduce inaccuracies in both theoretical calculations and measured values of the plane wave coefficients on the RHS of eqn. (2.1).  
  </ul>
 
Whenever a function is discontinuously truncated in one FT domain, broadening and rippling are introduced in the other FT domain. A perfect example from optics is in connection with the [[Point spread function]], which for on-axis plane wave illumination of a quadratic lens (with circular aperture), is an Airy function,  ''J''<sub>1</sub>(''x'')/''x''. Literally, the point source has been "spread out" (with ripples added), to form the Airy point spread function (as the result of truncation of the plane wave spectrum by the finite aperture of the lens). This source of error is known as [[Gibbs phenomenon]] and it may be mitigated by simply ensuring that all significant content lies near the center of the transparency, or through the use of [[window function]]s which smoothly taper the field to zero at the frame boundaries. By the convolution theorem, the FT of an arbitrary transparency function - multiplied (or truncated) by an aperture function - is equal to the FT of the non-truncated transparency function convolved against the FT of the aperture function, which in this case becomes a type of "Greens function" or "impulse response function" in the spectral domain. Therefore, the image of a circular lens is equal to the object plane function convolved against the Airy function (the FT of a circular aperture function is ''J''<sub>1</sub>(''x'')/''x'' and the FT of a rectangular aperture function is a product of sinc functions, sin ''x''/''x'').
 
==== Fourier analysis and functional decomposition ====
Even though the input transparency only occupies a finite portion of the ''x''-''y'' plane (Plane 1), the uniform plane waves comprising the plane wave spectrum occupy the '''entire''' ''x''-''y'' plane, which is why (for this purpose) only the longitudinal plane wave phase (in the ''z''-direction, from Plane 1 to Plane 2) must be considered, and not the phase transverse to the ''z''-direction. It is of course, very tempting to think that if a plane wave emanating from the finite aperture of the transparency is tilted too far from horizontal, it will somehow "miss" the lens altogether but again, since the uniform plane wave extends infinitely far in all directions in the transverse (''x''-''y'') plane, the planar wave components cannot miss the lens.
 
This issue brings up perhaps the predominant difficulty with Fourier analysis, namely that the input-plane function, defined over a finite support (i.e., over its own finite aperture), is being approximated with other functions (sinusiods) which have infinite support (''i''.''e''., they are defined over the entire infinite ''x''-''y'' plane). This is unbelievably inefficient computationally, and is the principal reason why [[wavelet]]s were conceived, that is to represent a function (defiined on a finite interval or area) in terms of oscillatory functions which are also defined over finite intervals or areas. Thus, instead of getting the frequency content of the entire image all at once (along with the frequency content of the entire rest of the ''x''-''y'' plane, over which the image has zero value), the result is instead the frequency content of different parts of the image, which is usually much simpler. Unfortunately, wavelets in the ''x''-''y'' plane don't correspond to any known type of propagating wave function, in the same way that Fourier's sinusoids (in the ''x''-''y'' plane) correspond to plane wave functions in three dimensions. However, the FTs of most wavelets are well known and could possibly be shown to be equivalent to some useful type of propagating field.
 
On the other hand, [[Sinc function]]s and Airy functions - which are not only the point spread functions of rectangular and circular apertures, respectively, but are also cardinal functions commonly used for functional decomposition in [[Whittaker-Shannon interpolation formula|interpolation/sampling theory]] [Scott 1990] - '''do''' correspond to converging or diverging spherical waves, and therefore could potentially be implemented as a whole new functional decomposition of the object plane function, thereby leading to another point of view similar in nature to Fourier optics. This would basically be the same as conventional ray optics, but with diffraction effects included. In this case, each point spread function would be a type of "smooth pixel," in much the same way that a soliton on a fiber is a "smooth pulse." 
 
Perhaps a lens figure-of-merit in this "point spread function" viewpoint would be to ask how well a lens transforms an Airy function in the object plane into an Airy function in the image plane, as a function of radial distance from the optic axis, or as a function of the size of the object plane Airy function. This is somewhat like the [[Point spread function]], except now we're really looking at it as a kind of input-to-output plane transfer function (like MTF), and not so much in absolute terms, relative to a perfect point. Similarly, Gaussian wavelets, which would correspond to the waist of a propagating Gaussian beam, could also potentially be used in still another functional decomposition of the object plane field.
 
==== Far-field range and the 2D<sup>2</sup> / λ criterion ====
 
In the figure above, illustrating the Fourier transforming property of lenses, the lens is in the near field of the object plane transparency, therefore the object plane field at the lens may be regarded as a superposition of plane waves, each one of which propagates at some angle with respect to the z-axis. In this regard, the far-field criterion is loosely defined as: Range = 2 ''D''<sup>2</sup> / λ where ''D'' is the maximum linear extent of the optical sources and λ is the wavelength (Scott [1998]).  The ''D'' of the transparency is on the order of cm (10<sup>−2</sup> m) and the wavelength of light is on the order of 10<sup>−6</sup> m, therefore ''D''/λ  for the whole transparency is on the order of 10<sup>4</sup>. This times ''D'' is on the order of 10<sup>2</sup> m, or hundreds of meters. On the other hand the far field distance from a PSF spot is on the order of λ. This is because D for the spot is on the order of λ, so that ''D''/λ is on the order of unity; this times ''D'' (i.e., λ) is on the order of λ (10<sup>−6</sup> m). 
 
Since the lens is in the far field of any PSF spot, the field incident on the lens from the spot may be regarded as being a spherical wave, as in eqn. (2.2), not as a plane wave spectrum, as in eqn. (2.1). On the other hand, the lens is in the near field of the entire input plane transparency, therefore eqn. (2.1) - the full plane wave spectrum - accurately represents the field incident on the lens from that larger, extended source.
 
==== Lens as a low-pass filter ====
 
A lens is basically a low-pass plane wave filter (see [[Low-pass filter]]). Consider a "small" light source located on-axis in the object plane of the lens. It is assumed that the source is small enough that, by the far-field criterion, the lens is in the far field of the "small" source. Then, the field radiated by the small source is a spherical wave which is modulated by the FT of the source distribution, as in eqn. (2.2), Then, the lens passes - from the object plane over onto the image plane - only that portion of the radiated spherical wave which lies inside the edge angle of the lens. In this far-field case, truncation of the radiated spherical wave is equivalent to truncation of the plane wave spectrum of the small source. So, the plane wave components in this far-field spherical wave, which lie beyond the edge angle of the lens, are not captured by the lens and are not transferred over to the image plane. Note: this logic is valid only for small sources, such that the lens is in the far field region of the source, according to the 2 ''D''<sup>2</sup> / λ criterion mentioned previously. If an object plane transparency is imagined as a summation over small sources (as in the [[Whittaker-Shannon interpolation formula]], Scott [1990]), each of which has its spectrum truncated in this fashion, then every point of the entire object plane transparency suffers the same effects of this low pass filtering.
 
Loss of the high (spatial) frequency content causes blurring and loss of sharpness (see discussion related to [[Point spread function]]). Bandwidth truncation causes a (fictitious, mathematical, ideal) point source in the object plane to be blurred (or, spread out) in the image plane, giving rise to the term, "point spread function."  Whenever bandwidth is expanded or contracted, image size is typically contracted or expanded accordingly, in such a way that the space-bandwidth product remains constant, by Heisenberg's principle (Scott [1998] and [[Abbe sine condition]]).
 
==== Coherence and Fourier transforming ====
 
While working in the frequency domain, with an assumed e<sup>jωt</sup> (engineering) time dependence, coherent (laser) light is implicitly assumed, which has a delta function dependence in the frequency domain. Light at different (delta function) frequencies will "spray" the plane wave spectrum out at different angles, and as a result these plane wave components will be focused at different places in the output plane. The Fourier transforming property of lenses works best with coherent light, unless there is some special reason to combine light of different frequencies, to achieve some special purpose.
 
===Hardware Implementation of the system transfer function - the 4F correlator {{anchor|4F Correlator}}===
{{Main|Optical correlator}}
The theory on optical transfer functions presented in section 4 is somewhat abstract.  However, there is one very well known device which implements the system transfer function H in hardware using only 2 identical lenses and a transparency plate - the 4F correlator.  Although one important application of this device would certainly be to implement the mathematical operations of [[cross-correlation]] and [[convolution]], this device - 4 focal lengths long - actually serves a wide variety of image processing operations that go well beyond what its name implies.  A diagram of a typical 4F correlator is shown in the figure below (click to enlarge).  This device may be readily understood by combining the plane wave spectrum representation of the electric field (''section 2'') with the Fourier transforming property of quadratic lenses (''section 5.1'') to yield the optical image processing operations described in section 4.
 
[[File:4F Correlator.svg|4F Correlator|right|thumb|430px]]
 
The 4F correlator is based on the [[convolution theorem]] from [[Fourier transform]] theory, which states that [[convolution]] in the spatial (''x'',''y'') domain is equivalent to direct multiplication in the spatial frequency (''k''<sub>x</sub>, ''k''<sub>y</sub>) domain (aka: ''spectral domain''). Once again, a plane wave is assumed incident from the left and a transparency containing one 2D function, ''f''(''x'',''y''), is placed in the input plane of the correlator, located one focal length in front of the first lens. The transparency spatially modulates the incident plane wave in magnitude and phase, like on the left-hand side of eqn. (2.1), and in so doing, produces a spectrum of plane waves corresponding to the FT of the transmittance function, like on the right-hand side of eqn. (2.1). That spectrum is then formed as an "image" one focal length behind the first lens, as shown. A transmission mask containing the FT of the second function, ''g''(''x'',''y''), is placed in this same plane, one focal length behind the first lens, causing the transmission through the mask to be equal to the product, ''F''(''k''<sub>x</sub>,''k''<sub>y</sub>) x ''G''(''k''<sub>x</sub>,''k''<sub>y</sub>). This product now lies in the "input plane" of the second lens (one focal length in front), so that the FT of this product (i.e., the [[convolution]] of ''f''(''x'',''y'') and ''g''(''x'',''y'')), is formed in the back focal plane of the second lens.
 
If an ideal, mathematical point source of light is placed on-axis in the input plane of the first lens, then there will be a uniform, collimated field produced in the output plane of the first lens. When this uniform, collimated field is multiplied by the FT plane mask, and then Fourier transformed by the second lens, the output plane field (which in this case is the ''impulse response'' of the correlator) is just our correlating function, ''g''(''x'',''y''). In practical applications, ''g''(''x'',''y'') will be some type of feature which must be identified and located within the input plane field (see Scott [1998]). In military applications, this feature may be a tank, ship or airplane which must be quickly identified within some more complex scene.
 
The 4F correlator is an excellent device for illustrating the "systems" aspects of optical instruments, alluded to in ''section 4'' above. The FT plane mask function, ''G''(''k''<sub>x</sub>,''k''<sub>y</sub>) is the system transfer function of the correlator, which we'd in general denote as ''H''(''k''<sub>x</sub>,''k''<sub>y</sub>), and it is the FT of the impulse response function of the correlator, ''h''(''x'',''y'') which is just our correlating function ''g''(''x'',''y''). And, as mentioned above, the impulse response of the correlator is just a picture of the feature we're trying to find in the input image. In the 4F correlator, the system transfer function ''H''(''k''<sub>x</sub>,''k''<sub>y</sub>) is directly multiplied against the spectrum ''F''(''k''<sub>x</sub>,''k''<sub>y</sub>) of the input function, to produce the spectrum of the output function. This is how electrical signal processing systems operate on 1D temporal signals.
 
==Afterword: Plane Wave Spectrum Within the Broader Context of Functional Decomposition==
 
Electrical fields can be represented mathematically in many different ways. In the [[Huygens-Fresnel principle|Huygens-Fresnel]] or [[Julius Adams Stratton|Stratton]]-Chu viewpoints, the electric field is represented as a superposition of point sources, each one of which gives rise to a [[Green's function]] field. The total field is then the weighted sum of all of the individual Greens function fields. That seems to be the most natural way of viewing the electric field for most people - no doubt because most of us have, at one time or another, drawn out the circles with protractor and paper, much the same way Thomas Young did in his classic paper on the [[Double-slit experiment]]. However, it is by no means the only way to represent the electric field, which may also be represented as a spectrum of sinusoidally varying plane waves. In addition, [[Frits Zernike]] proposed still another [[functional decomposition]] based on his [[Zernike polynomials]], defined on the unit disc. The third-order (and lower) Zernike polynomials correspond to the normal lens aberrations.  And still another functional decomposition could be made in terms of [[Sinc function]]s and Airy functions, as in the [[Whittaker-Shannon interpolation formula]] and the [[Nyquist-Shannon sampling theorem]]. All of these functional decompositions have utility in different circumstances. The optical scientist having access to these various representational forms has available a richer insight to the nature of these marvelous fields and their properties. These different ways of looking at the field are not conflicting or contradictory, rather, by exploring their connections, one can often gain deeper insight into the nature of wave fields.
 
=== Functional Decomposition and Eigenfunctions ===
 
The twin subjects of [[eigenfunction]] expansions and [[functional decomposition]], both briefly alluded to in this Wikipedia article, are not completely independent. The eigenfunction expansions to certain linear operators defined over a given domain, will often yield a countably infinite set of [[orthogonal functions]] which will span that domain. Depending on the operator and the dimensionality (and shape, and boundary conditions) of its domain, many different types of functional decompositions are, in principle, possible.
 
==See also==
*[[Abbe sine condition]]
*[[Huygens-Fresnel Principle]]
*[[Point spread function]]
*[[Phase contrast microscopy]]
*[[Fraunhofer diffraction]]
*[[Fresnel diffraction]]
*[[Adaptive-additive algorithm]]
*[[Hilbert space]]
*[[Optical correlator]]
 
==References==
*[[Pierre-Michel Duffieux]] (1983).  ''The Fourier Transform and its Applications to Optics'' (Wiley, New York).
*{{cite book |first=Joseph|last=Goodman|year=2005|title=Introduction to Fourier Optics|edition=3rd ed,|publisher=Roberts & Co Publishers|isbn=0-9747077-2-4}} or online  [http://books.google.com/books?id=ow5xs_Rtt9AC&dq=Introduction+to+Fourier+Optics&pg=PP1&ots=GUo2xN9FRK&sig=g9oSrJ8avm3Ea-jRmN60uKkftPo&prev=http://www.google.com/search%3Fsourceid%3Dnavclient-ff%26ie%3DUTF-8%26rls%3DGGGL,GGGL:2006-43,GGGL:en%26q%3DIntroduction%2Bto%2BFourier%2BOptics&sa=X&oi=print&ct=title#PPA33,M1 here]
*{{cite book | first=Eugene|last=Hecht|year=1987|title=Optics|edition=2nd ed.|publisher=Addison Wesley|isbn=0-201-11609-X}}
*{{cite book | first=Raymond|last=Wilson|year=1995|title=Fourier Series and Optical Transform Techniques in Contemporary Optics|publisher=Wiley|isbn= 0-471-30357-7}}
*{{cite book | first=Craig|last=Scott|year=1998|title=Introduction to Optics and Optical Imaging|publisher=Wiley|isbn= 0-7803-3440-X}}
*{{cite book | first=Craig|last=Scott|year=1990|title=Modern Methods of Reflector Antenna Analysis and Design|publisher=Artech House|isbn = 0-89006-419-9}}
*{{cite book | first=Craig|last=Scott|year=1989|title=The Spectral Domain Method in Electromagnetics|publisher=Artech House|isbn = 0-89006-349-4}}
 
== External links ==
* http://www.hindawi.com/journals/aot/2010/372652.html Optical Computing: A 60 Year Adventure
* http://server.physics.miami.edu/~curtright/Diffraction/StrattonChu1939.pdf Diffraction Theory of Electromagnetic Waves, Phys Rev
 
 
<!--*http://www.fourieroptics.org.uk/ A good website for future reference, but there needs to be more in the article first.-->
-
 
[[Category:Optics]]
[[Category:Physical optics]]
[[Category:Fourier analysis]]

Revision as of 21:32, 28 February 2014

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