Formal derivative: Difference between revisions

From formulasearchengine
Jump to navigation Jump to search
← Older edit
en>Hippo.69
m typo
 
Line 1: Line 1:
{{General relativity|cTopic=Equations}}
== Huis en gubernatorial races in 2014 Michael Kors Outlet ==


[[File:ArnowittDeserMisner2009 01.jpg|thumb|240px|[[Richard Arnowitt]], [[Stanley Deser]], and [[Charles Misner]] at the ''ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation'' conference,<ref>[http://adm-50.physics.tamu.edu ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation]</ref> in honor of the 50th anniversary of their paper, November 2009.]]
De goedkeurende versie van dat advies is: "Als er een tornado op je afkomt nu, krijgen in uw auto en snel rijden." Dat is ook slecht advies. De partij is ook van plan om speciale organisatoren sturen naar 10 andere staten met concurrerende Senaat, Huis en gubernatorial races [http://www.wyffels.be/site/oud/includes/class.asp Michael Kors Outlet] in 2014, zoals Florida, Michigan, Ohio, Pennsylvania en Wisconsin, RNC ambtenaren gezegd.<br><br>Bedenk ook dat niet iedere belegger geschikt voor u zal zijn noch is alles in het werk die zij ontvangen presentaties over recht voor hen .. Hun sport, in tegenstelling tot sommige anderen, eist niet alleen dat ze er netjes en aantrekkelijk, maar ook verplicht hen om hun haar te dragen in <br><br>Wist u dat High Noon is [http://www.wyffels.be/site/oud/includes/class.asp Michael Kors Handtassen] mijn favoriete film? Maar ik dwaal af .. Als je hebt gelezen til nu, zou u het idee dat er een snelkoppeling te worden gehouden krijgen, dat drummen is gemakkelijk om erachter te komen met een minimum aan gedoe en gedoe, en daar ga je. <br><br>Ze zeggen dat de tijd heelt alle wonden, maar een onverklaarbare overwinning die uit het niets komt als een bliksemschicht heeft een goede baan, too.When het spel voorbij was, en fans waren het indienen van het stadion, dit was na een paar minuten staan ​​in een staat van shock, een rood en zwart geklede jonge vrouw hoorde een Auburn fan ademloos uitroepen: "Ik kan verdomme niet geloven." <br><br>Of omslachtig visumregels en lange rijen hoeven te worden of ambtenaren om te kopen. Ik dook recht inch Wat de toekomst van onze virtuele connectiviteit, Dade Robertson weet een ding: Het is ingewikkeld .. Het Amerikaanse ministerie van Defensie biedt educatieve subsidie ​​geld naar ingenieursstudenten door de Natuurwetenschappen, Wiskunde en onderzoek voor Transformatie (SMART) <br><br>Bevat ook een lijst met [http://www.wyffels.be/site/oud/includes/class.asp Michael Kors Belgie] bekende gasten die zijn verschenen op de show sinds 1972 tot op de dag .. Een munt winkel kan helpen bepalen of het echt is of niet, zijn er vele overlappingen van deze rekeningen die er uitzien als het echte ding geweest. Het levert momenteel holografische prints die naar Irak en Afghanistan in inspanningen, zoals het leger Tactical Battlefield Visualization Program.But waarom zouden ze nodig hebben hologrammen en, voordat we verder gaan, wat zijn hologrammen? <br><br>Als de technologie en de helderheid van LED-verlichting stijging, is het mogelijk dat de LED-verlichting halogeen koplampen zal vervangen in auto's. En als we konden hebben genomen beter voor de bal vroeg op, we zouden in de positie om te [http://www.wyffels.be/site/oud/includes/class.asp Michael Kors Tassen] winnen onderaan de rek geweest. ". Het is het leven van een dwaas, want zij zullen vinden als ze aan het einde van het, zo niet eerder<ul>
 
 
The '''ADM formalism'''{{clarify|date=January 2014}}<!-- The first lead sentence should define what it is--> developed in 1959 by [[Richard Arnowitt]], [[Stanley Deser]] and [[Charles W. Misner]] is a [[Hamiltonian mechanics|Hamiltonian]] formulation of [[general relativity]].  This formulation plays an important role both in [[quantum gravity]] and [[numerical relativity]].<ref name="ADM">{{cite journal|doi=10.1103/PhysRev.116.1322|title=Dynamical Structure and Definition of Energy in General Relativity|year=1959|last1=Arnowitt|first1=R.|last2=Deser|first2=S.|last3=Misner|first3=C.|journal=Physical Review|volume=116|issue=5|pages=1322–1330|bibcode = 1959PhRv..116.1322A }}</ref>
  <li>[http://center.snxiaowai.com/forum.php?mod=viewthread&tid=629291 http://center.snxiaowai.com/forum.php?mod=viewthread&tid=629291]</li>
 
 
A comprehensive review of this formalism was published by the same authors in ''Gravitation: An introduction to current research'' [[Louis Witten]] (editor), Wiley NY (1962); chapter 7, pp 227–265. Recently, this has been reprinted in the journal ''[[General Relativity and Gravitation]]''.<ref>
  <li>[http://www.dailyqr.com/blog_entry.php?user=1172482&blogentry_id=18074323 http://www.dailyqr.com/blog_entry.php?user=1172482&blogentry_id=18074323]</li>
{{cite journal
 
|doi=10.1007/s10714-008-0661-1
  <li>[http://bbs.itengyun.com/thread-310455-1-1.html http://bbs.itengyun.com/thread-310455-1-1.html]</li>
|arxiv=gr-qc/0405109
 
|title=Republication of: The dynamics of general relativity
  <li>[http://www.imnic.net/forum.php?mod=viewthread&tid=375382&fromuid=3699 http://www.imnic.net/forum.php?mod=viewthread&tid=375382&fromuid=3699]</li>
|year=2008
 
|last1=Arnowitt
  <li>[http://www.136361.com/thread-370978-1-1.html http://www.136361.com/thread-370978-1-1.html]</li>
|first1=R.
 
|last2=Deser
</ul>
|first2=S.
|last3=Misner
|first3=C.
|journal=General Relativity and Gravitation
|volume=40
|issue=9
|pages=1997–2027
|bibcode = 2008GReGr..40.1997A }}</ref> The original papers can be found in ''[[Physical Review]]'' archives.<ref name="ADM"/><ref>
{{cite journal
|doi=10.1103/PhysRev.113.745
|title=Quantum Theory of Gravitation: General Formulation and Linearized Theory
|year=1959
|last1=Arnowitt
|first1=R.
|last2=Deser
|first2=S.
|journal=Physical Review
|volume=113
|issue=2
|pages=745–750
|bibcode = 1959PhRv..113..745A }}</ref><ref>
{{cite journal
|doi=10.1103/PhysRev.117.1595
|title=Canonical Variables for General Relativity
|year=1960
|last1=Arnowitt
|first1=R.
|last2=Deser
|first2=S.
|last3=Misner
|first3=C.
|journal=Physical Review
|volume=117
|issue=6
|pages=1595–1602
|bibcode = 1960PhRv..117.1595A }}</ref><ref>
{{cite journal
|doi=10.1103/PhysRevLett.4.375
|title=Finite Self-Energy of Classical Point Particles
|year=1960
|last1=Arnowitt
|first1=R.
|last2=Deser
|first2=S.
|last3=Misner
|first3=C.
|journal=Physical Review Letters
|volume=4
|issue=7
|pages=375–377
|bibcode = 1960PhRvL...4..375A }}</ref><ref>
{{cite journal
|doi=10.1103/PhysRev.118.1100
|title=Energy and the Criteria for Radiation in General Relativity
|year=1960
|last1=Arnowitt
|first1=R.
|last2=Deser
|first2=S.
|last3=Misner
|first3=C.
|journal=Physical Review
|volume=118
|issue=4
|pages=1100–1104
|bibcode = 1960PhRv..118.1100A }}</ref><ref>
{{cite journal
|doi=10.1103/PhysRev.120.313
|title=Gravitational-Electromagnetic Coupling and the Classical Self-Energy Problem
|year=1960
|last1=Arnowitt
|first1=R.
|last2=Deser
|first2=S.
|last3=Misner
|first3=C.
|journal=Physical Review
|volume=120
|pages=313–320
|bibcode = 1960PhRv..120..313A }}</ref><ref>
{{cite journal
|doi=10.1103/PhysRev.120.321
|title=Interior Schwarzschild Solutions and Interpretation of Source Terms
|year=1960
|last1=Arnowitt
|first1=R.
|last2=Deser
|first2=S.
|last3=Misner
|first3=C.
|journal=Physical Review
|volume=120
|pages=321–324
|bibcode = 1960PhRv..120..321A }}</ref><ref>
{{cite journal
|doi=10.1103/PhysRev.121.1556
|title=Wave Zone in General Relativity
|year=1961
|last1=Arnowitt
|first1=R.
|last2=Deser
|first2=S.
|last3=Misner
|first3=C.
|journal=Physical Review
|volume=121
|issue=5
|pages=1556–1566
|bibcode = 1961PhRv..121.1556A }}</ref><ref>
{{cite journal
|doi=10.1103/PhysRev.122.997
|title=Coordinate Invariance and Energy Expressions in General Relativity
|year=1961
|last1=Arnowitt
|first1=R.
|last2=Deser
|first2=S.
|last3=Misner
|first3=C.
|journal=Physical Review
|volume=122
|issue=3
|pages=997–1006
|bibcode = 1961PhRv..122..997A }}</ref>
 
==Overview==
The formalism supposes that [[spacetime]] is [[foliation|foliated]] into a family of spacelike surfaces <math>\Sigma_t</math>, labeled by their time coordinate <math>t</math>, and with coordinates on each slice given by <math>x^i</math>. The dynamic variables of this theory are taken to be the [[metric tensor]] of three dimensional spatial slices <math>\gamma_{ij}(t,x^k)</math> and their [[canonical coordinates|conjugate momenta]] <math>\pi^{ij}(t,x^k)</math>.  Using these variables it is possible to define a [[Hamiltonian mechanics|Hamiltonian]], and thereby write the equations of motion for general relativity in the form of [[Hamilton's equation]]s.
 
In addition to the twelve variables <math>\gamma_{ij}</math> and <math>\pi^{ij}</math>, there are four [[Lagrange multipliers]]: the lapse function, <math>N</math>, and components of shift vector field, <math>N_i</math>. These describe how each of the "leaves" <math>\Sigma_t</math> of the foliation of spacetime are welded together. The equations of motion for these variables can be freely specified; this freedom corresponds to the freedom to specify how to lay out the [[coordinate systems|coordinate system]] in space and time.
 
==Derivation==
===Notation===
Most references adopt notation in which four dimensional tensors are written in abstract index notation, and that Greek indices are spacetime indices taking values (0, 1, 2, 3) and Latin indices are spatial indices taking values (1, 2, 3). In the derivation here, a superscript (4) is prepended to quantities that typically have both a three-dimensional and a four-dimensional version, such as the metric tensor for three-dimensional slices <math>g_{ij}</math> and the metric tensor for the full four-dimensional spacetime <math>{^{(4)}}g_{\mu \nu}</math>.
 
The text here uses [[Einstein notation]] in which summation over repeated indices is assumed.
 
Two types of derivatives are used: [[Partial derivative]]s are denoted either by the operator <math>\partial_{i}</math> or by subscripts preceded by a comma.  [[Covariant derivative]]s are denoted either by the operator <math>\nabla_{i}</math> or by subscripts preceded by a semicolon.
 
The [[determinant]] of the metric tensor is represented by <math>g</math> (with no indices). Other tensor symbols written without indices represent the trace of the corresponding tensor such as <math>\pi = g^{ij}\pi_{ij}</math>.
 
===Lagrangian formulation===
The starting point for the ADM formulation is the [[Lagrangian]]
:<math>\mathcal{L} = {^{(4)}R} \sqrt{^{(4)}g}</math>
which is a product of the square root of the [[determinant]] of the four-dimensional [[metric tensor]] for the full spacetime and its [[scalar curvature|Ricci scalar]]. This is the Lagrangian from the [[Einstein–Hilbert action]].
 
The desired outcome of the derivation is to define an embedding of three-dimensional spatial slices in the four-dimensional spacetime. The metric of the three-dimensional slices
:<math>g_{ij} = {^{(4)}}g_{ij}\,\!</math>
will be the [[generalized coordinates]] for a Hamiltonian formulation. The [[conjugate momenta]] can then be computed
:<math>\pi^{ij} = \sqrt{^{(4)}g} \left( {^{(4)}}\Gamma^{0}_{pq} - g_{pq} {^{(4)}}\Gamma^{0}_{rs}g^{rs} \right) g^{ip}g^{jq}</math>
using standard techniques and definitions. The symbols <math>{^{(4)}}\Gamma^0_{ij}</math> are [[Christoffel symbols]] associated with the metric of the full four-dimensional spacetime. The lapse
:<math>N = \left( -{^{(4)}g_{00}} \right) ^{-1/2}</math>
and the shift vector
:<math>N_{i} = {^{(4)}g_{0i}}\,\!</math>
are the remaining elements of the four-metric tensor.
 
Having identified the quantities for the formulation, the next step is to rewrite the Lagrangian in terms of these variables. The new expression for the Lagrangian
:<math>\mathcal{L} = -g_{ij} \partial_{t} \pi^{ij} - NH - N_{i}P^{i} - 2 \partial_{i} ( \pi^{ij} N_{j} - \frac{1}{2} \pi N^{i} + \nabla^{i} N \sqrt{g} )</math>
is conveniently written in terms of the two new quantities
:<math>H = -\sqrt{g} \left[ R + g^{-1}\left(\frac{1}{2} \pi^{2} - \pi^{ij}\pi_{ij} \right) \right]</math>
and
:<math>P^{i} = -2 \pi^{ij}{}_{;j}</math>
which are known as the [[Hamiltonian constraint]] and the momentum constraint respectively. Note also that the lapse and the shift appear in the Hamiltonian as [[Lagrange multipliers]].
 
===Equations of motion===
Although the variables in the Lagrangian represent the [[metric tensor]] on three-dimensional spaces embedded in the four-dimensional [[spacetime]], it is possible and desirable to use the usual procedures from [[Lagrangian mechanics]] to derive "equations of motion" that describe the time evolution of both the metric <math>g_{ij}</math> and its conjugate momentum <math>\pi^{ij}</math>. The result
:<math>\partial_{t} g_{ij} = 2Ng^{-1/2} ( \pi_{ij} - \frac{1}{2} \pi g_{ij} ) + N_{i;j} + N_{j;i}</math>
and
:<math>\partial_{t} \pi^{ij} = -N\sqrt{g} ( R^{ij} - \frac{1}{2} R g^{ij} ) + \frac{1}{2} Ng^{-1/2}g^{ij} ( \pi^{mn}\pi_{mn} - \frac{1}{2} \pi^{2} ) - 2Ng^{-1/2} ( \pi^{in}\pi_{n}{}^{j} - \frac{1}{2}\pi\pi^{ij} )</math>
:<math>-\sqrt{g}(\nabla^{i}\nabla^{j}N -g^{ij}\nabla^{n}\nabla_{n}N) + \nabla_{n}( \pi^{ij}N^{n} ) - N^{i}{}_{;n}\pi^{nj} - N^{j}{}_{;n}\pi^{ni}</math>
is a [[non-linear]] set of [[partial differential equations]].
 
Taking variations with respect to the lapse and shift provide constraint equations
:<math>H = 0</math>
and
:<math>P^{i} = 0</math>
and the lapse and shift themselves can be freely specified, reflecting the fact that coordinate systems can be freely specified in both space and time.
 
==Application to quantum gravity==
Using the ADM formulation, it is possible to attempt to construct a [[Quantum gravity|quantum theory of gravity]], in the same way that one constructs the [[Schrödinger equation]] corresponding to a given Hamiltonian in [[quantum mechanics]]. That is, replace the canonical momenta <math>\pi^{ij}(t,x^k)</math>  and the spatial metric functions by linear functional differential operators
:<math> \hat{g}_{ij}(t,x^k) \to g_{ij}(t,x^k)</math>
:<math> \hat{\pi}^{ij}(t,x^k) \to -i \frac{\delta}{\delta g_{ij}(t,x^k)} </math>
More precisely, the replacing of classical variables by operators is restricted by [[Canonical commutation relation|commutation relations]]. The hats represents operators in quantum theory.
This leads to the [[Wheeler-deWitt equation]].
 
==Application to numerical solutions of the Einstein equations==
There are relatively few exact solutions to the [[Einstein field equations]].{{clarify|date=June 2012}}  In order to find other solutions, there is an active field of study known as [[numerical relativity]] in which [[supercomputers]] are used to find approximate solutions to the equations.  In order to construct such solutions numerically, most researchers start with a formulation of the Einstein equations closely related to the ADM formulation.  The most common approaches start with an [[initial value problem]] based on the ADM formalism.
 
In Hamiltonian formulations, the basic point is replacement of set of second order equations by another first order set of equations. We may get this second set of equations by Hamiltonian formulation in an easy way. Of course this is very useful for numerical physics, because the reduction of order of differential equations must be done, if we want to prepare equations for a computer.
 
==ADM energy==
ADM energy is a special way to define the [[energy]] in [[general relativity]] which is only applicable to some special geometries of [[spacetime]] that asymptotically approach a well-defined [[metric tensor]] at infinity &mdash; for example a spacetime that asymptotically approaches [[Minkowski space]]. The ADM energy in these cases is defined as a function of the deviation of the metric tensor from its prescribed asymptotic form. In other words, the ADM energy is computed as the strength of the gravitational field at infinity.
 
If the required asymptotic form is time-independent (such as the Minkowski space itself), then it respects the time-translational [[symmetry]]. [[Noether's theorem]] then implies that the ADM energy is conserved. According to general relativity, the conservation law for the total energy does not hold in more general, time-dependent backgrounds - for example, it is completely violated in [[physical cosmology]]. [[Cosmic inflation]] in particular is able to produce energy (and mass) from "nothing" because the [[vacuum energy]] density is roughly constant, but the volume of the Universe [[exponential growth|grows exponentially]].
 
==See also==
* [[Canonical coordinates]]
* [[Canonical gravity]]
* [[Hamiltonian mechanics]]
* [[Hamilton–Jacobi–Einstein equation]]
* [[Wheeler-deWitt equation]]
* [[Peres metric]]
 
==References==
{{Reflist}}
 
* {{cite book | author=Kiefer, Claus| title = Quantum Gravity | location= Oxford, New York | publisher= Oxford University Press | year=2007 |isbn = 978-0-19-921252-1}}
 
{{Relativity}}
 
{{DEFAULTSORT:Adm Formalism}}
[[Category:Mathematical methods in general relativity]]
[[Category:Formalism (deductive)]]

Latest revision as of 06:00, 29 August 2014

Huis en gubernatorial races in 2014 Michael Kors Outlet

De goedkeurende versie van dat advies is: "Als er een tornado op je afkomt nu, krijgen in uw auto en snel rijden." Dat is ook slecht advies. De partij is ook van plan om speciale organisatoren sturen naar 10 andere staten met concurrerende Senaat, Huis en gubernatorial races Michael Kors Outlet in 2014, zoals Florida, Michigan, Ohio, Pennsylvania en Wisconsin, RNC ambtenaren gezegd.

Bedenk ook dat niet iedere belegger geschikt voor u zal zijn noch is alles in het werk die zij ontvangen presentaties over recht voor hen .. Hun sport, in tegenstelling tot sommige anderen, eist niet alleen dat ze er netjes en aantrekkelijk, maar ook verplicht hen om hun haar te dragen in

Wist u dat High Noon is Michael Kors Handtassen mijn favoriete film? Maar ik dwaal af .. Als je hebt gelezen til nu, zou u het idee dat er een snelkoppeling te worden gehouden krijgen, dat drummen is gemakkelijk om erachter te komen met een minimum aan gedoe en gedoe, en daar ga je.

Ze zeggen dat de tijd heelt alle wonden, maar een onverklaarbare overwinning die uit het niets komt als een bliksemschicht heeft een goede baan, too.When het spel voorbij was, en fans waren het indienen van het stadion, dit was na een paar minuten staan ​​in een staat van shock, een rood en zwart geklede jonge vrouw hoorde een Auburn fan ademloos uitroepen: "Ik kan verdomme niet geloven."

Of omslachtig visumregels en lange rijen hoeven te worden of ambtenaren om te kopen. Ik dook recht inch Wat de toekomst van onze virtuele connectiviteit, Dade Robertson weet een ding: Het is ingewikkeld .. Het Amerikaanse ministerie van Defensie biedt educatieve subsidie ​​geld naar ingenieursstudenten door de Natuurwetenschappen, Wiskunde en onderzoek voor Transformatie (SMART)

Bevat ook een lijst met Michael Kors Belgie bekende gasten die zijn verschenen op de show sinds 1972 tot op de dag .. Een munt winkel kan helpen bepalen of het echt is of niet, zijn er vele overlappingen van deze rekeningen die er uitzien als het echte ding geweest. Het levert momenteel holografische prints die naar Irak en Afghanistan in inspanningen, zoals het leger Tactical Battlefield Visualization Program.But waarom zouden ze nodig hebben hologrammen en, voordat we verder gaan, wat zijn hologrammen?

Als de technologie en de helderheid van LED-verlichting stijging, is het mogelijk dat de LED-verlichting halogeen koplampen zal vervangen in auto's. En als we konden hebben genomen beter voor de bal vroeg op, we zouden in de positie om te Michael Kors Tassen winnen onderaan de rek geweest. ". Het is het leven van een dwaas, want zij zullen vinden als ze aan het einde van het, zo niet eerder

Retrieved from "https://en.formulasearchengine.com/index.php?title=Formal_derivative&oldid=246278"