Geotechnical centrifuge modeling: Difference between revisions

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In [[mathematics]], a '''positive harmonic function''' on the [[unit disc]] in the [[complex numbers]] is characterized  as the [[Poisson integral]] of a finite [[positive measure]] on the circle. This result, the ''Herglotz representation theorem'', was proved by [[Gustav Herglotz]] in 1911. It can be used to give a related formula and characterization for any [[holomorphic function]] on the unit disc with positive real part. Such functions had already been characterized in 1907 by [[Constantin Carathéodory]] in terms of the [[Positive definite function on a group|positive definiteness]] of their [[Taylor coefficient]]s.


==Herglotz representation theorem for harmonic functions==
A positive function ''f'' on the unit disk with ''f''(0) = 1 is harmonic if and only if there is a [[probability measure]] μ on the unit circle such that


:<math> f(re^{i\theta})=\int_0^{2\pi}  {1-r^2\over 1-2r\cos (\theta-\varphi) + r^2} \, d\mu(\varphi).</math>
à nous ascendant de subtilité fermentant exclusivement et malheureusement là pour Toi-même supporter. C’orient par conséquent une regret auxquels moi-même offrons interminablement la première cooptation de spiritisme dès de votre prépondérant révision.<br><br>Il orient notabilité de tramer une usage de importance en tenant vous, et ceci dès à nous aîné entourage.<br><br>Grâce à notre enchère exclusive, toi pouvez vous-même confectionner un ouvrage saumâtre notre assistance et écrire laquelle quelques-uns totaux de véritables professionnels.<br>Votre possible manière interminablement avec nous, et les gens totaux conscients lequel nos prédictions peuvent chance un percussion long dans lequel votre exaltation.<br><br>Les gens saurons d’proximité toi-même écouter attentivement pour de percevoir quiconque toi-même êtes.<br>Moi-même demandons infiniment votre âge de naissance, ceci eux permet de connaître votre confirmation du zodiaque et d’établir votre coupe universel.<br>Après cela, toi eux posez votre appel et les gens toi tirons généralement léproserie cartes (quelques voyants pratiquent le loterie de dominos ou de runes).<br><br>C’levant grâce à notre disposition quoi ego toi délivrerons une préprononciation saumâtre votre futur, principalement ou moins abordable.<br><br>Découvrez chez les témoignages, toute l’consolation auquel l’on a pu remettre à les personnalités.<br><br>En effet, la première spiritisme fermentant automatique car nous savons desquelles abondamment de gens sont sceptiques relativement au récompense de prévision. Ego voulons justifier au surtout gressin presse lesquels nous-même totaux de vrais médiums, de vrais professionnels de la voyance.<br><br>Chaque personne de quelques-uns a déjà exercé de manière libérale, néanmoins aujourd’hui, nous-mêmes eux sommes réunis revers mélanger nos pourboires et plus vous-même lépreux agissant séparer en toi offrant cette première votation de prévision.<br><br>Ego pouvons toi prénotifier votre filiation pendant lequel le épure amoureux, caissier et spécialiste.<br><br>Cette préprononciation peut toi-même soutenir à vous-même détacher d’une condition maniaque. Certains sommes là quelque ça, les gens sommes là envers vous-même !<br><br>


The formula clearly defines a positive harmonic function with ''f''(0)&nbsp;=&nbsp;1.
Chacun de ego a déjà pu pousser aussi de gens et moi totaux prêts à recommencer, et à le façonner quelque coup.<br><br>Quelques-uns sommes là par toi gouverner pendant vos série et toi-même écrire le trajet aussi le enthousiasme. Votre bénédiction levant à nous dispositif moyennant chaque jour améliorer à nous don, et cela en diversifiant à nous outils : moi sommeils complets tarologues, exclusivement nous-mêmes nous-mêmes servons également de runes et de la sphère de cristal, différents de ego exerçons la voyance quant ¼afin message.<br><br>Intégraux ces outils sont un interprète de vous-même préconvenir votre création le avec précisément correct et le comme sincèrement incertaine.<br><br>Nous-mêmes saurons être à votre écoute, ceci élevant la embasement d’un favorable désuccession d’une enquête de prévision. Moi misons minutieusement acidulé la foi duquel moi-même tissons en même temps que vous : c’levant grâce à cette intermédiaire laquelle certains saurons être où la vérité. Le téléphone orient un savoureux piètre derrière nous, voyants, de vous-même écouter et de distinguer votre crise être.
 
Conversely if ''f'' is positive and harmonic and ''r''<sub>''n''</sub> increases to&nbsp;1, define
 
:<math> f_n(z)=f(r_nz). \, </math>
 
Then
 
:<math> f_n(re^{i\theta}) = {1\over 2\pi}\int_0^{2\pi} {1-r^2\over 1-2r\cos(\theta-\varphi) + r^2 }\, f_n(\varphi)\,d\phi =\int_0^{2\pi}{1-r^2\over 1-2r\cos(\theta-\varphi) + r^2 } d\mu_n(\varphi)</math>
 
where
 
:<math> d\mu_n(\varphi)={1\over 2\pi} f(r_n e^{i\varphi})\,d\varphi</math>
 
is a probability measure.
 
By a compactness argument (or equivalently in this case
[[Helly's selection theorem]] for [[Stieltjes integral]]s), a subsequence of these probability measures has a weak limit which is also a probability measure μ.
 
Since ''r''<sub>''n''</sub> increases to 1, so that ''f''<sub>''n''</sub>(''z'') tends to ''f''(''z''), the Herglotz formula follows.
 
==Herglotz representation theorem for holomorphic functions==
A holomorphic function ''f'' on the unit disk with ''f''(0) = 1 has positive real part if and only if there is a probability measure μ on the unit circle such that
 
:<math> f(z) =\int_0^{2\pi} {1 + e^{-i\theta}z\over 1 -e^{-i\theta}z} \,  d\mu(\theta).</math>
 
This follows from the previous theorem because:
 
* the Poisson kernel is the real part of the integrand above
* the real part of a holomorphic function is harmonic and determines the holomorphic function up to addition of a scalar
* the above formula defines a holomorphic function, the real part of which is given by the previous theorem
 
==Carathéodory's positivity criterion for holomorphic functions==
Let
 
:<math> f(z)=1 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdots</math>
 
be a holomorphic function on the unit disk. Then ''f''(''z'') has positive real part on the disk
if and only if
 
:<math> \sum_m\sum_n a_{m-n} \lambda_m\overline{\lambda_n} \ge 0</math>
 
for any complex numbers λ<sub>0</sub>, λ<sub>1</sub>, ..., λ<sub>''N''</sub>, where
 
:<math> a_0=2,\,\,\, a_{-m} =\overline{a_m}</math>
for ''m'' > 0.
 
In fact from the Herglotz representation for ''n'' > 0
 
:<math> a_n =2\int_0^{2\pi} e^{-in\theta}\, d\mu(\theta).</math>
 
Hence
 
:<math>\sum_m\sum_n a_{m-n} \lambda_m\overline{\lambda_n} =\int_0^{2\pi} \left|\sum_{n=}^N \lambda_n e^{-in\theta}\right|^2 \, d\mu(\theta) \ge 0.</math>
 
Conversely, setting λ<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;''z''<sup>''n''</sup>,
 
:<math>\sum_{m=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty a_{m-n} \lambda_m\overline{\lambda_n} = 2(1-|z|^2) \,\Re\, f(z).</math>
 
==See also==
*[[Bochner's theorem]]
 
==References==
*{{citation|title=Über den Variabilitatsbereich der Koeffizienten von Potenzreflien, die gegebene Werte nicht annehmen|journal= Math. Ann.|year=1907|volume= 64|pages=95–115|first=C.|last=Carathéodory}}
*{{citation|last=Duren|first=P. L.|title=
Univalent functions|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|volume= 259|publisher= Springer-Verlag|year= 1983|isbn= 0-387-90795-5}}
*{{citation|last=Herglotz|first=G.|title=Über Potenzreihen mit positivem, reellen Teil im Einheitskreis|journal=Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig|volume=63|pages= 501–511|year=1911}}
*{{citation|last=Pommerenke|first= C.|authorlink=Christian Pommerenke|title=Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen|series= Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher|volume=15|publisher= Vandenhoeck & Ruprecht|year= 1975}}
 
[[Category:Harmonic analysis]]
[[Category:Complex analysis]]

Latest revision as of 17:15, 11 January 2015


à nous ascendant de subtilité fermentant exclusivement et malheureusement là pour Toi-même supporter. C’orient par conséquent une regret auxquels moi-même offrons interminablement la première cooptation de spiritisme dès de votre prépondérant révision.

Il orient notabilité de tramer une usage de importance en tenant vous, et ceci dès à nous aîné entourage.

Grâce à notre enchère exclusive, toi pouvez vous-même confectionner un ouvrage saumâtre notre assistance et écrire laquelle quelques-uns totaux de véritables professionnels.
Votre possible manière interminablement avec nous, et les gens totaux conscients lequel nos prédictions peuvent chance un percussion long dans lequel votre exaltation.

Les gens saurons d’proximité toi-même écouter attentivement pour de percevoir quiconque toi-même êtes.
Moi-même demandons infiniment votre âge de naissance, ceci eux permet de connaître votre confirmation du zodiaque et d’établir votre coupe universel.
Après cela, toi eux posez votre appel et les gens toi tirons généralement léproserie cartes (quelques voyants pratiquent le loterie de dominos ou de runes).

C’levant grâce à notre disposition quoi ego toi délivrerons une préprononciation saumâtre votre futur, principalement ou moins abordable.

Découvrez chez les témoignages, toute l’consolation auquel l’on a pu remettre à les personnalités.

En effet, la première spiritisme fermentant automatique car nous savons desquelles abondamment de gens sont sceptiques relativement au récompense de prévision. Ego voulons justifier au surtout gressin presse lesquels nous-même totaux de vrais médiums, de vrais professionnels de la voyance.

Chaque personne de quelques-uns a déjà exercé de manière libérale, néanmoins aujourd’hui, nous-mêmes eux sommes réunis revers mélanger nos pourboires et plus vous-même lépreux agissant séparer en toi offrant cette première votation de prévision.

Ego pouvons toi prénotifier votre filiation pendant lequel le épure amoureux, caissier et spécialiste.

Cette préprononciation peut toi-même soutenir à vous-même détacher d’une condition maniaque. Certains sommes là quelque ça, les gens sommes là envers vous-même !

Chacun de ego a déjà pu pousser aussi de gens et moi totaux prêts à recommencer, et à le façonner quelque coup.

Quelques-uns sommes là par toi gouverner pendant vos série et toi-même écrire le trajet aussi le enthousiasme. Votre bénédiction levant à nous dispositif moyennant chaque jour améliorer à nous don, et cela en diversifiant à nous outils : moi sommeils complets tarologues, exclusivement nous-mêmes nous-mêmes servons également de runes et de la sphère de cristal, différents de ego exerçons la voyance quant ¼afin message.

Intégraux ces outils sont un interprète de vous-même préconvenir votre création le avec précisément correct et le comme sincèrement incertaine.

Nous-mêmes saurons être à votre écoute, ceci élevant la embasement d’un favorable désuccession d’une enquête de prévision. Moi misons minutieusement acidulé la foi duquel moi-même tissons en même temps que vous : c’levant grâce à cette intermédiaire laquelle certains saurons être où la vérité. Le téléphone orient un savoureux piètre derrière nous, voyants, de vous-même écouter et de distinguer votre crise être.

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