Mathematical morphology: Difference between revisions

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In [[physics]], '''action''' is an attribute of the [[dynamics (physics)|dynamics]] of a [[physical system]]. It is a [[functional (mathematics)|mathematical functional]] which takes the [[trajectory]], also called ''path'' or ''history'', of the system as its argument and has a [[real number]] as its result. Generally, the action takes different values for different paths.<ref name="mcgraw1">McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3</ref> Action has the [[dimensional analysis|dimensions]] of [[energy|[energy]]]·[[time|[time]]], and its [[SI unit]] is [[joule]]-[[second]]. This is the same unit as that of [[angular momentum]].
However, there are no such snakes in Lapta today isabel marant. If the causes of blood stagnation is caused by qi stagnation, then by smoothing the qi flow, it will eliminate the blood stagnation.  <a href=http://guccibagreplica.tripod.com/>replica gucci bags outlet</a> Guided educational tours of Big Cat Rescue are available isabel marant isabel marant.  <a href=http://guccibagreplica.tripod.com/>replica gucci bags outlet</a> Related Articles The Particulars of Paper The decorative artificial flower An Artificial Wedding Flower Mulberry bags have been traced again to the 14th Century The completed piece of mulberry paper is a piece of work all its own and the flowers that can be made with the paper are absolutely gorgeous Mulberry paper is easy to work with and still allows the crafter to create not only paper flowers but any paper craft they choose.


==Introduction==
In the Puerto Vallarta area, these stranglers can be found all over the hill sides and of course along the banks of the Rio Cuale isabel marant. echinacea is popularly believed to be an immunostimulator, stimulating the bodys nonspecific immune system and warding off infections ginseng is an effective adaptogen and can protect the body from the stress of drug and radiation therapy nettle strengthens the adrenals, allowing you to tolerate more stress with less harm, and nourishes the immune system isabel marant sneakers.  <a href=http://guccibagreplica.tripod.com/>replica gucci bags for sale</a>  It is so because of the widely grown herbal plants in the nearby areas. The trees in the orchard or farm, be it coconut tree or mango tree, man will milk the tree to the maximum and once the yield depreciate, the trees will be cut and removed isabel marant sneakers.  <a href=http://guccibagreplica.tripod.com/>replica gucci bags for sale</a>  This led Fusajiro to decide to adopt his soninlaw, Sekiryo Kaneda.


Physical laws are frequently expressed as [[differential equation]]s, which describe how physical quantities such as [[position vector|position]] and [[momentum]] change [[continuous function|continuously]] with [[Time in physics|time]]. Given the [[Initial value problem|initial]] and [[Boundary value problem|boundary]] conditions for the situation, the solution to the equation is a [[function (mathematics)|function]] describing the behavior of the system (positions and momenta of the particles) at all times and all positions within the set boundaries.
The Light in Leeds city centre is the perfect place to indulge in some retail therapy and relax in one of the many bars, restaurants and cafes isabel marant shoes.  <a href=http://cheapreplicagucci.tripod.com/>replica gucci bags for sale</a>  Spinning silk and making cocoon are natural abilities of a silkworm to suit the environment and survive.
Pain, gingival hyperplasia covered in part or even the entire surface of the teeth, and Dental implant need to design teeth can shift, children can sometimes tooth eruption difficulties.


There is an alternative approach to finding equations of motion. Classical mechanics postulates that the path actually followed by a physical system is that for which the action is minimized, or, more strictly, is [[Stationary point|stationary]]. That is to say, the action satisfies a [[Calculus of variations|variational]] principle: the [[principle of stationary action]] (see also below). The action is defined by an [[integral (calculus)|integral]], and the classical [[equations of motion]] of a system can be derived from minimizing the value of the action integral.


This simple principle provides deep insights into physics, and is an important concept in modern [[theoretical physics]].
Related Articles:


The equivalence of these two approaches is contained in [[Hamilton's principle]], which states that the differential equations of motion for ''any'' physical system can be re-formulated as an equivalent [[integral equation]]. It applies not only to the [[classical mechanics]] of a single particle, but also to classical [[field (physics)|fields]] such as the [[electromagnetism|electromagnetic]] and [[gravity|gravitational]] [[field (physics)|fields]]. Hamilton's principle has also been extended to [[quantum mechanics]] and [[quantum field theory]]—in particular [[path integral formulation]] makes use of the concept—where a physical system follows simultaneously all possible paths with probability amplitudes for each path being determined by the action for the path.<ref name="abers1">Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0</ref>
== Abercrombie Zürich Konradstrasse  in der heutigen Telegraph ==


==History==
Für die Studie, veröffentlicht am 29. Eine gute Möglichkeit, diese Geschenkliste zu verkürzen ist es, Geschenk-Körbe zu [http://www.avd.ch/latavola/includes/asp/seite.asp?id=112-Abercrombie-Zürich-Konradstrasse Abercrombie Zürich Konradstrasse] geben. Eine unserer Bekannten von unserer Tochter Lacrosse-Team besuchte sie im Krankenhaus.. Hier zu Hause, Beschleunigung der Appalachen in Asheville ist ein Pionierunternehmen Beschleuniger auf Fragen, die von nachhaltiger Landwirtschaft und Lebensmittel auf grüne Gebäude auf natürliche Fasern und Textilien mit einem besonderen Schwerpunkt auf unterversorgten Bevölkerungsgruppen konzentriert. <br><br>Ich denke, HH verwendet immer noch, dass die auf den gegenwärtigen Fitz Produkte. Ersetzen Sie in der Pfanne mit dem Parmesan-Seite nach oben. [http://www.coaching-raum.ch/_archiv_workshops/kontakt.asp?k=25-Oakley-Store-Bern Oakley Store Bern] Hören Sie entspannende Musik vor dem Schlafen wird gesagt, um die Bedingung für einige Menschen zu lindern.. <br><br>Diese fantastischen Geräte sind nicht nur entworfen, für gute Ergebnisse nicht zu erwähnen, Spiel, darüber hinaus Statussymbol.. Regierung. Wir haben gerade 400 Paar Geox und 350 Paare von Lelli Kelly, so gibt es viel zu tun.. Maus-Gesten sind ein besonderer Liebling von mir, wie es lässt mich gerade richtig auf und gleiten meine Maus nach links oder rechts, um sofort vor oder zurück zu gehen. <br><br>In Gemeinden, die von Indiens wachsende Kernkraft Infrastruktur betroffen sind Aktivisten wie Talwar Durchführung von Erhebungen und verteilten Flugblätter, die Bildung von Ausschüssen, Kontaktaufnahme Journalisten und Inszenierung Proteste. Aber ist das wirklich fair? Wie Gove weist darauf hin, in der heutigen Telegraph, setzte Kinder diese Tests im Jahr 2012, so dass sie, in seinen Worten, der "Blair / Brown-Generation". <br><br>Sicher, die Dinge könnten besser ausfallen als das IPCC sagt, ist die beste Schätzung. Fleeger sagte, dass er beim Versuch, einige private Mittel zu bekommen, um das Programm weitermachen vorbei September 2014 Zuschuss Ablaufdatum oder Geld finden, in seinem Haushalt auf mindestens 19 Stunden pro Woche für das Paar weiter arbeiten. <br><br>Mods werden Ihre Inhalte nicht freiwillig löschen. Das körpereigene Immunsystem schädigt das Gelenk, was zu Schmerzen und Schwellungen. Sie hatten einen großen Einfluss auf ihren Gesang und Songwriting.. Vernunft und Erfahrung emotions.the menschlichen Körper für Kinder powerpointremedies für Kinderkrankheiten Ausschlag auf facewhen zu putzen Babys Zähne mit Klammern toothpasteteeth kosten londonhow viel wissen Klammern auf der Rückseite der Zähne kann costteeth Zähne Kinder smileshark Handwerk.. <br><br>Es [http://www.hafnersrad.ch/shop/getmenu.asp?a=79-Abercrombie-Shops Abercrombie Shops] ist daher eine ausgezeichnete Thema, das Sie Ihr Blog erstellen können, basierend auf einer E [http://www.antennengenossenschaft.ch/includes/mailer.asp?b=68-Beats-Solo-Hd Beats Solo Hd] zine oder News-Website sehen und fühlen. Geheimhaltung COMICS First Look. Die unten aufgeführten Websites geben Ihnen die Möglichkeit dazu auf ihrer Website für die Menschen zu sehen..<ul>
 
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</ul>


''Action'' was defined in several, now obsolete, ways during the development of the concept.<ref name="handfinch">Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0</ref>
== Timberland Shops Bern  bekommen wir aren Hilfe von der Sache ==
*[[Gottfried Leibniz]], [[Johann Bernoulli]] and [[Pierre Louis Maupertuis]] defined the action for [[light]] as the integral of its speed or inverse speed along its path length.
*[[Leonhard Euler]] (and, possibly, Leibniz) defined action for a material particle as the integral of the particle's speed along its path through space.
*[[Pierre Louis Maupertuis]] introduced several ''ad hoc'' and contradictory definitions of action within a single [[s:Derivation of the laws of motion and equilibrium from a metaphysical principle|article]], defining action as potential energy, as virtual kinetic energy, and as a hybrid that ensured conservation of momentum in collisions.<ref>''Œuvres de Mr de Maupertuis'' (pre-1801 Imprint Collection at the [[Library of Congress]]).</ref>


==Mathematical definition==
Aber es nicht nur um die materiellen Dinge. Erst mit dem Beginn der Boomjahre nach dem Zweiten Weltkrieg, dass die Dinge begannen schief .. Setzen Sie sich in der prallen Sonne mit einem klaren Glas mit einer Licht aromatisierte Bier und Sie können die skunkiness erkennen, bevor Sie das Ende der Flasche zu erreichen. <br><br>Er hatte zuvor nicht gehört, die Nachrichten über die "Goldrausch" in Belutschistan. Also der iPod nano der 5. Die Nigella: Sind Sie immer der Gastgeber der Dinner-Partys, oder haben Sie einfach nur genießen deine Freunde rund um Ihr neues Zuhause Verbesserungen sehen? Wenn ja, dann [http://www.flugladen.ch/reisevorbereitungen/Newsletter.asp?top10ID=10-Timberland-Shops-Bern Timberland Shops Bern] sind Sie [http://www.gammaprint.ch/Download/Datentransfer.asp?page=174-Air-Force-1-Mid Air Force 1 Mid] der Nigella .. <br><br>Wenn wir nicht sagen uns, was wir wollen, bekommen wir aren Hilfe von der Sache, die uns am besten kennt und hat enorme Macht; . Bei der weiteren Forschung, haben wir gelernt, dass die Magnete könnten leicht entfernt werden, um uns mit der Ausbildung zu helfen. <br><br>Wir verlieren viel von der reichen Weisheit und das Wissen unserer Vorfahren; es ist nur, wie wir so tun, als weiter fortgeschritten als unsere Vorfahren! . Für Beispiel, wenn Sie sich daran erinnern, wenn yahoo eingeführt Sprach-Chat, es war ein Schrei jeden . <br><br>Sie wurden mit einer Explosion und wurden dafür bezahlt ", sagt er .. Ich habe immer noch sehr viele klare Erinnerungen an meinen Dad mir beizubringen, wie zu bedienen, dass AE 1 und mich schaut durch den Sucher fragen, wie erstaunlich es war es, auf der Welt zu / 1,4 konzentrieren.. <br><br>Die informelle Bildung, die geschieht, bevor Sie Ihrem Kind die Schritte eins niedlichen, kleinen Fuß in die Schule ist entscheidend auf die Entwicklung eines gesunden und glücklichen Kind .. Lehrer fühlen sich oft die Notwendigkeit, auf alle in Studentenarbeit vorliegenden Fragen Stellung, während die Schüler überfordert mit der Rückmeldung zu fühlen, nicht zu wissen, wie man die notwendigen Verbesserungen anzugehen.. <br><br>Meine Sorge war Ihr Beitrag von Hilfe brauchen, und Apathie. Er denkt anders: "Der Kern meines Lebens war es, einen Unterschied machen, wenn geboren und in einem hohen [http://www.arcobaleno-maler.ch/statique/order.asp?Category_id=66-Ugg-Slippers Ugg Slippers] reichen Familien gebracht, einige sind diese Trends, wie entkommt, die Familien der Mittelklasse Träume zu hoch, um hier angeben sind... <br><br>Sie waren viel klarer als das, was Sie in einer lebenden Person sehen konnte, auch weil wir gescannt ihn so lange. Hier sind die sieben Dinge, die Sie sollten immer in it.With so viel los in den Ferien, ist es wichtig, sich Zeit nehmen, um sich selbst zu bleiben über die Feiertage organisiert geben break.When es kommt, statt realistisch halten Sie sich einige fiktive Standard geht ein langer Weg zu bleiben gesund während December.Quick und stressfreien Urlaub shoppingQuick und stressfreien Urlaub shoppingCan erhalten Sie alle Ihre Weihnachtseinkäufe in einem Tag gemacht? Klar, wenn man ein paar wichtige folgen steps.Can erhalten Sie alle Ihre Weihnachtseinkäufe in einem Tag gemacht? Klar, wenn Sie folgen ein paar wichtige steps.Updating das kleine schwarze Kleid für die holidaysUpdating das kleine Schwarze für die holidaysYou liebe die [http://www.distanze.ch/bilder/content.asp?lang=72-Polo-Ralph-Lauren-Jacke-Herren Polo Ralph Lauren Jacke Herren] LBD, weil es klassisch, Schlankheits-und wird nie aus der Mode, aber das bedeutet nicht, sollten Sie nicht fügen Sie neue Wendung, wenn Sie tragen it.You liebe die LBD, weil es klassisch, Schlankheits-und wird nie aus der Mode, aber das bedeutet nicht, sollten Sie nicht neue Variante hinzufügen, wenn Sie it.Your 4 Tage Vorbereitungsplan für ein Stress tragen kostenlos ThanksgivingYour 4 Tage Vorbereitungsplan für eine stressfreie ThanksgivingTo den Stress aus der Thanksgiving Day senken, die Ihre Mahlzeit planning.To schneiden den Stress aus der Thanksgiving Day, optimieren Sie Ihre Mahlzeit planning.Here sind drei Ferien Lieblings-Lebensmittel, die einen unverdienten schlechten Ruf bekommen .<ul>
 
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</ul>


Expressed in mathematical language, using the [[calculus of variations]], the [[time evolution|evolution]] of a physical system (i.e., how the system actually progresses from one state to another) corresponds to a [[stationary point]] (usually, a minimum) of the action.
== Ugg Zurich  als seine natürliche Lauf Talent bekannt ist ==


Several different definitions of 'the action' are in common use in physics.<ref name="handfinch" /><ref>Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3</ref> The action is usually an [[integral]] over time. But for action pertaining to [[field (physics)|fields]], it may be integrated over spatial variables as well. In some cases, the action is integrated along the path followed by the physical system.
Ähnlich wie bei Facebook haben, können Sie Personen oder Marken in deine Beiträge zu taggen. Ritterspitzname war "Buck", und obwohl er sich mehr für seine Begeisterung, als seine natürliche Lauf Talent bekannt ist, schlug er sofort Freundschaft mit Bowerman .. <br><br>Und ja, warum nicht mit diesen Ideen zu experimentieren?. Als Valdemar endlich seine Stimme, die von weit weg, sagte "Ja Nein Ich habe geschlafen und jetzt jetzt bin ich dead.Living DeathAfter erholt sich von ihrem Schock (der Medizinstudent in Ohnmacht gefallen), untersuchten die Männer den Mann genau und bestimmt kommen schien reagiert . <br><br>Wenn das Gericht den Test nimmt, dass der Gesetzgeber und andere drängen," sehr wenig wird der Establishment Clause gelassen werden ", sagte Chemerinsky ... Wie Hareesh Tibrewala, Joint CEO Schwellen , Social Wellenlänge, es ausdrückt: "Es ist nie Markentreue, die 1 Aktie Marken Online-Inhalte macht, es ist Treue zu seinen Freunden.".. <br><br>In Stufe 23. Wenn der Chirurg ist ein erfahrener und in der Lage professionell, dann muss er / sie haben eine lange Liste von zufriedenen Kunden. Aber früher oder später erreicht der Lotus das Licht [http://www.arcobaleno-maler.ch/statique/order.asp?Category_id=109-Ugg-Zurich Ugg Zurich] immer [http://www.arcobaleno-maler.ch/statique/order.asp?Category_id=169-Ugg-Kaufen-Günstig Ugg Kaufen Günstig] die schönste Blume ever.Thais Camposon 8. Mazza informiert scheint eine Schwäche für bösartige, breiten Pinsel Erklärungen von Veranstaltungen haben. <br><br>Die Hauptfigur ist ein Junge voller Neugier und Geist, auch wenn die Leute sagten, er sei verrückt durchgehalten zu tun. Was ist mehr Spaß, als zu hören die Geschichten von einem Iren mit einem Pint Gebräu in einer Hand und einem guten Buch in der anderen? . <br><br>Aus diesem Grund gibt es auch eine gewisse Geruch in den Schuhen und bag.How effektiv nutzen Requisiten in einem Tanzwettbewerb oder RecitalIf Choreographen planen, Requisiten für einen Wettbewerb [http://www.antennengenossenschaft.ch/includes/mailer.asp?b=9-Beats-Dr-Dre-Wireless Beats Dr Dre Wireless] Routine oder ein Stück in einem Tanzstudio Leistung zu verwenden, die sie verwenden müssen Requisiten und intelligent effectively.Benefits of Performing Arts Schulen für KidsWhat sind die Vorteile der Durchführung von Kunstschulen für [http://www.gammaprint.ch/Download/Datentransfer.asp?page=212-Nike-Air-Max-1-Sale Nike Air Max 1 Sale] Kinder? Was Kinder zu erreichen, indem auf der Bühne? . <br><br>Was auch immer vorgelegt wird keine matterhow ein Student auf die Diplomprüfung getan haben, akzeptiert. Aber nach der Rückkehr nach Südafrika in der Verkleidung, und das Leben im Versteck für mehr als ein Jahr, im Jahr 1962 sein Auto wurde von der Polizei angehalten und in Natal er verhaftet wurde. <br><br>Einige dieser Übersetzungen auf uns gekommen, aber sie haben aus den Sammelbänden von Sarah Werke als nicht wirklich repräsentativ für Sarah und Saskatchewan weggelassen worden und kann in der Tat stellen die gemeinsamen Anstrengungen von Sarah und Mathilda.<ul>
 
 
The action is represented as an [[time integral|integral over time]], taken along the path of the system between the initial time and the final time of the development of the system,<ref name="handfinch" />
  <li>[http://freshnhottrends.com/activity/p/156426/ http://freshnhottrends.com/activity/p/156426/]</li>
:<math>\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} L \, dt\,,</math>
 
where the integrand ''L'' is called the [[Lagrangian]]. For the action integral to be well-defined the trajectory has to be bounded in time and space.
  <li>[http://wensli.vanthink.net/content/%E6%A2%A6%E5%A9%95-%E7%89%B9%E4%BB%B7%E6%95%A3%E8%A3%85%E7%BA%A2%E5%A8%98%E9%B1%BC10g%E5%8E%9F%E5%91%B3%E7%83%A4%E9%B1%BC%E5%B9%B2%E9%B1%BC%E7%9C%9F%E7%A9%BA%E5%8C%85%E8%A3%85%E7%89%87%E8%88%9F%E5%B1%B1%E7%89%B9%E4%BA%A7%E6%B5%B7%E9%B2%9C%E9%9B%B6%E9%A3%9F#comment-266241 http://wensli.vanthink.net/content/%E6%A2%A6%E5%A9%95-%E7%89%B9%E4%BB%B7%E6%95%A3%E8%A3%85%E7%BA%A2%E5%A8%98%E9%B1%BC10g%E5%8E%9F%E5%91%B3%E7%83%A4%E9%B1%BC%E5%B9%B2%E9%B1%BC%E7%9C%9F%E7%A9%BA%E5%8C%85%E8%A3%85%E7%89%87%E8%88%9F%E5%B1%B1%E7%89%B9%E4%BA%A7%E6%B5%B7%E9%B2%9C%E9%9B%B6%E9%A3%9F#comment-266241]</li>
 
 
Action has the [[dimensional analysis|dimensions]] of [[energy|[energy]]]·[[time|[time]]], and its [[SI unit]] is [[joule]]-[[second]]. This is the same units as [[angular momentum]].
  <li>[http://bbs.0552.com/forum.php?mod=viewthread&tid=256353&extra= http://bbs.0552.com/forum.php?mod=viewthread&tid=256353&extra=]</li>
 
 
==Action in classical physics (disambiguation)==
  <li>[http://bbs.0714.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=4118401 http://bbs.0714.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=4118401]</li>
 
 
In [[classical physics]], the term "action" has a number of meanings.
  <li>[http://tesomarket.com/activity/p/80342/ http://tesomarket.com/activity/p/80342/]</li>
 
 
===Action (functional)===
</ul>
Most commonly, the term is used for a [[functional (mathematics)|functional]] <math>\mathcal{S}</math> which takes a [[function (mathematics)|function]] of time and (for [[field (physics)|fields]]) space as input and returns a [[scalar (physics)|scalar]].<ref name="penrose">The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1</ref><ref name="kibble">Classical Mechanics, T.W.B. Kibble, European Physics Series, McGraw-Hill (UK), 1973, ISBN 07-084018-0</ref> In [[classical mechanics]], the input function is the evolution '''q'''(''t'') of the system between two times ''t''<sub>1</sub> and ''t''<sub>2</sub>, where '''q''' represent the [[generalized coordinate]]s. The action <math>\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)]</math> is defined as the [[integral]] of the [[Lagrangian]] ''L'' for an input evolution between the two times
 
:<math>
\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L[\mathbf{q}(t),\dot{\mathbf{q}}(t),t]\, dt
</math>
 
where the endpoints of the evolution are fixed and defined as <math>\mathbf{q}_{1} = \mathbf{q}(t_{1})</math> and <math>\mathbf{q}_{2} = \mathbf{q}(t_{2})</math>. According to [[Hamilton's principle]], the true evolution '''q'''<sub>true</sub>(''t'') is an evolution for which the action <math>\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)]</math> is [[stationary point|stationary]] (a minimum, maximum, or a [[saddle point]]). This principle results in the equations of motion in [[Lagrangian mechanics]].
 
===Abbreviated action (functional)=== <!-- [[Symplectic action]] redirects here -->
Usually denoted as <math>\mathcal{S}_{0}</math>, this is also a [[functional (mathematics)|functional]]. Here the input function is the ''path'' followed by the physical system without regard to its parameterization by time. For example, the path of a planetary orbit is an ellipse, and the path of a particle in a uniform gravitational field is a parabola; in both cases, the path does not depend on how fast the particle traverses the path. The abbreviated action <math>\mathcal{S}_{0}</math> is defined as the integral of the generalized momenta along a path in the [[generalized coordinates]]
 
:<math>
\mathcal{S}_{0} = \int \mathbf{p} \cdot d\mathbf{q} = \int p_i \,dq_i
</math>
 
According to [[Maupertuis' principle]], the true path is a path for which the abbreviated action <math>\mathcal{S}_{0}</math> is [[stationary point|stationary]].
 
===Hamilton's principal function===
{{main|Hamilton's principal function}}
Hamilton's principal function is defined by the [[Hamilton–Jacobi equation]]s (HJE), another alternative formulation of [[classical mechanics]]. This function ''S'' is related to the functional <math>\mathcal{S}</math> by fixing the initial time ''t''<sub>1</sub> and endpoint '''q'''<sub>1</sub> and allowing the upper limits ''t''<sub>2</sub> and the second endpoint '''q'''<sub>2</sub> to vary; these variables are the [[independent variable|arguments]] of the function ''S''. In other words, the action function <math>S</math> is the [[antiderivative|indefinite integral]] of the Lagrangian with respect to time.
 
===Hamilton's characteristic function===
When the total energy ''E'' is conserved, the [[Hamilton–Jacobi equation]] can be solved with the [[Hamilton–Jacobi equation#Separation of variables|additive separation of variables]]
 
:<math>S(q_{1},\dots,q_{N},t)= W(q_{1},\dots,q_{N}) - E\cdot t</math>,
 
where the time independent function ''W''(''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub> ... ''q<sub>N</sub>'') is called ''Hamilton's characteristic function''. The physical significance of this function is understood by taking its total time derivative
 
:<math>\frac{d W}{d t}= \frac{\partial W}{\partial q_i}\dot q_i=p_i\dot q_i</math>.
 
This can be integrated to give
 
:<math>W(q_{1},\dots,q_{N}) = \int p_i\dot q_i \,dt = \int p_i\,dq_i</math>,
 
which is just the [[Action (physics)#Abbreviated action (functional)|abbreviated action]].
 
===Other solutions of Hamilton–Jacobi equations===
The [[Hamilton–Jacobi equation]]s are often solved by additive separability; in some cases, the individual terms of the solution, e.g., ''S<sub>k</sub>''(''q<sub>k</sub>''), are also called an "action".<ref name="handfinch" />
 
===Action of a generalized coordinate===
This is a single variable ''J<sub>k</sub>'' in the [[action-angle coordinates]], defined by integrating a single generalized momentum around a closed path in [[phase space]], corresponding to rotating or oscillating motion
 
:<math>
J_{k} = \oint p_{k} dq_{k}
</math>
 
The variable ''J<sub>k</sub>'' is called the "action" of the generalized coordinate ''q<sub>k</sub>''; the corresponding canonical variable conjugate to ''J<sub>k</sub>'' is its "angle" ''w<sub>k</sub>'', for reasons described more fully under [[action-angle coordinates]]. The integration is only over a single variable ''q<sub>k</sub>'' and, therefore, unlike the integrated dot product in the abbreviated action integral above. The ''J<sub>k</sub>'' variable equals the change in ''S<sub>k</sub>''(''q<sub>k</sub>'') as ''q<sub>k</sub>'' is varied around the closed path. For several physical systems of interest, J<sub>k</sub> is either a constant or varies very slowly; hence, the variable ''J<sub>k</sub>'' is often used in perturbation calculations and in determining [[adiabatic invariant]]s.
 
===Action for a Hamiltonian flow===
See [[tautological one-form]].
 
==Euler–Lagrange equations for the action integral==
As noted above, the requirement that the action integral be [[stationary point|stationary]] under small perturbations of the evolution is equivalent to a set of [[differential equation]]s (called the [[Euler–Lagrange equations]]) that may be determined using the [[calculus of variations]]. We illustrate this derivation here using only one coordinate, ''x''; the extension to multiple coordinates is straightforward.<ref name="mcgraw1" /><ref name="kibble" />
 
Adopting [[Hamilton's principle]], we assume that the Lagrangian ''L'' (the integrand of the action integral) depends only on the coordinate ''x''(''t'') and its time derivative ''dx''(''t'')/''dt'', and may also depend explicitly on time. In that case, the action integral can be written
 
:<math>
\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2}\; L(x,\dot{x},t)\,dt
</math>
 
where the initial and final times (t<sub>1</sub> and t<sub>2</sub>) and the final and initial positions are specified in advance as <math>x_{1} = x(t_{1})</math> and <math>x_{2} = x(t_{2})</math>. Let ''x''<sub>true</sub>(''t'') represent the true evolution that we seek, and let <math>x_{\mathrm{per}}(t)</math> be a slightly perturbed version of it, albeit with the same endpoints, <math>x_{\mathrm{per}}(t_{1})=x_{1}</math> and <math>x_{\mathrm{per}}(t_{2})=x_{2}</math>.  The difference between these two evolutions, which we will call <math>\varepsilon(t)</math>, is infinitesimally small at all times
 
:<math>
\varepsilon(t) = x_{\mathrm{per}}(t) - x_{\mathrm{true}}(t)
</math>
 
At the endpoints, the difference vanishes, i.e., <math>\varepsilon(t_{1}) = \varepsilon(t_{2}) = 0</math>.
 
Expanded to first order, the difference between the actions integrals for the two evolutions is
 
:<math>\begin{align}
\delta \mathcal{S} &= \int_{t_1}^{t_2}\;
\left[ L(x_{\mathrm{true}}+\varepsilon,\dot x_{\mathrm{true}} +\dot\varepsilon,t)- L(x_{\mathrm{true}},\dot x_{\mathrm{true}},t) \right]dt \\
&= \int_{t_1}^{t_2}\;
\left(\varepsilon{\partial L\over\partial x} +
\dot\varepsilon{\partial L\over\partial \dot x}  \right)\,dt     
\end{align}</math>
 
[[Integration by parts]] of the last term, together with the boundary conditions <math>\varepsilon(t_{1}) = \varepsilon(t_{2}) = 0</math>, yields the equation
 
:<math>
\delta \mathcal{S} =
\int_{t_1}^{t_2}\;
\left(
\varepsilon{\partial L\over \partial x} -
\varepsilon{d\over dt }{\partial L\over\partial \dot x}
\right)\,dt.
</math>
 
The requirement that <math>\mathcal{S}</math> be [[stationary point|stationary]] implies that the first-order change must be zero for ''any'' possible perturbation ε(''t'') about the true evolution,
 
{{Equation box 1
|indent =:
|title= '''[[Principle of stationary action]]'''
|equation = <math>\delta\mathcal{S}=0</math>
|cellpadding
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|background colour = white}}
 
This can be true only if
 
{{Equation box 1
|indent =:
|title= '''[[Euler–Lagrange equation]]'''
|equation = <math> {\partial L\over\partial x} - {d\over dt }{\partial L\over\partial \dot{x}} = 0 </math>
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|background colour = white}}
 
The Euler–Lagrange equation is obeyed provided the [[functional derivative]] of the action integral is identically zero:
 
:<math>\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta x(t)}=0</math>.
 
The quantity <math>\frac{\partial L}{\partial\dot x}</math> is called the
''conjugate momentum'' for the coordinate ''x''. An important consequence of the Euler–Lagrange equations is that if ''L'' does not explicitly contain coordinate ''x'', i.e.
 
: if  <math> \frac{\partial L}{\partial x}=0</math>, then <math>\frac{\partial L}{\partial\dot x}</math> is constant in time.
 
In such cases, the coordinate ''x'' is called a ''cyclic'' coordinate,
and its conjugate momentum is conserved.
 
===Example: free particle in polar coordinates===
 
Simple examples help to appreciate the use of the action principle via the Euler–Lagrangian equations. A free particle (mass ''m'' and velocity ''v'') in Euclidean space moves in a straight line. Using the Euler–Lagrange equations, this can be shown in [[polar coordinates]] as follows. In the absence of a potential, the Lagrangian is simply equal to the kinetic energy
:<math>L = \frac{1}{2} mv^2= \frac{1}{2}m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)</math>
in orthonormal (''x'',''y'') coordinates, where the dot represents differentiation with respect to the curve parameter (usually the time, ''t'').
In polar coordinates (''r'', φ) the kinetic energy and hence the Lagrangian becomes
 
:<math>
      L = \frac{1}{2}m \left( \dot{r}^2 + r^2\dot\varphi^2 \right).
</math>
 
The radial ''r'' and φ components of the Euler–Lagrangian equations become, respectively
 
:<math>\begin{align}
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right) - \frac{\partial L}{\partial r} &= 0  \qquad                        \Rightarrow \qquad \ddot{r} - r\dot{\varphi}^2 &= 0 \\
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} \right) - \frac{\partial L}{\partial \varphi}                          &= 0  \qquad \Rightarrow  \qquad \ddot{\varphi} + \frac{2}{r}\dot{r}\dot{\varphi} &= 0
\end{align}</math>
 
The solution of these two equations is given by
 
:<math>\begin{align}
r\cos\varphi &= a t + b \\
r\sin\varphi &= c t + d
\end{align}</math>
 
for a set of constants ''a, b, c, d'' determined by initial conditions.
Thus, indeed, ''the solution is a straight line'' given in polar coordinates.
 
==The action principle==
 
{{Main|principle of stationary action}}
 
===Classical fields===
 
{{see also|Einstein-Hilbert action}}
 
The '''action principle''' can be extended to obtain the [[equations of motion]] for fields, such as the [[electromagnetic field]] or [[gravitational field]].
 
The [[Einstein equation]] utilizes the ''[[Einstein-Hilbert action]]'' as constrained by a [[variational principle]].
 
The [[trajectory]] (path in [[spacetime]]) of a body in a gravitational field can be found using the action principle. For a free falling body, this trajectory is a [[geodesic]].
 
===Conservation laws===
 
{{main|Conservation laws}}
 
Symmetries in a physical situation can better be treated with the action principle, together with the [[Euler–Lagrange equations]], which are derived from the action principle. An example is [[Noether's theorem]], which states that to every [[continuous symmetry]] in a physical situation there corresponds a [[conservation law]] (and conversely). This deep connection requires that the action principle be assumed.<ref name="abers1" />
 
===Quantum mechanics and quantum field theory===
 
{{main|Quantum mechanics|quantum field theory}}
 
In quantum mechanics, the system does not follow a single path whose action is stationary, but the behavior of the system depends on all permitted paths and the value of their action. The action corresponding to the various paths is used to calculate the [[Path integral formulation|path integral]], that gives the [[probability amplitude]]s of the various outcomes.
 
Although equivalent in classical mechanics with [[Newton's laws]], the '''action principle''' is better suited for generalizations and plays an important role in modern physics. Indeed, this principle is one of the great generalizations in physical science. It is [[path integral formulation#Quantum action principle|best understood within quantum mechanics]]. In particular, in [[Richard Feynman]]'s [[path integral formulation]] of quantum mechanics, where it arises out of [[destructive interference]] of quantum amplitudes.
 
[[Maxwell's equations]] can also be derived as conditions of stationary action.
 
===Single relativistic particle===
 
{{main|Theory of relativity}}
 
When relativistic effects are significant, the action of a point particle of mass ''m'' travelling a [[world line]] ''C'' parametrized by the [[proper time]] <math>\tau</math> is
:<math>S = - m c^2 \int_{C} \, d \tau </math>.
 
If instead, the particle is parametrized by the coordinate time ''t'' of the particle and the coordinate time ranges from ''t''<sub>1</sub> to ''t''<sub>2</sub>, then the action becomes
:<math>\int_{t1}^{t2} L \, dt</math>
 
where the [[Lagrangian]] is
:<math>L = - m c^2 \sqrt {1 - \frac{v^2}{c^2}}</math>.<ref>L.D. Landau and E.M. Lifshitz ''The Classical Theory of Fields'' Addison-Wesley 1971 sec 8.p.24-25</ref>
 
===Modern extensions===
 
The action principle can be generalized still further.  For example, the action need not be an integral because [[Nonlocal Lagrangian|nonlocal actions]] are possible.  The configuration space need not even be a [[functional space]] given certain features such as [[noncommutative geometry]].  However, a physical basis for these mathematical extensions remains to be established experimentally.<ref name="penrose" />
 
==See also==
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* [[Calculus of variations]]
* [[Functional derivative]]
* [[Functional integral]]
* [[Hamiltonian mechanics]]
* [[Lagrangian]]
* [[Lagrangian mechanics]]
* [[Measure (physics)]]
* [[Noether's theorem]]
* [[Path integral formulation]]
* [[Planck's constant]]
* [[Principle of least action]]
* [[Quantum physics]]
* [[Entropy]] (the least Action Principle and the Principle of Maximum Probability or Entropy could be seen as analogous)
</div>
 
==References==
 
{{reflist}}
 
==Sources and further reading==
 
For an annotated bibliography, see Edwin F. Taylor [http://www.eftaylor.com/pub/BibliogLeastAction12.pdf] who lists, among other things, the following books
 
*''The Cambridge Handbook of Physics Formulas'', G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
*[[Cornelius Lanczos]], The Variational Principles of Mechanics (Dover Publications, New York, 1986). ISBN 0-486-65067-7. ''The'' reference most quoted by all those who explore this field.
*[[L. D. Landau]] and [[E. M. Lifshitz]], Mechanics, [[Course of Theoretical Physics]] (Butterworth-Heinenann, 1976), 3rd ed., Vol. 1. ISBN 0-7506-2896-0. Begins with the principle of least action.
*Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics (Simon & Schuster Macmillan, 1996), Volume 2, ISBN 0-02-897359-3,  {{OCLC|35269891}}, pages 840 – 842.
*Gerald Jay Sussman and Jack Wisdom, [http://groups.csail.mit.edu/mac/users/gjs/6946/sicm-html/ Structure and Interpretation of Classical Mechanics] (MIT Press, 2001). Begins with the principle of least action, uses modern mathematical notation, and checks the clarity and consistency of procedures by programming them in computer language.
*Dare A. Wells, Lagrangian Dynamics, Schaum's Outline Series (McGraw-Hill, 1967) ISBN 0-07-069258-0, A 350 page comprehensive "outline" of the subject.
*Robert Weinstock, Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering (Dover Publications, 1974). ISBN 0-486-63069-2.  An oldie but goodie, with the formalism carefully defined before use in physics and engineering.
*Wolfgang Yourgrau and Stanley Mandelstam, Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory (Dover Publications, 1979). A nice treatment that does not avoid the philosophical implications of the theory and lauds the Feynman treatment of quantum mechanics that reduces to the principle of least action in the limit of large mass.
*Edwin F. Taylor's page [http://www.eftaylor.com/leastaction.html]
*[http://www.eftaylor.com/software/ActionApplets/LeastAction.html Principle of least action interactive] Excellent interactive explanation/webpage
 
==External links==
 
{{DEFAULTSORT:Action (Physics)}}
[[Category:Concepts in physics]]
[[Category:Lagrangian mechanics]]
[[Category:Hamiltonian mechanics]]
[[Category:Calculus of variations]]

Latest revision as of 13:26, 6 January 2015

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