Ring (mathematics): Difference between revisions

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{{infobox graph
== Potrebbe sembrare un progetto difficile Abercrombie Online ==
| name    = Trees
| image    = [[Image:Tree graph.svg|180px]]
| image_caption = A labeled tree with 6 vertices and 5 edges
| vertices = ''v''
| edges    = ''v'' − 1
| radius  =
| diameter =
| girth    =
| chromatic_number = 2 if ''v'' > 1
| chromatic_index  =
| properties =
}}
In [[mathematics]], and more specifically in [[graph theory]], a '''tree''' is an [[undirected graph]] in which any two [[Vertex (graph theory)|vertices]] are connected by ''exactly one'' [[path (graph theory)|simple path]]. In other words, any [[connectedness|connected]] graph without [[Cycle (graph theory)|simple cycles]] is a tree. A '''forest''' is a [[disjoint union]] of trees.


The various kinds of [[data structures]] referred to as [[tree (data structure)|trees]] in [[computer science]] are equivalent as undirected graphs to trees in graph theory, although such data structures are generally '''rooted trees''', thus in fact being directed graphs, and may also have additional ordering of branches.
Può essere molto comune al momento di ottenere un latte intero di grasso in eccesso, il vostro viaggio di lavoro. Non esaminare se stessi all'interno della partita. Rendere i capelli dalla faccia in modo che si può aiutare la prevenzione di olio essenziale di sviluppo fino alla vostra pelle del viso. <br><br>Cercate di trattare il vostro sistema con l'aggiunta di cura adeguata e non esercitare se stessi. " onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Utilizzando un'altra cosa potrebbe riposto la vostra salute generale a rischio.. <br><br>Questa erba naturale ha sia antibatterica e qualità anti-fungini. Per ottenere un cane contento, è importante iniziare socializzare fin dalla tenera invecchiano. Per risparmiare denaro sulla polizza di assicurazione del proprietario di abitazione pensare le spese di progetti di costruzione, prima di iniziare a sviluppare. <br><br>Potrebbe sembrare un progetto difficile, ma se si possiedono le conoscenze necessarie per eseguire il backup scelte, può rendere più semplice. Se si scopre che si potrebbe avere problemi a spendere troppi soldi, provare a utilizzare denaro ogni volta che andate d'acquisto. <br><br>Accertarsi [http://www.grupxativa.com/beta/_old/noticias/simple.php Abercrombie Online] che non avete dolci sdraiati intorno alla posizione della vostra casa. Esso può essere appagante a prendere questo generare con altre persone, o forse si vuole accettare di auto da soli. Questi elementi contengono acidi e quindi sono più difficili per il vostro corpo di assorbire. <br><br>Prestare attenzione ai cibi che sono l'ideale per voi quando si combatte i sintomi despression. " onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Questo può diffondere la luce, generando per il dolce, l'illuminazione naturale nelle fotografie.. <br><br>Prendere attentamente in considerazione [http://www.teatroateatro.com/Static/Scripts/accordion/base.php Nike Factory Store] individui carte di credito che forniscono un interesse pari a zero per cento. Avere un cucciolo propriamente educati è un buon piacere che può [http://www.euroclinicimport.com/images/access.asp Nike Free Baratas] solo essere raggiunto per mezzo di una corretta coaching. Essere bene con [http://www.maccsoft.com/themes/dark/content.asp Polo Fred Perry] pavimento in centro, a volte e tenere a mente, se il tuo datore di lavoro è soddisfatto con il lavoro ma si sta comunque doversi preoccupare di questo, è più probabile impostando i tuoi criteri eccessivo. <br><br>Esso fornisce un sacco di tattiche e merci che richiedono una visione entusiasta, precisioni nonché un'attenzione tagliente di profondità. " onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Smettere di fumare può ricaricare tutto il tuo corpo e migliorare la vostra visione totale dell'esistenza..<ul>
 
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  <li>[http://www.hgba.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=289065 http://www.hgba.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=289065]</li>
 
  <li>[http://www.vitrinaweb.es/index.php?page=item&id=101954 http://www.vitrinaweb.es/index.php?page=item&id=101954]</li>
 
  <li>[http://openuptome.org/activity/p/53667/ http://openuptome.org/activity/p/53667/]</li>
 
</ul>


The term "tree" was coined in 1857 by the British mathematician [[Arthur Cayley]].<ref>Cayley (1857) [http://books.google.com/books?id=MlEEAAAAYAAJ&pg=PA172#v=onepage&q&f=false "On the theory of the analytical forms called trees,"] ''Philosophical Magazine'', 4th series, '''13''' : 172-176.<br>However it should be mentioned that in 1847, [[Karl Georg Christian von Staudt|K.G.C. von Staudt]], in his book ''Geometrie der Lage'' (Nürnberg, (Germany):  Bauer und Raspe, 1847), presented a proof of Euler's polyhedron theorem which relies on trees on [http://books.google.com/books?id=MzQAAAAAQAAJ&pg=PA20#v=onepage&q&f=false pages 20-21].  Also in 1847, the German physicist [[Gustav Kirchhoff]] investigated electrical circuits and found a relation between the number (n) of wires/resistors (branches), the number (m) of junctions (vertices), and the number (μ) of loops (faces) in the circuit.  He proved the relation via an argument relying on trees.  See:  Kirchhoff, G. R. (1847) [http://books.google.com/books?id=gx4AAAAAMAAJ&vq=Kirchoff&pg=PA497#v=onepage&q&f=false "Uber die Auflösung der Gleichungen auf welche man bei der Untersuchung der linearen Vertheilung galvanischer Ströme geführt wird"] (On the solution of equations to which one is led by the investigation of the linear distribution of galvanic currents), ''Annalen der Physik und Chemie'', '''72''' (12) : 497-508.</ref>
== Per aiutare a controllare il nervosismo Nike Cortez ==


== Definitions ==
Devi essere inalare il più pulito flusso d'aria probabile, per tutto il tempo.. Speriamo che troverete i seguenti consigli vantaggiosa. " onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Le informazioni e suggerimenti in questo articolo vi aiuterà a utilizzare e-mail marketing per portare nuova vita quotidiana alla società.. <br><br>Per aiutare a controllare il nervosismo, la ricerca per gli articoli o le persone che a farti ridere di più. Uno dei migliori temi che si possono fare in modo che è possibile ridurre la probabilità di incontrare acne è quello di mangiare cibi che viene caricato con zinco. <br><br>Richiedi dettagli accreditamento. Debito può palla di neve a te, ma nessuno vi porterà in un buco economico su prestiti online payday. Non è una grande idea per analizzare con il vostro dormitorio. Quando si utilizzano piante o abbondante soggetto normale materia al di fuori, tentare di prendere in considerazione le tue foto su un giorno nuvoloso. <br><br>Sfruttate al massimo usando il messaggio di testo, o sms, per collegare insieme con i vostri clienti utilizzano i telefoni cellulari. Se si sceglie di usare pesticidi per rimuovere insetti, assicuratevi di scegliere un pesticida modificato per lo scenario. <br><br>Pagare per il più basso su altre carte di credito, se questo indica che si è in grado di pagare questi debiti via più rapida. Un suggerimento utile in relazione al golf sta per essere tranquillo quando gli altri giocatori stanno colpendo la palla da tennis. <br><br>Che vi aiuterà a smettere di russare si dovrebbe considerare cadere qualche peso. Questo probabilmente controllare il vostro dolore sia in grado di ridurre i dolori e dolori quando vivace. Scopri cosa pasti che non dovrebbe [http://www.blauhouse.net/Templates/modular/Templates/filter.asp Nike Cortez] essere avere, e regolare la vostra dieta quotidiana di conseguenza. <br><br>Queste piastrine dei livelli di colesterolo può a poco a poco aumento e infine bloccare i passaggi. Inalatori insulina dovrebbero essere disponibili a breve. Il vostro avvocato o procuratore sta lavorando non solo sul tuo caso. Apnea ostruttiva del sonno spesso può essere causato [http://www.transportesdearte.com/news/client.asp Vibram España] da russare rumorosamente. <br><br>È possibile esaminare con questo utilizzando i robot che sono in giro. Un sacco di vostre piantine deve essere [http://www.tutatis.es/fotos/thumbs/banner.asp Nike Tacon España] tracciato nuovamente in un contenitore più grande prima di decidere di metterli nel vostro cortile. A volte le strategie classiche ed economiche per la gestione di porte d'ingresso cigolante [http://www.grupxativa.com/beta/_old/includes/serach.php Hollister Tiendas] può essere giusto per voi. <br><br>Dopo aver letto questo articolo, è necessario avere idee nuove e benefiche su come gestire e conquistare i sintomi di allergia. Sono le vostre frasi termine di ricerca alloggiare nei titoli di link spiegate. Stai andando avere bisogno di effettuare un deposito su di essa e portare un pagamento al mese come si farebbe con una normale carta di credito.<ul>
 
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  <li>[http://classifieds.mpsoftechnology.com/index.php?page=item&id=449800 http://classifieds.mpsoftechnology.com/index.php?page=item&id=449800]</li>
 
  <li>[http://45.gxhc360.com/forum.php?mod=viewthread&tid=359385 http://45.gxhc360.com/forum.php?mod=viewthread&tid=359385]</li>
 
  <li>[http://mexster.com/elgg/pg/bookmarks/add/hmcoewxju http://mexster.com/elgg/pg/bookmarks/add/hmcoewxju]</li>
 
</ul>


A '''tree''' is an undirected [[simple graph]] ''G'' that satisfies any of the following equivalent conditions:
== e non si dovrebbe interrogare queste cose Air Max 90 ==


*''G'' is [[connected graph|connected]] and has no [[Cycle (graph theory)|cycles]].
Assicuratevi di avere un ampio dormire. Il numero uno dei motivi che gli individui si schiantano dalla società del gruppo-marketing è una nozione misdirected che è semplice. " onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Negoziazione produttiva combinata [http://www.probioticosenlafarmacia.com/Resources/test.php Air Max 90] con richieste di cessare stabiliti anche ristretta sono in grado di utilizzare tutto il capitale se si mantiene sempre la ricezione fermato dagli investimenti ripetutamente.. <br><br>Con il vostro tablet ipad non è assolutamente difficile quando si è consapevoli il modo di usare ogni una delle funzioni che offre. E 'davvero un normale antibiotico prescrizione e contribuirà a distruggere eventuali virus o infezione sulla superficie della pelle. <br><br>E 'sempre necessario guardarsi intorno e valutare [http://www.grupxativa.com/beta/_old/noticias/simple.php Abercrombie London] le diverse compagnie assicurative, semplicemente perché questo potrebbe finire per risparmiare centinaia di dollari ogni anno. Pulire accuratamente la vostra proprietà a fondo e di routine. A volte il problema identico può ricomparire sul documento di pochi mesi nel futuro. <br><br>Utilizzare le conoscenze di leggere in [http://www.transportesdearte.com/catalan/cancle.php Nike Free Run 5.0] questa pagina e si dovrebbe avere alcuna difficoltà con qualsiasi mezzo, trovando success.Stock cambio effettuare un investimento: Che cosa dovreste conoscere. Farla finita con alimenti che contengono zuccheri eccessivi e grassi. <br><br>Non rivelare prodotti pennelli trucco con gli altri. Con tutte queste idee nel vostro arsenale si potrebbe avere molto di più di una chance migliore per raggiungere il successo con il commercio di valuta. A titolo di esempio, si dovrebbe prendere il vostro gioielli costosi vantaggioso per qualche gioielliere e hanno anche una valutazione compiuta su di esso. <br><br>Stabilire e attenersi ad una routine consente di trattare i vostri sforzi pubblicitari simili a una vera e propria organizzazione e può impedirti di procrastinare e ottenere leggermente quello che dovrebbe essere concentrando su intensamente.. Assicuratevi di essere a conoscenza di tutte le informazioni sui tumori che avete, e quando si hanno difficoltà tenendo in mente loro, chiedete un amico o un familiare per assistervi. <br><br>Sfruttate i tipi collettiva di torta, biscotti, o biscotti. Un sacco di persone che soffrono di malattia articolare sarà esitano principalmente al pensiero di possedere trattamento chirurgico fatto per correggere un problema. Molte [http://www.xaviermor.com/noticias/router.asp Abercrombie Outlet] persone sono solo grato per questo prestito personale, e non si dovrebbe interrogare queste cose, che rende facile per le società di prestito di corso di ricezione utilizzando loro..<ul>
*''G'' has no cycles, and a simple cycle is formed if any [[edge (graph theory)|edge]] is added to ''G''.
 
*''G'' is connected, but is not connected if any single edge is removed from ''G''.
  <li>[http://v.o.c.free.fr/spip.php?article104/ http://v.o.c.free.fr/spip.php?article104/]</li>
*''G'' is connected and the 3-vertex [[complete graph]] <math>K_3</math> is not a [[minor (graph theory)|minor]] of ''G''.
 
*Any two vertices in ''G'' can be connected by a unique [[path (graph theory)|simple path]].
  <li>[http://www.forestry.crs.gov.ng/index.php/forum/11-tablets-apple/227999-questo-include-video-nike-shox-baratas.html#228930 http://www.forestry.crs.gov.ng/index.php/forum/11-tablets-apple/227999-questo-include-video-nike-shox-baratas.html#228930]</li>
If ''G'' has finitely many vertices, say ''n'' of them, then the above statements are also equivalent to any of the following conditions:
 
*''G'' is connected and has ''n'' &minus; 1 edges.
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum18259266 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum18259266]</li>
*''G'' has no simple cycles and has ''n'' &minus; 1 edges.
 
As elsewhere in graph theory, the [[order-zero graph]] (graph with no vertices) is generally excluded from consideration: while it is vacuously connected as a graph (any two vertices can be connected by a path), it is not [[n-connected|0-connected]] (or even (&minus;1)-connected) in algebraic topology, unlike non-empty trees, and violates the "one more node than edges" relation.
  <li>[http://xbzd.bdu.edu.cn/xbzd/zwx1/bbs/boke.asp?dwigjkxh.showtopic.72693.html http://xbzd.bdu.edu.cn/xbzd/zwx1/bbs/boke.asp?dwigjkxh.showtopic.72693.html]</li>
 
</ul>


A '''leaf''' is a vertex of [[Degree (graph theory)|degree]] 1. An '''internal vertex''' is a vertex of [[Degree (graph theory)|degree]] at least 2.
== Tacones Nike Baratos ==


An '''irreducible''' (or ''series-reduced'') tree is a tree in which there is no vertex of [[Degree (graph theory)|degree]] 2.
E 'davvero fondamentale che si tiene come collegato il più possibile. Perché hai misurato la quantità di competenze previste dalla pubblicazione distinta che si sta creando per, ora [http://www.tutatis.es/fotos/thumbs/banner.asp Tacones Nike Baratos] avete una elevata probabilità di realizzazione. La gestione di un sito web efficace è sicuramente una determinazione continua, in modo da essere sicuri [http://www.transportesdearte.com/catalan/cancle.php Nike Free 5.0] di essere completamente pronto per il lungo raggio. <br><br>Non utilizzare parole chiave e frasi fuori dal contesto! Con LSI (Latent Semantic Indexing), i motori di ricerca come Google può rintracciare parole chiave e frasi che impiegano la prospettiva e definizione, quindi non c'è alcuna spiegazione per cercare di soddisfare una parola chiave quadrati a destra in una frase arrotondato. <br><br>Recollection è come il tessuto muscolare nel vostro corpo, se non si applica, ti sparso. Impiegare un esperto con anni di esperienza. Il World Wide Web è una grande fonte di siti internet per esempio Beast.com e Craigslist che hanno spesso aperture di carriera. [http://www.probioticosenlafarmacia.com/Resources/test.php Air Max 90] <br><br>" onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Invece, il vostro sito web apparirà poco professionale e inaffidabili ai visitatori del sito.. Utilizzando un display quando si scattano queste foto non potrà mai produrre buone immagini dei gioielli preziosi. <br><br>In America si può utilizzare la sorgente dei dati dei Premi di stato per le energie rinnovabili per verificare i piani di incentivazione quartiere che si poteva sfruttare appieno, ma in aggiunta chiamare il Dipartimento di posto Potere di lavoro. " onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Questo vi aiuterà inspirate ed espirate molto più facile di notte.. <br><br>Materiale isolante aiuta a mantenere l'atmosfera piacevole e accogliente nei mesi estivi insieme con il freddo di ossigeno nei mesi invernali. Ottenere un prestito finanziario da parte della banca al posto di venditore di auto. Per effettivamente dare la vostra attenzione indivisa ai vostri materiali di revisione, togliere le interruzioni tra cui audio o t. <br><br>Search engine marketing è senza dubbio un mestiere, una scienza, sconosciuto e, verso il novizio, un fantastico dolore importante. La maggior parte dei nuovi genitori sono semplicemente influenzati da malattia di mattina presto durante il primo trimestre di gravidanza. <br><br>" onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" [http://www.teatroateatro.com/Static/Scripts/accordion/base.php Nike Factory] onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Ritardo fino a quando hai dimestichezza con riposo quando si indossa una maschera e si dovrebbe notare sicuramente un cambiamento positivo.. Ad esempio, probabilmente si vuole evitare di mobili domestici che possono avere lati incredibilmente affilate, come i vostri ragazzi possono semplicemente causare danni a loro stessi su di loro.<ul>
 
 
{{anchor|forest}}
  <li>[http://www.aiyingfang.cn/bbs/showtopic-903792.aspx http://www.aiyingfang.cn/bbs/showtopic-903792.aspx]</li>
A '''forest''' is an undirected graph, all of whose [[connected component (graph theory)|connected component]]s are trees; in other words, the graph consists of a [[disjoint union]] of trees. Equivalently, a forest is an undirected cycle-free graph. As special cases, an empty graph, a single tree, and the discrete graph on a set of vertices (that is, the graph with these vertices that has no edges), all are examples of forests.
 
 
  <li>[http://tech.fortunetoday.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=346155&fromuid=6172 http://tech.fortunetoday.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=346155&fromuid=6172]</li>
The term '''hedge''' sometimes refers to an ordered sequence of trees.
 
 
  <li>[http://exalted.rp-nexus.com/wiki/User:Dprvbsdb#E_.27stato_a_Pasqua_Bolsos_Louis_Vuitton http://exalted.rp-nexus.com/wiki/User:Dprvbsdb#E_.27stato_a_Pasqua_Bolsos_Louis_Vuitton]</li>
A '''[[polytree]]'''<ref name="d99">See {{harvtxt|Dasgupta|1999}}.</ref> (also known as '''oriented tree'''<ref>See {{harvtxt|Harary|Sumner|1980}}.</ref><ref name="s91">See {{harvtxt|Simion|1991}}.</ref> or '''singly connected network'''<ref name="kp83">See {{harvtxt|Kim|Pearl|1983}}.</ref>) is a [[directed acyclic graph]] (DAG) whose underlying undirected graph is a tree. In other words, if we replace its arcs with edges, we obtain an undirected graph that is both [[Connectivity (graph theory)|connected]] and [[Cycle (graph theory)|acyclic]].
 
 
  <li>[http://www.pitidea.com/activity/p/43816/ http://www.pitidea.com/activity/p/43816/]</li>
A '''directed tree''' is a [[directed graph]] which would be a tree if the directions on the edges were ignored. Some authors restrict the phrase to the case where the edges are all directed towards a particular vertex, or all directed away from a particular vertex (see [[Arborescence (graph theory)|arborescence]]).
 
 
</ul>
{{anchor|rooted tree}}
A tree is called a '''rooted tree''' if one vertex has been designated the '''root''', in which case the edges have a natural orientation, ''towards'' or ''away'' from the root. The ''tree-order'' is the [[partial ordering]] on the vertices of a tree with ''u'' ≤ ''v'' if and only if the unique path from the root to ''v'' passes through ''u''. A rooted tree which is a [[Glossary of graph theory#Subgraphs|subgraph]] of some graph ''G'' is a '''normal tree''' if the ends of every edge in ''G'' are comparable in this tree-order whenever those ends are vertices of the tree {{harv|Diestel|2005|p=15}}. Rooted trees, often with additional structure such as ordering of the neighbors at each vertex, are a key data structure in computer science; see [[tree data structure]]. In a context where trees are supposed to have a root, a tree without any designated root is called a '''free tree'''.
 
In a rooted tree, the '''parent''' of a vertex is the vertex connected to it on the path to the root; every vertex except the root has a unique parent. A '''child''' of a vertex ''v'' is a vertex of which ''v'' is the parent.
 
A '''labeled tree''' is a tree in which each vertex is given a unique label.  The vertices of a labeled tree on ''n'' vertices are typically given the labels 1, 2, …, ''n''. A '''[[recursive tree]]''' is a labeled rooted tree where the vertex labels respect the tree order (''i.e.'', if ''u'' < ''v'' for two vertices ''u'' and ''v'', then the label of ''u'' is smaller than the label of ''v'').
 
An '''[[k-ary tree|n-ary tree]]''' is a rooted tree for which each vertex has at most ''n'' children. ''2-ary trees'' are sometimes called [[binary tree]]s, while ''3-ary trees'' are sometimes called [[ternary tree]]s.
 
A '''terminal vertex''' of a tree is a vertex of degree 1. In a rooted tree, the leaves are all terminal vertices; additionally, the root, if not a leaf itself, is a terminal vertex if it has precisely one child.
 
=== Plane tree ===
An '''{{visible anchor|ordered tree}}''' or '''plane tree''' is a rooted tree for which an ordering is specified for the children of each vertex. This is called a "plane tree" because an ordering of the children is equivalent to an embedding of the tree in the plane, with the root at the top and the children of each vertex lower than that vertex. Given an embedding of a rooted tree in the plane, if one fixes a direction of children, say left to right, then an embedding gives an ordering of the children. Conversely, given an ordered tree, and conventionally drawing the root at the top, then the child nodes in an ordered tree can be drawn left-to-right, yielding an essentially unique planar embedding .
 
A '''leaf''' in a rooted tree is a vertex of degree 1 that is not the root.  A '''terminal vertex''' of a tree is a vertex of degree 1. In a rooted tree, the leaves are all terminal vertices; additionally, the root, if not a leaf itself, is a terminal vertex if it has precisely one child.
 
== Example ==
 
The example tree shown to the right has 6 vertices and 6 &minus; 1 = 5 edges. The unique simple path connecting the vertices 2 and 6 is 2-4-5-6.
 
== Facts ==
 
* Every tree is a [[bipartite graph]] and a [[median graph]]. Every tree with only [[Countable set|countably]] many vertices is a [[planar graph]].
 
* Every connected graph ''G'' admits a [[spanning tree (mathematics)|spanning tree]], which is a tree that contains every vertex of ''G'' and whose edges are edges of ''G''.
 
* Every connected graph with only [[Countable set|countably]] many vertices admits a normal spanning tree {{harv|Diestel|2005|loc=Prop. 8.2.4}}.
 
* There exist connected graphs with [[Uncountable set|uncountably]] many vertices which do not admit a normal spanning tree {{harv|Diestel|2005|loc=Prop. 8.5.2}}.
 
* Every finite tree with ''n'' vertices, with {{nowrap|''n'' > 1}}, has at least two terminal vertices (leaves). This minimal number of terminal vertices is characteristic of [[path graph]]s; the maximal number, {{nowrap|''n'' − 1}}, is attained by [[star graph]]s.
 
* For any three vertices in a tree, the three paths between them have exactly one vertex in common.
 
== Enumeration ==
 
=== Labeled trees ===
[[Cayley's formula]] states that there are ''n''<sup>''n''&minus;2</sup> trees on ''n'' labeled vertices. It can be proved by first showing that the number of trees with vertices ''1,2,...,n,'' of degrees ''d''<sub>1</sub>,''d''<sub>2</sub>,...,''d''<sub>''n''</sub> respectively, is the [[multinomial theorem|multinomial coefficient]]
:<math> {n-2 \choose d_1-1, d_2-1, \ldots, d_n-1}.</math>
An alternative proof uses [[Prüfer sequence]]s.
 
Cayley's formula is the special case of [[complete graph]]s in a more general problem of counting [[spanning tree]]s in an [[undirected graph]], which is addressed by the [[matrix tree theorem]]. The similar problem of counting all the subtrees regardless of size has been shown to be [[Sharp-P-complete|#P-complete]] in the general case ({{harvtxt|Jerrum|1994}}).
 
=== Unlabeled trees ===
Counting the number of unlabeled free trees is a harder problem. No closed  formula for the number ''t''(''n'') of trees with ''n'' vertices [[up to]] [[graph isomorphism]] is known. The first few values of ''t''(''n'') are:
: 1, 1, 1, 1, 2, 3, 6, 11, 23, 47, 106, 235, 551, 1301, 3159, ... {{OEIS|A000055}}.
{{harvtxt|Otter|1948}} proved the asymptotic estimate:
:<math> {t(n) \sim C \alpha^n n^{-5/2} \quad\text{as } n\to\infty,}</math>
with the values ''C'' and α known to be approximately 0.534949606… and 2.95576528565… {{OEIS|A051491}}, respectively. (Here, <math>f \sim g</math> means that <math>\lim_{n \to \infty} f/g = 1 </math>.) This is a consequence of his asymptotic estimate for the number <math>r(n)</math> of unlabeled rooted trees with ''n'' vertices:
:<math>r(n) \sim D\alpha^n n^{-3/2} \quad\text{as } n\to\infty,</math>
with ''D'' around 0.43992401257… and the same α as above (cf. {{harvtxt|Knuth|1997}}, Chap. 2.3.4.4 and  {{harvtxt|Flajolet|Sedgewick|2009}}, Chap. VII.5, p. 475).
 
The first few values of ''r''(''n'') are:<ref>See {{harvtxt|Li|1996}}.</ref>
: 1, 1, 2, 4, 9, 20, 48, 115, 286, 719, 1842, 4766, 12486, 32973, ...
 
==Types of trees==
A [[star (graph theory)|star graph]] is a tree which consists of a single internal vertex (and ''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1 leaves). In other words, a star graph of order ''n'' is a tree of order ''n'' with as many leaves as possible. Its diameter is at most 2.
 
A tree with two leaves (the fewest possible) is a [[path graph]]; a forest in which all components are isolated nodes and path graphs is called a '''linear forest'''. If all vertices in a tree are within distance one of a central path subgraph, then the tree is a [[caterpillar tree]]. If all vertices are within distance two of a central path subgraph, then the tree is a [[List of graphs#Lobster|lobster]].
 
==See also==
*[[Decision tree]]
*[[Pseudoforest]]
*[[Tree structure]]
*[[Tree data structure]]
*[[Unrooted binary tree]]
 
==Notes==
{{Reflist}}
 
==References==
* {{citation
| last1 = Dasgupta| first1 = Sanjoy
| contribution = Learning polytrees
| pages = 134–141
| title = in Proc. 15th Conference on Uncertainty in Artificial Intelligence (UAI 1999), Stockholm, Sweden, July-August 1999
| url = http://cseweb.ucsd.edu/~dasgupta/papers/poly.pdf
| year = 1999}}.
* {{citation
| last1 = Harary | first1 = Frank | author1-link = Frank Harary
| last2 = Sumner | first2 = David
| mr = 603363
| issue = 3
| journal = Journal of Combinatorics, Information & System Sciences
| pages = 184–187
| title = The dichromatic number of an oriented tree
| volume = 5
| year = 1980}}.
* {{citation
| last1 = Kim | first1 = Jin H.
| last2 = Pearl | first2 = Judea
| contribution = A computational model for causal and diagnostic reasoning in inference engines
| pages = 190–193
| title = in Proc. 8th International Joint Conference on Artificial Intelligence (IJCAI 1983), Karlsruhe, Germany, August 1983
| url = http://ijcai.org/Past%20Proceedings/IJCAI-83-VOL-1/PDF/041.pdf
| year = 1983}}.
* {{citation
| last1 = Li | first1 = Gang
| contribution = Generation of Rooted Trees and Free Trees
| page = 9
| title = M.S. Thesis, Dept. of Computer Science, University of Victoria, BC, Canada
| url = http://webhome.cs.uvic.ca/~ruskey/Theses/GangLiMScThesis.pdf
| year = 1996}}.
* {{citation
| last = Simion | first = Rodica | authorlink = Rodica Simion
| doi = 10.1016/0012-365X(91)90061-6
| mr = 1099270
| issue = 1
| journal = Discrete Mathematics
| pages = 93–104
| title = Trees with 1-factors and oriented trees
| volume = 88
| year = 1991}}.
 
== Further reading ==
{{commons category|Tree (graph theory)}}
* {{Citation | last1=Diestel | first1=Reinhard | title=Graph Theory | url=http://diestel-graph-theory.com/index.html | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-3-540-26183-4 | year=2005 }}.
* {{citation | last1=Flajolet | first1= Philippe |last2=Sedgewick|first2=Robert| authorlink2=Robert_Sedgewick_(computer_scientist)| title=Analytic Combinatorics| isbn=978-0-521-89806-5|year=2009|publisher=Cambridge University Press}}
* {{springer|title=Tree|id=p/t094060}}
* {{citation | last=Knuth | first=Donald E. | authorlink=Donald_E._Knuth | title=The Art of Computer Programming Volume 1: Fundamental Algorithms | date=November 14, 1997 | publisher=Addison-Wesley Professional | edition=3rd}}
* {{citation | doi=10.1016/0020-0190(94)00085-9 | author=Jerrum, Mark | year=1994 | title=Counting trees in a graph is #P-complete | journal=Information Processing Letters | volume=51 | issue=3 | pages=111–116 | issn=0020-0190 }}.
* {{citation | first1=Richard | last1=Otter | year=1948 | title=The Number of Trees | journal=Annals of Mathematics. Second Series | volume=49 | issue=3 | pages=583–599 | doi=10.2307/1969046 | jstor=1969046 }}.
 
[[Category:Trees (graph theory)|*]]

Revision as of 20:04, 1 March 2014

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