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| | ==Characterization== |
| | ===Probability density function=== |
| | A [[random variable]] has a Laplace(''μ'', ''b'') distribution if its [[probability density function]] is:<ref>{{cite book|title=Statistical analysis of stochastic processes in time|author=Lindsey, J.K.|page=33|year=2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83741-5}}</ref> |
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| | :<math>f(x|\mu,b) = \frac{1}{2bx} \exp \left( -\frac{|\ln x-\mu|}{b} \right) \,\!</math> |
| | ::<math> = \frac{1}{2bx} |
| | \left\{\begin{matrix} |
| | \exp \left( -\frac{\mu-\ln x}{b} \right) & \mbox{if }x < \mu |
| | \\[8pt] |
| | \exp \left( -\frac{\ln x-\mu}{b} \right) & \mbox{if }x \geq \mu |
| | \end{matrix}\right. |
| | </math> |
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| | The [[cumulative distribution function]] for ''Y'' when ''y'' > 0, is |
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| | : <math>F(y) = 0.5\,[1 + \sgn(\log(y)-\mu)\,(1-\exp(-|\log(y)-\mu|/b))].</math> |
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| | Versions of the log-Laplace distribution based on an [[asymmetry|asymmetric]] Laplace distribution also exist.<ref name=growth/> Depending on the parameters, including asymmetry, the log-Laplace may or may not have a finite [[mean]] and a finite [[variance]].<ref name=growth>{{cite web|title=A Log-Laplace Growth Rate Model|url=http://wolfweb.unr.edu/homepage/tkozubow/0_logs.pdf|author=Kozubowski, T.J. & Podgorski, K.|page=4|publisher=University of Nevada-Reno|accessdate=2011-10-21}}</ref> |
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| | ==References== |
| | {{reflist}} |
| | |
| | {{ProbDistributions|continuous-semi-infinite}} |
| | |
| | [[Category:Continuous distributions]] |
| | [[Category:Probability distributions with non-finite variance]] |
| | {{probability-stub}} |
| | [[Category:Probability distributions]] |
In probability theory and statistics, the log-Laplace distribution is the probability distribution of a random variable whose logarithm has a Laplace distribution. If X has a Laplace distribution with parameters μ and b, then Y = eX has a log-Laplace distribution. The distributional properties can be derived from the Laplace distribution.
Characterization
Probability density function
A random variable has a Laplace(μ, b) distribution if its probability density function is:[1]
![{\displaystyle ={\frac {1}{2bx}}\left\{{\begin{matrix}\exp \left(-{\frac {\mu -\ln x}{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\[8pt]\exp \left(-{\frac {\ln x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e58036006f8b9fed12be0046735f18762efff4a)
The cumulative distribution function for Y when y > 0, is
![{\displaystyle F(y)=0.5\,[1+\operatorname {sgn}(\log(y)-\mu )\,(1-\exp(-|\log(y)-\mu |/b))].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617948bda3081c6d09c146a8a5fa62f715d5375c)
Versions of the log-Laplace distribution based on an asymmetric Laplace distribution also exist.[2] Depending on the parameters, including asymmetry, the log-Laplace may or may not have a finite mean and a finite variance.[2]
References
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