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In [[graph theory]], '''reachability''' refers to the ability to get from one [[Vertex (graph theory)|vertex]] to another within a graph. We say that a vertex <math>s</math> can reach a vertex <math>t</math> (or that <math>t</math> is reachable from <math>s</math>) if there exists a sequence of [[Glossary of graph theory#Basics|adjacent]] vertices (i.e. a [[Glossary of graph theory#Walks|path]]) which starts with <math>s</math> and ends with <math>t</math>.
== Michael Kors Outlet Schweiz Der Grund für den zweiten Outfi ==


In an undirected graph, it is sufficient to identify the [[Connected component (graph theory)|connected components]], as any pair of vertices in such a graph can reach each other if and only if they belong to the same connected component. The connected components of a graph can be identified in linear time. The remainder of this article focuses on reachability in a [[Directed graph|''directed'' graph]] setting.
Der Grund für den zweiten Outfit? Ich wurde eingeladen, die Veranstaltung zu besuchen Tiffany Atlas. Ich hatte so viel Spaß gemacht, ein Outfit zusammen und verbringen die Nacht in der Tiffany-Store auf der 5th Avenue! Als Mädchen kann ich auf jeden Fall von schlechter Orte zu sein :) Ich trug den Helmut Lang Kleid (Bild oben) und haben mehrere ähnliche Aussehen Bild unten vorgesehen denken. Wir alle brauchen einen klassischen schwarzen Kleid! <br><br>Zu dieser Zeit wurden die Daily Mail über unser Interview mit James und Sky News blitzte das eine riesige LBC Logo als sie ein Teil davon wiedergegeben. Ich wurde mit Texten und Tweets von anderen Journalisten fragen oder [http://www.immobiliari-cpdsti.ch/backup/Cureglia/media.asp Michael Kors Outlet Schweiz] James Nummer schwemmt. Ich fürchte, ich musste sagen, dass er nicht in der Verfassung, um weitere Interviews zu tun war, zumal ich mein Interview, indem er ihm dachte ich, er [http://www.immobiliari-cpdsti.ch/backup/Cureglia/media.asp Michael Kors Taschen] mit jemandem sprechen konnte, die ihm raten richtig tun konnte, beendet hatte. <br><br>Einige Bundesgesetze gibt, die versuchen, Sicherheitslücken zu verhindern und zu kriminalisieren, wenn sie passieren. 1030 (2006). Es wurde etwas durch die National [http://www.hotelconnection.ch/slider/move.php Abercrombie And Fitch Schweiz] Information Infrastructure Protection Act von 1996 aktualisiert. . . . "1030 (a) (4). CAFA definiert einen" geschützten Computer "als eine, die eine Regierung, Computer, Finanzinstitut Computer oder ein Computer", die in oder verwendet wird, beeinflussen zwischenstaatlichen oder ausländischen Handels oder Kommunikation. . . . "Wie fast jeder Computer im Internet wird Zugriff auf Server in verschiedenen Staaten, das ist nicht viel von einer Beschränkung überhaupt. Wesentlichen kriminalisiert die CAFA" Black Hat "-Hacker, in ein Computersystem mit Bosheit zu brechen. Es enthält wahrscheinlich die Schaffung <br><br>Alle Anzeigen von Google, Inc. serviert und verbundene Unternehmen können sich mit Hilfe von Cookies gesteuert werden. Diese Cookies ermöglichen es Google, um Anzeigen zu schalten, basierend auf Ihre Besuche auf dieser Website und anderen Websites, die Google Werbedienstleistungen zu nutzen. Erfahren Sie, wie aus der Google-Cookie Nutzung zu entscheiden. <br><br>Also sollten Sie an Artikel Verzeichnisse, die die Politik für ihre Links benutzen? Für mich ist es davon abhängig, wie viele Menschen in meiner Nische glaube ich häufig dieses Verzeichnis. Wenn [http://www.hotelconnection.ch/slider/move.php Abercrombie Schweiz] ich denke, dass sie das Verzeichnis besuchen, oder die Verzeichnis enthält wichtige Ranking in den Suchmaschinen für meine Keywords, dann sage ich ja. <br><br>Rang und Relevanz sind wichtig, weil Ihre Artikel aus dem Verzeichnis, in dem sie auf Ihre Website gehostet back. Artikel auch auf Ihre Website von jedem Ort aus, wo Ihr Artikel veröffentlicht (oder syndizierte), die anderen Websites oder Blogs thirdparty kann back. Diese Backlink, oder "Link-Saft," aids in Ihre Suchmaschinen-Optimierung Anstrengungen und ist eine der Variablen, die Ihre Platzierung in den organischen Suchergebnissen bestimmt. Irrelevant oder nicht verwandten Webseiten, die auf Ihre Website verlinken können sich negativ auf Ihre organischen Such Rang.<ul>
 
  <li>[http://www.yymzj521.com/news/html/?38905.html http://www.yymzj521.com/news/html/?38905.html]</li>
 
  <li>[http://www.philatelie-france-russie.fr/spip.php?article51/ http://www.philatelie-france-russie.fr/spip.php?article51/]</li>
 
  <li>[http://games123.org/activity/p/129174/ http://games123.org/activity/p/129174/]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum16942229 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum16942229]</li>
 
  <li>[http://cgi.www5f.biglobe.ne.jp/mica-style/bbs/aska.cgi http://cgi.www5f.biglobe.ne.jp/mica-style/bbs/aska.cgi]</li>
 
</ul>


== Definition ==
== Abercrombie And Fitch Schweiz als ich merkte ==
For a directed graph <math>G = (V, E)</math>, with vertex set <math>V</math> and edge set <math>E</math>, the reachability [[Relation (mathematics)|relation]] of <math>G</math> is the [[transitive closure]] of <math>E</math>, which is to say the set of all ordered pairs <math>(s,t)</math> of vertices in <math>V</math> for which there exists a sequence of vertices <math>v_0 = s, v_1, v_2, ..., v_k = t</math> such that the edge <math>(v_{i-1},v_i)</math> is in <math>E</math> for all <math>1 \leq i \leq k</math>.<ref name="skiena">{{citation
| last = Skiena | first = Steven S.
| contribution = 15.5 Transitive Closure and Reduction
| edition = 2nd
| isbn = 9781848000698
| pages = 495–497
| publisher = Springer
| title = The Algorithm Design Manual
  | url = http://books.google.com/books?id=7XUSn0IKQEgC&pg=PA495
| year = 2011}}.</ref>


If <math>G</math> is [[directed acyclic graph|acyclic]], then its reachability relation is a [[partial order]]; any partial order may be defined in this way, for instance as the reachability relation of its [[transitive reduction]].<ref>{{citation
Die Nachrichten werden auf jeden Fall ihre Stimmung zu heben und glauben Sie mir, es kostet Sie eine Sache für das Senden einer SMS an Ihre warmen lieber Freund. In der Tat, Deron Williams, John Stockton und Karl Malone hatte kein Problem, es zu tun in Salt Lake City von allen Orten .. Amerikanischer Drohnen auf al Qaida angeblich gefeuert verknüpften Ziele überall von Waziristan im Nordwesten Pakistans an der Bergdörfer befinden . <br><br>Ihre Zugabe bestand aus mehreren treffend platziert Songs. Aber jetzt ist er auf eine neue Freundin bewegt. Und die Website-Nutzer verloren etwa £ 3 .. Also, wenn Filmstars erscheinen auf dem kleinen Bildschirm, leuchten sie es auf. Verhandeln Sie mit Ihrem Partner vorher, wenn Sie eine haben, so dass es nicht immer eine Person, die nimmt sich Zeit für Krankheit, usw. Mittwoch 1 [http://www.hotelconnection.ch/slider/move.php Abercrombie And Fitch Schweiz] 0 Verlust für Everton, Groß erste Heimniederlage gegen die Toffees seit 21 Jahren, hat Alarmglocken . <br><br>Besonders hervorzuheben war die Leistung von Alex Kirwan. Eine Linie Lindsey Vonn hat wiederholt während ihrer berühmten Ski-Rennfahrer-Karriere überquerte .. Ich einfach zurückgewiesen, diese Ansprüche auf der Grundlage der Tatsache, dass die britischen Regierung nicht durch das Gesetz zu unterscheiden, und damit sie keine besonderen Gefälligkeiten erweitern kann, oder geben Sie zusätzliche Leistungen oder zubringen in spezielle Möglichkeiten, [http://www.immobiliari-cpdsti.ch/backup/Cureglia/media.asp Michael Kors Outlet Schweiz] nur eine Gemeinde und [http://www.perpetuumobile.ch/Videos/images/database/session.asp Nike Free Run Schweiz] die gleiche leugnen zu anderen Gemeinden.. <br><br>Hat all das alte Linie schäbigen Vornehmheit Waspy Clubs aus den 1950er Jahren. "Es war ein großer Schock für die Amerikaner, weil die Raumfähre war gekommen, um unsere gesamte technologische Kompetenz darstellen", sagt Sen. Da die meisten Unternehmen haben nicht Urlaub für Ruhe zu Hause in ihrer Beschäftigungspolitik, ist es ratsam, nehmen . <br><br>Bedeutet es, dass Sie mit Ihrem Knöchel geleitet Übeltäter zustimmen müssen? .. Nein, Sie können nicht mit dem metabolischen Maschinerie des Körpers argumentieren, "Eine Frau sprang auf mich, zeigt ihre ID-Karte und das ist, als ich merkte, es war ein URSSAF Check Über Joe Zirpolo:. Als Principal und Lehrer an TTS, . <br><br>Aber ich war immer falsch. Es ist auch möglich, dass braunes Fett einfach nicht verbrennen Energie, oder schmelzen viel Fett, bei den Temperaturen, Menschen in der Regel zu leben, sagt Michael Daly, ein Verhaltensforscher an der [http://www.immobiliari-cpdsti.ch/backup/Cureglia/media.asp Michael Kors Taschen] University of Stirling in England, der die Studie leitete .. Er war in Verbindung mit seiner Frau belastet murder.Marchand OT Tor Aufzüge Bruins über Nashville 3 2Marchand OT Tor Aufzüge Bruins über Nashville 3 2Updated: Donnerstag, 2.<ul>
| last = Cohn | first = Paul Moritz
 
| isbn = 9781852335878
  <li>[http://mariettakaramanli.fr/spip.php?article705/ http://mariettakaramanli.fr/spip.php?article705/]</li>
| page = 17
 
| publisher = Springer
  <li>[http://torncraft.tk/forum/viewtopic.php?f=4&t=279979 http://torncraft.tk/forum/viewtopic.php?f=4&t=279979]</li>
| title = Basic Algebra: Groups, Rings, and Fields
 
| url = http://books.google.com/books?id=VESm0MJOiDQC&pg=PA17
  <li>[http://galleri.kjerringoy.no/displayimage.php?album=155&pos=46 http://galleri.kjerringoy.no/displayimage.php?album=155&pos=46]</li>
| year = 2003}}.</ref>
 
A noteworthy consequence of this is that since partial orders are anti-symmetric, if <math>s</math> can reach <math>t</math>, then we know that <math>t</math> ''cannot'' reach <math>s</math>. Intuitively, if we could travel from <math>s</math> to <math>t</math> and back to <math>s</math>, then <math>G</math> would contain a cycle, contradicting that it is acyclic.
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum16942702 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum16942702]</li>
If <math>G</math> is directed but ''not'' acyclic (i.e. it contains at least one cycle), then its reachability relation will correspond to a [[preorder]] instead of a partial order.
 
<ref>{{citation
  <li>[http://www.lzwvip.com/news/html/?423986.html http://www.lzwvip.com/news/html/?423986.html]</li>
| last = Schmidt | first = Gunther
 
| isbn = 9780521762687
  </ul>
| page = 77
| publisher = Cambridge University Press
| series = Encyclopedia of Mathematics and Its Applications
| title = Relational Mathematics
| url = http://books.google.com/books?id=E4dREBTs5WsC&pg=PA559&lpg=PA77
| volume = 132
  | year = 2010}}.</ref>


== Algorithms ==
== Nike Air Force  von Stanford ==
Algorithms for determining reachability fall into two classes: those that require [[preprocessing]] and those that do not.


If you have only one (or a few) queries to make, it may be more efficient to forgo the use of more complex data structures and compute the reachability of the desired pair directly.  This can be accomplished in [[linear time]] using algorithms such as [[breadth first search]] or [[iterative deepening depth-first search]].<ref>{{citation
"Taktisch [http://www.kunstvereinolten.ch/content/mitgliedschaft/client.asp Nike Air Force] haben wir bessere Matchups. Aber Foto-Bücher haben keine solchen Probleme haben. Insgesamt ist es nicht wie Sie tragen Handschellen sind lenken.". Natürlich, das zählt nicht, das viele, die keine Mühe hatte, ihre Tickets in der letzten Hälfte der Saison zu verwenden. Dies kann ein weiterer Weg, dass ein schlechter Mensch Mikrobe Ehe trägt zu der Entzündung, die die menschliche Gesundheit untergräbt .. In den kommenden Wochen werden zwei Teammitglieder Süden für eine Pause von der Alberta Winter fahren und, sein, während es nicht mehr eine Reise nach Prince Edward . <br><br>Mit der Aufnahme von einem Produkt wie [http://www.kunstvereinolten.ch/content/mitgliedschaft/client.asp Nike Air Max Schweiz] dieses wird die Ausbildung eines Menschen gebunden [http://www.kunstvereinolten.ch/content/mitgliedschaft/client.asp Nike Air Max 90] erfolgreiche .. Dies war das dritte Mal, ungewöhnliche Verletzungen hatte auf das Kind beobachtet worden zu sein. Wenn Sie die Ursache (n), warum die Leute am Ende mit juckende Kopfhaut und die Auswirkungen, die eine Menge von gemeinsamen Zutaten in Shampoos sind nachweislich auf die Haut, die bereits aus dem Gleichgewicht haben, dann verstehen die meisten von uns würden sagen, "natürlich habe ich . <br><br>Dies blieb weg von der politischen Schwierigkeiten der Zeit und folgte dem Zweck, in der es erstellt wurde. Guig für Chirurgie und Beratungen, aber die regelmäßige, zweimal im Jahr tiefe Reinigungen werden von seinem Partner durchgeführt wird, eine Frau namens Dr. ABC Jonathan Karl, Arlette Saenz, und Emily Friedman Bericht aus Waukesha, Wisconsin, USA: Mit Tausenden während seiner ersten jubeln ihm . <br><br>Im Laufe der Jahre hat die höchste Qualität BITS technische Ausbildung für Studierende aus auf der Grundlage der Leistungen in ganz Indien zugelassen ist. Ich hatte das ein paar Mal passiert. 9. Wir alle über die scheinbar arkadi mütterlichen Blätter in den nordischen Ländern gehört. Egal, was Sie predigen, manchmal musst du einfach nur Lüge. Es ist nicht leicht. <br><br>Ich würde lieber sie jeweils 100 Einheiten, aber wenn das richtige Angebot kommt Größe weniger wichtig. In einem Land nach, wenn sie an der Regierung laufen Gesundheitsversorgung zu gehen, die Kosten der Versorgung steigt und die Qualität der Versorgung untergeht. Wie ich bereits sagte, habe ich sowohl ein Elternteil und ein professioneller, und während ich Schwierigkeiten haben, meine Meinung Wickeln um die jüngsten Ereignisse, fühle ich mich berufen, zu teilen, was ich kann, um uns alle zu erhalten, darüber nachzudenken, wie wir direkte Kommunikationskanäle Marken sind nun eingebaut verwalten . <br><br>So ist [http://www.kunstvereinolten.ch/content/mitgliedschaft/client.asp Nike Air Max] es nur Recht, wichtige Informationen vorenthalten werden Sie nach und nach für sich entdecken. Aber die Forschung am häufigsten Stressoren ist weniger klar. Ich möchte Arzt werden. 5, daher konzentrieren sich auf Inhalte ist zwingend erforderlich. War mehr ein, dass Sie in Kontakt bleiben, und wenn Sie nach Hause kommen, haben wir Weihnachten, und du schuldest mir. (Schauen Sie sich die cleveren Video er machte, als er "kein Leben und kein Job", wie man in Harvard zu bekommen: In ihr spielt er Violine, Klavier und Dreieck; dorky trägt Brille und Dribblings während des Studiums, und stöhnt darum, von Stanford, seinen Traum Schule abgelehnt.)..<ul>
| last = Gersting | first = Judith L.
 
| edition = 6th
  <li>[http://cmbcnj.com/news/html/?611970.html http://cmbcnj.com/news/html/?611970.html]</li>
| isbn = 9780716768647
 
| page = 519
  <li>[http://bbs.ckzc.com/forum.php?mod=viewthread&tid=392555 http://bbs.ckzc.com/forum.php?mod=viewthread&tid=392555]</li>
| publisher = Macmillan
 
| title = Mathematical Structures for Computer Science
  <li>[http://medwon.egloos.com/2857578/ http://medwon.egloos.com/2857578/]</li>
| url = http://books.google.com/books?id=lvAo3AeJikQC&pg=PA519
 
| year = 2006}}.</ref>
  <li>[http://general.assembly.codesria.org/spip.php?article87&lang=pt/ http://general.assembly.codesria.org/spip.php?article87&lang=pt/"/]</li>
 
 
If you will be making many queries, then a more sophisticated method may be used; the exact choice of method depends on the nature of the graph being analysed. In exchange for preprocessing time and some extra storage space, we can create a data structure which can then answer reachability queries on any pair of vertices in as low as <math>O(1)</math> time. Three different algorithms and data structures for three different, increasingly specialized situations are outlined below.
  <li>[http://www.mingjiuxuan.com/news/html/?362032.html http://www.mingjiuxuan.com/news/html/?362032.html]</li>
 
 
=== Floyd-Warshall Algorithm ===
  </ul>
 
The [[Floyd–Warshall algorithm]]<ref>{{citation
| last1 = Cormen | first1 = Thomas H. | author1-link = Thomas H. Cormen
| last2 = Leiserson | first2 = Charles E. | author2-link = Charles E. Leiserson
| last3 = Rivest | first3 = Ronald L. | author3-link = Ronald L. Rivest
| last4 = Stein | first4 = Clifford | author4-link = Clifford Stein
| contribution = Transitive closure of a directed graph
| edition = 2nd
| isbn = 0-262-03293-7
| pages = 632–634
| publisher = MIT Press and McGraw-Hill
| title = [[Introduction to Algorithms]]
| year = 2001}}.</ref>
can be used to compute the transitive closure of any directed graph, which gives rise to the reachability relation as in the definition, above.
 
The algorithm requires <math>O(|V|^3)</math> time and <math>O(|V|^2)</math> space in the worst case. This algorithm is not solely interested in reachability as it also computes the shortest path distance between all pairs of vertices. For graphs containing negative cycles, shortest paths may be undefined, but reachability between pairs can still be noted.
 
=== Thorup's Algorithm ===
 
For [[Planar Graph|planar]] [[Directed graph|digraphs]], a much faster method is available, as described by [[Mikkel Thorup]] in 2004.<ref>{{citation
| last = Thorup | first = Mikkel | author-link = Mikkel Thorup
| doi = 10.1145/1039488.1039493
| issue = 6
| journal = [[Journal of the ACM]]
| mr = 2145261
| pages = 993–1024
| title = Compact oracles for reachability and approximate distances in planar digraphs
| volume = 51
| year = 2004}}.</ref>
This method can answer reachability queries on a planar graph in
<math>O(1)</math> time after spending <math>O(n \log{n})</math> preprocessing time to create a data
structure of <math>O(n \log{n})</math> size. This algorithm can also supply approximate
shortest path distances, as well as route information.
 
The overall approach is to associate with each vertex a relatively small set of
so-called separator paths such that any path from a vertex <math>v</math> to any other
vertex <math>w</math> must go through at least one of the separators associated with <math>v</math> or
<math>w</math>. An outline of the reachability related sections follows.
 
Given a graph <math>G</math>, the algorithm begins by organizing the vertices into layers starting from an
arbitrary vertex <math>v_0</math>. The layers are built in alternating steps by first
considering all vertices reachable ''from'' the previous step (starting with
just <math>v_0</math>) and then all vertices which reach ''to'' the previous step until
all vertices have been assigned to a layer. By construction of the layers, every
vertex appears at most two layers, and every [[Path (graph theory)#Different types of paths|directed path]], or dipath, in <math>G</math> is contained within
two adjacent layers <math>L_i</math> and <math>L_{i+1}</math>. Let <math>k</math> be the last layer created, that
is, the lowest value for <math>k</math> such that <math>\bigcup_{i=0}^{k} = V</math>.
 
The graph is then re-expressed as a series of digraphs <math>G_0, G_1, \ldots,
G_{k-1}</math> where each <math>G_i = r_i \cup L_i \cup L_{i+1}</math> and where <math>r_i</math> is the
contraction of all previous levels <math>L_0 \ldots L_{i-1}</math> into a single vertex.
Because every dipath appears in at most two consecutive layers, and because
each <math>G_i</math> is formed by two consecutive layers, every dipath in <math>G</math> appears in
its entirety in at least one <math>G_i</math> (and no more than 2 consecutive such graphs)
 
For each <math>G_i</math>, three separators are identified which, when removed, break the
graph into three components which each contain at most <math>1/2</math> the vertices of the
original. As <math>G_i</math> is built from two layers of opposed dipaths, each separator
may consist of up to 2 dipaths, for a total of up to 6 dipaths over all of the
separators. Let <math>S</math> be this set of dipaths. The proof that such separators can always be
found is related to the [[Planar Separator Theorem]] of Lipton and Tarjan, and these
separators can be located in linear time.
 
For each <math>Q \in S</math>, the directed nature of <math>Q</math> provides for a natural indexing
of its vertices from the start to the end of the path. For each vertex <math>v</math>
in <math>G_i</math>, we locate the first vertex in <math>Q</math> reachable by <math>v</math>, and the last
vertex in <math>Q</math> that reaches to <math>v</math>.
That is, we are looking at how early into <math>Q</math> we can get from <math>v</math>, and how far
we can stay in <math>Q</math> and still get back to <math>v</math>. This information is stored with
each <math>v</math>. Then for any pair of vertices <math>u</math> and <math>w</math>, <math>u</math> can reach <math>w</math> ''via'' <math>Q</math> if <math>u</math> connects to <math>Q</math> earlier than <math>w</math> connects from <math>Q</math>.
 
Every vertex is labelled as above for each step of the recursion which builds
<math>G_0 \ldots, G_k</math>. As this recursion has logarithmic depth, a total of
<math>O(\log{n})</math> extra information is stored per vertex. From this point, a
logarithmic time query for reachability is as simple as looking over each pair
of labels for a common, suitable <math>Q</math>. The original paper then works to tune the
query time down to <math>O(1)</math>.
 
In summarizing the analysis of this method, first consider that the layering
approach partitions the vertices so that each vertex is considered only <math>O(1)</math>
times. The separator phase of the algorithm breaks the graph into components
which are at most <math>1/2</math> the size of the original graph, resulting in a
logarithmic recursion depth. At each level of the recursion, only linear work
is needed to identify the separators as well as the connections possible between
vertices. The overall result is <math>O(n \log n)</math> preprocessing time with only
<math>O(\log{n})</math> additional information stored for each vertex.
 
=== Kameda's Algorithm ===
 
[[File:Graph suitable for Kameda's method.svg|thumb|right|200px|A suitable digraph for Kameda's method with <math>s</math> and <math>t</math> added.]]
 
[[File:Kameda's algorithm run.svg|thumb|right|200px|The same graph as above after Kameda's algorithm has run, showing the DFS labels for each vertex]]
 
An even faster method for pre-processing, due to T. Kameda in 1975,<ref>{{citation
| last = Kameda | first = T
| journal = [[Information Processing Letters]]
| volume = 3
| number = 3
| pages = 75–77
| title = On the vector representation of the reachability in planar directed graphs
| year = 1975}}.</ref>
can be used if the graph is planar, acyclic, and also exhibits the following additional properties: all 0-[[Directed graph#Indegree and outdegree|indegree]] and all 0-[[Directed graph#Indegree and outdegree|outdegree]] vertices appear on the same [[Glossary of graph theory#Genus|face]] (we will assume this is the outer face), and it is possible to partition the boundary of that face into two parts such that all 0-indegree vertices appear on one part, and all
0-outdegree vertices appear on the other (i.e. the two types of vertices do not alternate).
 
If <math>G</math> exhibits these properties, then we can preprocess the graph in only
<math>O(n)</math> time, and store only <math>O(\log{n})</math> extra bits per vertex, answering
reachability queries for any pair of vertices in <math>O(1)</math> time with a simple
comparison.
 
Preprocessing performs the following steps. We add a new vertex <math>s</math> which has an edge to each 0-indegree vertex, and another new vertex <math>t</math> with edges to each 0-outdegree vertex. Note that the properties of <math>G</math> allow us to do so while maintaining planarity, that is, there will still be no edge crossings after these additions. For each vertex we store the list of adjacencies (out-edges) in order of the planarity of the graph (for example, clockwise with respect to the graph's embedding). We then initialize a counter <math>i = n + 1</math> and begin a Depth-First Traversal from <math>s</math>. During this traversal, the adjacency list of each vertex is visited from left-to-right as needed. As vertices are popped from the traversal's stack, they are labelled with the value <math>i</math>, and <math>i</math> is then decremented. Note that <math>t</math> is always labelled with the value <math>n+1</math> and <math>s</math> is always labelled with <math>0</math>. The depth-first traversal is then repeated, but this time the adjacency list of each vertex is visited from right-to-left.
 
When completed, <math>s</math> and <math>t</math>, and their incident edges, are removed. Each
remaining vertex stores a 2-dimensional label with values from <math>1</math> to <math>n</math>.
Given two vertices <math>u</math> and <math>v</math>, and their labels <math>L(u) = (a_1, a_2)</math> and <math>L(v) =(b_1, b_2)</math>, we say that <math>L(u) < L(v)</math> if and only if <math>a_1 \leq b_1</math>, <math>a_2 \leq
b_2</math>, and there exists at least one component <math>a_1</math> or <math>a_2</math> which is strictly
less than <math>b_1</math> or <math>b_2</math>, respectively.
 
The main result of this method then states that <math>v</math> is reachable from <math>u</math> if and
only if <math>L(u) < L(v)</math>, which is easily calculated in <math>O(1)</math> time.
 
== Related Problems ==
 
A related problem is to solve reachability queries with some number <math>k</math> of vertex failures. For example: "Can vertex <math>u</math> still reach vertex <math>v</math> even though vertices <math>s_1, s_2, ..., s_k</math> have failed and can no longer be used?" A similar problem may consider edge failures rather than vertex failures, or a mix of the two. The breadth-first search technique works just as well on such queries, but constructing an efficient oracle is more challenging.<ref>{{citation
| last1 = Demetrescu | first1 = Camil
| last2 = Thorup | first2 = Mikkel | author2-link = Mikkel Thorup
| last3 = Chowdhury | first3 = Rezaul Alam
| last4 = Ramachandran | first4 = Vijaya
| doi = 10.1137/S0097539705429847
| issue = 5
  | journal = [[SIAM Journal on Computing]]
| mr = 2386269
| pages = 1299–1318
| title = Oracles for distances avoiding a failed node or link
| volume = 37
| year = 2008}}.</ref>
 
Another problem related to reachability queries is in quickly recalculating changes to reachability relationships when some portion of the graph is changed. For example, this is a relevant concern to [[Garbage collection (computer science)|garbage collection]] which needs to balance the reclamation of memory (so that it may be reallocated) with the performance concerns of the running application.
 
== See also ==
* [[Gammoid]]
* [[St-connectivity|''st''-connectivity]]
 
==References==
{{reflist}}
 
[[Category:Graph connectivity]]

Latest revision as of 23:59, 2 December 2014

Michael Kors Outlet Schweiz Der Grund für den zweiten Outfi

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