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In [[mathematics]], '''restriction of scalars''' (also known as "Weil restriction") is a [[functor]] which, for any finite [[field extension|extension]] of fields ''L/k'' and any [[algebraic variety]] ''X'' over ''L'', produces another variety ''Res''<sub>''L''/''k''</sub>''X'', defined over ''k''.  It is useful for reducing questions about varieties over large fields to questions about more complicated varieties over smaller fields.
== 秦Yuは思慮深くうなずいた ==


== Definition ==
ではそう思います [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_8.php クリスチャンルブタン パンプス]。<br><br>「しかし火の紫色のビーズソースだけ神がポール雪の殺し屋は、あなたの貴重​​な品物ほど良好ではない程度に、不分明Lingbao三ストリームすることができます。」Forberダンシャオは言った [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_7.php クリスチャンルブタン 取扱店]。<br><br>秦Yuは思慮深くうなずいた。<br>彼はあいまいLingbaoのみ神々のパワーよりも、必ずしも強い固有のあいまいオーラを表す知っているこの点を<br>で、不分明Lingbaoのレベルに依存します。香港孟Lingbaoこの三流ではなく、何もない [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_12.php クリスチャンルブタン ブーツ]。<br><br>Forber音が急に変化し、言った：使用するかのアプローチがわからない、 [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_5.php クリスチャンルブタン 店舗] 'しかし、火の9紫色のビーズ源は、多くのことを精錬の所有者だった、所有者は9紫色のビーズがほとんど、大きなパワーを火の源を融合させてみましょう寺院はファンの中核となっているが、増加します。 '<br><br>「コア？ '秦Yuは考えているようだ何を感じています。<br><br>Forberはうなずい：「過去の紫色のビーズのこれら9個のソースは精錬火災、火災の家にある、所有者が去ったときどの火災からのエネルギーの抽出は、混合デバイスの所有者のためにそれを容易にすることができるので、これらの9つを置く [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_6.php クリスチャンルブタン 銀座]。火器管制の源に紫色のビーズ
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Let ''L/k'' be a finite extension of fields, and ''X'' a variety defined over ''L''.  The functor <math>\mathrm{Res}_{L/k}X</math> from ''k''-[[scheme (mathematics)|schemes]]<sup>op</sup> to sets is defined by
== 「さて、あなたはNabingの神々を使用しませんでした ==


:<math>\mathrm{Res}_{L/k}X(S) = X(S \times_k L)</math>
コア）。<br>魂のコア元英、パワー神々のコアのシエラセーバーの宝物のための<br>魂。<br><br>神々が心を習得、魂は、一般的にシエラ·セーバの元英ハンドヘルドトレジャーです [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_7.php クリスチャンルブタン 東京]。<br><br>******<br><br>秦ゆうの目は3つの予備1掃引、これらの3つは、すべての3つの予備カットスティックで武装している。この三鞭三分のカットがスティックを作っている。秦Yuはあっても、このホイップ高精錬スキルを認めざるを得ない [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_13.php クリスチャンルブタン通販]。<br><br>「秦ゆう、あなたが実際に予備の電源をオフに私こっそり、しかし、あなたは決してチャンス。前回はあなたを殺していない、これは......「スペアの一つは冷笑 [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_10.php クリスチャンルブタン 銀座]。<br>瞬間に<br>、約9ペアは秦ゆうはまだ自信に満ちて殺す。<br><br>は約9ハート、秦ゆうが、神々の下の部分を話して、唯一の超能力 [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_6.php クリスチャンルブタン スニーカー] '海岸に海岸」に依存していました。彼は約9フルショット、秦ゆう確実な死を話したら。<br><br>「3、すべて殺されなければならないが、1を免れることはできない。 [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_14.php クリスチャンルブタン メンズ 靴] '秦ゆう心が逸れ。<br><br>「さて、あなたはNabingの神々を使用しませんでした
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(In particular, the ''k''-rational points of <math>\mathrm{Res}_{L/k}X</math> are the ''L''-rational points of ''X''.) The variety that [[representable functor|represents]] this functor is called the restriction of scalars, and is unique up to unique isomorphism if it exists.
== of course ==


From the standpoint of [[sheaf (mathematics)|sheaves]] of sets, restriction of scalars is just a pushforward along the morphism Spec ''L'' <math>\to</math> Spec ''k'' and is [[right adjoint]] to [[fiber product]], so the above definition can be rephrased in much more generality. In particular, one can replace the extension of fields by any morphism of ringed [[topos|topoi]], and the hypotheses on ''X'' can be weakened to e.g. stacks.  This comes at the cost of having less control over the behavior of the restriction of scalars.
This Sanxian party wants to win another one again, but [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_10.php クリスチャンルブタン ブーツ] the party is nuji casual magic. Happening map was going to hand [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_10.php クリスチャンルブタン ブーツ] them to be real good to win, of course, black empty of blood, who is very angry, but also want to win this one hands Sanxian Happening map.<br><br>just at the moment the two parties have gathered a lot of casual repair expert. Once the fight up, it is estimated the whole continent will be bloody Dragon<br><br>gold wood flew from the riots Xinghai Island, Qin Yu three brothers also consumes some time.<br>Kijima within<br>ancient Chuansong Zhen Jin, Qin Yu trio is which.<br><br>the body energy input within this ancient piece of transmission, while the entire Chuansong [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_0.php クリスチャンルブタン 価格] Zhen began to light [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_5.php クリスチャンルブタン バッグ] up, while the surrounding space began to shock up, I saw a flash of light, Qin Yu trio disappeared in the gold directly Kijima.<br><br>riots Xinghai south, also has an island - cod island.<br><br>the island year-round snow cover, the top of a hill on the island there is a crescent lake, this lake there being a special kind of fish, because the fish body white, [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_13.php クリスチャンルブタン] plus
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== Properties ==
== it is seeking death. ==


For any finite extension of fields, the restriction of scalars takes quasiprojective varieties to quasiprojective varieties.  The dimension of the resulting variety is multiplied by the degree of the extension.
The.<br><br>five evil purple dragon found around the line of sight is blocked Tao waves, also nuji, spiritual knowledge immediately spread out, the crowd [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_9.php クリスチャンルブタン] suddenly see big hurry.<br><br>saw [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_8.php クリスチャンルブタン スニーカー] Hou Kun exalted black [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_4.php クリスチャンルブタン セール] rod, moving his brothers in the youngest Di Yang attack, but Yang Di imaginary mid-dong, although become evil purple dragon, but the face of the state into the storm mad Hou Fei, is also not a rival attack attack also, following the [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_0.php クリスチャンルブタン メンズ 靴] strong shake Hou Fei, it is seeking death.<br><br>Di Yang also Jingnu.<br><br>mouth one, a glaucoma shot, the wind on the long, had normal size feijian soon turned into feet length, Hou Fei black [http://www.lamartcorp.com/modules/mod_menu/rakuten_cl_7.php クリスチャンルブタン 激安] bars are generally highly Hou Fei, the two collide, crash issue Jintie Voices.<br><br>'Drink!'<br><br>Hou Fei uttered a roar, then smashed fly feijian aside, still spending a black rod, the other brother is simply too late to help, Di positive response soon, when the injection feijian grabbing, own horn is also directly change long.<br><br>'Clang!'<br><br>black rod and has become more than ten meters length
 
相关的主题文章：
Under appropriate hypotheses (e.g., flat, proper, finitely presented), any morphism <math>T \to S</math> of [[algebraic space]]s yields a restriction of scalars functor that takes [[algebraic stack]]s to algebraic stacks, preserving properties such as Artin, Deligne-Mumford, and representability.
<ul>
 
 
== Examples and applications ==
  <li>[http://dsodkc.com/index.cgi http://dsodkc.com/index.cgi]</li>
 
 
1) Let ''L'' be a finite extension of ''k'' of degree s. Then <math>\mathrm{Res}_{L/k}</math>(Spec ''L'') = Spec(''k'') and
  <li>[http://hi809.com/forum.php?mod=viewthread&tid=165757 http://hi809.com/forum.php?mod=viewthread&tid=165757]</li>
<math>Res_{L/k}\mathbb{A}^1</math>
 
is an s-dimensional affine space <math> \mathbb{A}^s</math> over Spec ''k''.
  <li>[http://www.hellenism.net/cgi-bin/personal/gen.cgi http://www.hellenism.net/cgi-bin/personal/gen.cgi]</li>
 
 
2) If ''X'' is an affine ''L''-variety, defined by
</ul>
 
:<math>X = \text{Spec} L[x_1, \dots, x_n]/(f_1,\dots,f_m)</math>
 
we can write <math>\mathrm{Res}_{L/k}X</math> as Spec <math>k[y_{i,j}]/(g_{l,r})</math>, where ''y<sub>i,j</sub>''
(<math>1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq s</math>) are new variables, 
and ''g<sub>l,r</sub>'' are polynomials in <math>y_{i,j}</math> given by taking a ''k''-basis <math>e_1, \dots, e_s</math> of ''L'' and setting <math>x_i = y_{i,1}e_1 + \dots + y_{i,s}e_s</math> and <math>f_t = g_{t,1}e_1 + \dots + g_{t,s}e_s</math>.
 
3) Restriction of scalars over a finite extension of fields takes [[group scheme]]s to group schemes.
 
In particular:
 
4) The torus
 
:<math>\mathbb{S} := \mathrm{Res}_{\mathbb{C}/\mathbb{R}} \mathbb{G}_m</math>
 
where '''G'''<sub>m</sub> denotes the multiplicative group, plays a significant role in Hodge theory, since the [[Tannakian category]] of real [[Hodge structure]]s is equivalent to the category of representations of '''S'''.  The real points have a [[Lie group]] structure isomorphic to <math>\mathbb{C}^\times</math>. See [[Mumford–Tate group]].
 
5) The Weil restriction of a (commutative) group variety is again a (commutative) group variety, if ''L'' is separable over ''k''. Aleksander Momot applied restriction of scalars on group varieties and obtained numerous generalizations of classical results from [[transcendence theory]].
 
6) Restriction of scalars on [[abelian variety|abelian varieties]] (e.g. [[elliptic curve]]s) yields abelian varieties, if ''L'' is separable over ''k''. James Milne used this to reduce the [[Birch and Swinnerton-Dyer conjecture]] for abelian varieties over all [[algebraic number field|number fields]] to the same conjecture over the rationals.
 
7) In [[elliptic curve cryptography]], the [[Weil descent]] attack uses the Weil restriction to transform a [[discrete logarithm problem]] on an [[elliptic curve]] over a finite extension field L/K, into a discrete log problem on the [[Jacobian variety]] of a [[hyperelliptic curve]] over the base field K, that is potentially easier to solve because of K's smaller size.
 
== Weil restrictions vs. Greenberg transforms ==
 
Restriction of scalars is similar to the Greenberg transform, but does not generalize it, since the ring of [[Witt vector]]s on a commutative algebra ''A'' is not in general an ''A''-algebra.
 
 
== References ==
The original reference is Section 1.3 of Weil's 1959-1960 Lectures, published as:
 
* Andre Weil. "Adeles and Algebraic Groups",  Progress in Math. '''23''', Birkh&auml;user 1982. Notes of Lectures given 1959-1960.
 
Other references:
 
* Siegfried Bosch, Werner Lütkebohmert, Michel Raynaud. "Néron models", Springer-Verlag, Berlin 1990.
 
* James S. Milne. "On the arithmetic of abelian varieties", Invent. Math. '''17''' (1972) 177-190.
 
* Aleksander Momot. "Density of rational points on commutative group varieties and small transcendence degree", http://arxiv.org/pdf/1011.3368v5
 
* Martin Olsson.  "Hom stacks and restriction of scalars", Duke Math J., '''134''' (2006), 139–164.  http://math.berkeley.edu/~molsson/homstackfinal.pdf
 
* Bjorn Poonen.  "Rational points on varieties", http://math.mit.edu/~poonen/papers/Qpoints.pdf
 
* [[Nigel Smart (cryptographer)|Nigel Smart]], Weil descent page with bibliography, http://www.cs.bris.ac.uk/~nigel/weil_descent.html
 
[[Category:Algebraic varieties]]
[[Category:Scheme theory]]

Latest revision as of 02:40, 22 April 2014

秦Yuは思慮深くうなずいた

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神々が心を習得、魂は、一般的にシエラ·セーバの元英ハンドヘルドトレジャーです クリスチャンルブタン 東京。

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「3、すべて殺されなければならないが、1を免れることはできない。 クリスチャンルブタン メンズ 靴 '秦ゆう心が逸れ。

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just at the moment the two parties have gathered a lot of casual repair expert. Once the fight up, it is estimated the whole continent will be bloody Dragon

gold wood flew from the riots Xinghai Island, Qin Yu three brothers also consumes some time.
Kijima within
ancient Chuansong Zhen Jin, Qin Yu trio is which.

the body energy input within this ancient piece of transmission, while the entire Chuansong クリスチャンルブタン 価格 Zhen began to light クリスチャンルブタン バッグ up, while the surrounding space began to shock up, I saw a flash of light, Qin Yu trio disappeared in the gold directly Kijima.

riots Xinghai south, also has an island - cod island.

the island year-round snow cover, the top of a hill on the island there is a crescent lake, this lake there being a special kind of fish, because the fish body white, クリスチャンルブタン plus 相关的主题文章：

it is seeking death.

The.

five evil purple dragon found around the line of sight is blocked Tao waves, also nuji, spiritual knowledge immediately spread out, the crowd クリスチャンルブタン suddenly see big hurry.

saw クリスチャンルブタン スニーカー Hou Kun exalted black クリスチャンルブタン セール rod, moving his brothers in the youngest Di Yang attack, but Yang Di imaginary mid-dong, although become evil purple dragon, but the face of the state into the storm mad Hou Fei, is also not a rival attack attack also, following the クリスチャンルブタン メンズ 靴 strong shake Hou Fei, it is seeking death.

Di Yang also Jingnu.

mouth one, a glaucoma shot, the wind on the long, had normal size feijian soon turned into feet length, Hou Fei black クリスチャンルブタン 激安 bars are generally highly Hou Fei, the two collide, crash issue Jintie Voices.

'Drink!'

Hou Fei uttered a roar, then smashed fly feijian aside, still spending a black rod, the other brother is simply too late to help, Di positive response soon, when the injection feijian grabbing, own horn is also directly change long.

'Clang!'

black rod and has become more than ten meters length 相关的主题文章：

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