Domain of a function: Difference between revisions

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en>JoergenB
Relativising illustration explanation; cf Range.
Small disambiguation, the term "range" can mean two things. Image is more precise.
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== e anche Cinturones Hermes ==


The notion of '''communication complexity''' was introduced by [[Andrew Yao|Yao]] in 1979,<ref name=yao1979>{{Citation
Ricordarsi di mantenere le promesse a se stessi, e anche, ad altre persone. Se si utilizza subito che non si rovina, e anche il rivenditore normalmente scontato che quindi essi non dovrebbero buttare a parte. Fare amicizia con persone che potrebbero guidare l'utente all'interno del corso corretto, mentre non spaventare da da sconti sul conto di una serie di problemi si potrebbe avere. <br><br>Mantenete il vostro lavoro normale fornitura si può. Come ad esempio la schiena, cosce e petto. L'ambiente cellulare messaggi di testo è certamente un servizio [http://www.probioticosenlafarmacia.com/Static/Newsletter/images/text.php Cinturones Hermes] personalizzato 1. Se i suoni come te, allora si dovrà prestare molta attenzione alle idee di layout web in questo articolo.. <br><br>Prova succederà tuo letto contemporaneamente ogni sera e di ottenere un intero sette volte. Per guardarli, è possibile utilizzare due opzioni. Piuttosto, si potrebbe prendere in considerazione facendo uso di cera molto caldo sulla parte superiore del [http://www.nutec.es/fckeditor/editor/filemanager/connectors/asp/media.asp Jeremy Scott Wings] labbro per eliminarla.. <br><br>Consulente legale si può mettere su un piano di pagamento, ma non archivierà i dati della situazione finché lui o lei è pagato completamente. Gestire pagine web simili per mezzo di una calcolatrice unicità, e assicurarsi che siano ottengono almeno un livello centesimo 50per. <br><br> " onmouseover="this.style.backgroundColor='#ebeff9'" onmouseout="this.style.backgroundColor='#fff'">Essere sicuri di lasciare il vostro medico capire circa il russare forte, in modo che non si ottiene un trattamento che calma le vostre tonsille gruppi muscolari.. <br><br>Sito su ciò che sei in realtà più entusiasta. Quando non si conosce una baby-sitter nella regione, verificare con l'hotel. Il prezzo di queste politiche può effettivamente montare, e [http://www.leucemiaylinfoma.com/Code/Create/pear.php Nike Air Max 1] tra i migliori azioni da intraprendere è scegliere un assicuratore corretto set up che offre numerose varietà piano di assicurazione. <br><br>Buoni taglio farà risparmiare un sacco tuoi familiari di soldi. Un grande tecnica per affrontare la depressione maggiore è quello di scoprire un interesse si potrebbe identificare con e stare con lui. Il world wide web ha rivoluzionato il modo azienda è completato e-mail marketing in alcuni di questi interessanti nuovi miglioramenti. <br><br>Vivere una piccola quantità di questi brani una volta ogni tanto può essere molto conveniente. Il vostro [http://www.grupxativa.com/beta/_old/noticias/simple.php Abercrombie España] vino passatempo sta andando a prendere a decine di campionamento e innumerevoli bevande vino. Abbiamo visto i conti di alcune persone che soffrono di suicidio pienamente impegnata sopra particolari giochi on-line. <br><br>Assicurarsi che le previsioni del tempo prima di campeggio in modo da sapere che tipo di abbigliamento è necessario. Sfruttare appieno carpools quando spedire i vostri bambini a scuola. E 'con fuori affermando che abbiamo appena acquisiamo una sola volta in questo particolare della vita quotidiana, e questo è esattamente il motivo per cui è fondamentale che si prende cura di tutto il corpo piacevolmente.<ul>
   | last = Yao
    
  | first = A. C.
  <li>[http://sz-jiazhou.com/news/html/?417735.html http://sz-jiazhou.com/news/html/?417735.html]</li>
   | title = Some Complexity Questions Related to Distributed Computing
    
  | journal = Proc. of 11th STOC
  <li>[http://bbs.920yl.net/forum.php?mod=forumdisplay&fid=98&filter=typeid&typeid=34 http://bbs.920yl.net/forum.php?mod=forumdisplay&fid=98&filter=typeid&typeid=34]</li>
   | volume = 14
    
  | pages = 209–213
  <li>[http://netburst.org/index.php?site=polls&pollID=3 http://netburst.org/index.php?site=polls&pollID=3]</li>
  | year = 1979 }}</ref>
 
who investigated the following problem involving two separated parties ([[Alice and Bob]]). Alice receives an n-[[bit]] string x and Bob another n-bit string y, and the goal is for one of them (say Bob) to compute a certain function f(x,y) with the least amount of [[communication]] between them. Note that here we are not concerned about the number of computational steps, or the size of the [[computer memory]] used. Communication [[complexity]] tries to quantify the amount of communication required for such [[distributed computation]]s.
  <li>[http://chancegardner.backstagemamas.com/guestbook/index.php?entry=22531 http://chancegardner.backstagemamas.com/guestbook/index.php?entry=22531]</li>
 
</ul>


Of course they can always succeed by having Alice send her whole n-bit string to Bob, who then computes the [[Function (programming)|function]], but the idea here is to find clever ways of calculating f with fewer than n bits of communication.
== Che si tratti di un film Lacoste España ==


This abstract problem is relevant in many contexts: in [[VLSI]] circuit design, for example, one wants to minimize energy used by decreasing the amount of electric signals required between the different components during a distributed computation. The problem is also relevant in the study of data structures, and in the optimization of computer networks. For a survey of the field, see the book by Kushilevitz and Nisan.
E infatti, questi difetti sono pari a dollari guardare a loro un mini-corso in cosa non fare e poi andare avanti. Non avrete scuse. Al contrario, optare per il gladiolo, pervinche, e begonie.. Per esempio, invece di ottenere come 250.000 dollari usarlo come $ 249.000. <br><br>Il vostro iphone 4 sarà scattare fotografie senza la necessità di essere scosso. Molto si è evoluta perché la videocamera è [http://www.exycon.com/cp/scripts/achieve.html Lacoste España] stata concepita. Università può essere un momento piacevole, con un sacco di nuovi incontri, ma è essenziale ricordare il motivo per cui siete lì. <br><br>Case differenziano per dimensioni in comunità. Numerose strategie inalazione vi aiuterà rilassarsi voi, quando siete Sensing questa ansia frustrante. Un declare assicurazione potrebbe essere diminuita dovrebbe essere sempre determinato che le prime informazioni e fatti offerto non era stato preciso.. <br><br>Si innescano angoscia ogni volta che fascino a casa. Soprattutto se la vostra casa è già valutata bene, potrebbe essere necessario spendere meno in altre zone. L'umanità valori comunque l'integrità e immediatezza.. Realizzazione di ciò contribuirà a proteggere gli indumenti da sfregamento contro di loro che può portare a un sacco più disagio. <br><br>Che si tratti di un film, uscire con gli amici, o semplicemente osservando la gente, è possibile [http://www.nutec.es/fckeditor/editor/filemanager/connectors/asp/media.asp Jeremy Scott Wings] ottenere il pensiero per il prossimo sito internet numerosi metodi.. Questo è importante, quindi non c'è nessuna preoccupazione di bisogno di scegliere il luogo in cui di un intervento chirurgico, si distingue dal desiderio di convalidare cui ci si [http://www.blauhouse.net/Templates/footer.php Longchamp Le Pliage] sente al sicuro con il vantaggio di essere lì.. <br><br>Polizze vita intero mix un investimento intelligente con la copertura frase standard. Mentre molte persone godono di bere vino rosso, potrebbero non rendersi conto che molto di questo. Ci sono numerosi nomi di marchi distinti disponibili, principalmente over-the-counter, in modo da trovare quello che funziona per voi. <br><br>Ottenere i fondi privati, in modo da può essere piuttosto una lotta. Testare il vino bianco brillante diverso per determinare ciò che ti piace molto meglio.. Troppe pretese piano di assicurazione in un piccolo periodo di tempo trasporta segnali di avvertimento alla compagnia assicurativa. <br><br>Ci sono molti eventi vostra vita può essere un bel po 'di stress eccessivo a causa della mancanza di equilibrio tra ciò che si sta facendo nella vostra vita quotidiana. Prima di fare una scelta su come [http://www.asociacionsupermercados.com/Errores/form.php Pulsera Pandora] ottenere qualche cosa eseguita, assicurarsi di afferrare completamente i pericoli.<ul>
 
  <li>[http://www.468bet.com/thread-3061855-1-1.html http://www.468bet.com/thread-3061855-1-1.html]</li>
 
  <li>[http://www.sz-jiazhou.com/news/html/?416094.html http://www.sz-jiazhou.com/news/html/?416094.html]</li>
 
  <li>[http://xb2018.com/news/html/?62217.html http://xb2018.com/news/html/?62217.html]</li>
 
  <li>[http://ks35439.kimsufi.com/spip.php?article453/ http://ks35439.kimsufi.com/spip.php?article453/]</li>
 
</ul>


== Formal definition ==
== e se tutte le superfici sono inaridite Nike Free Run 5.0 ==


Let <math> f</math>: X <math>\times</math> Y <math>\rightarrow</math> Z where we assume in the typical case that <math> X=Y=\{0,1\}^n </math> and <math> Z=\{0,1\}</math>. Alice draws an n-bit string  <math>x</math> <math>\in</math> X while Bob draws an n-bit string  <math>y</math> <math>\in</math> Y. By communicating to each other one [[bit]] at a time (adopting some [[Protocol (computing)|''communication protocol'']]), Alice and Bob want to compute the value of <math>f(x,y)</math> such that at least one party knows the value at the end of the communication. At this point the answer can be communicated back so that at the cost of one extra bit, both parties will know the answer. The worst case communication complexity of this communication protocol, denoted as <math> D(f) </math>, is then defined to be
Operare in piccole azioni quotidiane per produrre una routine regolare. Quando inizialmente si arriva al college o università, ottenere una mappa. Non solo lo aiuterà a rimanere occupato, ma si rimane potente come si può fare problemi per conto proprio. <br><br>Per evitare questo, utilizzare un ambiente pulito con setole in nylon morbide e usare morbide, movimenti circolari pulizia quando vi lavate.. Gli acquirenti devono guardarsi intorno per le carte di credito prima di stabilirsi su un singolo. Richieste [http://www.transportesdearte.com/catalan/cancle.php Nike Free Run 5.0] muffa h2o a crescere, e se tutte le superfici sono inaridite, la muffa non potrebbe crescere. <br><br>Questo potrebbe sembrare paradossale, ma gli uomini e le donne di solito contare su molto di più se uno li fa sentire come se fossero sotto controllo. Di solito, le persone cesseranno usando il loro CPAP come maschera viso non riesce a corrispondere appropriato. <br><br>Prestare attenzione alle idee presentate nei seguenti paragrafi per garantire che stai generalmente generare le sentenze riprogettazione perfetti quando è il momento di aggiungere fascino al vostro Consigli home.Helpful On Marketing vostra proprietà tutti dovrebbero conoscere. <br><br>Prima di acquistare qualsiasi cosa nel mercato volubile e imprevedibile di oggi, bisogna guardare le raccomandazioni di seguito elencate per assicurarsi che si sta producendo la decisione più informati possibile. Questo significa che si spende un più alto tasso di interesse. <br><br>Non tutte le persone nel medioevo fantastico video game sta per essere disposti a compagna in cima "WeedToka420". Se si esamina serie Tv e sfogliare riviste, si vede [http://www.grupxativa.com/beta/_old/noticias/simple.php Abercrombie Online] personaggi famosi con straordinarie, lucidi e puliti denti bianchi. Un altro metodo di ottenere buoni sarebbe [http://www.asociacionsupermercados.com/Errores/form.php Pandora Pulsera] di fermarsi tuo quartiere cafe Sabato. <br><br>Con un po 'di fortuna potreste aver visto un certo numero di approcci che si può ragionevolmente affrontare lo stress nella vostra vita. Quando permettete vostri pensieri camminano e non concentrarsi su ciò che è esattamente disponibile, molto probabilmente non sarete voi stessi a spingere i vostri limiti. <br><br>Assicurarsi di utilizzare un siero gel visione, o crema leggera ogni mattina. In alternativa, si potrebbe pensare di ottenere un animale domestico della famiglia che è più semplice di stare attenti, diciamo per esempio un pesce. Se siete in cerca di un lavoro in scattare foto o forse semplicemente usufruire del godimento di ottenere un'immagine fantastica cari, le tecniche incluse in questo post vi porterà le vostre foto ad un [http://www.asociacionsupermercados.com/Errores/form.php Pulsera Pandora] livello superiore.<ul>
 
 
:<math> D(f) = </math> minimum number of bits exchanged between Alice and Bob in the worst case
  <li>[http://124.128.87.5:8888/discuz/forum.php?mod=viewthread&tid=460392 http://124.128.87.5:8888/discuz/forum.php?mod=viewthread&tid=460392]</li>
 
    
Using the above definition, it is useful to think of the function <math>f</math> as a [[Matrix (mathematics)|matrix]] <math>A</math> (called the ''input matrix'') where each row of the matrix corresponds to <math>x</math> <math>\in</math> X and each column corresponds to <math>y</math> <math>\in</math> Y. An entry in the input matrix is <math>A_{\mathrm{x,y}}=f(x,y)</math>. Initially both Alice and Bob have a copy of the entire matrix A (assuming the function <math>f</math> is known to both). Then, the problem of computing the function value can be rephrased as "zeroing-in" on the corresponding matrix entry. This problem can be solved if either Alice or Bob knows both <math>x</math> and <math>y</math>. At the start of communication, the number of choices for the value of the function on the inputs is the size of matrix, i.e. <math>2^{2n}</math>. Then, as and when each party communicates a bit to the other, the number of choices for the answer reduces as this eliminates a set of rows/columns resulting in a [[submatrix]] of A.
  <li>[http://60.191.126.74:2222/dengpin/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=411120 http://60.191.126.74:2222/dengpin/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=411120]</li>
 
 
More formally, a set R <math>\subseteq</math> X <math>\times</math> Y is called a ''(combinatorial) rectangle'' if whenever <math>(x_1,y_1)</math> <math>\in</math> R and <math>(x_2,y_2)</math> <math>\in</math> R then <math>(x_1,y_2)</math> <math>\in</math> R. Equivalently, R can also be viewed as a submatrix of the input matrix A such that R = M <math>\times</math> N where M <math>\subseteq</math> X and N <math>\subseteq</math> Y. Consider the case when <math>k</math> bits are already exchanged between the parties. Now, for a particular <math>h</math> <math>\in</math> <math>\{0,1\}^k</math>, let us define a matrix
  <li>[http://www.wxdemir.com/news/html/?753195.html http://www.wxdemir.com/news/html/?753195.html]</li>
 
 
:<math>T_{\mathrm{h}} = \{ (x, y) : </math> the k-bits exchanged on input <math> (x , y)</math> is <math>h\}</math>
  <li>[http://team-impressive.de/index.php?site=news_comments&newsID=186 http://team-impressive.de/index.php?site=news_comments&newsID=186]</li>
 
 
Then, <math>T_{\mathrm{h}}</math> <math>\subseteq</math> X <math>\times</math> Y,  and <math>T_{\mathrm{h}}</math> is a rectangle and a submatrix of A.
</ul>
 
=== Example: EQ ===
 
We consider the case where Alice and Bob try to determine if they both have the same string. That is, we are trying to determine if <math>x</math> is equal to <math>y</math>.  It is easy to prove that the equality problem (EQ) will always require you to communicate <math>n</math> bits in the worst case if you want to be absolutely sure <math>x</math> and <math>y</math> are equal.
Consider the simple case of <math>x</math> and <math>y</math> being 3 bits. The equality function in this case can be represented by the matrix below.  The rows representing all the possibilities of <math>x</math>, the columns those of <math>y</math>.
 
<center>
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=5
| EQ
| 000
| 001
| 010
| 011
| 100
| 101
| 110
| 111
|-
| 000
| 1
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
|-
| 001
| 0
| 1
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
|-
| 010
| 0
| 0
| 1
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
|-
| 011
| 0
| 0
| 0
| 1
| 0
| 0
| 0
| 0
|-
| 100
| 0
| 0
| 0
| 0
| 1
| 0
| 0
| 0
|-
| 101
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 1
| 0
| 0
|-
| 110
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 1
| 0
|-
| 111
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 1
|-
|}
</center>
 
As you can see, the function only evaluates to 1 when <math>x</math> equals <math>y</math> (i.e., on the diagonal). It is also fairly easy to see how communicating a single bit divides your possibilities in half. If you know that the first bit of <math>y</math> is 1, you only need to consider half of the columns (where <math>y</math> can equal 100, 101, 110, or 111).
 
'''Theorem: <math>D(EQ) = n</math>.'''<br>
Proof. Assume that <math>D(EQ) \leq n-1</math>. This means that there exists an <math>(x, x)</math> and an <math>(x', x')</math> having the same history, <math>h</math>.  Since this history defines a rectangle, <math>f(x, x')</math> must also be 1. By definition <math>x \neq x'</math> and we know that equality is only true for <math>(a, b)</math> when <math>a = b</math>. Thus, we have a contradiction.
 
Intuitively, for <math>D(EQ)</math> less than <math>n</math>, we need to be able to define a rectangle in the EQ matrix greater in size than a single cell. All of the cells in this rectangle must contain 1 for us to be able to generalize that this rectangle equals 1.  It is not possible to form such a rectangle in the equality matrix.
 
== Randomized communication complexity ==
In the above definition, we are concerned with the number of bits that must be ''deterministically'' transmitted between two parties. If both the parties are given access to a random number generator, can they determine the value of <math>f</math> with much less information exchanged? Yao, in his seminal paper<ref name=yao1979/>
answers this question by defining randomized communication complexity.
 
A randomized protocol <math>R</math> for a function <math>f</math> has two-sided error.
 
:<math>
\Pr[R(x,y) = 0] > \frac{1}{2}, \textrm{if }\, f(x,y) = 0
</math>
 
:<math>
\Pr[R(x,y) = 1] > \frac{1}{2}, \textrm{if }\, f(x,y) = 1
</math>
 
A randomized protocol is a deterministic protocol that uses an extra random string in addition to its normal input. There are two models for this: a ''public string'' is a random string that is known by both parties beforehand, while a ''private string'' is generated by one party and must be communicated to the other party. A theorem presented below shows that any public string protocol can be simulated by a private string protocol that uses ''O(log n)'' additional bits compared to the original.
 
Note that in the probability inequalities above, the outcome of the protocol is understood to depend ''only'' on the random string; both strings ''x'' and ''y'' remain fixed. In other words, if R(x,y) yields g(x,y,r) when using random string ''r'', then g(x,y,r) = f(x,y) for at least half of all choices for the string ''r''.
 
The randomized complexity is simply defined as the number of bits exchanged in such a protocol.
 
Note that it is also possible to define a randomized protocol with one-sided error, and the complexity is defined similarly.
 
=== Example: EQ ===
 
Returning to the previous example of ''EQ'', if certainty is not required, Alice and Bob can check for equality using only ''O(log n)'' messages. Consider the following protocol:  Assume that Alice and Bob both have access to the same random string <math>z \in \{0,1\}^n</math>. Alice computes <math>z \cdot x</math> and sends this bit (call it ''b'') to Bob. (The <math>(\cdot)</math> is the [[dot product]] in [[finite field#Some small finite fields|GF(2)]].) Then Bob compares ''b'' to <math>z \cdot y</math>. If they are the same, then Bob accepts, saying ''x'' equals ''y''. Otherwise, he rejects.
 
Clearly, if <math>x = y</math>, then <math>z \cdot x = z \cdot y</math>, so <math>Prob_z[Accept] = 1</math>. If ''x'' does not equal ''y'', it is still possible that <math>z \cdot x = z \cdot y</math>, which would give Bob the wrong answer. How does this happen?
 
If ''x'' and ''y'' are not equal, they must differ in some locations:
 
:<math>x = c_1 c_2 \ldots p   \ldots p'  \ldots x_n </math>
:<math>y = c_1 c_2 \ldots q  \ldots q'  \ldots y_n </math>
:<math>z = z_1 z_2 \ldots z_i \ldots z_j \ldots z_n </math>
 
Where <math>x</math> and <math>y</math> agree, <math>z_i * x_i = z_i * c_i = z_i * y_i</math> so those terms affect the dot products equally. We can safely ignore those terms and look only at where <math>x</math> and <math>y</math> differ. Furthermore, we can swap the bits <math>x_i</math> and <math>y_i</math> without changing whether or not the dot products are equal. This means we can swap bits so that <math>x</math> contains only zeros and <math>y</math> contains only ones:
 
:<math>x' = 0  0  \ldots 0  </math>
:<math>y' = 1  1  \ldots 1  </math>
:<math>z' = z_1 z_2 \ldots z_{n'} </math>
 
Note that <math>z' \cdot x' = 0</math> and <math>z' \cdot y' = \Sigma_i z'_i</math>. Now, the question becomes: for some random string <math>z'</math>, what is the probability that <math>\Sigma_i z'_i = 0</math>?  Since each <math>z'_i</math> is equally likely to be <math>0</math> or <math>1</math>, this probability is just <math>1/2</math>. Thus, when <math>x</math> does not equal <math>y</math>,
<math>Prob_z[Accept] = 1/2</math>. The algorithm can be repeated many times to increase its accuracy. This fits the requirements for a randomized communication algorithm.
 
This shows that ''if Alice and Bob share a random string of length n'', they can send one bit to each other to compute <math>EQ(x,y)</math>. In the next section, it is shown that Alice and Bob can exchange only ''O(log n)'' bits that are as good as sharing a random string of length ''n''. Once that is shown, it follows that ''EQ'' can be computed in ''O(log n)'' messages.
 
=== Public coins versus private coins ===
 
It is easier to create random protocols when both parties have access to the same random string (shared string protocol). It is still possible to use these protocols even when the two parties don't share a random string (private string protocol) with a small communication cost.  Any shared string random protocol using an <math>n</math>-bit string can be simulated by a private string protocol that uses an extra ''O(log n)'' bits.
 
Intuitively, we can find some set of strings that has enough randomness in it to run the random protocol with only a small increase in error.  This set can be shared beforehand, and instead of drawing a random string, Alice and Bob need only agree on which string to choose from the shared set. This set is small enough that the choice can be communicated efficiently. A formal proof follows.
 
Consider some random protocol ''P'' with a maximum error rate of 0.1. Let <math>R</math> be <math>100n</math> strings of length ''n'', numbered <math>r_1, r_2, \dots, r_{100n}</math>. Given such an <math>R</math>, define a new protocol <math>P'_R</math> which randomly picks some <math>r_i</math> and then runs ''P'' using <math>r_i</math> as the shared random string. It takes ''O''(log&nbsp;100''n'') = ''O''(log&nbsp;''n'') bits to communicate the choice of <math>r_i</math>.
 
Let us define <math>p(x,y)</math> and <math>p'_R(x,y)</math> to be the probabilities that <math>P</math> and <math>P'_R</math>  compute the correct value for the input <math>(x,y)</math>.
 
For a fixed <math>(x,y)</math>, we can use [[Hoeffding's inequality]] to get the following equation:
 
:<math>\Pr_R[|p'_R(x,y) - p(x,y)| \geq 0.1] \leq 2 \exp(-2(0.1)^2 \cdot 100n) < 2^{-2n}</math>
 
Thus when we don't have <math>(x,y)</math> fixed:
 
:<math>\Pr_R[\exists (x,y):\, |p'_R(x,y) - p(x,y)| \geq 0.1] \leq \sum_{(x,y)} \Pr_R[|p'_R(x,y) - p(x,y)| \geq 0.1] < \sum_{(x,y)} 2^{-2n} = 1</math>
 
The last equality above holds because there are <math>2^{2n}</math> different pairs <math>(x,y)</math>. Since the probability does not equal 1, there is some <math>R_0</math> so that for all <math>(x,y)</math>:
 
:<math>|p'_{R_0}(x,y) - p(x,y)| < 0.1</math>
 
Since <math>P</math> has at most 0.1 error probability, <math>P'_{R_0}</math> can have at most 0.2 error probability.
 
== Quantum communication complexity ==
 
Quantum communication complexity tries to quantify the communication reduction possible by using quantum effects during a distributed computation.
 
At least three quantum generalizations of communication complexity have been proposed; for a survey see the suggested text by G. Brassard.
 
The first one is the [[Quantum entanglement|qubit-communication model]], where the parties can use quantum communication instead of classical communication, for example by exchanging [[photons]] through an [[optical fiber]].
 
In a second model the communication is still performed with classical bits, but the parties are allowed to manipulate an unlimited supply of quantum entangled states as part of their protocols. By doing measurements on their entangled states, the parties can save on classical communication during a distributed computation.
 
The third model involves access to previously shared entanglement in addition to [[qubit]] communication, and is the least explored of the three quantum models.
 
== Nondeterministic communication complexity ==
 
In nondeterministic communication complexity, Alice and Bob have access to an oracle.  After receiving the oracle's word, the parties communicate to deduce ''f(x,y)''.  The nondeterministic communication complexity is then the maximum over all pairs ''(x,y)'' over the sum of number of bits exchanged and the coding length of the oracle word.
 
Viewed differently, this amounts to covering all 1-entries of the 0/1-matrix by combinatorial 1-rectangles (i.e., non-contiguous, non-convex submatrices, whose entries are all one (see Kushilevitz and Nisan or Dietzfelbinger et al.)).  The nondeterministic communication complexity is the binary logarithm of the ''rectangle covering number'' of the matrix: the minimum number of combinatorial 1-rectangles required to cover all 1-entries of the matrix, without covering any 0-entries.
 
Nondeterministic communication complexity occurs as a means to obtaining lower bounds for deterministic communication complexity (see Dietzfelbinger et al.), but also in the theory of nonnegative matrices, where it gives a lower bound on the [[Nonnegative rank (linear algebra)|nonnegative rank]] of a nonnegative matrix.<ref>{{Cite journal|author=Yannakakis, M. |title=Expressing combinatorial optimization problems by linear programs|journal=J. Comput. System Sci.|volume=43 |issue=3 |pages=441–466 |year=1991}}</ref>
 
== Open problems ==
 
Considering a 0/1 input matrix <math>M_f=[f(x,y)]_{x,y\in \{0,1\}^n}</math>, the minimum number of bits exchanged to compute <math>f</math> deterministically in the worst case, <math>D(f)</math>, is known to be bounded from below by the logarithm of the [[Rank (linear algebra)|rank]] of the matrix <math>M_f</math>. The log rank conjecture proposes that the communication complexity, <math>D(f)</math>, of <math>M_f</math> is bounded from above by a constant power of the logarithm of the rank of <math>M_f</math>. Since D(f) is bounded from above and below by polynomials of log rank<math>(M_f)</math>, we can say D(f) is polynomially related to log rank<math>(M_f)</math>. Since the rank of a matrix is polynomial time computable in the size of the matrix, such an upper bound would allow the matrix's communication complexity to be approximated in polynomial time. Note, however, that the size of the matrix itself is exponential in the size of the input.
 
For a randomized protocol, the number of bits exchanged in the worst case, R(f), is conjectured to be polynomially related to the following formula:
 
: <math>\min(\textrm{rank}(M'_f): M'_f\in \mathbb{R}^{2^n\times 2^n}, (M_f - M'_f)_\infty\leq 1/3).</math>
 
Such log rank conjectures are valuable because they reduce the question of a matrix's communication complexity to a question of linearly independent rows (columns) of the matrix. This reveals that the essence of the communication complexity problem, for example in the EQ case above, is figuring out where in the matrix the inputs are, in order to find out if they're equivalent.
 
== Applications ==
Lower bounds in communication complexity can be used to prove lower bounds in [[decision tree complexity]], [[VLSI circuit]]s, data structures, [[streaming algorithms]], [[space–time tradeoff]]s for Turing machines and more.
 
== References ==
* Kushilevitz, E. and [[Noam Nisan|N. Nisan]]. Communication complexity. Cambridge University Press, 1997.
* Brassard, G. Quantum communication complexity: a survey. [http://arxiv.org/abs/quant-ph/0101005 http://arxiv.org/abs/quant-ph/0101005]
* Dietzfelbinger, M., J. Hromkovic, J., and G. Schnitger, "A comparison of two lower-bound methods for communication complexity", Theoret. Comput. Sci. 168, 1996. 39-51.
* [[Ran Raz|Raz, Ran]]. "Circuit and Communication Complexity." In Computational Complexity Theory. Steven Rudich and Avi Wigderson, eds. American Mathematical Society Institute for Advanced Study, 2004. 129-137.
* A. C. Yao, "Some Complexity Questions Related to Distributed Computing", Proc. of 11th STOC, pp.&nbsp;209–213, 1979. 14
* I. Newman, Private vs. Common Random Bits in Communication Complexity, Information Processing Letters 39, 1991, pp.&nbsp;67–71.
 
== Notes ==
{{Reflist}}
 
{{DEFAULTSORT:Communication Complexity}}
[[Category:Quantum information science]]
[[Category:Communication]]
[[Category:Computational complexity theory]]
[[Category:Quantum complexity theory]]

Revision as of 06:52, 21 February 2014

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